Aula 1 | Semana do F360

6 DICAS VALIOSAS para quem tem um PROCESSO NA JUSTIÇA!

Vetor unitário

Você conhece e sabe usar o Catecismo da Igreja Católica?

Como posso me tornar um bom catequista?

09 Posição relativa entre planos

08 Posição relativa entre reta e plano Exemplo

07 Posição relativa entre reta e plano

06 Perpendicularismo

05 Ângulo entre dois planos

04 Ângulo entre reta e plano

02 Equação geral do plano

01 Equação vetorial e equações paramétricas do plano

08 Perpendicularismo e ortogonalidade

07 Posição relativa entre retas Exemplo

06 Posição relativa entre retas

05 Ângulo de retas

02 Equações simétricas e reduzidas da reta

01 Equação vetorial e equações paramétricas da reta

14 Produto misto Exemplo

13 Propriedades do produto misto

12 Produto misto Definição

11 Produto vetorial Exemplo

10 Produto vetorial Propriedades

09 Produto vetorial Propriedades

08 Produto vetorial Definições

04 Produto escalar Observaçõs

03 Produto escalar Propriedades

02 Produto escalar Consequências

01 Produto escalar Definições

14 Vetores no espaço Exemplo

13 Vetores no espaço Definições

12 Vetores no espaço Introdução

11 Vetores no plano Exemplo

09 Vetor definido por dois pontos Módulo

08 Operações com vetores no plano

07 Vetores no plano

06 Ângulos entre vetores

05 Operações com vetores Exemplo

04 Operações com vetores Multiplicação de número real por vetor

03 Operações com vetores Adição de vetores

02 Definição de vetores

01 Segmentos orientados e segmentos equipolentes

Me Salva! VET04 - Produto escalar, explicação teórica e como calcular

Terceiro Mandamento - Guardar Domingos e festas

Como devemos guardar os domingos e dias santos? A Igreja responde!

Estas coisas provam a vocação divina do Brasil!

Os Vizinhos O Chamaram De Louco, Mas Ele Riu Por Último

Exercício na região sul demonstra a força de pronto emprego blindada do ...

É verdade que a arte sempre retratou a nudez?

41 - Parresía: Rock in Rio - Pe. Paulo Ricardo responde às críticas

23 - "Nova Ordem Mundial" o perigo que ameaça o Cristianismo

12 - Marxismo Cultural e o Comunismo

11 Magistrados e 1 Golpe

O Silmarillion

26 - Parresía: O poder paralelo dentro da Igreja

06. Marxismo Cultural e Revolução Cultural: Como lutar o bom combate?

05 - Marxismo Cultural e Revolução Cultural: Teologia da Libertação e su...

04 - Marxismo Cultural e Revolução Cultural: A infiltração do marxismo c...

03 - Marxismo Cultural e Revolução Cultural: Reação à crise marxista

E o capitalismo?

02 - Marxismo Cultural e Revolução Cultural: O Fascismo e o Marxismo Cul...

01 - Marxismo Cultural e Revolução Cultural: Visão Histórica

Santa Missa às 20:00 / 4º Dia / Quaresma de São Miguel / LIVE Quaresma

Engenheiro constrói maquina capaz de criar água a partir do ar

Masculinidade: o que está acontecendo com os homens de Deus?

Masculinidade: o que está acontecendo com os homens?

Exército Brasileiro: Entendendo a Organização e Patentes - DOC #39

Exército Americano: Entendendo a Organização e Patentes - DOC #44

O que são esses quadradinhos? 🤔 - Basicão #01

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Todo governo é uma quadrilha de ladrões?

Os Quatro Temperamentos

Pe. Paulo Ricardo responde acusações sobre a Igreja!

A Nova Ordem Mundial e as Falsas Doutrinas - 03

A Nova Ordem Mundial e as Falsas Doutrinas - 04

A Nova Ordem Mundial e as Falsas Doutrinas - 02

A Contrição Perfeita!

A Nova Ordem Mundial e as Falsas Doutrinas - 01

Como deixar os pecados mortais

O segredo para uma boa confissão - Padre Paulo Ricardo (11/01/20)

O sacrifício pelos pecadores

Por que são tão poucos os que chegam à santidade?

Fórmulas importantes da letra O do curso Kumon de Matemática

 Fórmulas importantes da letra O do curso Kumon de Matemática

 

Tangentes e Normais

 Equação da tangente

 A equação da tangente à curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é

y - f (a) = f ' (a) . (x - a)

 

Equação da Normal

Quando uma reta que passa por um ponto A na curva é perpendicular à tangente no ponto A, esta reta é chamada de normal em relação à curva no ponto A. O gradiente da tangente no ponto A (a, f (a)) é f ' (a). Como a normal é perpendicular à tangente, quando f ' (a) ≠ 0, o gradiente da normal é:

- 1 / [f ' (a)].

Assim, a equação da normal de uma curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é:

y - f (a) = -1 / [f ' (a)] . (x - a) quando f ' (a) ≠ 0

x = a quando f ' (a) = 0

Funções Crescentes / Decrescentes e Valores Extremos Relativos

O gradiente da tangente de uma função contínua y = f (x) em x = a é f  '(a). A partir disso, temos 3 casos:

• se f  '(a) > 0, a tangente tem uma curva positiva;
• se f  '(a) < 0, a tangente tem uma curva negativa;
• se f  '(a) = 0, o gradiente da  tangente é 0.

No ponto próximo de x = a, o gráfico da função y = f (x) é quase igual ao da tangente. Assim:

• se f  '(x) > 0 no intervalo (a, b), f (x) é crescente no intervalo [a, b];
• se f  '(x) < 0 no intervalo (a, b), f (x) é decrescente no intervalo [a, b];
• se f  '(x) = 0 no intervalo (a, b), f (x) é uma constante no intervalo [a, b].

Quando uma função contínua f (x) muda de crescente para decrescente conforme x aumenta em a, dizemos que a função f (x) tem um máximo relativo em x = a e f (a) é chamado de valor máximo relativo.

Quando a função f (x) muda de decrescente para crescente conforme x aumenta em a, dizemos que a função f (x) tem um mínimo relativo em x = a e f (a) é chamado de valor mínimo relativo.

Os valores máximo relativo e mínimo relativo são chamados de valores extremos relativos.

Assíntotas

Em geral, uma reta à qual um gráfico se aproxima indefinidamente sem nunca tocá-la é chamada de assíntota do gráfico.

Há dois tipos de assíntotas:

- se lim_x→∞ [f (x) - (ax + b)] = 0 ou lim_x→-∞ [f (x) - (ax + b)] = 0, y = a . x + b é uma assíntota da curva y = f (x).

- se ao menos um dentre lim_x→a⁺ f (x) ou lim_x→a^- f(x) é ∞ ou -∞, x = a é uma assíntota da curva y = f (x).

Concavidades de Curvas

Como f '' (x) é uma derivada de f '(x), o sinal do valor de f '' (x) pode determinar se o valor de f '(x) é crescente ou decrescente.

No intervalo no qual f '' (x) > 0, o valor de f ' (x) é crescente e o gradiente da tangente da curva y = f (x) também é crescente, como demonstrado à direita. Nesse caso, dizemos que a curva é côncava para cima.

No intervalo no qual f ''(x) < 0, o valor de f '(x) é decrescente e o gradiente da tangente da curva y = f (x) é também decrescente, como demonstrado à direita. Nesse caso, dizemos que a curva é côncava para baixo. Assim:

Quando a função f (x) tem a derivada de segunda ordem f ''(x):

- no intervalo no qual f ''(x) > 0, a curva y = f (x) é côncava para cima;

- no intervalo no qual f ''(x) < 0, a curva y = f (x) é côncava para baixo.

Ponto de inflexão

Dado que f ''(a) = 0, se o sinal de f ''(x) mudar conforme x aumenta através de a, o ponto (a, f (a)) é um ponto de inflexão da curva y = f (x). Além disso, se o ponto (a, f (a)) for um ponto de inflexão da curva y = f (x), então f ''(a) = 0.

Concavidade de Curvas

Os valores extremos relativos também poder ser determinados pelo sinal da derivada de segunda ordem, não apenas pela tabela de variação.

Quando uma função f (x) satisfaz f '(a) = 0 e f ''(a) > 0, f '(x) é crescente no ponto onde x = a ou próximo de x = a, e f '(x) muda de negativo para positivo conforme x aumenta através de a. Portanto, f (x) tem um valor mínimo relativo em x = a.

Sinal de f ''(a) e valores extremos relativos

Dado que f ''(x) é contínua no intervalo incluindo x = a,

- se f '(a) = 0 e f ''(a) > 0, f (a) representa o valor mínimo relativo;

- se f '(a) = 0 e f ''(a) < 0, f (a) representa o valor máximo relativo.

Máximos e mínimos

Para encontrar os valores máximo e mínimo:

• Crie uma tabela de variação para o intervalo ou domínio dado.
• Determine os valores extremos relativos e os valores do início e do fim do intervalo, e então compare os valores.

Aplicações Diversas do Cálculo Diferencial

Velocidade e aceleração

Seja x = f (t) a coordenada do Ponto P se movendo em uma reta numerada t. A velocidade v e a aceleração α do ponto P no tempo t podem ser determinadas da seguinte maneira.

v = dx / dt = f ' (t)

α = dv / dt = d²x / dt² = f '' (t) 

Além disso, o valor absoluto v (escrito como |v|) é chamado de velocidade, e o valor absoluto da aceleração α (escrito como |α|) é chamado de magnitude da aceleração.

Aproximação linear I

Quando a função f (x) é diferenciável em x = a e o valor de |h| se aproxima de 0, f (a + h) ≈ f (a) + f  ' (a) . h

Aproximação linear II

Quando o valor de |x| se aproxima de 0, f (x) ≈ f (0) + f  ' (0) . x.

Integrais Indefinidas I

Integrais indefinidas de x^α

com α ≠ -1

Propriedades das Integrais Indefinidas

Sejam a e b constantes, e seja F(x) a integral indefinidada função f (x).

[F (ax + b)] ' = F ' (ax + b) . (ax + b)' = a . f (ax + b)

Integrando esta igualdade com relação a x, temos o seguinte:

Quando F ' (x) = f (x), a ≠ 0,

Integrais Indefinidas II

A partir das fórmulas de derivadas (e^x) ' = e^x e (a^x) ' = a^x . ln a (a > 0, a ≠ 1), obtemos as seguintes fórmulas:

Integrais Indefinidas de Funções Exponenciais

A partir das fórmulas de derivadas (sen x) ' = cos x, (cos x) ' = - sen x, (tg x) ' = 1 / cos² x e (1 / tg x) ' = 1 / sen² x, obtemos as seguintes fórmulas:

Integrais Indefinidas de Funções Trigonométricas

Lembretes:

Integração por Substituição

Seja 

Se uma função de t, x = g(t), for substituída em x, podemos dizer que F(x) = F (g (t)) também é uma função de t.

Sendo g(t) derivável (diferenciável), se F (x) for derivada em relação a t utilizando a Regra da Cadeia obtemos:

Portanto:

Assim, quando x = g(t), ou seja x é função de t:

Invertendo-se o lado esquerdo e o lado direito e substituindo-se t e x por x e u respectivamente, obtemos g(x) = u:

Considerando f (u) = 1 / u, ou seja, f (g(x)) = 1 / g (x):

Daí temos:

Integração por Partes

Segundo a regra do produto:

Reorganizando a regra do produto temos:

Integrando os dois lados da equação temos:

Integrais Definidas

Se F(x) for uma integral indefinida (antiderivada) de f (x), F(b) - F(a) poderá ser chamada de integral definida de f (x) de a até b e é expressa como:

As letras a e b são chamadas de limite inferior e limite superior (a é o inferior e b é o superior).

Assim:

Uma propriedade das integrais definidas é:

Integração por substituição para Integrais Definidas

Quando x = g(t), se a = g(α) e b = g(β), então

Uma outra propriedade das integrais definidas é:

Para a integral definida de:

Para a integral definida de:

Integração de funções pares ou ímpares:

- Quando f (x) for uma função par:

- Quando f (x) for uma função ímpar:

Integração por Partes para Integrais Definidas e Funções Representadas por Integrais Definidas

Integração por partes para integrais definidas:

Quando a é uma constante:

Propriedade de integrais definidas:

Integração por Quadratura e Provas de Desigualdades

Integrais definidas e limites de Somas

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b],

onde:

Integrais definidas e limites de Somas

Integrais definidas e desigualdades

No intervalo [a, b], se f (x) ≥ g (x):

O sinal da igual se mantém somente quando f (x) = g (x) para todos os valores de x.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Áreas

Área sob a curva:

No intervalo [a, b], em uma curva y = f (x):

f (x) ≥ 0:

f (x) ≤ 0:

Área entre duas curvas:

No intervalo [a, b], quando f (x) ≥ g (x):

Para curvas em y:

x = g (y), no intervalo c ≤ y ≤ d, quando g (y) ≥ 0:

Volumes

Área transversal e Volume do Sólido

Volume de Revolução em torno do eixo x

Basta lembrar da área do círculo, que é: 

e que o raio será variável, em função de x, e integrar.

Volume de revolução em torno do eixo y

O sólido formado ao rotacionar um círculo em torno do eixo x é chamado de toro. O volume do toro é igual ao produto da área do círculo e da circunferência com uma rotação em torno do eixo x.

Comprimento de uma Curva, Velocidade e Distância

Comprimento de uma curva I

Seja L o comprimento da curva x = f (t), y = g (t) (a ≤ t ≤ b):

Comprimento de uma curva quando y = f (x) (a ≤ x ≤ b):

considerando x = t, y =f (t):

Então:

Deslocamento de um ponto se movendo em uma reta:

Distância de um ponto se movendo em uma reta:

Mudança na velocidade de um ponto se movendo em uma reta:

Sejam v₀ e v₁ respectivamente, a velocidade de um ponto P em movimento em uma reta numérica nos tempos t₀ e t₁ e seja α a aceleração no tempo t:

Distância de um ponto se movendo em um plano:

Equações Diferenciais

Uma equação com derivadas de uma função desconhecida, como dy/dx = 2x é chamada de equação diferencial.

Uma função que resolve uma equação diferencial é chamada de solução da equação diferencial.

A equação diferencial expressa da forma f (y) . dy/dx = g(x) chama-se equação diferencial separável.

Uma função constante resulta sempre em um valor constante, como y = 3 e y = -4.

Solução particular: 

Quando se parte de uma solução geral, as curvas obtidas são chamadas de curvas integrais. Apenas uma das curvas integrais tem uma solução que atende a condição de x = x₀ e y = y₀. Uma condição assim, que determina o valor da constante arbitrária, é chama de condição inicial, de onde se obtém a solução particular.

Aplicações das equações diferenciais:

No dia a dia as equações diferenciais podem ser aplicadas em fenômenos naturais e sociais, como a multiplicação de bactérias no tempo, derretimento de açúcar na água quente, resfriamento de líquidos, dissipação de energia luminosa, decaimento radioativo, variação da pressão atmosférica conforme a altitude, variação de umidade para secagem de roupas, força da corrente elétrica em um condutor, a velocidade da gota de chuva caindo no chão, a drenagem de água de um reservatório conforme o tamanho do furo, a variação de CO₂ de acordo com o fluxo de ar que entra no ambiente, a taxa de difusão de uma informação por uma população, e o ponto ótimo de consumo de combustíveis em veículos.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.