Cálculo I - 10/04/2019

Cálculo I - 10/04/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.


Continuação do assunto de Continuidade

Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)

Gráfico de f(x) = √(x - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.



Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se lim_x→a⁺ f(x) = f(a).


Uma função f é contínua à esquerda de "a" se lim_x→a^- f(x) = f(a).



Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.

Gráfico de f(x) = √(1 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.


Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Gráfico de f(x) = √(4 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Devemos mostrar que f(x) é contínua para todos os pontos do intervalo [-2, 2].

* -2 < a < 2:
lim_x→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)

Logo, f é contínua em ]-2, 2[.

* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
lim_x→-2⁺ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.

lim_x→2^- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.

Logo, f é contínua em [-2, 2].


Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:

1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) f^r/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.


As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas


Exercício: 
A função y = √x é contínua. Prove.

[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.

Gráfico de f(x) = √x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
lim_x→0⁺ √x = √0 = 0
lim_x→∞ √x = ∞

Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.



Exercícios:

1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.

[Res.]

Gráfico de h(x) = ∛(x² + 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.

Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.

lim_x→∞ ∛(x² + 2) = ∞
lim_x→-∞ ∛(x² + 2) = ∞

Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.


2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.

[Res.]

Gráfico de f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]|, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.

Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.

Limite para ∞:
lim_x→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|

= lim_x→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= lim_x→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= lim_x→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= lim_x→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |lim_x→∞ [sen(x)/x] / lim_x→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→∞ [sen(x)/x] / [lim_x→∞ 1 + lim_x→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0


Limite para -∞:
lim_x→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= lim_x→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= lim_x→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |lim_x→-∞ [sen(x)/x] / lim_x→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→-∞ [sen(x)/x] / [lim_x→-∞ 1 + lim_x→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0

Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.