Cálculo 1 - 02/04/2019

Cálculo 1 - 02/04/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 77,77%


Exercícios
1) lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (5 - √x) / (25 - x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
= lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)] . [(5 + √x) / (5 + √x)]
= lim_x→25 (25 - x) / [(25 - x) . (5 + √x)]
= lim_x→25 1 / (5 + √x)
= 1 / (5 + 5)
= 1 /10


2) lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = x² / (√(x² + 12) - √12), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
= lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)] . {[(√(x² + 12) + √12)] / [√(x² + 12) + √12)]}
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / [(x² + 12) - 12]
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / x²
= lim_x→0 √(x² + 12) + √12
= √(0² + 12) + √12
= √12 + √12
= 2 . √12



3) lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}

[Res.]

Gráfico de f(x) = [sen(5x) . cotg(8x)] / [x . cotg(10x)], obtido com o GeoGebra e o Krita.

Lembrando que :
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1.
lim_x→0 cos(x) = cos(0) = 1.


lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
= lim_y→0 {[sen(5y) . cos(8y)/sen(8y)] / [y . cos(10y)/sen(10y)]}
= lim_y→0 {sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . 1/y . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/5 . 1/y . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/(5y) . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) . (10y)/cos(10y)]} 
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [(10y) . sen(10y)/(10y) . 1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y) . [1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 5/4 . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {5 . 5/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {25/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 25/4 . lim_y→0 [sen(5y)/(5y)] . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 {1 / [sen(8y)/(8y)]} . lim_y→0 [sen(10y)/(10y)]
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 1 / lim_y→0 [sen(8y)/(8y)] . 1
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . 1 / 1 . 1
= 25/4 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)]
= 25/4 . lim_y→0 cos(8y) / lim_y→0 cos(10y)
= 25/4 . 1 / 1
= 25/4


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.