3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

1) Considere f(x) = 1 / (x - 1). Determine o valor de x, para o qual (f ° f)(x) = 1.
[Res.]
f(f(x)) = 1 / ((1 / (x - 1)) - 1) = 1 / ((1 - x + 1) / (x-1)) = 1 / ((2-x)/(x-1))
Como f(f(x)) = 1, logo:
1 / ((2-x)/(x-1)) = 1
1 = (2-x)/(x-1)
x - 1 = 2 - x
2x = 3
x = 3/2

2) Se f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x², determine o valor de f(g(-1)) - g(f(-1)).
[Res.]
f(g(-1)) = 3(2x²) + 1 = 6x² + 1 = 6(-1)² + 1 = 7
g(f(-1)) = 2(3x + 1)² = 2(3(-1) + 1)² = 2 (-3+1)² = 2 (-2)² = 2 . 4 = 8
Logo:
f(g(-1)) - g(f(-1)) = 7 - 8 = -1

3) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1. Determine as raízes da equação f(g(x)) = 0.
[Res.]
f(g(x)) = 2(x² - 1) + 1 = 2x² - 2 + 1 = 2x² - 1
Fazendo 2x² - 1 = 0, obtém-se:
x1 = (-0 + (0 +8)^(1/2)) / 4 = 2(2)^(1/2)/4 = (2)^(1/2)/2
x2 = (-0 - (0 +8)^(1/2)) / 4 = -2(2)^(1/2)/4 = -(2)^(1/2)/2


4) Determine as funções compostas (f ° g)(x), (g ° f)(x) com seus respectivos domínios onde:
a) f(x) = x² - 3x e g(x) = (x + 2)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = ((x + 2)^(1/2))² - 3((x + 2)^(1/2))
= x + 2 - 3((x + 2)^(1/2))
Domínio = [-2, ∞[

g(f(x)) = ((x² - 3x) + 2)^(1/2)
= (x² - 3x + 2)^(1/2)
= ((x-2)(x-1))^(1/2)
Domínio = ]-∞, 1] U [2, ∞[

b) f(x) = (x-2)^(1/2) e g(x) = (x + 5)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (((x + 5)^(1/2))-2)^(1/2)
Domínio = [-1, ∞[

g(f(x)) = (((x-2)^(1/2)) + 5)^(1/2)
Domínio = [2, ∞[

c) f(x) = (25-x²)^(1/2) e g(x) = (x - 3)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (25-((x - 3)^(1/2))²)^(1/2)
= (28 - x)^(1/2))²)^(1/2)
Domínio = [3, 28]

g(f(x)) = (((25-x²)^(1/2)) - 3)^(1/2)
Domínio = [-4, 4]

d) f(x) = x / (3x + 2) e g(x) = 2/x
[Res.]
f(g(x)) = (2/x) / (3(2/x) + 2)
= (2/x)/((6+2x)/x) = 2/x * x/(6+2x) = 1 / (3+x)
Domínio = IR - {0, -3}

g(f(x)) = 2/(x / (3x + 2))
= (6x + 4) / x
Domínio = IR - {0, -2/3}


5) Sabendo que f(x) = x+2 e f(g(x)) = 2x - 3, determine a função g(x).
[Res.]
f(x) = x + 2
Fazendo g(x) = y, f(g(x)) = y + 2
Como f(g(x)) = 2x -3, logo:
2x - 3 = y + 2
y = 2x - 5

Logo, g(x) = 2x - 5


6) Sendo g(x) = x - 7 e f(g(x)) = 3x - 1, determine a função f(x).
[Res.]
De f(g(x)) = 3x - 1:
x = (f(g(x)) + 1) / 3

g(x) = (f(g(x)) + 1)/3 - 7 = (f(g(x)) + 1 - 21) / 3
3*g(x) = f(g(x)) -20
f(g(x)) = 3g(x) + 20

Logo:
f(x) = 3x + 20

7) Determine uma forma funcional composta para y em cada caso:

a) y = (x² + 3x)^(1/3)
[Res.]
y = u^(1/3)
com u = x^2 + 3x

b) y = 1 / (x - 3)^4
[Res.]
y = 1 / u^4
com u = x - 3

c) y = (x^4 - 16)^(1/4)
[Res.]
y = u^(1/4)
com u = x^4 - 16

d) y = 4 + (x^2 + 1)^(1/2)
[Res.]
y = 4 + u^(1/2)
com u = x^2 + 1

e) y = (x^4 - 2.x^2 + 5)^5
[Res.]
y = u^5
com u = x^4 - 2.x^2 + 5

f) y = ((x + 4)^(1/2) - 2) / ((x + 4)^(1/2) + 2)
[Res.]
y = (u - 2) / (u + 2)
com u = v^(1/2)
com v = (x+4)

g) y = 1 / (x² + 3x - 5)^3
[Res.]
y = 1 / u^3
com u = x² + 3x - 5

h) y = x^(1/3) / (1 + x^(1/3))
[Res.]
y = u / (1 + u)
com u = x^(1/3)


8) Sejam f(x) = x² + 3x + 4 e g(x) = ax + b duas funções. Determine as constantes reais a e b para que (f ° g) (x) = (g ° f) (x) para todo x real.
[Res.]
(f ° g) (x) = (ax + b)² + 3(ax + b) + 4
(g ° f) (x) = a(x² + 3x + 4) + b

Fazendo (f ° g) (x) = (g ° f) (x):
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b

a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² + 3b + 4 = ax² + 4a + b

Comparando-se os termos, tem-se:
2abx = 0
a²x² = ax², logo a² = a, e, portanto, a = 1
b² + 3b + 4 = 4a + b

Com a = 1, tem-se:
b² + 3b + 4 = 4a + b
b² + 3b + 4 = 4 . 1 + b
b² + 2b = 0
b (b + 2) = 0
b = 0 ou b = -2

Testando a = 1 e b = 0:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + 0)² + 3(1 . x + 0) + 4 = 1(x² + 3x + 4) + 0
x² + 3x + 4 = x² + 3x + 4, o que é verdadeiro!

Testando a = 1 e b = -2:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + (-2))² + 3(1 . x + (-2)) + 4 = 1 . (x² + 3x + 4) + (-2)
(x -2)² + 3(x - 2) + 4 = x² + 3x + 2
x² - 4x + 4 + 3x - 6 + 4 = x² + 3x + 2
x² - x + 2 = x² + 3x + 2, o que não é verdadeiro!

Logo, a resposta é:
a = 1 e b = 0.

9) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x - 1, e g(x) = ax + b. Sabendo que f(g(x)) = -2x, determine a função g(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (g(x)) - 1

Como f(g(x)) = -2x:
(g(x)) - 1 = -2x
Assim:
g(x) = -2x + 1

10) Se f(x) = 2 / (2x + 5) determine o valor de x de modo que f(f(x)) = 2.
[Res.]
f(f(x)) = 2 / (2(2 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (4 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (((4 + 5 (2x +5))) / (2x+5))
= 2 / ((4 + 10x + 25) / (2x + 5))
= (4x + 10) / (10x + 29)

Como f(f(x)) = 2, logo:
(4x + 10) / (10x + 29) = 2
(4x + 10) = 2 . (10x + 29)
4x + 10 = 20x + 58
16x = -48
x = -48 / 16
x = -3


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.