Cálculo I - 12/04/2019

Cálculo I - 12/04/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h55min
Término da aula: 19h57min
Taxa de aproveitamento: ≥ 68,88%
Observação: professora ainda não usou slides e vídeos em nenhuma aula. Nem recursos sonoros ou coisa do tipo.


Revisão de funções:
h(x) = ∛(x² + 2); h(x) é função contínua.

f(x) = ∛x

g(x) = x² + 2

h(x) = f(g(x)) = (fog)(x)

f(g(x)) = ∛(x² + 2)


Derivada

As derivadas são usadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função, para calcular velocidade e aceleração de um objeto móvel, para estimar a taxa de disseminação de uma doença, para estabelecer níveis de produção mais eficientes, entre outros.


Retas tangentes e taxas de variação

Retas tangentes

Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo dado qualquer.
Considere o ponto P(a, f(a)) pertencente ao gráfico de f.
Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente ao gráfico y = f(x) em P.

Exemplo de tangente no ponto de um gráfico, obtido com o Krita.

1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente a f em p. Considere um outro ponto Q(x, f(x)) sob o gráfico de f. O coeficiente angular da reta PQ (secante a y = f(x)) é:

m_PQ = ∆y / ∆x = [f(x) - f(a)] / (x - a)

Se f é contínua em "a", podemos fazer o ponto Q(x, f(x)) "tender" para o ponto P(a, f(a)), fazendo x tender ao ponto "a".

À medida em que Q se aproxima de P, a reta secante PQ se "aproxima" cada vez mais da reta tangente "t" ao gráfico y = f(x) em x = 0. Isso significa que m_PQse aproxima do coeficiente angular da reta tangente m_t.

m_t = lim_x→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)}, desde que o limite exista.

Observações:
1) Se m_t = 0, então a reta tangente é a reta horizontal y = f(a);

2) se lim_x→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)} = ± ∞, então a reta tangente é a reta vertical x = a.
*Neste caso, dizemos que não existe tangente em P.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.