Teorema do Primeiro Limite Fundamental

Teorema do Primeiro Limite Fundamental
lim_{x → 0} sen(x)/x = 1

Ele é obtido a partir do uso do Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto), da forma descrita abaixo.

Consideremos a figura abaixo. Nela observa-se o arco AC, e os triângulos BOC e AOG, e o setor circular AOC.
Podemos dizer claramente que a área do triângulo BOC é menor que a área do setor circular AOC, que é menor que a área do triângulo AOG.
Considerando:
Área do triângulo BOC = A_ΔBOC
Área do setor circular AOC = A_SCAOC
Área do triângulo AOG = A_ΔAOG

Assim:
A_ΔBOC ≤ A_SCAOC ≤ A_ΔAOG

A medida do segmento OC é conhecida, pois é o raio do ciclo trigonométrico, igual a 1.

A medida do segmento BC é o valor do seno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será sen(x).

A medida do segmento OB é o valor do cosseno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será cos(x).

A medida do segmento AG é o valor da tangente para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será tg(x).

A partir dos valores apresentados, podemos relacionar as áreas da maneira descrita abaixo.

Lembrando que:
* a área do triângulo é igual a base vezes a altura sobre dois: A = b . h / 2;
* e a área do setor circular é igual ao lado vezes o raio sobre dois, onde o lado L pode ser obtido a partir da multiplicação do ângulo (que é x) pelo raio (que é 1): A = L . R / 2, onde L = x . 1 = x. Logo A = x / 2

A_ΔBOC = cos(x) . sen(x) / 2

A_SCAOC = x / 2

A_ΔAOG = 1 . tg(x) / 2 = tg(x) / 2 = (1/2) . (sen(x) / cos(x))

Como A_ΔBOC ≤ A_SCAOC ≤ A_ΔAOG:

cos(x) . sen(x) / 2 ≤ x / 2 ≤ (1/2) . (sen(x) / cos(x))

Como está tudo dividido por 2, pode-se simplificar:
cos(x) . sen(x) ≤ x ≤ sen(x) / cos(x)

Invertendo-se tudo:
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ 1 / (sen(x) / cos(x))
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ cos(x) / sen(x)

Multiplicando-se todos os membros por sen(x):
1 / cos(x) ≥ (sen(x) / x) ≥ 1 / cos(x)

Aplicando-se o limite com o Teorema do Confronto, obtém-se:
lim_{x → 0} 1 / cos(x) ≥ lim_{x → 0} sen(x) / x ≥ lim_{x → 0} 1 / cos(x)
1/1 ≥ lim_{x → 0} sen(x) / x ≥ 1/1
1 ≥ lim_{x → 0} sen(x) / x ≥ 1

Assim, "espremendo" lim_{x → 0} (sen(x) / x) entre 1 e 1, obtém-se que:
lim_{x → 0} sen(x) / x = 1

Referência: http://dcm.ffclrp.usp.br/~jair/listas/Aula_jmaaFundLim.pdf


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.