Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%
Assíntotas horizontais
Definição:
A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se limx→∞ f(x) = b ou limx→-∞ f(x) = b.
Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).
[Res.]
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| Gráfico de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
limx→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→∞ (1 - 1/x) / limx→∞ (1 + 4/x)
= (limx→∞ 1 - limx→∞ 1/x) / (limx→∞ 1 + limx→∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Limite para -∞:
limx→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→-∞ (1 - 1/x) / limx→-∞ (1 + 4/x)
= (limx→-∞ 1 - limx→-∞ 1/x) / (limx→-∞ 1 + limx→-∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.
Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).
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| Assíntota horizontal de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4
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| Assíntota vertical de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.
[Res.]
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| Gráfico de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3
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| Assíntota vertical de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→∞ x = ∞
limx→∞ 1 = 1
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ 2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [limx→∞ 3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→-∞ x = -∞
limx→-∞ 1 = 1
limx→-∞ (1/x) = 0
limx→-∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ 2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [limx→-∞ 3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.
Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).
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| Assíntotas horizontais de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Continuidade
Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.
Definição: uma função f é contínua em um número se limx→a f(x) = f(a).
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.
Exemplos:
Descontínuas em x = a:
* limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe.
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| limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe, obtido com o Krita. |
* limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.
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| limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L, obtido com o Krita. |
Descontinuidade removível:
* descontinuidade tipo salto
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| Descontinuidade tipo salto, obtido com o Krita. |
* descontinuidade tipo infinito
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| Descontinuidade tipo infinito, obtido com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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