Cálculo I - 24/04/2019

Cálculo I - 24/04/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 80,0%


Taxa instantânea de variação
y_m = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h

A taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação a x em "a" é:
y_a = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h

Se a variável independente é o tempo t e y = s(t) é a posição em uma reta coordenada, então:

* velocidade média é a taxa média de variação de s em relação a t em um instante de tempo.

* velocidade instantânea é a taxa de variação de s em relação a t no instante t = a.


Exemplo:

A voltagem de curto circuito elétrico é de 100 volts. Se a corrente (em amperes) é I e a resistência (em ohms) é R, então, pela Lei de Ohm:
I = 100 / R.

Se R está aumentando, ache a taxa instantânea de variação de I em relação a R, para:

a) Qualquer resistência R.

[Res.]
Lembrando que:
∆I_R = lim_h→0 {[I(R + h) - I (R)] / h}
Sendo I(R) = 100/R

lim_h→0 {[100/(R + h) - 100/(R)] / h}

= lim_h→0 {[100 . (R) - 100 . (R + h)] / [(R + h) . (R)] / h}
= lim_h→0 {[100R - 100R - 100h] / [(R + h) . (R)] / h}
= lim_h→0 {- 100h / [(R + h) . (R)] / h}
= lim_h→0 {- 100 / [(R + h) . (R)]}
= -100 / [(R+0) . R]
= -100 / [R . R]
= -100 / R² 


b) Uma resistência de 20 ohms.

[Res.]
Quando R = 20 ohms:
∆I_R = -100 / R² = -100 / 20² = -100 / 400 = -1/4 = -0,25 Amper


Exercício:

Qual a taxa de variação da área de uma circunferência em relação ao raio, supondo que este varia, quando temos r = 3cm?

[Res.]
A = 𝜋 . r²

Lembrando que:
∆A_R = lim_h→0 {[A(r + h) - A (r)] / h}

= lim_h→0 {[𝜋 . (r + h)² - 𝜋 . (r)²] / h}
= lim_h→0 {[𝜋 . (r² + 2rh + h²) - 𝜋 . r²] / h}
= lim_h→0 {[𝜋 . r² + 2rh𝜋 + h²𝜋 - 𝜋 . r²] / h}
= lim_h→0 {[2rh𝜋 + h²𝜋] / h}
= lim_h→0 {h . [2r𝜋 + h𝜋] / h}
= lim_h→0 {2r𝜋 + h𝜋}
= 2r𝜋 + 0 . 𝜋
= 2r𝜋

Quando r = 3cm:
∆A_R = 2r𝜋 = 2 . 3 . 𝜋 = 6 . 𝜋 = 6𝜋



Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.