Cálculo I - 09/04/2019

Cálculo I - 09/04/2019 - (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%


Assíntotas horizontais

Definição:

A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se lim_x→∞ f(x) = b ou lim_x→-∞ f(x) = b.


Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).

[Res.]

Gráfico de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.

Limite para ∞:

lim_x→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
=  lim_x→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
=  lim_x→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
=  lim_x→∞ (1 - 1/x) / lim_x→∞ (1 + 4/x)
=  (lim_x→∞ 1 - lim_x→∞ 1/x) / (lim_x→∞ 1 + lim_x→∞ 4/x)
=  (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1

Limite para -∞:

lim_x→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
=  lim_x→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
=  lim_x→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
=  lim_x→-∞ (1 - 1/x) / lim_x→-∞ (1 + 4/x)
=  (lim_x→-∞ 1 - lim_x→-∞ 1/x) / (lim_x→-∞ 1 + lim_x→-∞ 4/x)
=  (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1

Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.

Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).

Assíntota horizontal de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4

Assíntota vertical de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.

[Res.]

Gráfico de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Para encontrar a assíntota vertical, iguala-se o denominador da função a 0:
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3

Assíntota vertical de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.

Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)

lim_x→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= lim_x→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[lim_x→∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→∞ (3 - 5/x)

Lembrando que:
lim_x→∞ x = ∞
lim_x→∞ 1 = 1
lim_x→∞ (1/x) = 0
lim_x→∞ (1/x²) = 0

Continuando a resolução:
± √[lim_x→∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→∞ (3 - 5/x)

= ± √[lim_x→∞ 2 + lim_x→∞ ( 1/x²)] / [lim_x→∞ 3 - lim_x→∞ (5/x)]
= ± √[2 + lim_x→∞ ( 1/x²)] / [3 - lim_x→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3

Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)

lim_x→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= lim_x→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[lim_x→-∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→-∞ (3 - 5/x)

Lembrando que:
lim_x→-∞ x = -∞
lim_x→-∞ 1 = 1
lim_x→-∞ (1/x) = 0
lim_x→-∞ (1/x²) = 0

Continuando a resolução:
± √[lim_x→-∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→-∞ (3 - 5/x)

= ± √[lim_x→-∞ 2 + lim_x→-∞ ( 1/x²)] / [lim_x→-∞ 3 - lim_x→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + lim_x→-∞ ( 1/x²)] / [3 - lim_x→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3

Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.

Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).

Assíntotas horizontais de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Continuidade

Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.

Definição: uma função f é contínua em um número se lim_x→a f(x) = f(a).

Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.


Exemplos:

Descontínuas em x = a:

* lim_x→a f(x) = L, mas f(a) não existe.

lim_x→a f(x) = L, mas f(a) não existe, obtido com o Krita.

* lim_x→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.

lim_x→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L, obtido com o Krita.

Descontinuidade removível:

* descontinuidade tipo salto

Descontinuidade tipo salto, obtido com o Krita.

* descontinuidade tipo infinito

Descontinuidade tipo infinito, obtido com o Krita.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.