quinta-feira, 31 de março de 2016
terça-feira, 29 de março de 2016
Brotação das sementes antes do plantio - teste Março/2016
Brotação das sementes antes do plantio - teste Março e Abril de 2016
Teste de brotação de sementes antes do plantio - (Ideia do João) - funcionou.
Substrato: mistura de folhas e galhos, mantidos úmidos.
Fotos:
Referências para brotação:
Lucas T R Freitas
Teste de brotação de sementes antes do plantio - (Ideia do João) - funcionou.
Substrato: mistura de folhas e galhos, mantidos úmidos.
Fotos:
Referências para brotação:
- Brotação de sementes por escarificação:
Lucas T R Freitas
Logística de Transportes – 29/03/2016
Logística de
Transportes – 29/03/2016
Não haverá aula
até o dia 13/04/2016. Aula retorna dia 15/04.
Questionário para
entregar escrito à mão no dia 15/04/2016.
2) Quais características são avaliadas no sistema de transporte?
3) Quais as vantagens e desvantagens do transporte ferroviário?
4) Quais os principais problemas do transporte ferroviário no Brasil?
5) Associe as colunas:
( ) Semi-reboques
( ) VUC – Veículo Urbano de Carga
( ) Reboques
( ) VLC - Veículo Leve de Carga
( ) VMC - Veículo Médio de Carga
( ) Romeu e Julieta
( ) Bi trem
( ) Rodotrem ou Tritrem
a. Possui eixos somente na parte traseira, pois a dianteira é apoiada na quinta roda do caminhão.
b. Possui eixos na frente e atrás e é puxado por um caminhão em sistema conhecido como romeu-e-julieta.
c. Veículos que transportam carga líquida de até 12.000 Kg.
d. Veículos que transportam carga líquida de até 4.500 Kg.
e. Veículos que transportam carga líquida de até 1.500 Kg.
f. Possui sete eixos, três do “cavalo” que leva dois semi-reboques de dois eixos atrelados entre si. PBTC (tara + carga) = 57 toneladas.
g. Tem nove eixos, três do “cavalo” com tração 6x4. Este “cavalo” puxa dois semi-reboques de dois eixos cada. PBTC (tara + carga) = 74 toneladas.
h. Formado por dois elementos, um caminhão plataforma de 3 eixos e um reboque de dois eixos. PBTC (tara + carga) = 45 toneladas.
Resposta minha:
( ) Semi-reboques
( ) VUC – Veículo Urbano de Carga
( ) Reboques
( ) VLC - Veículo Leve de Carga
( ) VMC - Veículo Médio de Carga
( ) Romeu e Julieta
( ) Bi trem
( ) Rodotrem ou Tritrem
6) A distância entre trilhos é chamada de:
a) Bitola métrica para valores até um metro
b) Bitola normal para o valor de 1 metro
c) Bitola larga para o valor de 1,4 metros
d) Bitola normal para vias com distâncias que não variam
e) Bitola normal para o valor de 1,4 metros
7) Que tipo de vagão de uma composição ferroviária não existe?
a) Tipo Gôndola para transportar minério.
b) Tipo Hopper para transportar madeira.
c) Tipo Isotérmico para transportar produtos congelados.
d) Tipo Plataforma para transportar containers.
e) Tipo Tanque para transportar granéis líquidos.
8) Informe qual caminhão e para que serve.
9) Pelas características operacionais, qual o transporte com maior frequência? E o com maior disponibilidade?
10)Diferencie multimodalidade e intermodalidade.
11)Diferencie tara de lotação.
12)Defina PBT (peso bruto total) e Tara.
13) Segundo as características dos modais, qual o mais veloz? E o mais confiável? E o com maior capacidade?
14) Identifique os tipos de vagões:
15) Dentro do conceito de transporte ferroviário, defina: Superestrutura e Infra-estrutura.
16) Preencha os campos abaixo, considerando os pontos indicados da Superestrutura Ferroviária.
17) Defina o tipo de Linha:
a)
b)
18) Como é constituída a geometria ferroviária, exemplifique.
19) Defina o que é “Bitola” de uma ferrovia. Quais são os tipos de bitolas existentes no Brasil?
20) Defina:
- Terraplanagem
- Corte
21) Cite 3 problemas existentes no transporte ferroviário no Brasil.
22) Baseado no gráfico abaixo, qual a conclusão que podemos tirar sobre a infraestrutura do transporte ferroviário nos países citados?
Resposta minha:
23) Descreva quais são os principais problemas do Transporte Rodoviário Brasileiro.
Lucas T R Freitas
Aviso para quem for estacionar em frente à garagem
Aviso para quem for estacionar em frente à garagem (modelo)
Fonte: http://www.ctbdigital.com.br/?p=InfosArtigos&Registro=346&campo_busca=&artigo=96
Lucas T R Freitas
Favor
retirar o veículo do acesso à garagem.
O artigo 181, inciso IX, do Código de Trânsito Brasileiro
estabelece, como infração de trânsito de natureza média, sujeita
à penalidade de multa e medida administrativa de remoção do
veículo, a conduta de “Estacionar o veículo onde houver guia de
calçada (meio-fio) rebaixada destinada à entrada ou saída de
veículos”.
Fonte: http://www.ctbdigital.com.br/?p=InfosArtigos&Registro=346&campo_busca=&artigo=96
Lucas T R Freitas
Aviso para quem for estacionar na calçada
Aviso para quem for estacionar na calçada (modelo)
Fonte: http://ibeinstituto.webnode.com.br/products/produto-2/
Lucas T R Freitas
Favor
retirar o carro da calçada.
O
Código de Trânsito Brasileiro - CTB, Lei nº 9.503, de 23 de
setembro de 1997, autoriza o trânsito de veículos o sobre os
passeios e calçadas, somente para que estes adentrem ou saiam dos
imóveis e das áreas especiais de estacionamento (artigo 29, inciso
V).
Parar
ou estacionar o carro sobre o passeio é infração grave, que
sujeita o infrator a multa e à remoção forçada do veículo (art.
181, inc. VIII e art. 182, inc. VI).
Fonte: http://ibeinstituto.webnode.com.br/products/produto-2/
Lucas T R Freitas
segunda-feira, 28 de março de 2016
Programação de Computadores - 28 de Março de 2016
Programação de Computadores - 28 de Março de 2016
1) A empresa “Preço
Bom” deseja um sistema que registre o preço de custo de seus
produtos, o código e a categoria. Considere categoria “perecível”
e “não perecível”. O algorítmo deverá retornar:
a) O preço de venda
de cada produto. Considere que produtos do tipo “perecível”
devem possuir um lucro de 15% e os “não perecíveis” 20%.
b) A quantidade de
produtos perecíveis e não perecíveis.
c) A média de lucro
dos “Não perecíveis”.
d) O preço de venda
e a categoria do produto que possui o menor preço de venda.
Considere que não existem preços de vendas iguais.
O programa será
encerrado quando for digitado -1.
Esquema da
professora:
Int main(){
//declaração das
variáveis
//inicialização
das variáveis
//entrada que para o
programa
cout<<”Informe
o código ou digite -1 para sair”<<endl;
cin>>cod;
while(cod!=-1){
//demais entradas
//Processamentos
//Entrada para o programa
cout<<”Informe
o código ou digite -1 para sair”<<endl;
cin>>cod;
} //fechamento do
while
} // final int main
Resposta da
professora
int main(){
int
cod,cat,cat1,cat2,catmenor;
float
media,lucro,somalucro;
float
pcusto,pvenda,pvmenor;
media=0;
somalucro=0;
pvmenor=0;
cat2=0;
cat1=0;
cout<<”Informe
o código ou -1 para sair”<<endl;
cin>>cod;
while (cod!=-1){
cout<<”Informe
o preço custo”<<endl;
cin>>pcusto;
cout<<”Informe
a categoria 1 (perecível) ou 2 (não perecível)”<<endl;
cin>>cat;
if(cat==1)
//trecho apagado no
quadro
} //final do while
media=somalucro/cat2;
cout<<”A
media do lucro dos produtos não perecíveis é “<<media<<endl;
cout<<”A
quantidade de produtos não perecíveis é “<<cat2<<endl;
cout<<”A
quantidade de produtos perecíveis é “<<cat1<<endl;
cout<<”O
menor preço de venda é “<<pvmenor<<” e pertence à
categoria ”<<catmenor<<endl;
} //fim do int main
Minha resposta
(sem corrigir)
// abertura do
programa
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
using namespace std;
int main(){
// declaração das
variáveis
float precodecusto;
int codigo;
int categoria;
float precodevenda;
int
quantidadepereciveis;
int
quantidadenaopereciveis;
float lucronaopereciveis;
float somalucronaopereciveis;
float medialucronaopereciveis;
float menorprecodevenda;
int codigomenorprecodevenda;
float medialucronaopereciveis;
float menorprecodevenda;
int codigomenorprecodevenda;
// zerando as
variáveis
precodecusto=0;
codigo=0;
categoria=0;
precodevenda=0;
quantidadepereciveis=0;
quantidadenaopereciveis=0;
lucronaopereciveis=0;
somalucronaopereciveis=0;
medialucronaopereciveis=0;
menorprecodevenda=0;
codigomenorprecodevenda=0;
somalucronaopereciveis=0;
medialucronaopereciveis=0;
menorprecodevenda=0;
codigomenorprecodevenda=0;
// iniciando o
programa
// solicitando o
código do produto
cout<<”Digite
o código do produto”<<endl;
cin>>codigo;
while (codigo!=-1){
// solicitando a
categoria do produto
cout<<”Insira
1 para produto perecível e 2 para produto não perecível”<<endl;
cin<<categoria;
while
(categoria!=1 && categoria!=2){
cout<<”Insira
1 para produto perecível e 2 para produto não perecível”<<endl;
cin<<categoria;
} // fechamento
do while
//solicitando o
preço de custo do produto
cout<<”Insira
o preço de custo do produto”<<endl;
cin>>precodecusto;
// resposta da letra
A – preço de venda de cada produto
// preço de
venda dos produtos perecíveis (categoria 1)
if
(categoria==1){
precodevenda=precodecusto*1.15;
} // fechamento
do if
// preço de
venda dos produtos não perecíveis (categoria 2)
if
(categoria==2){
precodevenda=precodecusto*1.20;
} // fechamento
do if
//emitindo a
saída do preço de venda do produto
cout<<”O
preço de venda do produto é “<<precodevenda<<”.”<<endl;
// resposta da letra B
// resposta da letra B – quantidade de produtos perecíveis
if
(categoria==1){
quantidadepereciveis++;
} // fechamento
do if
// resposta da letra
B – quantidade de produtos não perecíveis
if
(categoria==2){
quantidadenaopereciveis++;
} // fechamento
do if
// resposta da letra
C – A média de lucro dos produtos “Não perecíveis”
if(categoria==2){
lucronaopereciveis=precodevenda-precodecusto;
somalucronaopereciveis= somalucronaopereciveis+lucronaopereciveis;
} // fechamento
do if
// resposta da letra D - preço de venda e a categoria do produto que possui o menor preço de venda
if (menorprecodevenda==0){
menorprecodevenda=precodevenda;
codigomenorprecodevenda=codigo;
codigomenorprecodevenda=codigo;
} // fechamento
do if
if (menorprecodevenda>precodevenda){
if (menorprecodevenda>precodevenda){
menorprecodevenda=precodevenda;
codigomenorprecodevenda=codigo;
} // fechamento
do ifcodigomenorprecodevenda=codigo;
// pedindo o código novamente
cout<<”Digite
o código do produto”<<endl;
cin>>codigo;
} // fechamento do
while
// após o while
// saída da letra B – quantidade de produtos perecíveis e não perecíveis
//emitindo a
saída da quantidade de produtos perecíveis e não perecíveis
cout<<”A
quantidade de produtos perecíveis é
“<<quantidadepereciveis<<”.”<<endl;
cout<<”A
quantidade de produtos não perecíveis é “<<quantidadenaopereciveis<<”.”<<endl;
// saída da letra C – A média de lucro dos produtos não perecíveis
medialucronaopereciveis=somalucronaopereciveis/quantidadenaopereciveis;
cout<<”A
média de lucro dos produtos não perecíveis é
“<<medialucronaopereciveis<<”.”<<endl;
//saída da letra D - preço de venda e a categoria do produto que possui o menor preço de venda
cout<<”O código do produto com o menor preço de venda é "<<menorprecodevenda<<" e o preço do produto é "<<menorprecodevenda<<”.”<<endl;
}// fechamento do
programa
Lucas T R Freitas
domingo, 27 de março de 2016
sábado, 26 de março de 2016
sexta-feira, 25 de março de 2016
Procedimentos para instalar o Linux em dual-boot com o Windows
Procedimentos para instalar o Linux (Ubuntu) em dual-boot com o Windows
Com o Windows já instalado e ocupando todo o HD:
Lucas T R Freitas
Com o Windows já instalado e ocupando todo o HD:
- Divida o HD:
- Entre em c:
- Gerenciador de discos
- Diminuir Volume
- Dividir o HD para o volume necessário para o Windows rodar e para instalar o Linux (Ubuntu)
- Instalando o Linux (Ubuntu):
- Criar a partição SWAP (área de troca)
- do tamanho da memória RAM do computador (ou do dobro do tamanho da memória RAM)
- Criar uma partição de montagem "/" para instalar o Linux (Ubuntu)
- Instalar Ubuntu e Windows em Dual-boot (Guia definitivo): https://www.todoespacoonline.com/w/2015/05/instalar-ubuntu-e-windows-em-dual-boot-guia-definitivo/
Lucas T R Freitas
quarta-feira, 23 de março de 2016
Programação de Computadores – 23 de Março de 2016
Programação de
Computadores – 23 de Março de 2016
Correção dos exercícios da última aula
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
//Ler os dados dos funcionários
int qtdFuncionarios = 50;
int matricula=0, tempo_serv=0;
float sal_base=0, desconto=0;
int contDirAumento = 0;
int totTempoServ = 0;
int maior_sal=0, mat_maior_sal=0;
int menor_sal=0, mat_menor_sal=0;
for (int cont =1; cont<= qtdFuncionarios; cont++){
cout<<”Entre com a matrícula, salario, descontos e tempo
de serviço: ”;
cin>> matricula>> sal_base >>desconto >>
tempo_serv;
int qtdBienio = tempo_serv/2;
float descontoCalculado = sal_base*(desconto/100.0);
float sal_liquido = sal_liquido – descontoCalculado;
//sal_liquido -= descontoCalculado
float aumentoCalc = qtdBienio*0.04*sal_base;
float sal_liquido = sal_base – descCalc + aumentoCalc;
cout<<”Desconto.: “ <<descontoCalculado<<endl;
cout<<”Aumento..: “<<aumentoCalc<<endl;
cout<<”Salario..: “<<sal_liquido <<endl;
if(qtdBienio>0){
contDirAumento++;
}//fim do if
totTempoServ = totTempoServ + tempo_serv;
if(sal_base>maior_sal || cont==1){
maior_sal=sal_base;
mat_maior_sal= matricula;
}//fim do if
if (sal_base < menor_sal || cont ==1){
menor_sal = sal_base;
mat_menor_sal=matricula;
}// fim do if
}// fim do for
float mediaTempoServ = totTempServ / (float)qtdFuncionarios;
//para cada funcionário:
//calcular salário líquido
//Para isso:
// Calcular os biênios
// Calcular os descontos
// Subtrair do salário base
// Calcular os acréscimos
// Somar ao salário base
cout <<endl <<”-----------------------------------------”
<<endl;
cout<< “Com direito a aumento: “ <<
contDirAumento<<endl;
cout<<”Media de tempo de serviço: “<<
mediaTempoServ<<endl;
cout<<”Matrícula com maior salário: “<<mat_maior_sal<<endl;
return 0;
} // fim do programa
Correção do teste de mesa
i=
1
2
4
5
7
j=
1
2
3
1
2
3
1
saída
11
2
4
5
5
7
9
Lucas T R Freitas
terça-feira, 22 de março de 2016
Gestão de projetos – 22 de Março de 2016
Gestão de
projetos – 22 de Março de 2016
Gerenciamento de
Projeto
Gerenciamento do
Escopo
Escopo –
declaração do que precisa ser entregue
Escopo do produto
Escopo do projeto
Planejar o
gerenciamento do escopo
- Coletar os requisitos – Ferramentas e técnicas
- Entrevistas
- Grupos de discussão
- Oficinas facilitadas
- Técnicas de criatividade em grupo
- Questionários e pesquisas
- Observações
- Protótipos
- Benchmarking
- Diagramas de contexto
- Análise dos documentos
- Documentação dos requisitos
- Matriz de rastreabilidade dos requisitos
Definir o escopo
- Especificação do escopo do projeto
- Declaração do escopo do projeto
Criar a EAP
- EAP = WBS (Work Breakdown Structure) = EDT (Estrutura de Divisão do Trabalho)
- Linha de base do escopo
Grupo de Monitoramento e Controle
- Validar o escopo
- Controlar o escopo
Gestão de Transportes 22 de Março de 2016
Gestão de
Transportes 22 de Março de 2016
Prova dia 19/04/2016
Estrada de Ferro
Vitória a Minas
- Criada pelos Ingleses – 18 de Maio de 1904.
- 905 km de extensão, em bitola métrica
- fertilizantes, madeira, passageiros…
Ferrovia Norte-Sul
Corredores
ferroviários
- Corredor São Luís
- Corredor Interregional Nordeste
- Corredor Vitória
- Corredor Centro-Oeste
- Corredor São Paulo Nordeste
- Corredor Rio de Janeiro – BH
- Corredor Rio de Janeiro – SP
- Corredor Santos (bitola larga)
- Corredor Corumbá-Santos (bitola estreita)
- Corredor Paranaguá
- Corredor São Francisco do Sul
- Corredor Rio Grande
- Corredor Imbituba
Constituição das
estradas de ferro
- Linha singela
- Linha dupla
- Tipos de Bitolas
- Larga (1,60m)
- Estreita ou métrica (1,00m)
- Standard (1,435m)
Infra-estrutura
- Terraplanagem
- Corte
Problemas
- passagens em trechos urbanos
Metrô
- maior rede é em Xangai
- No Brasil é em São Paulo
Trens regionais
Trem de Alta
Velocidade
- TAV RJ-SP
Lucas T R Freitas
segunda-feira, 21 de março de 2016
Programação de Computadores - 21 de Março de 2016
Programação de Computadores - 21 de Março de 2016
Exercício
1) A empresa "Vamos Trabalhar" deseja um algoritmo em c++ que leia de 50 funcionários:
a) A matrícula e o salário final de cada funcionário. Considere que os funcionários que possuírem dois anos ou mais de casa ganham 4% de aumento a cada biênio.
b) A quantidade de funcionários que possuem direito a aumento.
c) a média de tempo de serviço dos funcionários
d) a matrícula do funcionário que possui o maior salário base
e) a matrícula do funcionário que possui o menor salário base
2) Teste de mesa
int main(){
int i,j;
i=1;
j=1;
cout<<i,j<<endl;
while(i<=5){
cout<<i+j<<endl;
while(j<=2){
i=(i+j);
j=(j+1);
if ((i+7)%2==0){
cout<<i+2<<endl;
}//fim do if
else{
cout<<j+2<<endl;
}//fim do else
}// fim do while
j=1;
} // Fim do while
} // Fim do programa
Minha resposta
Questão 1)
int main(){
//declarando as variáveis
int matrícula;
float salariobase;
float percentualdesconto;
int tempodeservico;
float salariofinal;
int fatorbienio;
int direitoaumento;
int numerodefuncionarios;
int somatemposervico;
float mediatemposervico;
float maiorsalariobase;
int funcionariomaiorbase;
float menorsalariobase;
int funcionariomenorbase;
// zerando as variáveis
matricula=0;
salariobase=0;
percentualdesconto=0;
tempodeservico=0;
salariofinal=0;
fatorbienio=0;
direitoaaumento=0;
numerodefuncionarios=0;
somatemposervico=0;
mediatemposervico=0;
maiorsalariobase=0;
funcionariomaiorbase=0;
menorsalariobase=0;
funcionariomenorbase=0;
//iniciando o programa
cout<<"Informa a matrícula do funcionário."<<endl;
cout<<"Digite -1 para sair."<<endl;
cin>>matrícula;
//início do while
while (matrícula!=-1){
cout<<"Informe o salário base do funcionário."<<endl;
cin>>salariobase;
cout<<"Informe o percentual (%) de desconto do funcionário."<<endl;
cin>>percentualdesconto;
cout<<"Informe o tempo de serviço (em anos completos)<<endl;
cin>>tempodeservico;
//resposta da letra a
cout<<"A matrícula do funcionário é "<<matricula<<"."<<endl;
if (tempodeservico<2){
salariofinal=salariobase-(salariobase*percentualdesconto/100);
} // fim do if
if(tempodeservico>=2){
if (tempodeservico%2==1){
fatorbienio=(tempodeservico-1)/2;
} // fim do if
else {
fatorbienio=tempodeservico/2;
} // fim do else
salariofinal=salariobase*(104/100)fatorbienio-salariobase*(104/100)fatorbienio*percentualdesconto;
cout<<"O salário do funcionário é "<<salariofinal<<"."<<endl;
} // fim do if
//resposta da letra b => saída depois do while
if(tempodeservico>=2){
direitoaaumento++;
} // fim do if
//resposta da letra c
numerodefuncionarios++;
somatemposervico=tempodeservico+somatemposervico;
//resposta da letra d
if(maiorsalariobase<salariobase){
maiorsalariobase=salariobase;
funcionariomaiorbase=matricula;
} // fim do if
//resposta da letra e
if(menorsalariobase==0){
menorsalariobase=salariobase;
funcionariomenorbase=matricula;
} // fim do if
if(menorsalariobase>salariobase){
menorsalariobase=salariobase;
funcionariomenorbase=matricula;
} // fim do if
} // fim do while
//Após o while
// resposta da letra b
cout<<"A quantidade de funcionários que possuem direito a aumento é " <<direitoaaumento<<"."endl;
// resposta da letra c
mediatemposervico=somatemposervico/numerodefuncionarios;
cout<<"A média de tempo de serviço dos funcionários é "<<mediatemposervico<<"."<<endl;
// resposta da letra d
cout<<"A matrícula do funcionário que possui o maior salário base é "<<funcionariomaiorbase<<"."endl;
//resposta da letra e
cot<<"A matrícula do funcionário que possui o menor salário base é "<<funcionariomenorbase<<"."<<endl;
//finalizando o programa
system(pause);
return 0;
} // fim do programa
Questão 2)
Tentei fazer, mas deu loop infinito.
Imprimiu
11
2
4
5
7
7
7
.
.
.
Lucas T R Freitas
Exercício
1) A empresa "Vamos Trabalhar" deseja um algoritmo em c++ que leia de 50 funcionários:
- a matrícula
- o salário base
- o percentual de desconto
- e o tempo de serviço
a) A matrícula e o salário final de cada funcionário. Considere que os funcionários que possuírem dois anos ou mais de casa ganham 4% de aumento a cada biênio.
b) A quantidade de funcionários que possuem direito a aumento.
c) a média de tempo de serviço dos funcionários
d) a matrícula do funcionário que possui o maior salário base
e) a matrícula do funcionário que possui o menor salário base
2) Teste de mesa
int main(){
int i,j;
i=1;
j=1;
cout<<i,j<<endl;
while(i<=5){
cout<<i+j<<endl;
while(j<=2){
i=(i+j);
j=(j+1);
if ((i+7)%2==0){
cout<<i+2<<endl;
}//fim do if
else{
cout<<j+2<<endl;
}//fim do else
}// fim do while
j=1;
} // Fim do while
} // Fim do programa
Minha resposta
Questão 1)
int main(){
//declarando as variáveis
int matrícula;
float salariobase;
float percentualdesconto;
int tempodeservico;
float salariofinal;
int fatorbienio;
int direitoaumento;
int numerodefuncionarios;
int somatemposervico;
float mediatemposervico;
float maiorsalariobase;
int funcionariomaiorbase;
float menorsalariobase;
int funcionariomenorbase;
// zerando as variáveis
matricula=0;
salariobase=0;
percentualdesconto=0;
tempodeservico=0;
salariofinal=0;
fatorbienio=0;
direitoaaumento=0;
numerodefuncionarios=0;
somatemposervico=0;
mediatemposervico=0;
maiorsalariobase=0;
funcionariomaiorbase=0;
menorsalariobase=0;
funcionariomenorbase=0;
//iniciando o programa
cout<<"Informa a matrícula do funcionário."<<endl;
cout<<"Digite -1 para sair."<<endl;
cin>>matrícula;
//início do while
while (matrícula!=-1){
cout<<"Informe o salário base do funcionário."<<endl;
cin>>salariobase;
cout<<"Informe o percentual (%) de desconto do funcionário."<<endl;
cin>>percentualdesconto;
cout<<"Informe o tempo de serviço (em anos completos)<<endl;
cin>>tempodeservico;
//resposta da letra a
cout<<"A matrícula do funcionário é "<<matricula<<"."<<endl;
if (tempodeservico<2){
salariofinal=salariobase-(salariobase*percentualdesconto/100);
} // fim do if
if(tempodeservico>=2){
if (tempodeservico%2==1){
fatorbienio=(tempodeservico-1)/2;
} // fim do if
else {
fatorbienio=tempodeservico/2;
} // fim do else
salariofinal=salariobase*(104/100)fatorbienio-salariobase*(104/100)fatorbienio*percentualdesconto;
cout<<"O salário do funcionário é "<<salariofinal<<"."<<endl;
} // fim do if
//resposta da letra b => saída depois do while
if(tempodeservico>=2){
direitoaaumento++;
} // fim do if
//resposta da letra c
numerodefuncionarios++;
somatemposervico=tempodeservico+somatemposervico;
//resposta da letra d
if(maiorsalariobase<salariobase){
maiorsalariobase=salariobase;
funcionariomaiorbase=matricula;
} // fim do if
//resposta da letra e
if(menorsalariobase==0){
menorsalariobase=salariobase;
funcionariomenorbase=matricula;
} // fim do if
if(menorsalariobase>salariobase){
menorsalariobase=salariobase;
funcionariomenorbase=matricula;
} // fim do if
} // fim do while
//Após o while
// resposta da letra b
cout<<"A quantidade de funcionários que possuem direito a aumento é " <<direitoaaumento<<"."endl;
// resposta da letra c
mediatemposervico=somatemposervico/numerodefuncionarios;
cout<<"A média de tempo de serviço dos funcionários é "<<mediatemposervico<<"."<<endl;
// resposta da letra d
cout<<"A matrícula do funcionário que possui o maior salário base é "<<funcionariomaiorbase<<"."endl;
//resposta da letra e
cot<<"A matrícula do funcionário que possui o menor salário base é "<<funcionariomenorbase<<"."<<endl;
//finalizando o programa
system(pause);
return 0;
} // fim do programa
Questão 2)
Tentei fazer, mas deu loop infinito.
Imprimiu
11
2
4
5
7
7
7
.
.
.
Lucas T R Freitas
domingo, 20 de março de 2016
ESO - Geometria Analítica (UCLx 11382-1)
Geometria Analítica (UCLx 11382-1)
Lucas T R Freitas
- [v] Semana 1 - Vetores
- [v] Segmentos Orientados e Segmentos Equipolentes
- Segmentos equipolentes são segmentos orientados iguais: mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
- Propriedade reflexiva: AB ~ AB
- Simétrica: AB ~ CD < > CD ~AB
- Transitiva: AB ~CD e CD ~EF => AB ~EF
- [v] Definição de Vetores
- vetorV = {XY|XY~AB}
- vetorV = vetorAB = B - A
- Módulo do vetorV = |vetorV|
- Vetores iguais: dois vetores são iguais se eles são equipolentes.
- AB~CD => vetorAB = vetorCD
- vetor nulo: todo vetor com módulo igual a 0.
- vetor unitário: tem módulo igual a 1.
- vetores opostos: vetorAB e vetorBA: vetorBA = - vetorAB
- versor: versorU = vetorV / |vetorV| => |versorU| =1
- vetores colineares têm a mesma reta suporte
- vetores coplanares: se encontram no mesmo plano
- dois vetores quaisquer sempre determinam um plano
- [v] Operações com Vetores
- adição de vetores
- vetores paralelos
- vetores não paralelos
- Propriedades:
- Comutativa: vetorU + vetorV = vetorV + vetorU
- Associativa: (vetorU + vetorV) + vetorW = vetorU + (vetorV + vetorW)
- Elemento neutro: vetorU + vetor0 = vetorU
- Elemento oposto: vetorU + (-vetorU) = vetor0
- diferença entre dois vetores: vetorU - vetorV = vetorU + (-vetorV)
- multiplicação de um vetor por um número
- (αβ).vetorV = α . (β . vetorV)
- (α + β) . vetorV = α . vetorV + β . vetorV
- α . (vetorU + vetorV) = α . vetorU + α . vetorV
- 1 . vetorV = vetorV
- versor do vetorV: vetorU = 1/|vetorV| . vetorV (é um vetor unitário)
- nota α e β são números reais e diferentes de zero
- operações com vetores
- [v] Ângulo entre vetores - concluído em:
- 0<=teta<=180°
- 0<=teta<=pi radianos
- Vetores paralelos:
- Mesmo sentido: 0°
- Sentidos opostos: 180° ou pi radianos
- Vetores ortogonais:
- teta = pi/2 radianos ou 90°
- o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor
- [v] Exercícios - concluído em: 31 de Março de 2016.
- [v] Semana 2 - Vetores no Plano e no Espaço
- [v] Vetores no Plano - concluído em:
- [v] Vetores no plano
- [v] Operações com vetores no plano
- [v] Vetores definidos por dois pontos
- [v] Ponto médio
- [v] Exemplo
- [v] Vetores no Espaço - concluído em:
- [v] Vetores no espaço - introdução
- [v] Definições
- [v] Exemplo
- [v] Exercícios - concluído em: 31 de Março de 2016.
- [v] Semana 3 - Produto Escalar e Aplicações
- [v] Produto escalar
- [v] Produto escalar
- |vetorQP|²=|vetorU|²+|vetorV|²-2.|vetorU|.|vetorV|.cos teta, teta=ângulo(vetorU, vetorV)
- |vetorQP|²=|vetorU|²+|vetorV|²-2.(a1.a2+b1.b2+c1.c2)
- |vetorU|.|vetorV|.cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)
- cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)/(|vetorU|.|vetorV|)
- cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)/((a1²+b1²+c1²)^(1/2).(a2²+b2²+c2²)^(1/2))
- vetorU.vetorV=0, se vetorU=0 ou vetorV=0
- vetorU.vetorV=|vetorU|.|vetorV|.cos teta, se vetorU≠0 e vetorV≠0
- teta= ângulo(vetorU,vetorV)
- [v] Consequências do produto escalar
- cos(teta)=(vetorU.vetorV)/(|vetorU|.|vetorV|)
- vetorU.vetorV=|vetorU|.|vetorV|.cos(teta)
- |vetorU|=(vetorU.vetorU)^(1/2)
- vetorU.vetorU=|vetorU|.|vetorU|.cos(0)
- vetorU.vetorU=|vetorU|.|vetorU|.1
- vetorU.vetorU=|vetorU|²
- |vetorU|.|vetorV|.cos(teta)=a1.a2+b1.b2+c1.c2
- vetorU.vetorV=a1.a2+b1.b2+c1.c2
- [v] Propriedades
- vetorU.vetorV=vetorV.vetorU
- vetorU.vetorV=a1a2+b1b2+c1c2=a2a1+b2b1+c2c1= vetorV.vetorU
- vetorU.(vetorV+vetorW) = vetorU.vetorV+vetorU.vetorW = (a1a2+b1b2+c1c2)+(a1a3+b1b3+c1c3) = vetorU.vetorV + vetorU.vetorW
- alfa(vetorU.vetorV)=vetorU.(alfa.vetorV)
- vetorU≠vetor0 >> vetorU.vetorU>0
- vetorU=vetor0 >> vetorU.vetorU=0
- [v] Observações
- [v] Ângulos Diretores
- [v] Cossenos diretores
- cos(alfa)=x/|vetorV|
- cos(beta)=y/|vetorV|
- cos(gama)=z/|vetorV|
- vetorU=versorV
- vetorU=vetorV/|vetorV|
- = (1/|vetorV|)*(x,y,z)
- = (x/|vetorV| , y/|vetorV|, z/|vetorV|)
- = (cos(alfa), cos(beta), cos(gama))
- cos²(alfa) + cos²(beta) + cos²(gama) = (x / |vetorV|)² + (y / |vetorV|)² + (z / |vetorV|)²
- = (x² + y² + z²) / |vetorV|²
- = |vetorV|² / |vetorV|² = 1
- cos²(alfa) + cos²(beta) + cos²(gama) = 1
- [v] Projeção de vetores
- [v] Projeção de vetores
- teta = ang(vetorU,vetorV) ≠ 0
- vetorV = vetorV1 + vetorV2
- vetorV1 // vetorU
- vetorV2 perpendicular vetorU
- lambda = (vetorU.vetorV) / |vetorU|²
- vetorV1 = projeção de vetorV em vetorU
- = ((vetorU.vetorV) / |vetorU|² ). vetorU
- [v] Aplicação de Produto Escalar
- [v] Aplicação de produto escalar
- [v] Exercícios - concluído em:
- [v] Semana 4 - Produto Vetorial e Aplicações
- [v] O Produto Vetorial
- [v] Definição do Produto Vetorial
- [v] Propriedades 1
- Sejam vetorU=(x1,y1,z1), vetorV=(x2,y2,z2) e vetorW=(x3,y3,z3).
- vetorU x vetor U = 0
- vetorU x vetorV = - vetorV x vetorU
- vetorU x (vetorV + vetorW) = vetorU x vetorV + vetorU x vetorW
- lambda(vetorU x vetorV) = (lambda . vetorU) x vetorV = vetor U x (lambda . vetorV)
- vetorU x vetorV = 0 se
- vetorU = 0 ou vetorV=0
- vetorU // vetorV
- vetorV = alfa . vetorU
- [v] Propriedades 2
- Características do produto vetorial
- vetorU x vetorV é perpendicular vetorU
- vetorU x vetorV é perpendicular vetorV
- |vetorU x vetorV| = área do parelelogramo
- Área = |vetorU| . |vetorV| . sen(teta)
- |vetorU x VetorV| = |vetorU| . |vetorV| . sen(teta)
- Identidade de Lagrange: |vetorU x vetorV|² = |vetorU|² . |vetorV|² - (vetorU . vetorV)²
- [v] Produto vetorial - exemplo
- [v] Exercícios
- [v] Semana 5 - Produto Misto e aplicações
- [v] Produto Misto
- [v] Definição de produto misto
- V = S . h
- Volume = área da base . altura
- S = |vetorU x vetorV|
- h / |vetorW| = cos(teta)
- h = |vetorW| . cos(teta)
- V = |vetorU x vetorV| .|vetorW|.cos(teta)
- V = |vetorU x vetorV . vetorW|
- [vetorU, vetorV, vetorW] = determinante |(x1 y1 z1) (x2 y2 z2) (x3 y3 z3)| = vetorU . vetorV x vetorW
- [v] Propriedades do Produto Misto
- [v] Propriedades do produto misto
- Alternado:
- [vetorU, vetorV, vetorW] = - [vetorV, vetorU, vetorW] = [vetorV, vetorW, vetorU] = - [vetorW, vetorV, vetorU] = [vetorW, vetorU, vetorV] = - [vetorU, vetorW, vetorV]
- vetorU . vetorV x vetorW = vetorW . vetorU x VetorV
- vetorU . vetorV x vetorW = vetorU x vetorV . vetorW
- Trilinear:
- [alfa . vetorU, vetorV, vetorW] = [vetorU, alfa . vetorV, vetorW] = [vetorU, vetorV, alfa . vetorW], alfa pertencente aos reais
- [vetorU + vetorX, vetorV, vetorW] = [vetorU, vetorV, vetorW]
+ [vetorX, vetorV, vetorW] - [vetorU, vetorV + vetorX, vetorW] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorU, vetorX, vetorW]
- [vetorU, vetorV, vetorW + vetorX] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorU, vetorV, vetorX]
- Vetores coplanares
- [vetorU, vetorV, vetorW] = 0, vetorU, vetorV e vetorW são coplanares
- [v] Produto Misto - Exemplo
- [v] Produto misto - exemplo
- [v] Exercícios
- [v] Semana 6 - Avaliação
- [v] Avaliação intermediária
- [v] Semana 7 - A reta
- [v] Equações da Reta
- [v] Equação vetorial e equações paramétricas da reta
- Equação paramétrica da reta
- A pertence a r, vetorV // r
- x pertence a r se e somente se vetorAx // vetorV
- vetorAX = t . vetorV, t pertence ao conjunto dos Reais
- vetor AX = X - A = t . vetorV
- X = A + t . vetorV
- vetorV = vetor diretor de r
- t = parâmetro
- X = (x,y,z) ; A = (X0,Y0,Z0) ; vetorV = (a,b,c)
- (x,y,z) = (X0,Y0,Z0) + t . (a,b,c)
- Equações paramétricas da reta r
- (x,y,z) = (X0,Y0,Z0) + t . (a,b,c)
- (x,y,z) = (X0 + t.a, Y0 + t.b, Z0 + t.c)
- r:
- x = X0 + t.a
- y = Y0 + t.b
- z = Z0 + t.c
- [v] Equações simétricas e reduzidas da reta
- r:
- x = x0 + at
- y = y0 + bt
- z = z0 + ct
- a, b, c diferentes de 0
- t = (x - x0) / a
- t = (y - y0) / b
- t = (z - z0) / c
- (x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c
- [v] Retas paralelas aos eixos e aos planos coordenados
- [v] Retas paralelas aos planos coordenados
- [v] Retas paralelas aos eixos coordenados
- [v] Ângulo e posição relativa entre retas
- [v] Ângulo de retas
- do produto escalar:
- cosAlfa = (vetorU . vetorV) / (|vetorU| . |vetorV|)
- Estudar o sinal de vetorU . vetorV
- Com vetorU . vetorV > 0
- cosAlfa > 0
- a<=alfa<=pi/2
- teta = alfa (considerando teta o ângulo entre as retas)
- Com vetorU . vetorV < 0
- cosAlfa < 0
- pi/2<=alfa<=pi
- teta = pi - alfa
- cos(Teta) = cos(pi - Alfa) = -cos(Alfa)
- cos(Teta) = - (vetorU . vetorV) / (|vetorU| . |vetorV|)
- cos(Teta) = |(vetorU . vetorV)| / (|vetorU| . |vetorV|)
- 0 <= teta <=pi/2
- [v] Posição relativa entre retas
- r e s reversas:
- [vetorAB,vetorR,vetorS] diferente de 0
- r e s paralelas:
- se e somente se existir lambda pertencente aos reais tal que vetorR = lambda . vetorS
- se todo ponto que pertencer a R pertencer a S, R e S são coincidentes (r=s)
- r e s são concorrentes:
- não existir lambda pertencente aos reais tal que vetorR= lambda . vetorS
- e existir um ponto P pertencente ao vetorR e ao vetorS, ou seja, se R e S tiverem um ponto em comum.
- [vetorAB,vetorR,vetorS] = 0
- [v] Posição relativa entre retas - exemplo
- [v] Perpendicularismo e ortogonalidade
- R é ortogonal a S:
- produto escalar entre vetorR e vetorS = 0
- produto misto diferente de 0 (não tem pontos em comum):
- [vetorAB,vetorR,vetorS] diferente de 0
- R é perpendicular a T:
- produto escalar entre vetorR e vetorS = 0 e há um ponto em comum entre a reta R e a reta S
- produto misto = 0 (tem ponto em comum):
- [vetorAB,vetorR,vetorS] = 0
- [v] Exercícios
- [v] Semana 8 - O Plano
- [v] Equações do Plano
- [v] Equação vetorial e equações paramétricas do plano
- Ponto A pertence ao plano pi
- vetorU e vetorV paralelos ao plano pi
- ponto x pertence ao plano pi se e somente se:
- vetorAX, vetorU e vetorV são coplanares
- vetores coplanares: produto misto = 0
- existem t e h pertencentes aos reais tal que:
- vetorAX = t . vetorU + h . vetorV
- X - A = t . vetorU + h . vetorV
- Equação vetorial do plano pi:
- X = A + t . vetorU + h . vetorV
- vetores U e V são vetores diretores de pi
- Coordenadas:
- X = (x,y,z)
- A = (x0,y0,z0)
- vetorU = (a,b,c)
- veotrV = (m,n,p)
- (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t (a,b,c) + h (m,n,p)
- Equações paramétricas de pi:
- x = x0 + a.t + m.h
- y = y0 + b.t + n.h
- z = z0 + c.t + p.h
- h e t são os parâmetros de variação
- Observações:
- I:
- existe B pertencente a pi, e existe um vetorU1 e vetorV1 paralelos a pi tais que:
- X = B + t.vetorU1 + h.vetorV1 = A + t.vetorU + h.vetorV
- II:
- vetorU = vetorAB
- vetorV = vetorAC
- X = A + t . vetorAB + h . vetorAC
- Se A, B e C são pontos distintos e não colineares de pi
- [v] Equação geral do plano
- Considere ponto A(x0,y0,z0) pertencente ao plano pi
- Considere um vetorN = (a,b,c) | vetorN é perpendicular ao plano pi
- Considere um ponto P(x,y,z) pertencente ao plano pi
- vetorAP pertencente ao plano pi
- vetorN é perpendicular ao vetorAP
- vetornN.vetorAP = 0
- vetorAP = P - A = (x,y,z,)-(x0,y0,z0)
- vetorAP = (x-x0,y-y0,z-z0)
- vetornN.vetorAP = (a,b,c) . (x-x0,y-y0,z-z0) = 0
- a.x - a.x0 + b.y - b.y0 + c.z - c.z0 = 0
- a.x + b.y + c.z - (a.x0 +b.y0 + c.z0) = 0
- - (a.x0 +b.y0 + c.z0) = d
- Equação geral do plano pi:
- a.x + b.y + c.z + d = 0
- Observação:
- sejam A e X pertencentes a pi e vetorU e vetorV dois vetores pertencentes a pi:
- vetorAX, vetorU, vetorV são coplanares (produto misto = 0)
- [vetorAX,vetorU, vetorV] = 0
- determinante:
- vetorU = (r,s,t)
- vetorV = (m,n,p)
- |(x-x0 y-y0 z-z0) (r s t) (m n p)| = 0
- |(s t) (n p)| . x + |(t r) (p m)| . y + |(r s) (m n)| . z - |(s t) (n p)| . x0 - |(t r) (p m)| . y0 - |(r s) (m n) . z0| = 0
- a . x + b . y + c . z + d = 0
- [v] Casos particulares da equação geral do plano
- a.x + b.y + c.z + d = 0, a, b, c, d pertencem aos reais
- Caso 1: a, b, c e d diferentes de 0:
- x = y = 0
- c . z + d = 0
- z = -d/c
- x = z = 0
- b.y + d = 0
- y = -d/b
- y = z = 0
- a .x +d =0
- x = -d /a
- Caso 2: d = 0 >> a.x + b.y + c.z = 0
- o plano corta os eixos coordenados na origem
- Caso 3:
- a = 0:
- plano pi: b.y + c.z + d = 0
- plano pi é paralelo a Ox
- b = 0:
- plano pi: a.x + c.z + d = 0
- plano pi é paralelo a Oy
- c = 0:
- plano pi: a.x + b.y + d = 0
- plano pi é paralelo a Oz
- Caso 4:
- a = b = 0:
- plano pi: c.z + d = 0
- plano pi paralelo ao plano xOy
- a = c = 0:
- plano pi: b.y + d = 0
- plano pi paralelo ao plano xOz
- b = c = 0:
- plano pi: a.x + d = 0
- plano pi paralelo ao plano yOz
- [v] Ângulos
- [v] Ângulo entre reta e plano
- teta = ângulo entre o plano pi e a reta r
- vetor normal ao plano: vetorN = (a,b,c)
- plano pi: a.x + b.y + c.z +d = 0
- vetorN faz um ângulo alfa com a reta r
- alfa + teta = 90°
- alfa = 90° - teta
- cos(alfa) = cos(90° - teta)
- cos(alfa) = sen(teta)
- vetorU é o vetor diretor da reta r:
- cos(alfa) = |vetorU . vetorN| / (|vetorU| . |vetorN|)
- 0 <= alfa <= pi/2
- sen(teta) = |vetorU . vetorN| / (|vetorU| . |vetorN|)
- Exemplo:
- reta r: x = (1,0,0) + t . (-1,-1,0)
- vetor diretor da reta r:
- vetorU = (-1,-1,0)
- plano pi: y + z - 10 = 0
- vetor normal: vetorN = (0,1,1)
- sen(teta) = |(-1,-1,0) . (0,1,1)| / (sqrt(1+1+0) . sqrt(0+1+1)) = |0-1+0| / (sqrt(2) . sqrt(2)) = 1/2
- teta = pi/6 = 30°
- [v] Ângulo entre dois planos
- vetorN1 normal ao plano pi1
- vetorN2 normal ao plano pi2
- teta é o ângulo entre os vetores vetorN1 e vetorN2:
- cos(teta) = |vetorN1 . vetorN2| / (|vetorN1| . |vetorN2|)
- 0 <= teta <= pi/2
- Exemplo:
- plano pi1: x - y + z = 20
- vetorN1 = (1,-1,1)
- plano pi2: x + y + z = 0
- vetorN2 = (1,1,1)
- cos(teta) = |(1,-1,1) . (1,1,1)| / (sqrt(1+1+1) . sqrt(1+1+1)) = |1-1+1| / (sqrt(3).sqrt(3)) = 1/3
- teta = arccos(1/3)
- [v] Perpendicularismo
- Perpendicularismo entre reta e plano
- reta r e plano pi:
- vetor diretor da reta r: vetorR
- vetores do plano pi: vetorU e vetorV
- se a reta r for perpendicular ao plano pi:
- vetorR é paralelo ao produto vetorial entre vetorU e vetorV:
- vetorU x vetorV = vetorW
- vetorR // vetorW
- plano pi: a.x + b.y + c.z + d = 0
- vetorN = (a,b,c)
- vetorN // vetorR
- Perpendicularismo entre plano e plano
- plano pi1:
- vetorN1
- plano pi2:
- vetorN2
- se pi1 e pi2 são perpendiculares
- vetorN1 e vetorN2 são perpendiculares:
- vetorN1 . vetorN2 = 0
- Exemplo:
- reta r:
- x = (0,1,0) + t . (1,1,3)
- vetor diretor da reta:
- vetorR = (1,1,3)
- plano pi:
- x = (3,4,5) + t. (6,7,8) + h . (9, 10, 11)
- vetor normal ao plano pi:
- vetorU = (6,7,8)
- vetorV = (9,10,11)
- vetorN = vetorU x vetorV
- vetorN = |(i,j,k) (6,7,8) (9,10,11)| = 77i + 72j + 60k - 63k - 80i - 66j = (-3,-6,-3)
- Não existe lambda pertencente aos reais tal que vetorN = lambda . vetorR:
- vetorN e vetorR não são paralelos
- r e pi não são perpendiculares
- [v] Exercícios
- [v] Semana 9 - Posições relativas
- [v] Posição relativa
- [v] Posição relativa entre reta e plano
- reta r:
- x = (x0,y0,z0) + t . (m,n,p)
- vetor diretos da reta:
- vetorR = (m,n,p)
- plano pi:
- a.x + b.y + c.z + d = 0
- vetor normal ao plano:
- vetorN = (a,b,c)
- Existem 3 posições relativas entre a reta e o plano:
- reta r paralela ao plano pi
- a reta r é perpendicular ao vetor normal ao plano pi
- vetorR é perpendicular ao vetorN
- vetorR . vetorN = 0
- reta r contida no plano pi
- se além de ser paralela existir um ponto A (x0,y0,z0) pertencente à reta e também pertecente ao plano pi: a reta está contida no plano pi
- reta r transversal ao plano pi
- o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano não são perpendiculares:
- vetorR . vetorN ≠ 0
- interseção entre a reta r e o plano pi é igual a um ponto P
- x = x0 + t.m
- y = y0 + t.n
- z = z0 + t.p
- a.x + b.y + c.z +d = 0.
- [v] Posição relativa entre reta e plano - exemplo
- Plano pi:
- x = (1,1,3) + lambda.(1,-1,1) + mi.(0,1,3)
- A = (1,1,3)
- vetorU = (1,-1,1)
- vetorV = (0,1,3)
- reta r:
- x = (1,1,1) + alfa . (3,2,1)
- vetorR = (3,2,1)
- Achando a equação geral do plano pi:
- [vetorAX,vetorU,vetorV] = 0
- 4.x + 3.y - z - 4 = 0
- vetor normal ao plano pi:
- vetorN = (4,3,-1)
- vetorN . vetorR = (4,3,-1) . (3,2,1) = 12 + 6 -1 = 17 ≠ 0
- vetorN . vetorR ≠ 0
- vetorR é transveral a pi
- interseção entre a reta r e o plano pi
- P = (x,y,z) pertence à reta r e ao plano pi
- x = 1 + 3 . alfa
- y = 1 + 2 . alfa
- z = 1 + alfa
- 4.x + 3.y - z - 4 = 0
- 4 . (1 + 3.alfa) + 3 . (1 + 2.alfa) - (1 + alfa) - 4 = 0
- 4 + 12.alfa + 3 + 6.alfa - 1 - alfa - 4 = 0
- alfa =-2/17
- x = 1 + 3. (-2/17) = 11/17
- y = 1 + 2 . (-2/17) = 13/17
- z = 1 + (-2/17) = 15/17
- P = (11/17, 13/17, 15/17) pertence à interseção entre a reta r e o plano pi
- [v] Posição relativa entre planos
- plano pi1:
- a1.x + b1.y + c1.z +d1 = 0
- vetorN1= (a1,b1,c1)
- plano pi2:
- a2.x + b2.y + c2.z +d2 = 0
- vetorN2= (a2,b2,c2)
- plano pi1 = plano pi2 ?
- plano pi1 // plano pi2 ? (paralelo?)
- plano pi1 secante plano pi2?
- quando pi1 e pi2 são secantes, a interseção entre pi1 e pi2 é uma reta
- vetorN1 e vetorN2 não são colineares:
- plano pi1 e plano pi2 são secantes
- reta r secante:
- resolver o sistema:
- a1.x + b1.y + c1.z +d1 = 0
- a2.x + b2.y + c2.z +d2 = 0
- vetorN1 e vetorN2 são colineares:
- vetorN1 = lambda . vetorN2
- plano pi1 // plano pi2 ou plano pi1 = plano pi2
- ponto P pertencente a pi1
- se P também é pertencente a pi2, pi1 e pi2 são coincidentes
- Exemplo:
- plano pi1:
- 2.x - y + z - 1 = 0
- vetorN1 = (2,-1,-1)
- plano pi2:
- x - 1/2 . y +1/2 . z - 9 = 0
- vetorN2 = (1,-1/2,-1/2)
- vetorN1 = 2 . vetorN2
- vetorN1 // vetorN2
- plano pi1 // plano pi2 ou plano pi1 = plano pi2
- Ponto P(0,0,z) pertencente a pi1:
- 2.0 - 0 + z -1 = 0
- z =1
- P = (0,0,1)
- Ponto P (0,0,1) em pi2:
- 0 - 1/2 .0 + 1/2.1 - 9 = 1/2 - 9 ≠ 0
- O ponto P não pertence a pi2
- Portanto, os planos pi1 e pi2 são planos distintos, porém, parelelos.
- [-] Exercícios
- [v] Semana 10 - Distâncias
- [v] Distâncias
- [v] Distância de ponto a ponto - Distância de ponto a reta
- Distância de ponto a ponto
- Considere um ponto A (x1,y1,z1)
- Considere um ponto B (x2,y2,z2)
- dist(A,B) = |vetorAB|
- [(x2-x1)²+ (y2-y1)² + (z2-z1)²]¹/²
- Distância de ponto a reta
- Área do paralelograma = base . altura do paralelogramo
- = |vetorV| . d(P,r) = |vetorAP x vetorV|
- d(P,r) = |vetorAP x vetorV| / |vetorV|
- [v] Distância de ponto a plano
- Ponto P (x0,y0,z0)
- Plano pi
- vetorN (a,b,c)
- Ponto A no plano pi (x1,y1,z1)
- vetorAP = (x0-x1, y0-y1,z0-z1)
- vetorAP . vetorN = (x0-x1,y0-y1,z0-z1) . (a,b,c)
- = a.x0+b.y0+c.z0-(a.x1+b.y1+c.z1)
- vetorAP . vetorN = a.x0+b.y0+c.z0 + d
- dist (P,pi)
- projetar o vetorAP na direção do vetor normal ao plano pi
- dist (P,pi) = |vetorAP . (1/|vetorN|) .vetorN|
- = |vetorAP . vetorN / |vetorN||
- dist (P,pi) = |a.x0+b.y0+c.z0 + d| / (a²+b²+c²)¹/²
- Equação geral do plano pi = a.x0+b.y0+c.z0 + d
- [v] Distância entre duas retas
- reta r
- reta s
- encontrar uma reta t que seja perpendicular a r e a s
- intercessões A e B
- d(r,s) = d(A,B) = |vetorAB|
- Casos especiais
- r e s são concorrentes:
- reta r e reta s se cruzam em um ponto:
- d(r,s)=0
- r é paralela a s
- d(r,s)=d(P,s), sendo P um ponto que pertence à reta r
- r e s são retas reversas
- reta r
- ponto A
- vetor diretor vetorR
- reta s
- ponto B
- vetor diretor vetorS
- a distância entre as retas é a altura do paralelepípedo formado pelo vetorR, vetorS e vetorAB
- V = S . d(r,s) = |vetorR x vetorS| . d(r,s)
- = [vetorAB,vetorR,vetorS]
- d(r,s) = [vetorAB,vetorR,vetorS] / |vetorR x vetorS|
- [v] Distância entre reta e plano - Distância entre planos
- reta secante ao plano pi
- existe uma intercessão entre a reta e o plano
- distância entre a reta e o plano = 0
- produto escalar entre vetorR da reta e vetorNormal do plano = 0
- r // plano pi ou r está contida no plano pi
- r // plano pi
- r está contida no plano pi
- vetorNormal ao plano é perpendicular ao vetor diretor da reta
- vetorR . vetorNormal = 0
- d(r,pi) = d(P, pi), P pertence a R
- quando r está contida em pi: d(r,pi)=0
- distância entre dois planos
- pi1 e pi2 são planos secantes
- d(pi1,pi2)=0
- vetorNormal1 não é paralelo ao vetorNormal2
- pi1 // pi2 ou pi1=pi2
- vetorNormal1 // vetorNormal2
- vetorN1 . vetorN2 = 0
- d(P,pi1)=d(pi1,pi2), P pertencente a pi2
- [-] Exercícios
- [-] Semana 11 - Avaliação
- [-] Avaliação intermediária
- [v] Semana 12 - Cônicas - Parte 1
- [v] As seções cônicas
- Parábola
- Elipse
- Hipérbole
- Cônicas degeneradas
- reta
- contém a geratriz
- ponto
- passa pelo vértice da superfície cônica
- duas retas
- intercepta a superfície, passando pelo vértice da superfície cônica, e é paralelo ao eixo da superfície cônica
- [v] Parábola
- Elementos
- Foco
- reta diretriz da parábola
- vértice da parábola
- eixo
- 2p: parâmetro da parábola
- Equação da parábola
- P pertencente à parábola
- d(P,r)=d(P,F)
- |y+p|/sqrt(0²+1²)=sqrt((x-0)²+(y-p)²)
- (y+p)²=x² + (y-p)²
- y²+2yp+p²=x²+y²-2yp+p²
- x²=4py
- Vértice (0,0)
- y²=4px (parábola no outro eixo)
- Vértice (0,0)
- [v] Elipse
- d(F1,F2)=2c
- c>0
- a>0
- 2a>2c
- F1 e F2 são os focos da elipse
- a distância entre F1 e F2 é a distância focal
- d(P,f1)+d(P,F2)=2a
- A1A2: eixo maior
- d(A1,A2)=2a
- B1B2: eixo menor da elipse
- d(A1,A2)=2a
- A1,A2,B1,B2: vértices da elipse
- a²=b²+c²
- a>b
- a>c
- excentricidades:
- 0<e<1
- quanto mais próximo de 0, mais a elipse parece com uma circunferência
- quanto mais próximo de 1, mais a elipse parece achatada
- eixo maior
- e=c/a
- eixo menor
- e=c/b
- Equação reduzida da elipse
- d(P,F1)+d(P,F2)=2a
- |vetorPF1|+|vetorPF2|=2a
- sqrt(((x-(-c))²+y²)+sqrt((x-c)²+y²)=2a
- a²=b²+c²
- b²=a²-c²
- eixo maior da elipse no eixo X
- x²/a²+y²/b²=1
- eixo maior da elipse no eixo Y
- x²/b²+y²/a²=1
- Esboço do gráfico da elipse
- y=b/a*sqrt(a²-x²), 0<=x<=a
- Para todo P pertencente à elipse
- x²/a²<=1
- -a<=x<=a
- y²/b²<=1
- -b<=y<=b
- em toda elipse a>b
- [v] Hipérbole
- d(F1,F2)=2c
- 2c>0
- 0<a<c
- P pertence à hipérbole
- |d(P,F1)-d(P,F2)|=2a
- Equação reduzida da hipérbole
- c²=a²+b²
- F1 e F2: focos da hipérbole
- 2c = distância entre os focos
- A1A2: eixo transverso
- B1B2: eixo conjugado
- O: centro
- A1 e A2: vértices
- F1 e F2: segmento focal
- r e s: assíntotas
- F1(-c,0)
- F2(c,0)
- |sqrt(x-(-c)²)+y²)-sqrt((x-c)²+y²|=2a
- c²=a²+b²
- focos da hipérbole pertencentes ao eixo X:
- x²/a² - y²/b²=1
- focos da hipérbole pertencentes ao eixo Y:
- -x²/b² + y²/a²=1
- Observações
- x²/a² - y²/b²=1
- y=b/a*sqrt(x²-a²)
- x>=a
- Para qualquer P(x,y) pertencente a hipérbole
- x²/a²=1+y²/b²>=1
- x>=a
- x<=-a
- Quando F1 e F2 pertencem ao eixo Ox
- r: y=b/a*x
- s: y = -b/a*x
- x²/a²-y2/b²=1
- Quando F1 e F2 pertencem ao eixo Oy
- r: y=a/b*x
- s: y = -a/b*x
- -x²/b²+y2/a²=1
- [v] Mudança de coordenadas
- Translação
- x=h+x'
- x'=x-h
- y=r+y'
- y'=y-r
- P (x,y) = P' (x-h, y-r)
- Rotação
- vetorF1=Versor_i.Cos_teta + Versor_j.Sen_teta
- vetorF2= -Versor_i.Sen_teta + Versor_j.Cos_teta
- P(x,y)
- vetorOP = x'*vetorF1+y'*vetorF2
- x'*(Versor_i.Cos_teta + Versor_j.Sen_teta)+y'*(-Versor_i.Sen_teta + Versor_j.Cos_teta)
- (x'*CosTeta-y'*SenTeta)versor_i + (x'*SenTeta+y'*CosTeta)versor_j
- x = x'*CosTeta-y'*SenTeta
- y = x'*SenTeta+y'*CosTeta
- [-] Exercícios
- [v] Semana 13 - Cônicas - Parte 2
- [v] Cônicas transladadas
- Parábola
- (x-h)²=4p(y-k)
- x²-2hx-4py+h²+4pk=0
- G(x,y)=Ax²+Cx+Dy+E=0
- Se o eixo de simetria da parábola for paralelo ao eixo OX
- G(x,y)=By²+Cx+Dy+E=0
- Elipse
- (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
- G(x,y)=Ax²+By²+Cx+Dy+E=0
- Hipérbole
- (x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1
- G(x,y)=Ax²+By²+Cx+Dy+E=0
- [v] Equações paramétricas das cônicas
- Parábola
- Eixo de simetria paralelo ao eixo Y
- x²=4py
- y=1/4p*x²
- Equação paramétrica da parábole
- x=t
- y=1/4p*t²
- Elipse
- x²/a²+y²/b²=1
- x'=x/a
- y'=y/b
- Equação de uma circunferência
- (x')²+(y')²=1
- x'=Cos_Teta
- x/a=Cos_Teta
- y'=Sen_Teta
- y/b=Sen_Teta
- Equação paramétrica da elipse
- x=a*cos*t
- t=b*sen*t
- t pertencente ao intervalo de 0 a 2pi
- Hipérbole
- x²/a²-y²/b²=1
- tg²t+1=sec²t
- sec²t-tg²t=1
- x/a=sec_t
- y/b=tg_t
- t pertencente ao intervalo entre 0 e 2pi
- Equações paramétricas da hipérbole
- x=a*sec_t
- y=b*tg_t
- t pertence ao intervalo entre -pi/2 e pi/2 (ramo direito da hipérbole) União com o intervalo entre pi/2 e 3*pi/2 (ramo esquerdo da hipérbole)
- [-] Exercícios
- [v] Semana 14 - Superfícies Quádricas
- [v] Introdução ao estudo das quádricas
- Superfície pertence ao R³:
- G(x,y,z) = ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz+mx+ny+pz=0
- a,b,c,d,e ou f deve ser diferente de 0
- S intercessão pi é uma cônica
- traço da superfície quádrica
- Equações canônicas das quádricas
- Ax²+By²+Cz²=D
- Quádrica cêntrica
- elipsóide
- hiperbolóide
- cone
- Quádricas não cêntricas
- Ax²+By²=Cz
- Ax²+Bz²=Cy
- Ay²+Bz²=Cx
- Cilindro
- Parabolóide
- [v] Superfície esférica
- [v] Superfície esférica
- S é o conjunto de todos os pontos P pertencentes ao R³, tais que d(P,C)=r, que é o raio da esfera
- d(P,C)=sqrt((x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²)=r
- Equação reduzida da superfície S
- S: (x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)² = r²
- Equação geral da superfície:
- x²+y²+z²+ax+by+cz+d=0
- (x+a/2)²+(y+b/2)²+(z+c/2)²=1/4*(a²+b²+c²-4d)
- se (a²+b²+c²-4d) > 0
- C = (-a/2,-b/2,-c/2)
- r = sqrt(a²+b²+c²-4d)/2
- se (a²+b²+c²-4d) = 0
- C = (-a/2,-b/2,-d/2)
- r=0 > Ponto!
- se (a²+b²+c²-4d) < 0
- conjunto vazio!
- [v] Plano tangente a uma superfície esférica
- Intercessão entre S e pi é um ponto: ponto T
- vetorCT é normal ao plano pi
- d(C,T) = r
- [v] Superfície cilíndrica
- [v] Superfície cônica
- Caso 1
- x²/a²+y²/b²=z²
- Caso 2 - Se o eixo for ao longo do eixo Y
- x²/a²+z²/c²=1
- y=b
- v=(0,0,0)
- x²/a²+z²/c²=y²
- Caso 3 - Se a superfície elíptica estiver ao longo do eixo X
- y²/b²+z²/c²=1
- x=a
- V=(0,0,0)
- y²/b²+z²/c²=x²
- V=(h,k,l)
- x'=x-h
- y'=y-k
- z'=z-l
- Caso 1
- (x-h)²/a²+(y-k)¹/b²=(z-l)²
- Caso 2
- (x-h)²/a²+(z-l)²/c²=(y-k)²
- Caso 3
- (y-k)²/b²+(z-l)²/c²=(x-h)²
- [v] Superfícies de revolução
- [v] Superfície de revolução
- S: x²+z²=2y
- eixo x:
- y² + z²=2x
- eixo y:
- x²+z²=2y
- eixo z:
- x²+y²=2z
- z²=2y
- x²+z²=2y
- [v] Elipsóide
- Elipse: y²/b²+z²/c²=1
- Elipsóide:
- y²/b²+(x²+z²)/c²=1
- x²/c²+y²/b²+z²/c²=1
- Forma canônica do elipsóide
- x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
- Soluções de S:
- pontos onde o elipsóide intercepta os eixos coordenados:
- (+-a,0,0), (0,+-b,0), (0,0,+-c)
- Traços
- xOy: z=0
- x²/a²+y²/b²=1
- xOz: y=0
- x²/a²+z²/c²=1
- yOz: x=0
- y²/b²+z²/c²=1
- Elipses, pontos e conjunto vazio:
- x=k
- y=k
- z=k
- a=b=c:
- x²/a²+y²/a²+z²/a²=1
- Equação de uma esfera com centro na origem e raio igual a a:
- x²+y²+z²=a²
- C=(h,k,l)
- Quando os eixos do elipsóide são parelelos aos eixos coordenados e ocorreu uma translação de eixos:
- (x-h)²/a²+(y-k)²/b²+(z-l)²/c²=1
- [v] Hiperbolóide de uma folha
- hipérbole:
- y²/b²-z²/c²=1
- y= +-sqrt(x²+y²)
- (x²+y²)/b²-z²/c²=1
- x²/b²+y²/b²-z²/c²=1
- Geral
- Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OZ:
- x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
- Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OY:
- x²/a²-y²/b²+z²/c²=1
- Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OX:
- -x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
- Traços:
- xOy: z=0
- elipse: x²/a²+y²/b²=1
- xOz: y=0
- hipérbole: x²/a²-z²/c²=1
- yOz: x=0
- hipérbole: y²/b²-z²/c²=1
- [v] Hiperbolóide de duas folhas
- hipérbole:
- y²/b²-z²/c²=1
- x=+-sqrt(x²+z²)
- Equação do hiperbolóide:
- y²/b²-(x²+z²)/c²= 1
- -x²/c²+y²/b²-z²/c²=1
- Geral:
- Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OY:
- -x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
- Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OX:
- x²/a²-y²/b²-z²/c²=1
- Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OZ:
- -x²/a²-y²/b²+z²/c²=1
- Traços:
- C=(h,k,l)
- -(x-h)²/a²+(y-k)²/b²+(z-l)²/c²=1
- Resumindo
- +-x²/a²+-y²/b²+-z²/c²=1
- +++: elipsóide
- hiperbolóide de uma folha:
- +-+
- ++-
- -++
- hiperbolóide de duas folhas:
- +--
- -+-
- --+
- [v] Parabolóide elíptico
- Parábola: z=y²/b²
- x=0
- girar a parábola em torno do eixo OZ
- Parabolóide de revolução
- y=+-sqrt(x²+y²)
- z=(x²+y²)/b²
- z=x²/b²+y²/b²
- Geral:
- Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OZ:
- z=x²/a²+y²/b²
- Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OX:
- x=y²/b²+z²/c²
- Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OY:
- y=x²/a²+z²/c²
- Traços do parabolóide:
- xOy: z=0
- C=(0,0,0)
- z=k>0:
- elipse
- z=k<0:
- conjunto vazio
- x=k ou y=k: eixos paralelos a Oz:
- parábolas
- [v] Parabolóide hiperbólico
- Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz:
- z=y²/b²-x²/a²
- Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oy:
- y=z²/c²-x²/a²
- Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Ox:
- x=z²/c²-y²/b²
- Traços do parabolóide:
- x=k
- Equação de parábola
- z=y²/b²-k²/a²
- y=k
- Equação de parábola
- z=k²/b²-x²/a²
- z=k
- Hipérbole
- k=y²/b²-x²/a²
- k=0
- y²/b²-x²/a²=0
- (y/b-x/a)(y/b+x/a)=0
- Equações de duas retas que passam pela origem
- k>0:
- eixo real paralelo a Oy
- k<0:
- eixo real paralelo a Ox
- [v] Cone circular
- reta g:
- z=my
- x=0
- está no plano yOz
- rotação em torno do eixo Oz:
- y=+-sqrt(x²+y²)
- z=m(+-sqrt(x²+y²)
- z²=m²x²+m²y²
- m=1/a
- Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Oz:
- z²=x²/a²+y²/a²
- Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Oy:
- y²=x²/a²+z²/a²
- Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Ox:
- x²=y²/a²+z²/a²
- Observações:
- intercessão entre o cone circular e os eixos coordenados é a origem
- v=(0,0,0)
- Traços
- xOy:
- z=0
- x²/a²+y²/a²=0
- ponto que satisfaz: (0,0,0)
- xOz:
- y=0
- z²=x²/a²
- x=+-az
- yOz:
- x=0
- y=+-az
- x=+-az e y=+-az:
- retas concorrentes que passam pela origem
- z²=y²/a²
- z=k
- x²/a²+y²/a²=k²
- k diferente de 0
- circunferência
- C(0,0)
- raio r = ak
- x=k
- k²/a²+y²/a²=z²
- hipérbole:
- z²-y²/a²=k²/a²
- k diferente de 0
- y=k
- x²/a²+k²/a²=z²
- hipérbole:
- z²-x²/a²=k²/a²
- k diferente de 0
- [] Exercícios
- [] Semana 15 - Avaliação
- [] Avaliação Intermediária
- [] Trabalho de cônicas e quádricas
Lucas T R Freitas
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