Cálculo 1 - 30/04/2019

Cálculo 1 - 30/04/2019

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h54min
Taxa de aproveitamento: 75min / 90min = 83,33%

Observações:
Nota minha: explicações superficiais, sem aprofundamentos e análises dos fundamentos matemáticos.


Regra da Cadeia


Utillizada para calcular derivadas de funções compostas, tais como:
y = ∛(3x² - 9x)
y = sen (2x +1)
y = (2x² - 3x + 1)⁷

Teorema:
Se f e g são diferenciáveis, então F = fog é diferenciável e:
F'(x) = f '(g(x)) . g'(x)

ou se:

y = f(u)
u = g(x)

dy/dx = dy/du . du/dx

Exemplo:
1) Determine f'(x) e f(x) = (x² - 3x - 8)³

Se y = (x² - 3x - 8)³ podemos escrever:
y = u³
u = x² - 3x - 8

f '(x) = dy/dx = dy/du . du/dx = 3 (x² - 3x - 8)² . (2x - 3)


Exemplo:
Derive y = cos (t² + 1) em relação a t.

y = cos (u)
u = t² + 1

dy/dt = dy/du . du/dt = -sen (t² + 1) . (2t)

dy/dt = - 2t . sen (t² + 1)


Regras da derivação:
1) Derivada da função constante:
d/dx (c) = 0

Gráfico de y =3, com inclinação igual a 0, obtido com auxílio do GeoGebra

2) Regra da Potência:
d/dx (xⁿ) = n . x^n-1


3) Regra do Produto:
A derivada de um produto de duas funções não é o produto de duas duas derivadas.

Exemplo:
f(x) = x⁸
f '(x) = 8x⁷

Por outro lado, podemos escrever:
f(x) = x³ . x⁵
(x³)' = 3x²
(x⁵)' = 5x⁴

(x³)' . (x⁵)' = 3x² . 5x⁴ = 15x⁶
(x8)' = (x³ . x⁵)' ≠ (x³)' . (x⁵)'

Se f e g são funções diferenciáveis, então:
d/dx [f(x) . g(x)] = d/dx [f(x)] . g(x) + d/dx [g(x)] . f(x)


Exemplo:
Calcule a derivada de f(x) = x⁸, usando a regra do produto e a igualdade f(x) = x³ . x⁵.

(x⁸)' = (x³ . x⁵)' = (x³)' . x⁵ + x³ . (x⁵)'
(x⁸)' = (x³ . x⁵)' = 3x² . x⁵ + x³ . 5x⁴
(x⁸)' = (x³ . x⁵)' = 3x⁷ + 5x⁷
(x⁸)' = (x³ . x⁵)' = 8x⁷


Exercícios:
Se k(x) = (2x² - 4x + 1) . (6x - 5)
f(x) = (2x² - 4x + 1)
g(x) = (6x - 5)

[Res.]
seja:
f(x) = u ⇒ u' = 4x - 4
g(x) = v ⇒ v' = 6

k'(x) = u' . v + v' . u
k'(x) = (4x - 4) . (6x - 5) + 6 . (2x² - 4x + 1)
= 24x² - 20x - 24x + 20 + 12x² - 24x + 6
= 36x² - 68x + 26
= 2 . (18x² - 34x +13)


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.