Cálculo I - 16/04/2019

Cálculo I - 16/04/2019 - (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: aproximadamente 20h40min
Término da aula: 21h54min
Taxa de aproveitamento: 82,22%


Continuação da matéria de derivada

Analisando como encontrar a reta tangente em um gráfico, obtido com o Krita.

m_t = lim_x→a {[f(x) - f(a)] / (x - a)}

m_t = lim_x→a {[f(a + h) - f(a)] / h}

Logo, a equação da reta tangente t é:
y - f(a) = m_t . (x - a)
De:
y - y₀ = m . (x - x₀)


Exercícios
1) Seja f(x) = x², e seja "a" um número real qualquer:

a) Determine o coeficiente angular da tangente ao gráfico f em P(a, a²).

[Res.]
f(x) = x²

Gráfico de f(x) = x², obtido com o GeoGebra e o Krita.

m_t = lim_h→0 {[f(a + h) - f(a)] / h}
= lim_h→0 {[(a² + 2ah + h²) - (a²)] / h}
= lim_h→0 {[a² + 2ah + h² - a²] / h}
= lim_h→0 {[2ah + h²] / h}
= lim_h→0 {h . [2a + h] / h}
= lim_h→0 {[2a + h]}
= 2a + 0
= 2a


b) Determine a equação da tangente no ponto R(-2, 4).  

[Res.]
Como a equação da tangente é do tipo y - y₀ = m . (x - x₀), e como m_t = 2a, logo:


m_t = 2a = 2 . (-2) = -4

y - y₀ = m . (x - x₀)
y - 4 = -4 . [x - (-2)]
y - 4 = -4 . [x +2]
y - 4 = -4x - 8
y = -4x - 8 + 4
y = -4x - 4


2) Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) = 1/x no ponto P(3, 1/3).


[Res.]
f(x) = x^-1

Gráfico de f(x) = 1/x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Derivando para encontrar o coeficiente angular da reta tangente:
f(x) = x^-1 = 1/x
f '(x) = -1 . x^-2 = -1 / x²

O coeficiente angular também pode ser encontrado pelo limite da função:
m_t = lim_h→0 {[f(a + h) - f(a)] / h}
= lim_h→0 {[1/(a + h) - 1/(a)] / h}
= lim_h→0 {[(a - (a + h))/[(a + h).(a)]] / h}
= lim_h→0 {[(a - a - h)/[(a + h).(a)]] / h}
= lim_h→0 {[(- h)/[(a + h).(a)]] / h}
= lim_h→0 {[- 1/[(a + h).(a)]]}
= - 1/[(a + 0).(a)]
= -1 / (a . a) 
= -1 / a²


Inserindo o valor do coeficiente angular na equação da reta tangente:

y - y₀ = m . (x - x₀)
y - y₀ = -1/x² . (x - x₀)

Inserindo os valores do ponto P(3, 1/3):
y - (1/3) = -1 / 9 . (x - 3)
y = -1/9 . x + 1/3 + 1/3
y = -1/9 . x + 2/3


3) Determine a equação da reta tangente à curva f(x) = √x no ponto P(4, 2).

[Res.]
f(x) = √x

Gráfico de f(x) = √x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Derivando para encontrar o coeficiente angular da reta tangente:
f(x) = √x
f '(x) = 1/2 . x^-1/2 = 1/(2 . √x)


O coeficiente angular também pode ser encontrado pelo limite da função:
m_t = lim_h→0 {[f(a + h) - f(a)] / h}
= lim_h→0 {[√(a + h) - √(a)] / h}
= lim_h→0 {[√(a + h) - √(a)] / h . [√(a + h) + √(a)] / [√(a + h) + √a]}
= lim_h→0 {[(a + h) - (a)] / h . [1 / [√(a + h) + √a]}
= lim_h→0 {[(a + h - a)] / h . [1 / [√(a + h) + √a]}
= lim_h→0 {h / h . [1 / [√(a + h) + √a]}
= lim_h→0 {1 . [1 / [√(a + h) + √a]}
= lim_h→0 {1 / [√(a + h) + √a]}
= 1 / [√(a + 0) + √a]
= 1 / [√a + √a]
= 1 / (2√a)


Inserindo o valor do coeficiente angular na equação da reta tangente:
y - y₀ = m . (x - x₀)
y - y₀ = 1/(2 . √x) . (x - x₀)


Inserindo os valores do ponto P(4, 2):
y - (2) = 1/(2 . √x) . (x - 4)
y = 1/(2√x) . x - 4/(2√x) + 2
y = x/(2√x) - 4/(2√x) + 2
y = (x - 4) / (2√x) + 2


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.