Lucas Freitas, M.Sc.: Pesquisa Operacional

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sexta-feira, 10 de novembro de 2023

Pesquisa Operacional - Teoria dos Jogos - Explicação e exemplo

Pesquisa Operacional - Teoria dos Jogos - Explicação e exemplo

Pesquisa Operacional - Teoria dos Jogos - Explicação e exemplo sobre como utilizar a teoria dos jogos e a complexidade de aplicá-la - 10/11/2023 21:32

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

sexta-feira, 27 de outubro de 2023

Pesquisa Operacional - Exemplo de aplicação do Método de Solução Gráfica...

domingo, 8 de julho de 2018

Pesquisa Operacional - Análise de Sensibilidade - Treino - 05/07/2018

Pesquisa Operacional - Análise de Sensibilidade - Treino - 05/07/2018

Pág. 95 da apostila da professora Maria da Penha

Maximizar:
L = 8 . x₁ + 2 . x₂

Matriz resultante para análise:

x₁	x₂	S₁	S₂	S₃	S₄	L
0	2	1	-1	0	0	0	4
1	1/2	0	1/2	0	0	0	4
0	-1/2	0	-1/2	1	0	0	16
0	1	0	0	0	1	0	28
0	2	0	4	0	0	1	32

Novo x₁:
x₁ + 1/2 = 4
x₁ = 7/2 = 3,5

Novo S₁:
S₁ + 2 = 4
S₁ = 2

Novo S₃:
S₃ + (-1/2) = 16
S₃ = 16 + 1/2 = 33/2 = 16,5

Novo S₄:
S₄ + 1 = 28
S₄ = 27

Novo L:
L + 2 = 32
L = 30

Variações:
∆x₁ = 3,5 - 4 = -0,5

∆S₁ = 2 - 4 = -2

∆S₃ = 16,5 - 16 = 0,5

∆S₄ = 27 - 28 = -1

∆L = 30 - 32 = -2

A cada unidade de x₂ produzida, o lucro será reduzido em 2 unidades monetárias.

M.Sc. Lucas Tiago Rodrigues de Freitas agradece sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria no material.

Pesquisa Operacional - Canto Noroeste e Custo Mínimo - Treino - 05/07/2018

Pesquisa Operacional - Canto Noroeste e Custo Mínimo - Treino - 05/07/2018

Resolução do exercício 2 da página 121 da apostila da professora Maria da Penha.

Método do Canto Noroeste

Noroeste	Norte
Oeste		Leste
	Sul

Ou seja, utiliza-se a célula da matriz posicionada ao noroeste da folha de papel para a alocação dos recursos.

Como a demanda (10 + 10 + 10 + 10 = 40) é igual a oferta (12 + 17 + 11 = 40), o problema está equilibrado.

Passamos então, à alocação de recursos pelo método do canto noroeste.

		Distância até CD1		Distância até CD2		Distância até CD3			Fabrica
Fábrica 1	10	80	2	130	-	40	-	70	12 12-10=2 2 - 2 = 0
Fábrica 2	-	110	8	140	9	60	-	100	17 17- 8 = 9 9 - 9 = 0
Fábrica 3	-	60	-	120	1	80	10	90	11-1 =10 10-10 =0
Demanda por CD	10 10-10=0		10 10-2 = 8 8 - 8 = 0		10 10 - 9=1 1 - 1 = 0		10 10 - 10 = 0

Cálculo do custo:
Custo de pedir = 5000,00
Custo por distância = 50,00

Custo pelo método do Canto Noroeste = 5000 + 50 (10 . 80 + 2 . 130 + 8 . 140 + 9 . 60 + 1 . 80 + 10 . 90) = 190000,00 unidades monetárias

Resolvendo o mesmo problema pelo método do custo mínimo

Como a demanda (10 + 10 + 10 + 10 = 40) é igual a oferta (12 + 17 + 11 = 40), o problema está equilibrado.

Passamos então, à alocação de recursos pelo método do canto noroeste.

		Distância até CD1		Distância até CD2		Distância até CD3			Fabrica
Fábrica 1	-	80	-	130	10	40	2	70	12 12-10=2 2 - 2 = 0
Fábrica 2	-	110	10	140	-	60	7	100	17 17- 7 =10 10-10=0
Fábrica 3	10	60	-	120	-	80	1	90	11-10 =1 1-1 =0
Demanda por CD	10 10-10=0		10 10-10= 0		10 10-10=0		10 10 - 2 = 8 8 - 1 = 7 7 - 7 = 0

Cálculo do custo:
Custo de pedir = 5000,00
Custo por distância = 50,00

Custo pelo método do Custo Mínimo = 5000 + 50 (10 . 40 + 2 . 70 + 10 . 140 + 7 . 100 + 10 . 60 + 1 . 90) = 171500,00 unidades monetárias.

Comparando-se os dois métodos, verifica-se que o método do Custo Mínimo (171500,00) apresentou um custo menor que o método do Canto Noroeste (190000,00). Logo, ele deve ser o método escolhido para alocação de recursos com o menor custo.

M.Sc. Lucas Tiago Rodrigues de Freitas agradece sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria no material.

Pesquisa Operacional - Dualidade - Treino - 05/07/2018

Pesquisa Operacional - Dualidade - Treino - 05/07/2018

Minimize g:
g = y₁ + 4 . y₂

sujeito a:
2. y₁ + 4 . y₂ ≥ 18
y₁ + 5 . y₂ ≥ 15

Observação: o problema é resolvido pelo método da dualidade porque o método SIMPLEX trabalha com maximizações, e as restrições de "≥" necessitam de minimizações, para minimizar a função objetivo g. Assim, geramos a matriz Primal A, transpomos a Primal A e obtemos a Dual A^T, que será utilizada no método SIMPLEX, podendo ser maximizada.

Primal A

2	4	18
1	5	15
1	4	g

Dual A^T

2	1	1
4	5	4
18	15	f

Sujeito a:
2. y₁ + y₂ ≤ 1
4 . y₁ + 5 . y₂ ≤ 4

Maximizar:
18. y₁ + 15 . y₂ = f

Preparando para o SIMPLEX:
- 18. y₁ - 15 . y₂ + f = 0

Restrições:
R1: 2. y₁ + y₂ + S₁ = 1
R2: 4 . y₁ + 5 . y₂ + S₂ = 4

Pivotagem:

Matriz A

Cálculos	y₁	y₂	S₁	S₂	f		cálculo do menor coeficiente positivo
R1	2	1	1	0	0	1	2/1=2
R2	4*	5	0	1	0	4	4/4 =1*
R3	-18* coluna pivô	-15	0	0	1	0

Matriz B

Cálculos	y₁	y₂	S₁	S₂	f
R1' = -2 . R2' + R1	0	-3/2	1	-1/2*	0	-1*
R2' = R2/4	1	5/4	0	1/4	0	1
R3' = 18.R2' + R3	0	15/2	0	9/2	1	18

Matriz C

Cálculos	y₁	y₂	S₁	S₂	f		cálculo do menor coeficiente positivo
R1'' = -2 . R1'	0	3	-2	1	0	2	2 / -2 = -1
R2'' = -1/4 . R1'' + R2'	1	1/2*	1/2	0	0	1/2	1/2 / 1/2 = 1*
R3'' = -9/2 . R1'' + R3'	0	-6*	9	0	1	9

Matriz D

Cálculos	y₁	y₂	S₁	S₂	f
R1''' = -3 . R2''' + R1''	-6	0	-5*	1	0	-1*
R2''' = 2 . R2''	2	1	1	0	0	1
R3''' = 6 . R2''' + R3''	12	0	15	0	1	15

Matriz E

Cálculos	y₁	y₂	S₁	S₂	f		cálculo do menor coeficiente positivo
R1'''' = -1/5 . R1'''	6/5*	0	1	-1/5	0	1/5	1/5 / 6/5 = 1/6*
R2'''' = -1 . R1'''' + R2'''	4/5	1	0	1/5	0	4/5	4/5 / 4/5 = 1
R3'''' = -15 . R1'''' + R3'''	-6*	0	0	3	1	12

Matriz F

Cálculos	y₁	y₂	S₁	S₂	f
R1''''' = 5/6 . R1''''	1	0	5/6	-1/6	0	1/6
R2''''' = -4/5 . R1''''' + R2''''	0	1	-2/3	1/3	0	2/3
R3''''' = 6 . R1''''' + R3''''	0	0	5	2	1	13

Pivotagem encerrada.
Lembrando que as respostas saem das sobras do Simplex da DUAL: S1 para y1, e S2 para y2.
Assim:
y₁ = 5
y₂ = 2
Maximiza f em 13, ou seja, minimiza g em 13 unidades.

Conferindo as restrições para verificar resposta.
Sujeito a:
2. y₁ + 4 . y₂ ≥ 18

2 . 5 + 4 . 2 = 10 + 8 = 18

y₁ + 5 . y₂ ≥ 15

5 + 5 . 2 = 15

Como as restrições foram atendidas, a resposta está correta. Devendo então, serem utilizadas (produzidas ou compradas) 5 unidade de y₁ e 2 unidades de y₂.

M.Sc. Lucas Tiago Rodrigues de Freitas agradece sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria no material.

sexta-feira, 29 de junho de 2018

Pesquisa Operacional - Treino

Pesquisa Operacional - Treino

Exercício 2 da pág. 133 da apostila

Resolução pelo método do canto noroeste

10	80	2	130		40		70	12-10=2 2-2=0 //
	110	8	140	9	60		100	17-8=9 9-9=0//
	60		120	1	80	10	90	11-1=10 10-10=0 //
	10-10=0 //		10-2=8 8-8=0 //		10-9=1 1-1=0 //		10-10=0 //

Z(minimizar custo) = 5000 + 50 . (10 . 80 + 2 . 130 + 8 . 140 + 9 . 60 + 1 . 80 + 10 . 90) = 3700.50 + 5000 = 190000

Resolução pelo método do custo mínimo

	80		130	10	40	2	70	12-10=2 2-2=0 //
	110	10	140		60	7	100	17-7=10 10-10=0//
10	60		120		80	1	90	11-10=1 1-1=0 //
	10-10=0 //		10-10=0 //		10-10=0 //		10-2=8 8-1=7 7-7=0 //

Z(minimizar custo) = 5000 + 50 . (10 . 40 + 2 . 70 + 10 . 140 + 7 . 100 + 10 . 60 + 1 . 90) = 3330.50 + 5000 = 171500

Resolução pelo método das Penalidades
Observações:
Como o custo é diretamente proporcional à distância, podemos usar os valores de distância, começando pelas menores distâncias, que apresentarão os menores custos.
Acrescentar uma linha e uma coluna na matriz para analisar as penalidades.

	80		130	10	40	2	70	40 10 60 - - -	12-10=2 2-2=0 //
	110	9	140		60	8	100	40 10 40 40 - -	17-8=9 9-9=0//
10	60	1	120		80		90	20 30 30 30 - -	11-10=1 1 //
	20 20 30 - - -		10 10 10 20 20 -		20 - - - - -		20 20 20 10 - -
	10-10=0 //		10-1=9 9-9=0 //		10-10=0 //		10-2 =8 8-8=0 //	final

Z(minimizar custo) = 5000 + 50 . (10 . 40 + 2 . 70 + 9 . 140 + 8 . 100 + 10 . 60 + 1 . 120) = 3320.50 + 5000 = 171000*

Menor custo foi obtido a partir do método das penalidades.

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Pesquisa Operacional - 28/06/2018

Pesquisa Operacional - 28/06/2018

Casos em que a oferta é diferente da procura.

A transportadora Ômega irá fazer o transporte dos seus produtos eletrônicos de 3 fábricas para 4 centros de distribuição.

Os custos unitários do transporte são apresentados na tabela a seguir.
Sabe-se que as fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade de produção de 40, 100 e 60 unidades, respectivamente.
As necessidades dos CDs A, B, C e D são 20, 70, 50 e 90, respectivamente.

Fábrica / CD	CD 1	CD 2	CD 3	CD 4	Capacidade
Fábrica 1	5	3	10	8	40
Fábrica 2	5	2	4	9	100
Fábrica 3	8	11	9	10	60
Demanda	20	70	50	90

Demanda = 20 + 70 + 50 + 90 = 230
Oferta = 40 + 100 + 60 = 200
Demanda supera a oferta = 230 - 200 = 30

Resolução:

Método das penalidades
Criar uma fábrica fictícia para equilibrar a demanda:

Fábrica / CD	CD 1	CD 2	CD 3	CD 4	Capacidade
Fábrica 1	5	3	10	8	40
Fábrica 2	5	2	4	9	100
Fábrica 3	8	11	9	10	60
Fábrica 4	0	0	0	0	30
Demanda	20	70	50	90

20	5	20	3		10		8	2 2 2 3	40-20=20 20-20=0 //
	5	50	2	50	4		9	2 3	100-50=50
	8		11		9	60	10	1 2 2 2	60-60=0
	0		0		0	30	0	0	30-30=0
	5 0 0 3 3		2 1 1 8		4 5		8 1 1 2 2
	20-20=0 //		70-50=20 20-20=0 //		50-50=0 //		90-30=60 60-60=0 //

Z(minimizar custo) = 20 . 5 + 20 . 3 + 50 . 2 + 50 . 4 + 60 .10 + 30 . 0 = 100 + 60 + 100 + 200 + 600 = 1060

Observação:
Como a fábrica fictícia está enviando 30 unidades para o destino CD4, esta é a demanda que não será plenamente abastecida.

Método do canto noroeste
Criar uma fábrica fictícia para equilibrar a demanda:

20	5	20	3		10		8	40-20=20 20-20=0 //
	5	50	2	50	4		9	100-50=50 50-50=0 //
	8		11		9	60	10	60-60=0 //
	0		0		0	30	0	30-30=0 //
	20-20=0 //		70-20=50 50-50=0 //		50-50=0 //		90-60=30 30-30=0 //

Z(minimizar custo) = 20 . 5 + 20 . 3 + 50 . 2 + 50 . 4 + 60 .10 + 30 . 0 = 100 + 60 + 100 + 200 + 600 = 1060

Método do custo mínimo
Criar uma fábrica fictícia para equilibrar a demanda:

20	5		3		10	20	8	40-20=20 20-20=0 //
	5	70	2	30	4		9	100-70=30 30-30=0 //
	8		11	20	9	40	10	60-20=40 40-40=0 //
	0		0		0	30	0	30-30=0 //
	20-20=0 //		70-70=0 //		50-30=20 20-20=0 //		90-30=60 60-20=40 40-40=0 //

Z(minimizar custo) = 20 . 5 + 70 . 2 + 30 . 4 + 20 . 9 + 40 .10 + 30 . 0 = 100 + 140 + 120 + 180 + 400 + 0 = 940

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

quinta-feira, 28 de junho de 2018

Pesquisa Operacional - Treino - Exercícios 7 - Problema do transporte e designação - redes

Pesquisa Operacional - Treino - Exercícios 7 - Problema do transporte e designação - redes

Questão 2

Uma companhia tem 3 fábricas, que produzem um determinado tipo de produto. O produto sai de cada fábrica para um dos 4 centros de distribuição da empresa.
As produções das fábricas são:

Fábrica 1 = 12 carregamentos por mês
Fábrica 2 = 17 carregamentos por mês
Fábrica 3 = 11 carregamentos por mês

Total de 30 carregamentos fabricados.

Cada Centro de Distribuição necessita receber 10 carregamentos por mês.

As distâncias de cada Centro de Distribuição até a fábrica (em km) estão na tabela abaixo.

O custo de frete por carregamento é de $5000,00 mais $50,00 por quilômetro.

a) Formule o problema de modo a minimizar o custo total de transporte.

b) Resolva o problema, determinando uma SBA (Solução Básica Admissível) inicial através do método do canto noroeste.

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Pesquisa Operacional - 28/06/2018

Pesquisa Operacional - 28/06/2018

Casos em que a oferta é diferente da procura

A transportadora Ômega irá fazer o transporte dos seus produtos eletrônicos de 3 fábricas para 4 centros de distribuição.

Os custos unitários do transporte são apresentados na tabela a seguir.

	CD1	CD2	CD3	CD4	Capacidade por fábrica Capacidade total = 40+100+60 = 200
Fábrica 1	5	3	10	8	40
Fábrica 2	5	2	4	9	100
Fábrica 3	8	11	9	10	60
Demanda por CD Demanda total = 20+70+50+90 = 230	20	70	50	90

Assim, estamos diante de um problema desequilibrado, com demanda total (230) maior que a oferta total (200).

Sabe-se que as fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade de produção de 40, 100 e 60 unidades, respectivamente.
As necessidades dos CDs A, B, C e D são 20, 70, 50 e 90, respectivamente.

Para equilibrar o problema, criaremos então uma fábrica fictícia, a Fábrica 4, que irá produzir 30 unidades, igualando a produção das fábricas com a demanda dos CDs. Como a Fábrica 4 é fictícia, ela não enviará nenhum produto para nenhum CD na realidade, então o custo de envio e a distância de envio serão iguais a 0.

	CD1	CD2	CD3	CD4	Capacidade por fábrica Capacidade total = 40+100+60+30 = 230
Fábrica 1	5	3	10	8	40
Fábrica 2	5	2	4	9	100
Fábrica 3	8	11	9	10	60
Fábrica 4	0	0	0	0	30
Demanda por CD Demanda total = 20+70+50+90 = 230	20	70	50	90

Buscando a melhor solução

Método das penalidades

O método das penalidades consiste em localizar a célula com o menor valor na linha ou coluna em que a diferença (módulo) entre os dois menores custos for maior. Após ser encontrada uma célula, verifica-se a quantidade que será destinada a ela. A cada rodada, deve-se recalcular as penalidades e encontrar a nova célula a ser utilizada.

20	5	20	3	-	10	-	8	2 2 2 3* - -	40-20 = 20 20-20 = 0
-	5	50	2	50	4	-	9	2 3* - - - -	100-50 = 50 50-50 = 0
-	8	-	11	-	9	60	10	1 2 2 2 - -	60-60 = 0
-	0	-	0	-	0	30	0	0 - - - - -	30-30 = 0
	5 0 0 3 3 -		2 1 1 8* - -		4 5* - - - -		8* 1 1 2 2 1
20-20 = 0		70-50 = 20 20-20 = 0		50-50 = 0		90-30 = 60 60-60 = 0

Z(minimizar custo) = 20 . 5 + 20 . 3 + 50 . 2 + 50 . 4 + 60 . 10 + 30 . 0 = 100 + 60 + 100 + 200 + 600 = 1060 unidades monetárias

Observação: como a fábrica fictícia está enviando 30 unidades para o destino CD4, esta é a demanda que não será plenamente atendida.

Método do Canto Noroeste

20	5	20	3	-	10	-	8	40-20=20 20-20 = 0
-	5	50	2	50	4	-	9	100-50=50 50-50=0
-	8	-	11	-	9	60	10	60-60=0
-	0	-	0	-	0	30	0	30-30=0
20-20=0		70-20=50 50-50=0		50-50=0		90-60=30 30-30=0

Método do Custo Mínimo

20	5	-	3	-	10	20	8	40-20=20 20-20 = 0
-	5	70	2	30	4	-	9	100-70=30 30-30=0
-	8	-	11	20	9	40	10	60-20=40 40-40=0
-	0	-	0	-	0	30	0	30-30=0
20-20=0		70-70=0		50-30=20 20-20=0		90-30=60 60-20=40 40-40=0

Z(minimizar custo) = 20 . 5 + 70 . 2 + 30 . 4 + 20 . 9 + 40 . 10 + 30 . 0 = 100 + 140 + 120 + 180 + 400 = 940 unidades monetárias

Observação: como a fábrica fictícia está enviando 30 unidades para o destino CD4, esta é a demanda que não será plenamente atendida.

Comparando os resultados, verifica-se que o método do custo mínimo apresentou o menor custo (940 unidades monetárias) dentre os 3 métodos analisados.

M.Sc. Lucas Tiago Rodrigues de Freitas agradece sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria no material.

terça-feira, 26 de junho de 2018

Treino - Pesquisa Operacional - Problema do transporte e designação - redes

Treino - Pesquisa Operacional - Problema do transporte e designação - redes

Exercícios 7 da apostila da Professora

Matriz de custo	Fábrica 1	Fábrica 2	Fábrica 3
Mina 1	9	16	28
Mina 2	14	29	19

Demanda:

Fábrica 1 = 71
Fábrica 2 = 133
Fábrica 3 = 96

a) Modelo matemático

Z_{(minimizar custo)} =
9. x₁₁ + 16 . x₁₂ + 28 . x₁₃ +
14. x₂₁ + 29 . x₂₂ + 19 . x₂₃

x_ij = custo de transporte da mina i para a fábrica j

i = 1,2

i=1 - mina 1
i=2 - mina2

j = 1, 2, 3

j = 1 - fábrica 1
j = 2 - fábrica 2
j = 3 - fábrica 3

Sujeito a:

Demanda = procura:

x₁₁ + x₂₁ = 71
x₁₂ + x₂₂ = 133
x₁₃ + x₂₃ = 96

Oferta:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 103
x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 197

Não negatividade:

Xij ≥ 0

B) solução básica admissível

Método do canto noroeste (p. 115 da apostila)

Começar pelo canto noroeste de matriz, e seguir varrendo a matriz nas diagonais da noroeste, até que todas as demandas sejam atendidas por todas as ofertas (trata-se de um problema equilibrado).

71	9	32	16		28	103 - 71 = 32 32 - 32 = 0 // (fechou linha)
	14	101	29	96	19	197 - 101 = 96 96 - 96 = 0 // (fechou linha)
71 - 71 = 0 // (fechou coluna)		133 - 32 = 101 101 - 101 = 0 // (fechou coluna)		96 - 96 = 0 // (fechou coluna)

Z_{(minimizar custo)} = 71 . 9 + 32 . 16 + 101 . 29 + 96 . 19 = 5904

Método do custo mínimo (p. 117 da apostila)

71	9	32	16		28	103 - 71 = 32 32 - 32 = 0 // (fechou linha)
	14	101	29	96	19	197 - 96 = 101 101 - 101 = 0 // (fechou linha)
71 - 71 = 0 // (fechou coluna)		133 - 32 = 101 101 - 101 = 0 // (fechou coluna)		96 - 96 = 0 // (fechou coluna)

Z_{(minimizar custo)} = 71 . 9 + 32 . 16 + 101 . 29 + 96 . 19 = 5904

Método das penalidades (p. 118 da apostila)

	9	103	16		28	16-9 = 7	103 - 103 = 0 // (fechou linha)
71	14	30	29	96	19	19-14=5	197 - 30 = 167 167 - 96 = 71 71 - 71 = 0 // (fechou linha)
	14-9 =5		29-16=7
71 - 71 = 0 // (fechou coluna)		133 - 103 = 30 30 - 30 = 0 // (fechou coluna)		96 - 96 = 0 // (fechou coluna)

A base é o menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças.

Z_{(minimizar custo)} = 71 . 14 + 103 . 16 + 30 . 29 + 96 . 19 = 5336

Melhor escolha entre os três métodos:
Método das penalidades >> 5336 de minimização

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

sábado, 23 de junho de 2018

Treino de P.O. Análise de sensibilidade

Treino de P.O. Análise de sensibilidade

Exercícios do tópico de análise de sensibilidade

Resolvendo baseado nos valores obtidos na matriz Simplex pronta (da apostila da professora).

1)
Para produzir 1 unidade de X1
X2 + 1 = 5 >> novo X2 = 4 >> Δ X2 = 4 - 5 = -1
S2 + 1 = 4 >> novo S2 = 3 >> Δ S2 = 3 - 4 = -1
Novo lucro = 4*100 + 1*120 = 520
Δ lucro = 520 - 600 = -80
ou seja, para produzir 1 unidade de X1,

X2 cai 1 unidade
S2 cai 1 unidade
lucro cai 80 unidades monetárias

Para produzir 1 unidade de X1
X2 + 1 = 40 >> novo X2 = 39 >> Δ X2 = 39 - 40 = -1
S1 + 1 = 120 >> novo S1 = 119 >> Δ S1 = 119 - 120 = -1
S2 + 1 = 50 >> novo S2 = 49 >> Δ S2 = 49 - 50 = -1
Novo lucro = 1*300 + 39*450 = 17850
Δ lucro = 17850 - 18000 = -150
ou seja, para produzir 1 unidade de X1,

X2 cai 1 unidade
S1 cai 1 unidade
S2 cai 1 unidade
lucro cai 150 unidades monetárias

Para produzir 1 unidade de X2
X1 + 1 = 25 >> novo X1 = 24 >> Δ X1 = 24 - 25 = -1
S1 + 1 = 7500 >> novo S1 = 7499 >> Δ S1 = 7499 - 7500 = -1
Novo lucro = 24*12 + 1*9 = 297
Δ lucro = 297 - 300 = -3
ou seja, para produzir 1 unidade de X2,

X1 cai 1 unidade
S1 cai 1 unidade
lucro cai 3 unidades monetárias

Para produzir 1 unidade de X1
X2 + 1 = 16,67 >> novo X2 = 15,67 >> Δ X2 = 15,67 - 16,67 = -1
X3 + 1 = 100 >> novo X3 = 99 >> Δ X1 = 99 - 100 = -1
S1 + 1 = 50 >> novo S1 = 49 >> Δ S1 = 49 - 50 = -1
Novo lucro = 1*700 + 15,67*350 + 99*500 = 55684,50
Δ lucro = 55684,50 - 55833,33 = -148,83
ou seja, para produzir 1 unidade de X1,

X2 cai 1 unidade
X3 cai 1 unidade
S1 cai 1 unidade
lucro cai 148,83 unidades monetárias

Dualidade e Sensibilidade

A função objetivo dual mede o valor de oportunidade dos recursos envolvidos na produção: a capacidade do estoque de recursos produtivos gerarem lucro.

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

sexta-feira, 22 de junho de 2018

Pesquisa Operacional 21/06/2018

Pesquisa Operacional 21/06/2018

Fábrica / CD	CD 1	CD 2	CD 3
Fábrica 1	7	4	3
Fábrica 2	3	1	2

Z_{minimizar custo} = 7.x₁₁ + 4.x₁₂ + 3.x₁₃ + 3.x₂₁ + x₂₂ + 2.x₂₃

Sujeito a:

Restrições de oferta:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 100
x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 50

Restrições de procura (demanda):

x₁₁ + x₁₂ = 80
x₁₂ + x₂₂ = 30
x₁₃ + x₂₃ = 40

Z_{minimizar custo} = 730

Esta solução com (m + n - 1) = (2 + 3 - 1) = 4 variáveis básicas é apresentada em forma tabular com o quadro acima.

Método do custo mínimo (considera os custos de transporte)

							Oferta
	80	7		4	20	3	100 - 20 = 80
		3	30	1	20	2	50 - 30 = 20
Procura	80		30		40

1º Passo: começar pelo menor custo da tabela - sobe
....

Variáveis básicas

x₁₁ = 80
x₁₃ = 20
x₂₂ = 30
x₂₃ = 20

Variáveis não básicas

x₁₂ = 0
x₂₁ = 0

Z_{minimizar custo} = 7.x₁₁ + ~~4.x₁₂~~ + 3.x₁₃ + ~~3.x₂₁~~ + x₂₂ + 2.x₂₃
= 7 . 80 + 3 . 20 + 30 + 2 . 20
= 560 + 60 + 30 + 40
= R$ 690,00

Solução encontrada agora é melhor que a solução obtida pelo método do canto noroeste.

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

terça-feira, 19 de junho de 2018

Pesquisa Operacional - 19/06/2018

Pesquisa Operacional - 19/06/2018

Problema de transporte

Exemplo

Certa empresa possui 2 fábricas a produzirem determinado produto, a ser depois transportado para 3 centros de distribuição.
As fábricas 1 e 2 produzem, respectivamente, 100 e 50 carregamentos por mês. Os centros 1, 2 e 3 necessitam de receber 80, 30 e 40 carregamentos por mês, respectivamente.

Sabendo-se que os custos de transporte por carregamento são os que constam no quadro.

Fábrica	CD 1	CD 2	CD 3
Fábrica 1	7	4	3
Fábrica 2	3	1	2

Fábrica 1 envia para:

CD 1 >>> custo₁₁ = 7
CD 1 >>> custo₁₂ = 4
CD 1 >>> custo₁₃ = 3

Fábrica 2 envia para:

CD 1 >>> custo₂₁ = 3
CD 1 >>> custo₂₂ = 1
CD 1 >>> custo₂₃ = 2

Demanda por CD:

CD 1 = 80
CD 2 = 30
CD 3 = 40

Oferta por fábrica:

Fábrica 1 = 100
Fábrica 2 = 50

Assim:

x_ij: quantidade de carregamentos da fábrica "i" para o CD "j".

Z_{(minimizar custo)} = 7 . x₁₁ + 4 . x₁₂ + 3 . x₁₃ + 3. x₂₁ + x₂₂ + 2 . x₂₃.

sujeito a:

oferta da fábrica 1:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 100

oferta da fábrica 2:

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 50

Demanda

x₁₁ + x₂₁ = 80
x₁₂ + x₂₂ = 30
x₁₃ + x₂₃ = 40

Não negatividade

x_ij > 0

Método do canto noroeste (não considera os custos de transporte)

Fábrica / CD	CD 1	CD 2	CD 3	Oferta
Fábrica 1	7	4	3	100
Fábrica 2	3	1	2	50
Demandas	80	30	40	--

Como os custos de transporte não são considerados no método do canto noroeste, utiliza-se apenas os valores de demanda e oferta.

Passo 1

Deve-se tomar o primeiro número na diagonal "noroeste", desconsiderando-se os custos. Assim, o número 80 passa a ser o primeiro.
O 80 é posicionado na posição ij = 11. A posição abaixo (ij = 21) recebe o valor de 80 menos o valor da demanda (que é 80), resultando em 0. Na coluna de oferta ele é subtraído do valor existente, resultando em 100 - 80 = 20.

Fábrica / CD	--	--	--	Oferta
--	80	--	--	100 - 80 = 20
--	--	--	--	50
Demanda	80	30	40	--

Passo 2

Analisar a coluna de oferta e verificar qual é o menor número. Como 20 é menor que 50, começaremos por ele. O 20 é inserido na posição ij = 12. Depois, a célula posicionada abaixo (ij = 22) deve receber o valor da diferença entre a demanda na coluna e o valor inserido (20): 30-20=10.
Na coluna de oferta, o valor obtido (10) é subtraído do valor existente, resultando em 50 - 10 = 40.

Fábrica / CD	--	--	--	Oferta
--	80	20	--	(100 - 80 = 20)
--	--	10		(50 - 10 = 40)
Demanda	80	(30-20 = 10)	40	--

Passo 3

Inserir o valor 40 na célula ij = 13 (célula da linha em que foi realizado o cálculo). Como 40 - 40 = 0, o procedimento foi encerrado.

Fábrica / CD	--	--	--	Oferta
--	80	20	--	(100 - 80 = 20)
--	--	10	40	(50 - 10 = 40)
Demanda	80	(30-20 = 10)	40	--

Células preenchidas são variáveis básicas

x₁₁ = 80
x₁₂ = 20
x₁₂ = 10
x₃₂ = 40

Células não preenchidas (ou iguais a zero) são variáveis não básicas

x₁₃ = 0
x₂₁ = 0

Z_{(minimizar custo)} = 7 . x₁₁ + 4 . x₁₂ + 3 . x₁₃ + 3. x₂₁ + x₂₂ + 2 . x₂₃.
= 7 . 80 + 4 . 20 + 10 + 2 . 40 = 560 + 80 + 10 + 80 = 730,00

Custo mínimo = R$ 730,00

Fazer os exercícios da página 120, números 1 e 2. Resolver pelo método do canto Noroeste.

Resolução do exercício:

x_ij: quantidade a levar das minas "i" para fábricas "j".

Mina / Fábrica	Fábrica 1	Fábrica 2	Fábrica 3	Oferta
Mina 1	9	16	28	103
Mina 2	14	29	19	197
Demandas	71	133	96	--

Z_{(minimizar custo)} = 9 . x₁₁ + 16 . x₁₂ + 28 . x₁₃ + 14. x₂₁ + 29 . x₂₂ + 19 . x₂₃.

sujeito a:

oferta da mina 1:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 103

oferta da mina 2:

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 197

Demandas:

x₁₁ + x₂₁ = 71
x₁₂ + x₂₂ = 133
x₁₃ + x₂₃ = 96

Não negatividade

x_ij > 0

Mina / Fábrica	--	--	--	Oferta
--	71	32	--	(103 - 71 = 32)
--	71-71=0	133-32 =101	96	(197 - 101 = 96)
Demanda	71	133	96	--

Células preenchidas são variáveis básicas

x₁₁ = 71
x₁₂ = 32
x₂₂ = 101
x₃₂ = 96

Células não preenchidas (ou iguais a zero) são variáveis não básicas

x₁₃ = 0
x₂₁ = 0

Z_{(minimizar custo)} = 9 . x₁₁ + 16 . x₁₂ + 28 . x₁₃ + 14. x₂₁ + 29 . x₂₂ + 19 . x₂₃.
Z_{(minimizar custo)} = 9 . 71 + 16 . 32 + 29 . 101 + 19 . 96 = 5904,00

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

quinta-feira, 14 de junho de 2018

Pesquisa Operacional - Exercícios extra classe

Exercícios da página 86, tópico 5 de análise de sensibilidade.
Exercício 1 e Exercício 2.

Faça a Análise de Sensibilidade dos seguintes casos:

1)
Variáveis de decisão:

x₁: quantidade de P1 a ser produzida
x₂: quantidade de P2 a ser produzida

Função objetivo:
Maximizar: Lucro = 100 . x₁ + 120 . x₂

Restrições
R1: 2 . x₁ + 3 . x₂ ≤ 12
R1: 2 . x₁ + 1 . x₂ ≤ 8

Tabela com o resultado:

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Resolução:

Como a variável básica é x₂, nós iremos analisar a variação de uma unidade de x₁ nas demais variáveis básicas (S₂, x₂ e Lucro).

Primeira análise (S₂):

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo S₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:
S₂ + (-0,67) = 4
S₂ = 4 + 0,67 = 4,67
Logo, o novo valor de S₂= 4,67

ΔS₂ = 4,67 - 4 = 0,67

Logo, sobrará mais 0,67 unidade do recurso 2.

Segunda análise (x₂):

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo x₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:
x₂ + (1,67) = 5
x₂ = 5 - 1,67 = 3,33
Logo, o novo valor de S₂= 3,33

Δx₂ = 3,33 - 5 = - 1,67

Logo, será produzida -1,67 unidade de x₂.

Terceira análise (Lucro):

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo Lucro será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:
Lucro + 100 = 600
Lucro = 600 - 100 = 500
Logo, o novo valor de Lucro= 500

ΔLucro = 500 - 600 = -100

Logo, para se produzir mais uma unidade de x₁, o lucro será reduzido em 100 unidades monetárias.

Análise do lucro pela fórmula da função objetivo:

Maximizar: Lucro = 100 . x₁ + 120 . x₂
Lucro = 100 . 1 + 120 . 3,33

Lucro = 499,60

2)
Variáveis de decisão:

x₁: quantidade de jaquetas adultas femininas a produzir
x₂: quantidade de jaquetas adultas masculinas a produzir

Função objetivo:
Maximizar: Lucro = 300 . x₁ + 450 . x₂

Restrições
Demanda: x₁ ≤ 120
Demanda: x₂ = 90
Funcionários: 6 . x₁ + 9 . x₂ ≤ 360

Tabela com o resultado:

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	S₃	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Como a variável básica é x₂, nós iremos analisar a variação de uma unidade de x₁ nas demais variáveis básicas (x₂, S₁, S₂e Lucro).

Primeira análise (x₂):

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	S₃	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo x₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

x₂ + (0,67) = 40
x₂ = 40 - 0,67 = 39,33
Logo, o novo valor de x₂ = 39,33

Δx₂ = 39,33 - 40 = -0,67

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, haverá uma redução de 0,67 na produção de x₂.

Segunda análise (S₁):

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	S₃	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo S₁ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

S₁ + 1 = 120
S₁ = 120 - 1 = 119
Logo, o novo valor de S₁ = 119

ΔS₁ = 119 - 120 = -1

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, haverá uma redução de 1 unidade na sobra do recurso 1.

Terceira análise (S₂):

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	S₃	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo S₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

S₂ + (-0,67) = 50
S₂ = 50 - 0,67 = 49,33
Logo, o novo valor de S₂ = 49,33

ΔS₂ = 49,33 - 50 = -0,67

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, haverá uma redução de 0,67 unidades na sobra do recurso 2.

Terceira análise (Lucro):

Matriz Final

X₁	X₂	S₁	S₂	S₃	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo Lucro será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

Lucro + (0) = 18000
Lucro = 18000 - 0 = 18000
Logo, o novo valor de Lucro = 18000

ΔLucro = 18000 - 18000 = 0

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, não haverá alteração no lucro, ou seja, não haverá nem aumento nem diminuição do lucro.

Análise do lucro pela fórmula da função objetivo:

Maximizar: Lucro = 300 . x₁ + 450 . x₂
Lucro = 300 . 1 + 450 . 39,33

Lucro = 17999,50

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."