1) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).
a) Determine a equação da reta r.
[Res.]
A equação da reta deve ser do tipo:
y = ax + b
Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax + b
- 24 = a (-4) + b, o que chamaremos de equação 1.
Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax + b
0 = a (2) + b, o que chamaremos de equação 2.
Com a equação 1 e a equação 2 é possível montar um sistema e encontrar os valores de a e b.
0 = a (2) + b (Equação 2)
- 24 = a (-4) + b (Equação 1)
Calculando (Equação 2) - (Equação 1):
24 = 6a + 0
24 = 6a
a = 24/6
a = 4
Susbstituindo a = 4 na Equação 2:
0 = a (2) + b (Equação 2)
0 = 4 . 2 + b
b = -8
Assim, a equação da reta é:
y = ax + b
y = 4x - 8
[Res.]
A equação da parábola deve ser do tipo:
y = ax² + bx + c
É imporante ressaltar aqui que os valores de a e b da questão anterior (relacionados à reta) não estão relacionados a questão presente (equação da parábola).
Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax² + bx + c
-24 = a(-4)² + b(-4) + c
-24 = 16a - 4b + c, o que chamaremos de equação 1.
Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(2)² + b(2) + c
0 = 4a + 2b + c, o que chamaremos de equação 2.
Analisando-se o gráfico, é possível perceber que a parábola passa pelo ponto (0, 0), o que permite obter uma terceira equação.
Substituindo os valores do ponto B(0, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(0)² + b(0) + c
0 = c, o que chamaremos de equação 3.
Como encontrou-se que o valor de c = 0, pode-se substituí-lo nas equações 1 e 2.
-24 = 16a - 4b + c (Equação 1)
-24 = 16a - 4b + 0
-24 = 16a - 4b (Equação 1')
0 = 4a + 2b + c (Equação 2)
0 = 4a + 2b + 0
Agora pode-se fazer um sistema de equações para encontrar os valores de a e b, a partir das equações 1' e 2'.
(Equação 1') + 2 . (Equação 2')
-24 + 2 . 0 = 16a + 2 . 4a - 4b + 2 . 2b
-24 + 0 = 16a + 8a - 4b + 4b
-24 = 24a + 0b
-24 = 24 a
a = -1
Substituindo a = -1 na equação 1', pode-se encontrar o valor de b.
-24 = 16a - 4b
-24 = 16(-1) - 4b
-24 = -16 - 4b
-8 = -4b
b = -8 / -4
b = 2
Com os valores de a = -1, b = 2 e c = 0, pode-se montar a equação da parábola.
y = ax² + bx + c
y = (-1)x² + 2x + 0
y = -x² + 2x
Logo, a equação da parábola é:
y = -x² + 2x
2) Nos gráficos de 1 a 6, determine o limx →a f(x) caso o limite exista.
[Res.]
Para existir o limite no ponto, ele deve existir tanto pela esquerda quanto pela direita, e os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Por isso, vamos observar os limites pela esquerda e pela direita de cada gráfico e ver se eles são iguais, para ver se existe e qual é o limite em cada figura.
Gráfico 1)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
Gráfico 2)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
Gráfico 3)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
Gráfico 4)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = c
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = c
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
Gráfico 5)
limx →a- f(x) = ∞
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
limx →a- f(x) = ∞
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
Gráfico 6)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
3) Calcule cada um dos limites abaixo:
a) limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
[Res.]
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
Como a equação está dividida por h, não é possível calcular o limite do jeito que ela está, pois não é possível dividir por 0 (quando h tende a 0).
Assim, é preciso modificar a equação, para encontrar o limite.
Comecemos a modificar então, de modo a tentar encontrar uma equação em que seja possível verificar o limite.
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h . 1 / 1
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h . (5h + 4)1/2 + 2) / (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (((5h + 4)1/2)² - (2)²) / h . 1 / (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (5h + 4 - 4) / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (5h + 0) / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5h / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2)
Nessa nova forma da função, vamos tentar encontrar o limite:
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h = limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2) = 5 / ((5 . 0 + 4)1/2 + 2)
= 5 / ((0 + 4)1/2 + 2)
= 5 / (41/2 + 2)
= 5 / (2 + 2)
= 5 / 4
Assim, obtém-se a resposta da questão:
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h = 5 / 4
b) limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)
[Res.]
Se tentarmos resolver diretamente o limite, obteremos para a parte do denominador o seguinte valor:
(x² - 5x + 4) = (4² - 5.4 + 4) = 16 - 20 + 4 = 0
Como não é possível dividir por 0, logo não se pode calcular o limite da função diretamente. Primeiro é preciso modifícá-la de modo a poder calcular o limite.
limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)
Analisando separadamente o numerador e o denominador, podemos verificar que:
(x² - 16) = (x + 4) . (x - 4)
(x² - 5x + 4) = (x - 1) (x - 4)
Assim, limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4) = limx →4 ((x + 4) . (x - 4)) / ((x - 1) (x - 4))
Simplificando a equação, obtém-se:
limx →4 (x + 4) / (x - 1)
Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando x tende a 4.
(x - 1) = 4 - 1 = 3
Como a divisão por 3 é possível, agora pode-se encontrar o valor do limite da função, pois não há mais nenhuma restrição ao cálculo do limite. Caso houvesse mais alguma restrição, seria necessário continuar a modificar a função até que o limite pudesse ser calculado.
limx →4 (x + 4) / (x - 1) = (4 + 4) / (4 - 1) = 8 / 3
c) limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1)
[Res.]
Como o denominador da função é igual a 1, não há restrições de divisão na função que impeçam o cálculo do limite. Como não se observa mais nenhum tipo de restrição, parece possível o cálculo direto do limite.
Calculando o limite da função quando x tende a 0.
limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = 3(0)³ - 18(0)² + (0) - 1 = 0 - 0 + 0 - 1 = -1
Logo,
limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = -1
d) limx →0 x.cos(1/x)
[Res.]
Vamos analisar o que acontece com a função quando x tende a 0.
x.cos(1/x) = (0).cos(1/0)
Como não é possível dividir por 0, não é possível calcular o limite do jeito que a função está.
Assim, será necessário modificar a função, até que seja possível calcular o limite.
Como é a parte relacionada ao cosseno que está impossibilitando o cálculo do limite, uma forma de tentar encontrar o limite poderia passar pela substituição do cosseno por algo equivalente.
Vamos relembrar a seguinte expressão e ver se é possível a partir dela encontrar alguma relação com cos(1/x):
sen²(x) + cos²(x) = 1
Essa equação pode ser obtida a partir do Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c², onde a é hipotenusa e b e c são catetos de um triângulo ABC com ângulo reto em A.
Assim:
sen (B) = b/a
cos (B) = c/a
Demonstrando:
sen²(B) + cos²(B) = (b/a)² + (c/a)²
sen²(B) + cos²(B) = b²/a² + c²/a²
sen²(B) + cos²(B) = (b² + c²) / a²
sen²(B) + cos²(B) = a² / a²
sen²(B) + cos²(B) = 1
Referência: http://stoa.usp.br/semirames/weblog/92100.html
A partir da relação trigonométrica demonstrada acima, vamos tentar simplificar a equação para possibilitar a resolução do limite.
Como sen²(x) + cos²(x) = 1:
cos²(x) = 1 - sen²(x)
cos(x) = (1 - sen²(x))1/2
Como x é apenas o ângulo, pode-se reescrever a relação obtida da seguinte forma:
cos(1/x) = (1 - sen²(1/x))1/2
Retomando o limite e fazendo a substituição pela relação encontrada:
limx →0 x.cos(1/x)
limx →0 x.(1 - sen²(1/x))1/2
Agora ao analisar a equação modificada é possível perceber, que apesar de toda a modificação, ainda não foi possível calcular o limite, pois a equação modificada também apresenta a divisão por 0, que não é possível de ser executada.
Será então necessário resolver o problema com outra técnica.
Vamos tentar agora solucionar o limite pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto. A ideia é simples e bem útil.
Para a aplicação do Teorema do Confronto, devemos analisar a função em que se deseja aplicar o limite.
Como se deseja encontrar o limite de limx →0 x.cos(1/x), a função em questão é:
f(x) = x.cos(1/x)
Vamos dividir a função em duas partes e analisar a parte relacionada com o cosseno.
Sabe-se que a função cosseno varia de -1 a 1, passando pelo 0 (conforme as relação trigonométricas do círculo trigonométrico). Assim, -1 ≤ cos(x) ≤ 1. Como x pode ser qualquer ângulo, a relação abaixo também será válida:
-1 ≤ cos(1/x) ≤ 1
Se multiplicarmos os 3 membros da inequação por x iremos obter:
-1 . x ≤ x . cos(1/x) ≤ 1 . x
-x ≤ x . cos(1/x) ≤ x
Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto, "prensando" as partes da inequação.
limx →0 -x ≤ limx →0 x . cos(1/x) ≤ limx →0 x
Como limx →0 -x = 0 e limx →0 x = 0, podemos "espremer" o limite limx →0 x . cos(1/x) entre os dois limites conhecidos. Assim, obtém-se:
0 ≤ limx →0 x . cos(1/x) ≤ 0
Como limx →0 x . cos(1/x) está entre 0 e 0, ele só pode ser igual ao próprio 0.
Assim, através do Teorema do Confronto, foi possível encontrar a resposta da questão:
limx →0 x . cos(1/x) = 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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