4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas

4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas

1) Determine f ^-1(x) em cada caso:

a) f(x) = 3x + 5
[Res.]
Para encontrar a função inversa:
x = 3y + 5
Daí: y = (x - 5) / 3
Simples assim. Onde era f(x) coloca-se x e onde era x coloca-se y, que é o f(x).

b) f(x) = 1/ (3x - 2)
[Res.]
x = 1 / (3y - 2)
3y - 2 = 1 / x
3y = (1/x) + 2
3y = (1 + 2x) / x
y = (1 + 2x) / 3x
f ^-1(x) = (1 + 2x) / 3x

c) f(x) = (3x + 2) / (2x - 5)
[Res.]
x = (3y + 2) / (2y - 5)
2yx - 5x = 3y + 2
2yx - 3y = 2 + 5x
y (2x - 3) = 2 + 5x
y = (2 + 5x) / (2x-3)
f ^-1(x) = (2 + 5x) / (2x-3)

d) f(x) = 2 - 3x²
[Res.]
x = 2 - 3y²
3y² = 2 - x
y² = (2 - x) / 3
y = ((2 - x) / 3)^(1/2)
f ^-1(x) = ((2 - x) / 3)^(1/2)

e) f(x) = 5x² + 2
[Res.]
x = 5y² + 2
5y² = x - 2
y² = (x-2) / 5
y = ((x-2) / 5)^(1/2)

f ^-1(x) = ((x-2) / 5)^(1/2)

f) f(x) = (4 - x²)^(1/2), 0 ≤ x ≤ 2
[Res.]
x = (4-y²)^(1/2)
x² = 4 - y²
y² = 4 - x²
y = (4 - x²)^(1/2)

f ^-1(x) = (4 - x²)^(1/2)

g) f(x) = x^(1/3) + 1
[Res.]
x = y^(1/3) + 1
y^(1/3) = x - 1
y = (x - 1)³

f ^-1(x) = (x - 1)³

h) f(x) = (x³ + 1)^5
[Res.]
x = (y³+1)^5
x^(1/5) = y³ + 1
y³ = x^(1/5) - 1
y = (x^(1/5) - 1)^(1/3)

f ^-1(x) = (x^(1/5) - 1)^(1/3)

i) f(x) = (2x + 3) / (x - 5)
[Res.]
x = (2y + 3) / (y - 5)
xy - 5x = 2y + 3
y (x - 2) = 3 + 5x
y = (3 + 5x) / (x - 2)

f ^-1(x) = (3 + 5x) / (x - 2)


2) Sejam as funções f(x) = 2x - 1 e g(x) = kx + t funções de IR em IR. Determine os valores de k e t para que g(x) = f ^-1(x).
[Res.]
Encontrando a inversa de f(x):
x = 2y - 1
2y = x + 1
y = (x + 1) / 2

Assim, f ^-1(x) = (x + 1) / 2
Logo,
(x + 1) / 2 = kx + t
(1/2) . x + 1/2 = kx + t
Assim, k = 1/2 e t = 1/2

3) Seja f: IR → IR uma função bijetora definida por f(x) = x³ + 1. Seja g: IR → IR uma função bijetora, definida por g(x) = (4x + 1) / 3. Determine o valor de f ^-1(9) + g(f(1/2)).
[Res.]
Revisando os conceitos:

Função:
Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.
Referência:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm

Calculando a função inversa de f(x):
x = y³ + 1
y³ = x - 1
y = (x - 1)^(1/3)

Assim:
f ^-1(x) = (x - 1)^(1/3)

Calculando f ^-1(9):
f ^-1(9) = (9 - 1)^(1/3) = 8^(1/3) = 2

Calculando g(f(1/2)):
g(x) = (4x + 1) / 3

f(1/2) = (1/2)³ + 1 = 1/8 + 1 = 9/8

g(f(1/2)) = (4 . (9/8) + 1) / 3 = (9/2 + 1) / 3 = 11/2 *1 / 3 = 11/6

Calculando f ^-1(9) + g(f(1/2)):
f ^-1(9) + g(f(1/2)) = 2 + 11/6 = (12 + 11) / 6 = 23/6


4) A função f, definida em IR - {2} por f(x) = (2 + x) / (2 - x) é inversível. O seu contradomínio é IR - {a}. Determine o valor de a.
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (2 + y) / (2 - y)
2x - xy = 2 + y
2x - 2 = y + xy
y (1 + x) = 2x -2
y = (2x - 2) / (1 + x)

Assim:
f ^-1(x) = (2x - 2) / (1 + x)
Logo, o valor de a = -1.


5) Seja f: IR → IR, definida por f(x) =

• 3x + 3, se x ≤ 0
• x² + 4x + 3, se x > 0

É correto afirmar que:

a) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (21). 

b) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (99).

c) ( ) f é sobrejetora mas não é injetora.

d) ( ) f é injetora mas não é sobrejetora.

e) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (3)

Gabarito: letra b, porém, conforme resolução abaixo, encontrei como resposta a letra c.


[Res.]

Vamos analisar letra a letra para responder a questão, já que as opções de resposta envolvem números.

Analisando a letra a:
Vamos calcular (f ° f)(-2/3):
Como -2/3 ≤ 0, usaremos f(x) = 3x + 3:
(f ° f)(x) = 3 . (3x + 3) + 3
(f ° f)(-2/3) = 3 . [3 . (-2/3) + 3] + 3
= 3 . [-2 + 3] + 3
= 3 . 1 + 3
= 3 + 3
= 6

Calculando f ^-1 (21):
Como 21 > 0, usaremos f(x) = x² + 4x + 3:
Encontrando f ^-1 (x):
y = x² + 4x + 3

Yvértice = - ∆ / 4a
Yvértice = - [16 - 4 . (1) . (3)] / [4 . (1)]
Yvértice = - [16 - 12] / 4
Yvértice = - 4 / 4
Yvértice = - 1

Como a concavidade é para cima, a imagem da função y = x² + 4x + 3 será de [-1, +∞[.

Trocando o x pelo y, obtemos:
y = x² + 4x + 3
x = y² + 4y + 3

Assim:
y² + 4y + 3 - x = 0

Utilizando Bháskara
y = [-4 ± √(16 - 4 . (1) . (3-x)] / [2 . (1)]
y = [-4 ± √(16 - 12 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √(4 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √4(1 + x)] / [2]
y = [-4 ± 2√(1 + x)] / [2]
y = [-2 ± √(1 + x)] / [1]
y = -2 ± √(1 + x)

Avaliando a Imagem de f(x), que é [-1, +∞[, vemos que:
y = -2 + √(1 + x) condiz com a imagem
y = -2 - √(1 + x) não condiz com a imagem

Portanto, o valor de y para o intervalo da função f(x) será:
y = -2 + √(1 + x)


Referência consultada: http://entendaexatas.blogspot.com/2013/09/funcao-quadratica-inversa.html

Assim:
f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x)
f ^-1 (21) = -2 + √(1 + 21)
f ^-1 (21) = -2 + √22

Assim, descartamos a resposta a, pois a afirmação (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (21) não é verdadeira.
(f ° f)(-2/3) = 6
f ^-1 (21) = -2 + √22
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (21)

Analisando a letra b:
Calculamos na letra a (f ° f)(-2/3):
(f ° f)(-2/3) = 6

Agora vamos calcular f ^-1 (99):
f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x)
f ^-1 (99) = -2 + √(1 + 99)
f ^-1 (99) = -2 + √100
f ^-1 (99) = -2 + 10
f ^-1 (99) = 8

Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (99) = 8:
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (99)

Analisando a letra c:
A letra c diz que f é sobrejetora mas não é injetora.

Sobrejetora
Sobrejetora é a função que para todo elemento no contradomínio há pelo menos um no domínio.
Como f(x) =

• 3x + 3, se x ≤ 0
• x² + 4x + 3, se x > 0

Para cada x existe pelo menos um valor de y. Logo, f(x) é sobrejetora.

Injetora
Injetora é a função em que existe uma única imagem distinta para cada valor do domínio.
Como f(x) pode ser uma parábola caso x > 0, ela não é injetora.

Assim, a resposta correta é a letra c.


Analisando a letra d:
A letra d diz que f é injetora mas não é sobrejetora.

Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é injetora, mas é sobrejetora.

Analisando a letra e:
A letra e diz que f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (3).

Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é bijetora, pois para ser bijetora ela precisaria ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

Além disso, como vimos anteriormente,  (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x). Assim:
f ^-1 (3) = -2 + √(1 + 3)
f ^-1 (3) = -2 + √4
f ^-1 (3) = -2 + 2
f ^-1 (3) = 0

Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (3) = 0:
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (3)



6) Dadas as funções bijetoras f(x) = 2x - 3 e g(x) = x³, determine (f ° g)^-1(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = 2 . (x³) - 3

Calculando f(g(x))^-1:
x = 2 y³ - 3
2y³ = x + 3
y³ = (x + 3) / 2
y = ((x + 3) / 2)^(1/3)

f(g(x))^-1 = ((x + 3) / 2)^(1/3)


7) Dadas as funções bijetoras f(x) = x - 1 e g(x) = 2x + 3, mostre que (f ° g)^-1(x) = (g^-1 ° f ^-1)(x).
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = y - 1
y = x + 1

f(x)^-1 = x + 1

Calculando a função inversa de g(x):
x = 2y + 3
2y = x -3
y = (x - 3) / 2

g(x)^-1 = (x - 3) / 2

Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2

Calculando a inversa de f(g(x)):
x = 2y + 2
2y = x - 2
y = (x - 2) / 2

f(g(x))^-1 = (x - 2) / 2

Calculando g(f(x)^-1)^-1:
g(f(x)^-1)^-1 = g(x+1)^-1 = ((x + 1) - 3) / 2 = (x -2) / 2

Assim:
f(g(x))^-1 = g(f(x)^-1)^-1 = (x -2) / 2


8) Seja f, de IR em IR, uma função definida por f(x) = mx + p. Se o gráfico de f ^-1(x) passa peloas pontos A(4,0) e B(0,3), determine a função f(x).
[Res.]
Encontrando a função inversa de f(x):
x = my + p
my = x - p
y = (x - p) / m

f(x)^-1 = (x - p) / m

Considerando o ponto A(4, 0):
0 = (4 - p) / m
4 - p = 0
p = 4

Considerando o ponto B(0, 3):
3 = (0 - p) / m
3 = -p / m
m = -p / 3

Como p = 4:
m = - 4 / 3

Assim:
f(x) = mx + p
f(x) = -(4/3) . x + 4


9) Qual a relação entre a e b para a função f(x) = (ax + 1) / (2x + b) coincida com sua inversa?
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (ay + 1) / (2y + b)
2xy + xb = ay + 1
2xy - ay = 1 - xb
y(2x - a) = 1 - xb
y = (1 - xb) / (2x - a)

f(x)^-1 = (1 - xb) / (2x - a)

Para f(x) = f(x)^-1:
(ax + 1) / (2x + b) = (1 - xb) / (2x - a)
(ax + 1) . (2x - a)  = (1 - xb) . (2x + b)
2ax² - a²x + 2x - a = 2x + b - 2bx² - b²x

Reorganizando:
2ax² - a²x + 2x - a = - 2bx² + 2x - b²x + b
2ax² + (2 - a²)x - a = - 2bx² + (2 - b²)x + b

Assim:
2ax² = -2bx²
Logo:
a = -b

10) Seja f a função definida por f(x) = (3x + 2) / (4x - 1), onde x ≠ 1/4. Determine os valores de a e b para que f ^-1(x) = (x+2) / (ax+b).
[Res.]
Calculando f ^-1(x):
x = (3y + 2) / (4y - 1)
4xy - x = 3y + 2
4xy - 3y = x + 2
y (4x - 3) = x + 2
y = (x + 2) / (4x - 3)

f ^-1(x) = (x + 2) / (4x - 3)

Para f ^-1(x) = (x+2) / (ax+b):
(x + 2) / (4x - 3) = (x+2) / (ax+b)

Logo:
a = 4 e b = -3


11) Considere a função f: [0, ∞[ → [12, ∞[, dada por f(x) = x² + 2kx + k² - 4, onde a constante real k faz com que a função f(x) admita inversa. Determine o valor de f ^-1(21).
[Res.]

Para f(x):
f(x) = x² + 2kx + k² - 4
f(x) = (x + k)² - 4

Como x ≥ 0 e y ≥ 12:
f(x) ≥ 12
Logo:
(x + k)² - 4 ≥ 12
(x + k)² ≥ 16

Assim: x + k ≥ 4 ou x + k ≤ - 4

Como x ≥ 0:

• 0 + k ≥ 4
• k ≥ 4
• 0 + k ≤ - 4
• k ≤ - 4

Calculando a função inversa de f(x):
x = y² +2ky + k² - 4
x = (y + k)² - 4
(y + k)² = x +4
y + k = (x + 4)^(1/2)
y = (x + 4)^(1/2) - k

Logo:
f ^-1(x) = (x + 4)^(1/2) - k

Calculando f ^-1(21):
f ^-1(21) = (21 + 4)^(1/2) - k = 25^(1/2) - k
f ^-1(21) = 5 - k

Para k ≤ - 4:
f ^-1(21) ≥ 5 - k
f ^-1(21) ≥ 5 - (-4)
f ^-1(21) ≥ 9

Para k ≤ 4:
f ^-1(21) ≤ 5 - k
f ^-1(21) ≤ 5 - (4)
f ^-1(21) ≤ 1

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.