Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h59min
Término da aula: 20h18min
Taxa de aproveitamento: 87,77%
Observação: demora frequente para início das aulas. Discussões fora da matéria durante a aula.
Exercícios (taxa)
Um tanque de água tem forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura 4m. Se a água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m³/min, encontre a taxa na qual o nível da água está subindo quando a água está a 3m de profundidade.
[Res.]
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| Esquema do cone circular, obtido com o Krita. |
Por semelhança de triângulos:
2/4 = r/h
Assim:
r = 2h/4
r = h/2
Encontrando o volume do cone apenas em função do raio:
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . (h/2)² . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h²/4 . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h³/4
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
Derivando a função do volume:
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
dv/dt = 1/12 . 𝜋 . 3h² . dh/dt
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
Como a taxa de variação do volume é conhecida:
dv/dt = 2m³/min
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
2 = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
8 / (𝜋 . h²) = dh/dt
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
Quando h = 3m de profundidade, a taxa de variação da altura da água será:
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
dh/dt = 8 / (𝜋 . 9)
dh/dt = 8 / (9𝜋)
Linearização
Às vezes, podemos aproximar funções complicadas usando funções mais simples que fornecem a precisão desejada para aplicações específicas além de serem mais fáceis de trabalhar.
As linearizações são um tipo de função de aproximação; se baseiam nas retas tangentes.
Exemplo:
Considere a função y = x². A reta tangente ao seu gráfico no ponto P(1, 1) fica perto da curva na vizinhança de P.
Assim, próximos de P, os valores de y ao longo da tangente fornecem uma boa aproximação para os valores de y na curva.
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| Gráfico de y = x², obtido com o GeoGebra e o Krita. |
y - y0 = m . (x - x0)
y - 1 = m . (x - 1)
Em x = 1, m = 2 . 1 = 2:
y - 1 = 2 . (x - 1)
y = 2x - 2 + 1
y = 2x - 1
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Encontrando a derivada da função y = x²:
y = x²
y' = 2x
y'(1) = 2 . 1 = 2
Se temos x = 1,01:
y(1,01) = (1,01)² = 1,0201
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(1,01) = 2 . (1,01) - 1 = 2,02 - 1 = 1,02
Definição:
Se f é diferenciável em x = a, então a função aproximação é:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Exercícios:
1) Determine a Linearização de f(x) = ∛(x - 2), quando x = 1.
[Res.]
f(x) = ∛(x - 2)
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| Gráfico de f(x) = ∛(x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 1:
* Encontrando o valor da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(1) = ∛(x - 2)
= ∛(1 - 2)
= ∛(-1)
= -1
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(x) = (x - 2)1/3
f '(x) = 1/3 . (x - 2)-2/3
f '(x) = 1/3 . 1/∛[(x - 2)2]
f '(x) = 1 / {3∛[(x - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(1 - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(-1)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[1]}
f '(1) = 1 / {3 . 1}
f '(1) = 1 / {3}
f '(1) = 1 / 3
Encontrando a linearização da função quando x = 1:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . (x - 1)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . x - 1/3
Linearização(x) = -4/3 + x/3
2) Determine a Linearização de y = ln (1 + x) quando x = 0.
[Res.]
y = ln (1 + x)
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| Gráfico de y = ln (1 + x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Seja y = f(x):
f(x) = ln (1 + x)
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 0:
* Encontrando o valor da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
f(0) = ln 1 = 0
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
Lembrando que:
f(u) = ln u
f '(u) = 1/u . u'
f(x) = ln (1 + x)
f '(x) = 1 / (1 + x) . 1
f '(x) = 1 / (1 + x)
f '(0) = 1 / (1 + 0)
f '(0) = 1 / 1
f '(0) = 1
Encontrando a linearização da função quando x = 0:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = 0 + 1 . (x - 0)
Linearização(x) = 1 . (x - 0)
Linearização(x) = x - 0
Linearização(x) = x
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
