Questão 1) Nos gráficos abaixo, determine os limites laterais limx → 2+ f(x) e limx → 2- f(x) da função dada e verifique se limx → 2 f(x) existe.
[Res.]
A questão já deu o passo a passo para a própria resolução. Primeiro, deve-se calcular os limites laterais (visualizar no gráfico), tanto pela esquerda quanto pela direita do ponto em destaque na figura. Caso os limites laterais sejam iguais, haverá limite no ponto.
Gráfico 1)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = -2
limx → 2+ f(x) = 1
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Gráfico 2)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 4
limx → 2+ f(x) = 2
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Gráfico 3)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 2
limx → 2+ f(x) = 2
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = 2, pois os limites laterais são iguais para o ponto.
Gráfico 4)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 2
limx → 2+ f(x) = ∞
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Questão 2) Calcule cada um dos limites abaixo:
a) limx → 0 tg(x)/x
[Res.]
Pode-se observar que não é possível calcular diretamente o limite da função, pois tg(0)/0 é uma divisão por 0, o que não se pode realizar.
Então, é necessário ajustar a função de modo a poder realizar o cálculo do limite.
f(x) = tg(x) / x
f(x) = [sen(x) / cos(x)] / x
f(x) = sen(x) / [x . cos(x)]
f(x) = [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
-----
Agora vale um lembrete do Teorema do Primeiro Limite Fundamental:
limx → 0 sen(x)/x = 1
Ele é obtido a partir do uso do Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto), da forma descrita abaixo.
Consideremos a figura abaixo. Nela observa-se o arco AC, e os triângulos BOC e AOG, e o setor circular AOC.
Podemos dizer claramente que a área do triângulo BOC é menor que a área do setor circular AOC, que é menor que a área do triângulo AOG.
Considerando:
Área do triângulo BOC = AΔBOC
Área do setor circular AOC = ASCAOC
Área do triângulo AOG = AΔAOG
Assim:
AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG
A medida do segmento OC é conhecida, pois é o raio do ciclo trigonométrico, igual a 1.
A medida do segmento BC é o valor do seno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será sen(x).
A medida do segmento OB é o valor do cosseno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será cos(x).
A medida do segmento AG é o valor da tangente para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será tg(x).
A partir dos valores apresentados, podemos relacionar as áreas da maneira descrita abaixo.
Lembrando que:
* a área do triângulo é igual a base vezes a altura sobre dois: A = b . h / 2;
* e a área do setor circular é igual ao lado vezes o raio sobre dois, onde o lado L pode ser obtido a partir da multiplicação do ângulo (que é x) pelo raio (que é 1): A = L . R / 2, onde L = x . 1 = x. Logo A = x / 2
AΔBOC = cos(x) . sen(x) / 2
ASCAOC = x / 2
AΔAOG = 1 . tg(x) / 2 = tg(x) / 2 = (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG:
cos(x) . sen(x) / 2 ≤ x / 2 ≤ (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como está tudo dividido por 2, pode-se simplificar:
cos(x) . sen(x) ≤ x ≤ sen(x) / cos(x)
Invertendo-se tudo:
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ 1 / (sen(x) / cos(x))
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ cos(x) / sen(x)
Multiplicando-se todos os membros por sen(x):
1 / cos(x) ≥ (sen(x) / x) ≥ 1 / cos(x)
Aplicando-se o limite com o Teorema do Confronto, obtém-se:
limx → 0 1 / cos(x) ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ limx → 0 1 / cos(x)
1/1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1/1
1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1
Assim, "espremendo" limx → 0 (sen(x) / x) entre 1 e 1, obtém-se que:
limx → 0 sen(x) / x = 1
----
Retomando a resolução da questão
f(x) = [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
Vamos tentar agora solucionar a questão.
limx → 0 tg(x)/x = limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1 . (1 / 1)
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1 . 1
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1
Assim, encontra-se a solução da questão:
limx → 0 tg(x)/x = 1
b) limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
[Res.]
Se tentarmos resolver diretamente, obteremos para o denominador [x + sen(2x)] = 0 + sen (0) = 0. Assim, haverá divisão por 0, o que impossibilita encontrar o limite no ponto. Portanto, faz-se necessário modificar a função, de modo que ela permite encontrar o limite.
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
f(x) = [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
f(x) = [(x - sen(3x)) . 1/(3x)] / [(x + sen(2x)) . 1/(3x)]
f(x) = [(1/3 - sen(3x)/3x)] / [(1/3 + sen(2x)/3x)]
f(x) = [(1/3 - sen(3x)/3x) . (3/2)] / [(1/3 + sen(2x)/3x) . (3/2)]
f(x) = [(1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x))] / [(1/2 + sen(2x)/(2x))]
Pronto. Agora já deve ser possível calcular o limite. Vamos ver.
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)] = limx → 0 [(1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x))] / [(1/2 + sen(2x)/(2x))]
= [limx → 0 (1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x)] / [limx → 0 (1/2 + sen(2x)/(2x)] =
= [limx → 0 1/2 - limx → 0 (3/2) . limx → 0 sen(3x)/3x] / [limx → 0 1/2 + limx → 0 sen(2x)/(2x)]
= [1/2 - (3/2) . 1] / [1/2 + 1]
= [1/2 - 3/2] / [1/2 + 1]
= [(1-3)/2] / [(1+2)/2]
= (-2/2) / (3/2)
= -1 / (3/2)
= -2 /3
Assim, obtém-se o valor do limite para x = 0:
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)] = - 2 / 3
c) limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1)
[Res.]
Se tentarmos calcular o limite diretamente, obteremos um resultado do tipo -∞ / ∞, o que não é possível de calcular, pois não podemos determinar se os valores de infinito são iguais.
Assim, é preciso modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
Calculando por derivação é muito fácil:
f(x) = (1 - 2x³) / (x + 1)
f '(x) = -2 . 3 . x / 1 = -6 . x / 1 = -6 . x
Com x tendendo a ∞, o resultado será -6 . ∞ = -∞.
Agora vamos tentar calculando sem a derivada.
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1)
f(x) = (1 - 2x³) / (x + 1)
Precisamos nos concentrar em resolver o problema da divisão de - ∞ / ∞, que não é possível de calcular.
Se tirarmos o infinito do denominador será possível obter o limite da função. Para isso dividiremos os membros por x.
f(x) = [(1 - 2x³)/x] / [(x + 1)/x]
f(x) = [1/x - 2x²] / [1 + 1/x]
Calculando o limite:
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1) = limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = [1/∞ - 2∞²] / [1 + 1/∞]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = [0 - 2∞²] / [1 + 0]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - 2∞² / 1
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - 2∞²
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - ∞
Assim, obteve-se o limite da função:
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1) = - ∞
d) limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³)
[Res.]
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³)
Se tentarmos aplicar o limite diretamente, obteremos algo do tipo:
((-∞)² + (-∞) - 5) / (1 - 2(-∞) - (-∞)³) = -∞ / -∞, o que não é possível de calcular, pois não sabemos se os infinitos tem a mesma dimensão.
Assim, será necessário modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
Faremos uma tentativa dividindo o numerador e o denominador por 1 / x³.
f(x) = [(1/x³) . (x² + x - 5)] / [(1/x³) . (1 - 2x - x³)]
f(x) = [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1]
Agora, com a função modificada, vamos tentar aplicar o limite.
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³) = limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [1/-∞ + 1/(-∞)² - 5/(-∞)³] / [1/(-∞)³ - 2/(-∞)² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [0 + 1/∞² - 5/-∞³] / [1/-∞³ - 2/∞² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [0 + 0 - 0] / [0 - 0 - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = 0 / -1
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = 0
Assim:
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³) = 0
e) limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
[Res.]
Se tentarmos resolver o limite diretamente, iremos obter o seguinte:
(2 - (-∞)) / (7 + 6.(-∞)²)1/2 = ∞ / ∞, o que não é possível de calcular, pois não sabemos se os infinitos são iguais.
Assim, será necessário modificar a função, de modo a possibilitar o cálculo do limite.
f(x) = (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
Vamos tirar o infinito do numerador. Para isso, multiplicamos os dois membros por 1/x:
f(x) = (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x) . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x²)1/2 . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6.x²/x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(7/∞² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(0 + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = - 1 / (6)1/2
Assim, o limite da função é:
limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2 = - 1 / (6)1/2
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x) . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x²)1/2 . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6.x²/x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6)1/2]
Agora é possível calcular o limite da função.
limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2 = limx → -∞ [2/x - 1] / [(7/x² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [2/(-∞) - 1] / [(7/(-∞)² + 6)1/2]limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(7/∞² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(0 + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = - 1 / (6)1/2
Assim, o limite da função é:
limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2 = - 1 / (6)1/2
f) limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1)
[Res.]
Se tentarmos calcular o limite diretamente, iremos encontrar uma divisão por 0, o que não é possível de calcular. Assim, será necessário modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1)
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1)
Realizando a divisão obtemos
Conforme a divisão:
(x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Então:
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Logo:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = limx → 1 x² + x + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1² + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1 + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 3
Assim, obteve-se a resposta da questão:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = 3
Questão 3) Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de f(x) = (x² + 1) / (x² - 1) e esboce seu gráfico.
[Res.]
Assíntotas verticais
As assíntotas verticais ocorrem quando:
(x² - 1) = 0
x² = 1
x = -1 ou x = +1
Assíntotas horizontais
As assíntotas horizontais ocorrem quando a função tende para - ∞ e + ∞. Assim, é necessário calcular o limite da função quando x → - ∞ e quando x → + ∞.
limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1)
Se formos tentar resolver diretamente chegaremos à seguinte situação no limite: ∞ / ∞. Dá vontade de dizer que isso é igual a 1, mas não necessariamente é, pois não conhecemos os valores exatos dos infinitos para dizer que eles são iguais. Só podemos dizer que são número muito grandes, mas não conseguimos dizer se são iguais.
Assim, precisamos modificar a função de modo que possibilite calcular o limite.
f(x) = (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = (1 / 1) . (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = [(1 / x²) / (1 / x²)] . [(x² + 1) / (x² - 1)]
f(x) = [(1 / x²) . (x² + 1)] / [(1 / x²) . (x² - 1)]
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Calculando o limite quando x tende a + ∞:
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Como limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → + ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = 1, a assíntota horizontal está em y = 1.
Gráfico da função
O gráfico da função é mostrado abaixo (obtido com o auxílio do GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing). Observa-se claramente que quando os valores de x tendem a - ∞ e + ∞ o valor de y tende a 1, mas sem tocar a linha de y = 1 (assíntota horizontal). E quando os valores de x tendem a -1 e a +1, os valores de y tendem a + ∞, mas sem chegarem aos valores de x = -1 e x = +1 (assintotas verticais).
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
[Res.]
Se tentarmos calcular o limite diretamente, iremos encontrar uma divisão por 0, o que não é possível de calcular. Assim, será necessário modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1)
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1)
Realizando a divisão obtemos
 |
| Divisão de (x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1 |
(x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Então:
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Logo:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = limx → 1 x² + x + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1² + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1 + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 3
Assim, obteve-se a resposta da questão:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = 3
Questão 3) Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de f(x) = (x² + 1) / (x² - 1) e esboce seu gráfico.
[Res.]
Assíntotas verticais
As assíntotas verticais ocorrem quando:
(x² - 1) = 0
x² = 1
x = -1 ou x = +1
Assíntotas horizontais
As assíntotas horizontais ocorrem quando a função tende para - ∞ e + ∞. Assim, é necessário calcular o limite da função quando x → - ∞ e quando x → + ∞.
limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1)
Se formos tentar resolver diretamente chegaremos à seguinte situação no limite: ∞ / ∞. Dá vontade de dizer que isso é igual a 1, mas não necessariamente é, pois não conhecemos os valores exatos dos infinitos para dizer que eles são iguais. Só podemos dizer que são número muito grandes, mas não conseguimos dizer se são iguais.
Assim, precisamos modificar a função de modo que possibilite calcular o limite.
f(x) = (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = (1 / 1) . (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = [(1 / x²) / (1 / x²)] . [(x² + 1) / (x² - 1)]
f(x) = [(1 / x²) . (x² + 1)] / [(1 / x²) . (x² - 1)]
f(x) = (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²)
Agora, vamos ao cálculo do limite da função modificada.
Calculando o limite quando x tende a - ∞:
limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²)
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = [1 + 1 / (- ∞)²] / [1 - 1 / (- ∞)²]
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 1 / ∞²) / (1 - 1 / ∞²)
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 0) / (1 - 0)
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1 / 1limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Calculando o limite quando x tende a + ∞:
limx → + ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²)
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = [1 + 1 / (+ ∞)²] / [1 - 1 / (+ ∞)²]
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 1 / ∞²) / (1 - 1 / ∞²)
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 0) / (1 - 0)
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1 / 1limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Como limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → + ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = 1, a assíntota horizontal está em y = 1.
Gráfico da função
O gráfico da função é mostrado abaixo (obtido com o auxílio do GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing). Observa-se claramente que quando os valores de x tendem a - ∞ e + ∞ o valor de y tende a 1, mas sem tocar a linha de y = 1 (assíntota horizontal). E quando os valores de x tendem a -1 e a +1, os valores de y tendem a + ∞, mas sem chegarem aos valores de x = -1 e x = +1 (assintotas verticais).
 |
| Gráfico da função obtido com o auxílio do Geo Gebra |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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