Cálculo 1 - 26/04/2019

Cálculo 1 - 26/04/2019

Previsão de aula: 18h45min 20h15min
Início da aula: 18h52min
Encerramento: 20h15min
Taxa de aproveitamento: 83min / 90min = 92,22%


Exercícios:
Use a derivada via limite para calcular a derivada da função:

a) f(x) = 4 - √(x + 3)

lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h

lim_h→0 {4 - √(x + h + 3) - [4 - √(x + 3)]} / h
lim_h→0 [- √(x + h + 3) + √(x + 3)] / h

lim_h→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)] / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
lim_h→0 [x + 3 - (x + h + 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
lim_h→0 -h / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]} = -1 / [√(x + 3) + √(x + 3)]
= -1 / [2√(x + 3)]


b) f(x) = (x + 1) / (2 - x)

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h

lim_h→0 [(x + h + 1) / (2 - x - h) - (x + 1) / (2 - x)] / h

lim_h→0 [(x + h + 1) . (2 - x) - (x + 1) . (2 - x - h)] / [(2 - x - h) . (2 - x)] / h

lim_h→0 [2x - x² + 2h - xh + 2 - x - (2x - x² - xh + 2 - x - h)] / [h . (4 - 2x - 2x + x² - 2h + xh)]

lim_h→0 (3h) / [h . (4 - 2x - 2x + x² - 2h + xh)]

lim_h→0 3 / [(2-x)² - h . (2 - x)] = 3 / (2 - x)²


c) f(x) = cos (3x)

[Res.]

lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h


Como f(x) trata-se de cos(3x):

lim_h→0 {cos [3 (x + h)] - cos (3x)} / h
lim_h→0 [cos (3x + 3h) - cos (3x)] / h

Utilizando a seguinte relação trigonométrica:
cos (A + B) = cos (A) . cos (B) - sen (A) . sen (B)

Encontra-se:
lim_h→0 [(cos (3x) . cos (3h) - sen (3x) . sen (3h) - cos (3x)] / h

Desenvolvendo:
lim_h→0 [(cos (3x) . cos (3h) - sen (3x) . sen (3h)) - cos (3x)] / h
lim_h→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) - sen (3x) . sen (3h)] / h


Utilizando as seguintes relações trigonométrica de limites:

lim_h→0 [(cos (h) - 1) / h] = 0 e lim_h→0 [sen (h) / h] =1

Encontra-se:
lim_h→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) - sen (3x) . sen (3h)] / h
= lim_h→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) / h  - sen (3x) . sen (3h) / h]
= lim_h→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3 . h)  - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3 . h)]
= lim_h→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3h)  - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3h)]
= lim_h→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3h)  - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3h)]
= lim_h→0 [3 . cos (3x)] . lim_h→0 [ (cos (3h) - 1) / (3h)]  - lim_h→0 [3. sen (3x)] . lim_h→0 [sen (3h) / (3h)]
= lim_h→0 [3 . cos (3x)] . 0  - lim_h→0 [3. sen (3x)] . 1
= 0 - lim_h→0 [3. sen (3x)]
= - lim_h→0 [3. sen (3x)]
= - 3 . lim_h→0 [sen (3x)]
= - 3 . 0
= 0

referência consultada:
<http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/solu/DefDerSol.html#SOLUTION%206>


d) f(x) = 5x² - 3x + 7

[Res.]

lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 {[5(x+h)² - 3(x+h) + 7] - (5x² - 3x + 7)} / h
lim_h→0 {[5(x² + 2 xh + h²) - 3x - 3h + 7] - 5x² + 3x - 7} / h
lim_h→0 {[5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7] - 5x² + 3x - 7} / h
lim_h→0 {5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7 - 5x² + 3x - 7} / h
lim_h→0 {5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7 - 5x² + 3x - 7} / h
lim_h→0 {10 xh + 5h² - 3h} / h
lim_h→0 h(10 x + 5h - 3) / h
lim_h→0 10x + 5h - 3 = 10x + 5 . 0 - 3 = 10x - 0 - 3 = 10x - 3


e) f(x) = 2x . e^x + 3x (resolução pendente)

[Res.]

lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [2(x+h) . e^(x+h) + 3(x+h) - (2x . e^x + 3x)] / h
lim_h→0 [2(x+h) . e^x . e^h + 3x + 3h - 2x . e^x - 3x] / h
lim_h→0 [2x . e^x . e^h + 2h . e^x . e^h + 3h - 2x . e^x] / h
lim_h→0 [2x . e^x . (e^h - 1) + h . (2 . e^x . e^h + 3)] / h

lim_h→0 [2x . e^x . (e^h - 1)] / h + lim_h→0 [h . (2 . e^x . e^h + 3)] / h
lim_h→0 [2x . e^x . (e^h - 1)] / h + lim_h→0 (2 . e^x . e^h + 3)

Como é o h que está em evidência no limite:
lim_h→0 [2x . e^x . (e^h - 1)] / h + lim_h→0 (2 . e^x . e^h + 3)

Existe um limite fundamental que podemos aplicar aqui (conforme a fonte consultada, citada abaixo):

lim_x→0 [(a^x - 1) / x] = ln a.

Utilizando o limite fundamental, podemos continuar:
2x . e^x . lim_h→0 [(e^h - 1)] / h + lim_h→0 (2 . e^x . e^h + 3)

2x . e^x . ln (e) + 2 . e^x . e⁰ + 3
2x . e^x . 1 + 2 . e^x . 1 + 3
2x . e^x + 2 . e^x + 3


Fonte consultada: https://www.dicasdecalculo.com.br/resolvendo-derivadas-usando-a-definicao/
Gabarito: 2x. e^x + 2e^x + 3


Exercício - lista disponível na plataforma ESO

Questão 1)
Calcule a derivada da função dada usando definição de limites
a) f(x) = 3
b) f(x) = -5x
c) f(x) = 3 + 2/3 . x
d) f(x) = 2 . x² + x - 1
e) f(x) = x³ - 12x
f) f(x) = 1 / (x - 1)
g) f(x) = √(x + 1)
h) f(x) = (2 + x) / (3 - x)
i) f(x) = x^1/3
j) f(x) = 4 - √(x + 3)
k) f(x) = (2 + x) / (9 - x)


Gabarito
a) 0
b) -5
c) 2/3
d) 4x + 1
e) 3x² - 12
f) -1 / (x - 1)²
g) 1/ (2 . √(x + 1))
h) 5 / (3 - x)²
i) 1 / 3x^2/3
j) -1 / [2 . √(x + 3)]
k) 11 / (9 - x)²


Resoluções:
a) f(x) = 3

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [3 - 3] / h
lim_h→0 0 / h
lim_h→0 0 = 0 


b) f(x) = -5x

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [-5(x + h) - (-5x)] / h
lim_h→0 [-5x - 5h + 5x] / h
lim_h→0 [- 5h] / h
lim_h→0 - 5 = -5 



c) f(x) = 3 + 2/3 . x

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [3 + 2/3 . (x+h) - (3 + 2/3 . x)] / h
lim_h→0 [3 + 2/3 . x + 2/3 . h - 3 - 2/3 . x] / h
lim_h→0 [2/3 . h] / h
lim_h→0 2/3 = 2/3



d) f(x) = 2 . x² + x - 1

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [2 . (x+h)² + (x+h) - 1 - (2 . x² + x - 1)] / h
lim_h→0 [2 . (x² + 2xh + h²) + (x + h) - 1 - (2 . x² + x - 1)] / h 
lim_h→0 [2x² + 4xh + 2h² + x + h - 1 - 2x² - x + 1] / h
lim_h→0 [4xh + 2h² + h] / h
lim_h→0 h(4x + 2h + 1) / h
lim_h→0 4x + 2h + 1 = 4x + 2.0 + 1 = 4x + 1


e) f(x) = x³ - 12x

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [(x+h)³ - 12(x+h) - (x³ - 12x)] / h
lim_h→0 [x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - 12x -12h - x³ + 12x] / h
lim_h→0 [3x²h + 3xh² + h³ - 12h] / h
lim_h→0 h(3x² + 3xh + h² - 12) / h
lim_h→0 3x² + 3xh + h² - 12 = 3x² + 3x . 0 + 0² - 12 = 3x² - 12


f) f(x) = 1 / (x - 1)

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [1 / ((x+h) - 1) - (1 / (x - 1))] / h
lim_h→0 [1 / (x + h - 1) - (1 / (x - 1))] / h

lim_h→0 [(x - 1) - (x + h - 1)] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
lim_h→0 [x - 1 - x - h + 1] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
lim_h→0 [- h] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
lim_h→0 - 1 / [(x + h - 1) . (x - 1)]
lim_h→0 - 1 / [x² - x + xh - h -x + 1]
lim_h→0 - 1 / [x² - 2x + xh - h + 1] = - 1 / [x² - 2x + x . 0 - 0 + 1]
= - 1 / [x² - 2x + 1] = -1 / (x - 1)²


g) f(x) = √(x + 1)

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [√((x+h) + 1) - (√(x + 1))] / h
lim_h→0 [√(x + h + 1) - (√(x + 1))] / h
lim_h→0 [√(x + h + 1) - (√(x + 1))] / h . [√(x + h + 1) + (√(x + 1))] / [√(x + h + 1) + (√(x + 1))]
lim_h→0 [(x + h + 1) - (x + 1)] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
lim_h→0 [x + h + 1 - x - 1] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
lim_h→0 [h] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
lim_h→0 1 / [√(x + h + 1) + √(x + 1)]
= 1 / [√(x + 0 + 1) + (√(x + 1))]
= 1 / [√(x + 1) + √(x + 1)]
 = 1 / [2√(x + 1)]


h) f(x) = (2 + x) / (3 - x)

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [(2 + (x+h)) / (3 - (x+h)) - ((2 + x) / (3 - x))] / h
lim_h→0 {[(2 + x + h) / (3 - x - h)] - [(2 + x) / (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[(2 + x + h) . (3 - x) - (2 + x) . (3 - x - h)] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[6 - 2x + 3x - x² + 3h - xh - (6 - 2x - 2h + 3x - x² - xh)] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[6 - 2x + 3x - x² + 3h - xh - 6 + 2x + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[-2x + 3x - x² + 3h - xh + 2x + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[3x - x² + 3h - xh + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[- x² + 3h - xh + 2h + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[3h - xh + 2h + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[3h + 2h] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 {[5h] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
lim_h→0 5 / [(3 - x - h) . (3 - x)]
= 5 / [(3 - x - 0) . (3 - x)]
= 5 / [(3 - x) . (3 - x)]
= 5 / (3 - x)²


i) f(x) = x^1/3
[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h

lim_h→0 [(x+h)^1/3 - (x)^1/3] / h

Note que (A - B) pode ser escrito como a diferença entre cubos:
A - B
= (A^1/3)³ - (B^1/3)³
= (A^1/3 - B^1/3) . (A^2/3 + A^1/3 . B^1/3 + B^2/3)
= (A^3/3 + A^2/3 . B^1/3 + A^{1/3 .} B^2/3 - A^2/3 . B^1/3 - A^1/3 . B^2/3 - B^3/3)
= (A + A^2/3 . B^1/3 + A^{1/3 .} B^2/3 - A^2/3 . B^1/3 - A^1/3 . B^2/3 - B)
= (A + A^2/3 . B^1/3 + A^{1/3 .} B^2/3 - A^2/3 . B^1/3 - A^1/3 . B^2/3 - B)
= (A + A^2/3 . B^1/3 + A^{1/3 .} B^2/3 - A^2/3 . B^1/3 - A^1/3 . B^2/3 - B)
= A - B

Desenvolvendo:
lim_h→0 [(x+h)^1/3 - (x)^1/3] / h
Seja:
A = x + h
B = x
lim_h→0 [(A)^1/3 - (B)^1/3] / h . (A^2/3 + A^1/3 . B^1/3 + B^2/3) / (A^2/3 + A^1/3 . B^1/3 + B^2/3)
= lim_h→0 {[(A)^1/3 - (B)^1/3] . (A^2/3 + A^1/3 . B^1/3 + B^2/3)} / [h . (A^2/3 + A^1/3 . B^1/3 + B^2/3)]
= lim_h→0 {A - B} / [h . (A^2/3 + A^1/3 . B^1/3 + B^2/3)]
Assim:
= lim_h→0 {A - B} / [h . (A^2/3 + A^1/3 . B^1/3 + B^2/3)]
= lim_h→0 {(x + h) - x} / [h . ((x + h)^2/3 + (x + h)^1/3 . x^1/3 + x^2/3)]
= lim_h→0 {h} / [h . ((x + h)^2/3 + (x + h)^1/3 . x^1/3 + x^2/3)]
= lim_h→0 1 / [(x + h)^2/3 + (x + h)^1/3 . x^1/3 + x^2/3]

Calculando o limite:
= lim_h→0 1 / [(x + h)^2/3 + (x + h)^1/3 . x^1/3 + x^2/3]
= lim_h→0 1 / {lim_h→0 [(x + h)^2/3 + (x + h)^1/3 . x^1/3 + x^2/3]}
= 1 / {lim_h→0 [(x + h)^2/3] + lim_h→0 [(x + h)^1/3] . lim_h→0 [x^1/3] + lim_h→0 [x^2/3]}

= 1 / [(x + 0)^2/3 + (x + 0)^1/3 . x^1/3 + x^2/3]
= 1 / [x^2/3 + x^1/3 . x^1/3 + x^2/3]
= 1 / [x^2/3 + x^2/3 + x^2/3]
= 1 / [3 . x^2/3]


Referências consultadas:
<http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/solu/DefDerSol.html#SOLUTION%205>
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferenca-dois-cubos.htm>


j) f(x) = 4 - √(x + 3)

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [4 - √((x+h) + 3) - (4 - √(x + 3))] / h
lim_h→0 [4 - √(x + h + 3) - 4 + √(x + 3)] / h
lim_h→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h
lim_h→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h  . [√(x + 3) + √(x + h + 3)] / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
lim_h→0 [(x + 3) - (x + h + 3)] / h  . 1 / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
lim_h→0 [(x + 3) - (x + h + 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
lim_h→0 [x + 3 - x - h - 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
lim_h→0 [- h] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
lim_h→0 -1 / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
= -1 / [√(x + 3) + √(x + 0 + 3)]
= -1 / [√(x + 3) + √(x + 3)]
= -1 / [2 . √(x + 3)]



k) f(x) = (2 + x) / (9 - x)

[Res.]
lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h
lim_h→0 [(2 + (x+h)) / (9 - (x+h)) - ((2 + x) / (9 - x))] / h
lim_h→0 [(2 + x + h) / (9 - x - h) - ((2 + x) / (9 - x))] / h
lim_h→0 {[(2 + x + h) . (9 - x) - (2 + x) . (9 - x - h)] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
lim_h→0 {[18 - 2x + 9x - x² + 9h - xh - (18 - 2x - 2h +9 x - x² - xh)] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
lim_h→0 {[18 - 2x + 9x - x² + 9h - xh - 18 + 2x + 2h - 9x + x² + xh] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
lim_h→0 {[9h + 2h] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
lim_h→0 {[11h] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
lim_h→0 11h / [(9 - x - h) . (9 - x)] . 1/ h
lim_h→0 11h / [h . (9 - x - h) . (9 - x)]
lim_h→0 11 / [(9 - x - h) . (9 - x)]
= 11 / [(9 - x - 0) . (9 - x)]
= 11 / [(9 - x) . (9 - x)]
= 11 / (9 - x)²



Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.