Conclusão do curso Kumon de Matemática - 04/09/2021

Conclui hoje, Sábado 04 de Setembro de 2021, o curso Kumon de matemática. A experiência de aprendizado me fez aprender lições de humildade e persistência.

Muitas vezes tive dificuldades e errei em contas básicas. Pensei em desistir várias vezes. Trata-se de um curso extremamente trabalhoso. Mas o meu objetivo era tampar as lacunas da matemática que eu não tinha visto ou trabalhado na escola, no ensino fundamental e médio.

O curso abordou:

• Letras A a D: uma revisão das operações básicas (subtração, soma, divisão, multiplicação) e frações
• Letras E a F: adição e subtração de frações, frações, decimais e combinação das 4 operações básicas
• Letra G: cálculos com números positivos e negativos, valor das expressões algébricas, expressões algébricas, equações do 1° grau
• Letra H: sistemas de equações lineares com 2 incógnitas, inequações, funções e gráficos, polinômios
• Letra I: multiplicação de polinômios, fatoração, raiz quadrada, equação do 2° grau, gráficos de funções quadráticas, Teorema de Pitágoras
• Letra J: desenvolvimento dos polinômios, fatoração, expressões racionais, números irracionais, equações quadráticas e números complexos, discriminante / relação entre coeficiente e raiz, Teorema do Fator
• Letras K a O: estudo de funções diversas, limites, derivadas e integrais, funções trigonométricas, progressões diversas, aplicações de derivadas e integrais.

Cada letra teve 200 folhas de exercício, frente e verso. Assim, da letra A até a letra O foram 15 letras: 15*200 = 3000 folhas de exercícios.

São muito exercícios. Muito tempo de dedicação.

Fiz a matrícula no curso de matemática do Kumon em 15 de Abril de 2014. Assim, foram, até hoje, 04/09/2021, aproximadamente:

• anos: 2021-2014 = 7 anos
• meses: 09 - 04 = 5 meses

Total de investimento financeiro aproximado:

Quando eu entrei no kumon paguei R$ 165,00 equivalente a meia mensalidade, pois entrei no dia 15, mais a taxa de matrícula. A mensalidade era em torno de 200 reais.

Hoje, a mensalidade de 05/09/2021 foi de R$ 275,00.

Para uma estimativa de cálculos, vamos supor que o valor médio da mensalidade foi de R$ 210,00 no período todo. Sem contar gastos com transporte e materiais escolares. Assim:

210 R$/mês * 12 meses / ano * 7,5 anos = R$ 18900,00.

Pode-se arredondar esse valor para uns R$ 20.000,00 para facilitar o entendimento.

É importante destacar que o maior investimento realizado é a aplicação de tempo na realização das tarefas: é o que é realmente relevante. Gastei muito tempo para fazer as tarefas bem feitas e com compreensão do conteúdo. Cada pessoa tem o seu ritmo, além dos seus compromissos do dia a dia. Em períodos de stress elevado ou de muita carga de trabalho, o rendimento nas atividades do Kumon pode ficar bastante reduzido, aumentando o tempo de realização das tarefas. Passei por vários períodos assim e várias vezes pensei em parar o curso. Recebi apoio por meio de conversas com as instrutoras para continuar no curso.

É necessário muito paciência e dedicação para concluir o curso. Ainda que a pessoa tenha facilidade em desenvolver todas as atividades, como elas são muitas, será necessário aplicar tempo e ter persistência para concluir todas as tarefas.

Repito aqui que dentre as lições que aprendi com o curso Kumon de Matemática destacam-se a humildade e a persistência. Também compreendi porque é falado que o Kumon desenvolve autonomia nas pessoas: a pessoa aprende por meio do "autodidatismo" e precisa aprender a procurar solucionar os problemas, buscar soluções, procurar explicações. Como são tantas folhas de exercícios, repetidamente a pessoa precisa buscar ajuda, buscar exemplos, fazer pesquisas, estudar, para conseguir concluir as tarefas. Como a busca é contínua, desenvolve-se o "autodidatismo". A pessoa pode usar a habilidade de busca de soluções em outros problemas que aparecer pela vida. Assim ocorre um desenvolvimento de "autonomia" para a realização do aprendizado.

Um aspecto importante e que me custou muito caro, elevando o tempo de realização do curso, foi uma crença pessoal minha de que eu não poderia olhar as respostas no "Livro de resoluções". Algumas vezes em que eu tinha dúvidas os instrutores tentavam me mostra a resposta no "Livro de resoluções" e eu não aceitava olhar, pois achava que eu tinha que me desenvolver sozinho ou com a explicação dos instrutores. Com isso, eu gastava muito tempo tentando resolver as questões e várias vezes "empacava" em determinada atividade do curso.

Então aconteceu uma coisa que me fez me desenvolver: fiquei um período sem instrutor para o nível de conhecimento em que eu estava. Eu chegava e só tinha acesso ao "Livro de resoluções", pois os outros instrutores só atendiam os alunos de matemática mais básica, português e inglês.

Na época eu achava um absurdo não ter instrutor para me orientar, e pensei em desistir do curso. Conversei com a direção da escola e persisti no desafio de concluir o Kumon e "tampar" as lacunas de conhecimento da matemática do ensino fundamental e médio que eu tinha. Sempre tive claro o objetivo de "tampar" as lacunas de conhecimento da matemática do ensino fundamental e médio.

Comecei então a olhar o "Livro de resoluções" como meu companheiro de aprendizado. E realmente ele era isso, pois havia nele várias menções a outras questões e exemplos de resoluções. E eu estava sem instrutor nesse período: ou seja, eu havia me tornado meu próprio instrutor. E tinha que concluir o curso Kumon de matemática. Foi então que eu li na contracapa do "livro de resoluções" uma orientação que o livro dava para os instrutores: "oriente os alunos a utilizarem o Livros de Respostas da seguinte maneira". Quando eu li essa frase a minha crença pessoal de eu que não podia consultar as respostas foi derrubada. Eu havia me prejudicado até aquele momento do curso por não querer olhar as respostas no "livro de resoluções". Dali em diante passei a dar valor para o livro de resoluções e a utilizá-lo para o meu aprendizado.

Me lembro de um dia em que eu estava no Kumon e uma criança chegou e falou que eu estava colando por olhar o livro de resoluções. Fiquei muito triste com aquilo. Tentei explicar para a criança que ela também poderia olhar quando fosse necessário, mas a criança estava como eu estava antes, com a crença de que não poderia olhar o "livro de resoluções". Acredito que isso seja um aspecto cultural, já que não ocorreu só comigo no processo de aprendizagem do Kumon, visto que a criança também tinha a mesma crença que eu.

Olhar o "livro de resoluções" e aprender com as orientações e exemplos dele tornaram o meu avanço muito mais rápido. E aprendi a consultar outras fontes de aprendizagem, procurar mais exemplos, utilizar ferramentas que estão disponíveis hoje na internet. E em conjunto passei a receber a instrução de uma pessoa que havia concluído o Kumon de matemática recentemente.

Mesmo assim, as dificuldades existiam: stress, carga de trabalho, decretação de pandemia, fechamento do Kumon devido à pandemia, dentre outros. As instruções passaram a ser online. Porém, como o "autodidatismo" já estava em andamento, o que houve foi uma adaptação e um aprendizado para a utilização dos recursos disponíveis para a conclusão do meu objetivo, que era claro desde o início: "tampar" as lacunas de conhecimento da matemática do ensino fundamental e médio.

Havia entrado no Kumon com o objetivo claro de tampar as lacunas da matemática e entrar preparado num curso de Doutorado. Hoje considero o Kumon de Matemática, concluído, como uma espécie de doutorado.

Muito obrigado a todos que possibilitaram a minha conclusão no no curso Kumon de Matemática.

Entrega do teste final do Kumon de Matemática Letra O

Giovana, Lucas, Isadora

09/09/2021

Referências:

https://kumon.com.br/metodo-kumon

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE | DERIVADA

Fórmulas importantes da letra O do curso Kumon de Matemática

 Fórmulas importantes da letra O do curso Kumon de Matemática

 

Tangentes e Normais

 Equação da tangente

 A equação da tangente à curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é

y - f (a) = f ' (a) . (x - a)

 

Equação da Normal

Quando uma reta que passa por um ponto A na curva é perpendicular à tangente no ponto A, esta reta é chamada de normal em relação à curva no ponto A. O gradiente da tangente no ponto A (a, f (a)) é f ' (a). Como a normal é perpendicular à tangente, quando f ' (a) ≠ 0, o gradiente da normal é:

- 1 / [f ' (a)].

Assim, a equação da normal de uma curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é:

y - f (a) = -1 / [f ' (a)] . (x - a) quando f ' (a) ≠ 0

x = a quando f ' (a) = 0

Funções Crescentes / Decrescentes e Valores Extremos Relativos

O gradiente da tangente de uma função contínua y = f (x) em x = a é f  '(a). A partir disso, temos 3 casos:

• se f  '(a) > 0, a tangente tem uma curva positiva;
• se f  '(a) < 0, a tangente tem uma curva negativa;
• se f  '(a) = 0, o gradiente da  tangente é 0.

No ponto próximo de x = a, o gráfico da função y = f (x) é quase igual ao da tangente. Assim:

• se f  '(x) > 0 no intervalo (a, b), f (x) é crescente no intervalo [a, b];
• se f  '(x) < 0 no intervalo (a, b), f (x) é decrescente no intervalo [a, b];
• se f  '(x) = 0 no intervalo (a, b), f (x) é uma constante no intervalo [a, b].

Quando uma função contínua f (x) muda de crescente para decrescente conforme x aumenta em a, dizemos que a função f (x) tem um máximo relativo em x = a e f (a) é chamado de valor máximo relativo.

Quando a função f (x) muda de decrescente para crescente conforme x aumenta em a, dizemos que a função f (x) tem um mínimo relativo em x = a e f (a) é chamado de valor mínimo relativo.

Os valores máximo relativo e mínimo relativo são chamados de valores extremos relativos.

Assíntotas

Em geral, uma reta à qual um gráfico se aproxima indefinidamente sem nunca tocá-la é chamada de assíntota do gráfico.

Há dois tipos de assíntotas:

- se lim_x→∞ [f (x) - (ax + b)] = 0 ou lim_x→-∞ [f (x) - (ax + b)] = 0, y = a . x + b é uma assíntota da curva y = f (x).

- se ao menos um dentre lim_x→a⁺ f (x) ou lim_x→a^- f(x) é ∞ ou -∞, x = a é uma assíntota da curva y = f (x).

Concavidades de Curvas

Como f '' (x) é uma derivada de f '(x), o sinal do valor de f '' (x) pode determinar se o valor de f '(x) é crescente ou decrescente.

No intervalo no qual f '' (x) > 0, o valor de f ' (x) é crescente e o gradiente da tangente da curva y = f (x) também é crescente, como demonstrado à direita. Nesse caso, dizemos que a curva é côncava para cima.

No intervalo no qual f ''(x) < 0, o valor de f '(x) é decrescente e o gradiente da tangente da curva y = f (x) é também decrescente, como demonstrado à direita. Nesse caso, dizemos que a curva é côncava para baixo. Assim:

Quando a função f (x) tem a derivada de segunda ordem f ''(x):

- no intervalo no qual f ''(x) > 0, a curva y = f (x) é côncava para cima;

- no intervalo no qual f ''(x) < 0, a curva y = f (x) é côncava para baixo.

Ponto de inflexão

Dado que f ''(a) = 0, se o sinal de f ''(x) mudar conforme x aumenta através de a, o ponto (a, f (a)) é um ponto de inflexão da curva y = f (x). Além disso, se o ponto (a, f (a)) for um ponto de inflexão da curva y = f (x), então f ''(a) = 0.

Concavidade de Curvas

Os valores extremos relativos também poder ser determinados pelo sinal da derivada de segunda ordem, não apenas pela tabela de variação.

Quando uma função f (x) satisfaz f '(a) = 0 e f ''(a) > 0, f '(x) é crescente no ponto onde x = a ou próximo de x = a, e f '(x) muda de negativo para positivo conforme x aumenta através de a. Portanto, f (x) tem um valor mínimo relativo em x = a.

Sinal de f ''(a) e valores extremos relativos

Dado que f ''(x) é contínua no intervalo incluindo x = a,

- se f '(a) = 0 e f ''(a) > 0, f (a) representa o valor mínimo relativo;

- se f '(a) = 0 e f ''(a) < 0, f (a) representa o valor máximo relativo.

Máximos e mínimos

Para encontrar os valores máximo e mínimo:

• Crie uma tabela de variação para o intervalo ou domínio dado.
• Determine os valores extremos relativos e os valores do início e do fim do intervalo, e então compare os valores.

Aplicações Diversas do Cálculo Diferencial

Velocidade e aceleração

Seja x = f (t) a coordenada do Ponto P se movendo em uma reta numerada t. A velocidade v e a aceleração α do ponto P no tempo t podem ser determinadas da seguinte maneira.

v = dx / dt = f ' (t)

α = dv / dt = d²x / dt² = f '' (t) 

Além disso, o valor absoluto v (escrito como |v|) é chamado de velocidade, e o valor absoluto da aceleração α (escrito como |α|) é chamado de magnitude da aceleração.

Aproximação linear I

Quando a função f (x) é diferenciável em x = a e o valor de |h| se aproxima de 0, f (a + h) ≈ f (a) + f  ' (a) . h

Aproximação linear II

Quando o valor de |x| se aproxima de 0, f (x) ≈ f (0) + f  ' (0) . x.

Integrais Indefinidas I

Integrais indefinidas de x^α

com α ≠ -1

Propriedades das Integrais Indefinidas

Sejam a e b constantes, e seja F(x) a integral indefinidada função f (x).

[F (ax + b)] ' = F ' (ax + b) . (ax + b)' = a . f (ax + b)

Integrando esta igualdade com relação a x, temos o seguinte:

Quando F ' (x) = f (x), a ≠ 0,

Integrais Indefinidas II

A partir das fórmulas de derivadas (e^x) ' = e^x e (a^x) ' = a^x . ln a (a > 0, a ≠ 1), obtemos as seguintes fórmulas:

Integrais Indefinidas de Funções Exponenciais

A partir das fórmulas de derivadas (sen x) ' = cos x, (cos x) ' = - sen x, (tg x) ' = 1 / cos² x e (1 / tg x) ' = 1 / sen² x, obtemos as seguintes fórmulas:

Integrais Indefinidas de Funções Trigonométricas

Lembretes:

Integração por Substituição

Seja 

Se uma função de t, x = g(t), for substituída em x, podemos dizer que F(x) = F (g (t)) também é uma função de t.

Sendo g(t) derivável (diferenciável), se F (x) for derivada em relação a t utilizando a Regra da Cadeia obtemos:

Portanto:

Assim, quando x = g(t), ou seja x é função de t:

Invertendo-se o lado esquerdo e o lado direito e substituindo-se t e x por x e u respectivamente, obtemos g(x) = u:

Considerando f (u) = 1 / u, ou seja, f (g(x)) = 1 / g (x):

Daí temos:

Integração por Partes

Segundo a regra do produto:

Reorganizando a regra do produto temos:

Integrando os dois lados da equação temos:

Integrais Definidas

Se F(x) for uma integral indefinida (antiderivada) de f (x), F(b) - F(a) poderá ser chamada de integral definida de f (x) de a até b e é expressa como:

As letras a e b são chamadas de limite inferior e limite superior (a é o inferior e b é o superior).

Assim:

Uma propriedade das integrais definidas é:

Integração por substituição para Integrais Definidas

Quando x = g(t), se a = g(α) e b = g(β), então

Uma outra propriedade das integrais definidas é:

Para a integral definida de:

Para a integral definida de:

Integração de funções pares ou ímpares:

- Quando f (x) for uma função par:

- Quando f (x) for uma função ímpar:

Integração por Partes para Integrais Definidas e Funções Representadas por Integrais Definidas

Integração por partes para integrais definidas:

Quando a é uma constante:

Propriedade de integrais definidas:

Integração por Quadratura e Provas de Desigualdades

Integrais definidas e limites de Somas

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b],

onde:

Integrais definidas e limites de Somas

Integrais definidas e desigualdades

No intervalo [a, b], se f (x) ≥ g (x):

O sinal da igual se mantém somente quando f (x) = g (x) para todos os valores de x.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Áreas

Área sob a curva:

No intervalo [a, b], em uma curva y = f (x):

f (x) ≥ 0:

f (x) ≤ 0:

Área entre duas curvas:

No intervalo [a, b], quando f (x) ≥ g (x):

Para curvas em y:

x = g (y), no intervalo c ≤ y ≤ d, quando g (y) ≥ 0:

Volumes

Área transversal e Volume do Sólido

Volume de Revolução em torno do eixo x

Basta lembrar da área do círculo, que é: 

e que o raio será variável, em função de x, e integrar.

Volume de revolução em torno do eixo y

O sólido formado ao rotacionar um círculo em torno do eixo x é chamado de toro. O volume do toro é igual ao produto da área do círculo e da circunferência com uma rotação em torno do eixo x.

Comprimento de uma Curva, Velocidade e Distância

Comprimento de uma curva I

Seja L o comprimento da curva x = f (t), y = g (t) (a ≤ t ≤ b):

Comprimento de uma curva quando y = f (x) (a ≤ x ≤ b):

considerando x = t, y =f (t):

Então:

Deslocamento de um ponto se movendo em uma reta:

Distância de um ponto se movendo em uma reta:

Mudança na velocidade de um ponto se movendo em uma reta:

Sejam v₀ e v₁ respectivamente, a velocidade de um ponto P em movimento em uma reta numérica nos tempos t₀ e t₁ e seja α a aceleração no tempo t:

Distância de um ponto se movendo em um plano:

Equações Diferenciais

Uma equação com derivadas de uma função desconhecida, como dy/dx = 2x é chamada de equação diferencial.

Uma função que resolve uma equação diferencial é chamada de solução da equação diferencial.

A equação diferencial expressa da forma f (y) . dy/dx = g(x) chama-se equação diferencial separável.

Uma função constante resulta sempre em um valor constante, como y = 3 e y = -4.

Solução particular: 

Quando se parte de uma solução geral, as curvas obtidas são chamadas de curvas integrais. Apenas uma das curvas integrais tem uma solução que atende a condição de x = x₀ e y = y₀. Uma condição assim, que determina o valor da constante arbitrária, é chama de condição inicial, de onde se obtém a solução particular.

Aplicações das equações diferenciais:

No dia a dia as equações diferenciais podem ser aplicadas em fenômenos naturais e sociais, como a multiplicação de bactérias no tempo, derretimento de açúcar na água quente, resfriamento de líquidos, dissipação de energia luminosa, decaimento radioativo, variação da pressão atmosférica conforme a altitude, variação de umidade para secagem de roupas, força da corrente elétrica em um condutor, a velocidade da gota de chuva caindo no chão, a drenagem de água de um reservatório conforme o tamanho do furo, a variação de CO₂ de acordo com o fluxo de ar que entra no ambiente, a taxa de difusão de uma informação por uma população, e o ponto ótimo de consumo de combustíveis em veículos.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.