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Homilia Diária: “És pó e ao pó voltarás” (1712: 17 de fevereiro de 2021)

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[Aula ao vivo] Day Trade na Bolsa com pouco dinheiro em 2021. É possível?

Fórmulas importantes da letra N do Kumon de Matemática

Fórmulas importantes da letra N do Kumon de Matemática

Termo Geral de uma Progressão Aritmética:

• a_n = a + (n - 1) . d

Soma de uma Progressão Aritmética:

• Sejam Sn a soma dos termos de uma progressão aritmética cujo 1° termo é a, a razão é d, o último termo é l e o número de termos é n.
  S_n = 1/2 . n . (a + l) = 1/2 . n . [2a + (n - 1) . d]

Progressões Geométricas:

• A sequência dos termos calculados por meio da multiplicação sucessiva de um número fixo r pelo 1° termo a é chamada de progressão geométrica. O número r é chamado de razão da progressão geométrica.

Termo Geral de uma Progressão Geométrica

• O termo geral de uma progressão geométrica {a_n} cujo 1° termo é a e a razão é r:
  a_{n =} a . r ^n-1

Soma de uma Progressão Geométrica

• Seja S_n a soma de uma progressão geométrica cujo 1° termo é a, a razão é r e o número de termos é n.
  Quando r ≠ 1, S_n = a . (1 - r ⁿ) / (1 - r) = a . (r ⁿ - 1) / (r - 1)
  Quando r = 1, S_n = na

Fórmula de Somatória I

• Somatória K:
  
  
• Somatória onde c é uma constante: 
  

Propriedades da Somatória

• Somatória: 
  
• Somatória onde c é uma constante: 
  
  

Fórmula de Somatória II

• Somatória k ²: 
  
  

Fórmula de Somatória III

• Somatória k ³: 
  
  

Fórmula de Somatória IV

• Somatória a . r ^k-1, com r ≠ 1: 
• onde a é o 1° termo e r é a razão de uma Progressão Geométrica a, a.r, a.r ², ..., a.r ^n-1
  
  

Progressão de Subtração e Termo Geral

• Seja {b_n} a progressão de subtração da progressão {a_n}.
  Quando n ≥ 2, a_n = a₁ +b_k

Soma de uma Progressão e Termo Geral

• Seja S_n a soma dos n primeiros termos da progressão {a_n}.
  O 1° termo a₁ é a₁ = S₁.
  Quando n ≥ 2, a_n = S_n - S_n-1

Relações de recorrência

A relação de recorrência
a_n+1 = p . a_n + q
pode ser reorganizada em:
a_n+1 - x = p . (a_n - x)
utilizando x que satisfaz
 x = px + q. Se b_n = a_n - x,
então a progressão {b_n} é uma progressão geométrica.

Portanto, o termo geral da progressão {a_n} pode ser determinado.

A relação de recorrência
a_n+2 + p . a_n+1 + q . a_n = 0
pode ser reorganizada em:
a_n+2 - α . a_n+1 = β . (a_n+1 - α . a_n)
utilizando as duas soluções α e β da equação quadrática x² + px + q = 0.

A progressão {a_n+1 - α . a_n} é uma progressão geométrica.

Portanto, o termo geral da progressão {a_n} pode ser determinado.

Indução Matemática

Para provar que a proposição P é verdadeira para todos os números naturais n por indução matemática, as seguintes afirmações devem ser provadas.

(i) P é verdadeiro quando n = 1.

(ii) Se P é verdadeiro quando n = k, então P também é verdadeiro quando n = k + 1.

Observação: uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa é chamada de proposição.

Progressões Infinitas

Uma progressão de infinitos termos a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... é chamada de progressão infinita e é expressa por {a_n}.

Dada a progressão {a_n}, se a_n se aproxima de um valor constante α conforme n se aproxima do infinito, então dizemos que {a_n} converge para α, o qual é expresso da seguinte maneira:

lim_n→∞ a_n = α 

ou

a_n → α quando n → ∞.

O valor de α é chamado de valor do limite de {a_n}. Em outras palavras, o limite de {a_n} é α. Se o valor de todos os termos da progressão é a constante c, então o valor do limite também é c e é expresso da seguinte forma:

lim_n→∞ c = c

O símbolo ∞ é lido como "infinito" e representa uma quantidade ilimitada que é maior do que qualquer número real.

--

Convergência e divergência nas progressões infinitas

Quando a progressão {a_n} não converge, dizemos que, {a_n} diverge. Quando {a_n} diverge para infinito positivo,  dizemos que o limite de {a_n} é infinito positivo e é expresso da seguinte maneira:

lim_n→∞ a_n = ∞ 

ou

a_n → ∞ quando n → ∞.

Quando {a_n} diverge para infinito negativo, dizemos que o limite de {a_n} é infinito negativo e é expresso da seguinte maneira:

lim_n→∞ a_n = -∞ 

ou

a_n → -∞ quando n → ∞.

Quando uma progressão divergente não diverge nem para infinito positivo nem para negativo, dizemos que a progressão é oscilante.

Limite de uma Progressão

• Converge
  
• lim_n→∞ a_n = α (converge para um valor constante α)
• Diverge
• lim_n→∞ a_n = ∞ (diverge para infinito positivo)
• lim_n→∞ a_n = -∞ (diverge para infinito negativo)
• Oscilante (sem limite)

Propriedades dos Limites de Progressões

Quando as progressões {a_n} e {b_n} convergem, no qual lim_n→∞ a_n = α e lim_n→∞ b_n = β,

• lim_n→∞ k.a_n = k . α, onde k é a constante
• lim_n→∞ (a_n + b_n) = α + β
• lim_n→∞ (a_n - b_n) = α - β
• lim_n→∞ (a_n . b_n) = α . β
• lim_n→∞ (a_n / b_n) = α / β

Revisão de logaritmos (propriedades)

• log_a a = 1
• log_a 1 = 0
• log_a (M / N) = log_a M - log_a N
• 
• 

Limites de progressões e suas relações

1. Para todos os valores de n, quando a_n ≤ b_n,
   se lim_n→∞ a_n = α e lim_n→∞ b_n = β, então α ≤ β
   se lim_n→∞ a_n = ∞, então lim_n→∞ b_n = ∞
2. Para todos os valores de n, quando a_n ≤ c_n ≤ b_n,
   se lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ b_n = α, então lim_n→∞ c_n = α

A afirmação 1 também é verdadeira quando a_n < b_n.
E a afirmação 2 também é verdadeira quando:
a_n ≤ c_n < b_n

a_n < c_n ≤ b_n

a_n < c_n < b_n

Sequências Infinitas

A progressão a, a.r, a.r ², ..., a.r ^n-1, ... é chamada de progressão geométrica infinita cujo 1º termo é a e a razão é r.

Limite de uma progressão geométrica infinita {r ⁿ}

Quando r > 1, lim_n→∞ r ⁿ = ∞ ... Diverge

Quando r = 1, lim_n→∞ r ⁿ = 1 ... Converge

Quando |r| < 1, lim_n→∞ r ⁿ = 0 ... Converge 

Quando r ≤ 1, Oscilante (sem limite) ... Diverge

Séries Geométricas Infinitas

Dada uma progressão infinita {a_n}, a expressão a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... ''' (1) é chamada de série infinita, na qual a₁ e a_n são chamados de 1º termo e o n-ésimo termo, respectivamente.

Além disso, dada uma progressão infinita {a_n}, considere S_n a soma dos primeiros n termos.

Quando a progressão infinita {S_n} converge, dizemos que a série infinita (1) também converge.

Quando a progressão infinita {S_n} diverge, dizemos que a série infinita (1) também diverge.

Do mesmo modo, a + a.r + a.r ² + ... + a.r ^n-1 + ... que é a série infinita derivada da progressão geométrica infinita cujo 1º termo é a e a razão é r é chamada de série geométrica infinita cujo 1º termo é a e a razão é r.

Convergência e Divergência de uma série geométrica infinita

Dada uma série geométrica infinita a + a.r + a.r ² + ... + a.r ^n-1 + ..., o seguinte é verdadeiro.

Quando a ≠ 0,

se |r| < 1, então a série converge e a soma é a / (1 - r);

se |r| ≥ 1, então a série diverge.

Quando a = 0, a série converge e a soma é 0.

Dízima periódica

Um decimal que contém um dígito ou bloco de dígitos que se repete infinitamente em sua parte decimal é chamado de dízima periódica. A dízima periódica é expressa colocando-se uma barra que vai do primeiro ao último dígito que se repete:

0,33333... = 0,3,

0,454545... = 0,45,

0,123123123... = 0,123,

Além disso, a dízima periódica pode ser expressa por uma fração utilizando um série geométrica infinita.

Teorema do ponto médio

Se M e N são os pontos médios dos lados AB e AC do ΔABC, as seguintes relações são verdadeiras:

MN e BC são paralelos

MN = 1/2 * BC

Isso é chamado de Teorema do ponto médio.

Séries Infinitas

Dada a série infinita a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... ''' (1), a soma dos primeiros n termos

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n

é chamada de soma parcial dos primeiros n termos da série infinita.

A série infinita (1) pode ser escrita como:

Somatório de n=1 até ∞ de a_n.

Propriedades das Séries Infinitas

Quando as séries infinitas

 a_n

e

b_n convergem, considerando que a_n = S e b_n = T, as seguintes propriedades são verdadeiras:

k . a_n = k . S (k é uma constante)

(a_n + b_n)= S + T

(a_n - b_n)= S - T

Séries Infinitas

Seja Sn a soma parcial dos primeiros n termos da série infinita a_n.

Quando n ≥ 2, a_n = S_n - S_n-1

Quando a série infinita a_n converge, considere S a sua soma. Então, 

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ (S_n - S_n-1) = lim_n→∞ S_n - lim_n→∞  S_n-1 = S - S = 0.

Portanto, quando a_n converge, lim_n→∞ a_n = 0

Além disso, quando a progressão {a_n} não converge para 0, a_n diverge.

Considerando o exposto acima, a seguinte afirmação é verdadeira.

Convergência e Divergência de Séries Infinitas

Se a série infinita a_n converge, então lim_n→∞ a_n = 0.

Se a progressão {a_n} não converge para 0, então a série infinita a_n diverge.

Limites de Funções I

(referência L41)

Dada a função f(x), se f(x) se aproxima do valor constante α conforme x se aproxima de a, então dizemos que f(x) converge para α, o que é expresso como:

lim_x→a f(x) = α ou f(x) → α quando x → α.

O valor de α é chamado de limite ou de valor limite da função f(x) conforme x → α. Assim como com limites de progressões, as seguintes expressões são verdadeiras para limites de funções.

Propriedades de Limites de Funções

Se lim_x→a f(x) = α e lim_x→a g(x) = β, então

lim_x→a k . f(x) = k . α (k é uma constante)

lim_x→a [f(x) + g(x)] = α + β, lim_x→a [f(x) - g(x)] = α - β

lim_x→a [f(x) . g(x)] = α . β

lim_x→a [f(x) / g(x)] = α / β, (β ≠ 0)

Para a função f(x), o limite quando x se aproxima de a pela direita é chamado de limite tendendo para a direita e é expresso como lim_x→a⁺ f(x). O limite quando x se aproxima de a pela esquerda é chamado de limite tendendo para a esquerda e é expresso como lim_x→a^- f(x).

Existência de um Limite

Se lim_x→a⁺ f(x) = lim_x→a^- f(x) = α, então lim_x→a f(x) = α.

Se lim_x→a⁺ f(x) ≠ lim_x→a^- f(x) = α, então lim_x→a f(x) não existe.

[x]

O símbolo [x] denota o maior número inteiro menor ou igual ao número real x. Isso pode ser expresso da seguinte maneira:

Se n for um número inteiro e n ≤ x < n + 1, então [x] = n.

Por exemplo:

[7/2] = 3, [2] = 2, [0,99] = 0, [-1/10] = -1

O símbolo [ ] é chamado de símbolo de Gauss e [x] é lido como "Gauss x".

Resumo

Dadas as funções f(x), g(x) e a constante α,

quando lim_x→a [f(x)/g(x)] = α e também lim_x→a g(x) = 0,

lim_x→a f(x) = lim_x→a [f(x)/g(x) * g(x)] = α * 0 = 0.

Portanto, se lim_x→a [f(x)/g(x)] = α e lim_x→a g(x) = 0, então lim_x→a f(x) = 0.

Limites de Funções II

Observação:

quando um limite se torna a forma indeterminada ∞/∞ ou ∞ - ∞, a expressão precisa ser reorganizada.

Resumo:

quando x → -∞, é mais fácil determinar a resposta considerando que x = -t e que o caso t → ∞ é verdadeiro. (Caso contrário, (x²)^1/2 = -x quando x < 0, e determinar a resposta correta se torna mais difícil.) 

Limites de funções trigonométricas

lim_x→0 [sen(x) / x] = 1

Limites de funções e suas relações

1 - Para todos os valores de x próximos a a, quando f(x) ≤ g(x),

se lim_x→a f(x) = α e lim_x→a g(x) = β, então α ≤ β

se lim_x→a f(x) = ∞, então lim_x→a g(x) = ∞

2- Para todos os valores de x próximos a a, quando f(x) ≤ h(x) ≤ g(x),

se lim_x→a f(x) = lim_x→a g(x) = α, então lim_x→a h(x) = α

A declaração 1 é verdadeira quando f(x) < g(x), e a declaração 2 é verdadeira quando f(x) ≤ h(x) < g(x), f(x) < h(x) ≤ g(x), f(x) < h(x) < g(x).

Funções Contínuas e Descontínuas

Geralmente, a função f(x) é considerada contínua quando x = a se f(x) satisfizer as duas seguintes condições em relação a a que é o valor de x dentro do domínio.

(i) lim_x→a f(x) existe

(ii) lim_x→a f(x) = f(a) é verdadeiro.

Com essas condições, o gráfico de y = f(x) não tem descontinuidade em x = a. Se a função f(x) não é contínua em x=a, f(x) é considerada descontínua em x = a.

Funções contínuas e descontínuas

Dado que a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b], então o gráfico não tem descontinuidade entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).

Se f(a) e f(b) tiverem sinais diferentes, então o gráfico intercepta o eixo x entre a e b.

Como as coordenadas x desses pontos são soluções para a equação f(x) = 0, as seguintes afirmações são verdadeiras.

Teorema do Valor Intermediário

Se a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e f(a) . f(b) < 0, então a equação f(x) = 0 tem pelo menos uma solução real no intervalo a < x < b.

O intervalo a ≤ x ≤ b é chamado de intervalo fechado e o intervalo a < x < b é chamado de intervalo aberto. Eles são expressos como [a, b] e (a, b), respectivamente.

O Teorema do Valor Intermediário pode ser explicado da seguinte maneira: se a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e f(a) ≠ f(b), então há pelo menos um valor de c que satisfaz f(c) = k e a < c < b para qualquer valor arbitrário de k que estiver entre f(a) e f(b).

Diferenciação I

Dada a função f(x), se o valor de limite lim_h→0 [f(a + h) - f(a)] / h existe, então ele é chamado de derivada de f(x) em x = a e é expresso como f ' (a).

Nesse caso, dizemos que f(x) é diferenciável em x = a.

Seja a + h = x. Então, h = x - a. Como h→0, x→a. Portanto, f ' (a) também pode ser expressa como

f ' (a) = lim_h→0 [f(a + h) - f(a)] / h = lim_x→a [f(x) - f(a)] / (x - a)

--

Se a função f(x) é diferenciável para cada valor a em um certo intervalo, a função que corresponde à derivada f ' (a) nesse intervalo é chamada de derivada de f(x) e é expressa como f ' (x). O processo de determinar a derivada f ' (x) é chamado de diferenciação da função f (x).

A derivada da função y = f(x) também é expressa por símbolos como y', [f (x)]', dy/dx e d/dx . f(x). dy/dx também é lida como "dy, dx".

Propriedades de Derivadas

Quando k é uma constante e n é um número inteiro positivo,

se y = x ⁿ, então y' = n . x ^n-1

se y = k . f (x), então y' = k . f '(x)

se y = f (x) + g(x), então y' = f '(x) + g '(x)

se y = f (x) - g(x), então y' = f '(x) - g '(x)

Regra do Produto

[f (x) . g(x)]' = f  '(x) . g(x) + f (x) . g '(x)

Regra do Quociente

[f (x) / g(x)]' = [f  '(x) . g(x) - f (x) . g '(x)] / [g(x)]²

[1 / g(x)]' = - [g '(x)] / [g(x)]²

Derivada de x ⁿ

Quando n é um número inteiro, (x ⁿ)' = n . x ^n-1

Diferenciação I

Seja y = f(x) . g(x) . h(x)

y' = f '(x) . g(x) . h(x) + f(x) . g '(x) . h(x) + f(x) . g(x) . h '(x)

Diferenciação II

Dadas duas funções f (x) e g (x) onde o intervalo de f (x) está dentro do domínio de g (x), considere u = f (x) e y = g (u). Então, y = f (x) = g (f (x)) pode ser obtida.

A função g (f (x)) é chamada de função composta de f (x) e g (x).

Regra da Cadeia I

dy/dx = du/du . du/dx

Regra da Cadeia II

[f (g (x))] ' = f ' (g(x)) . g '(x)

Diferenciação II

Quando o valor de y para y = f (x) é determinado e então apenas um valor correspondente de x é definido, x é considerado uma função de y. Se essa função é expressa como x = g (y), então a função y = g(x) onde x e y são invertidos é chamada função inversa da função original y = f (x).

Fórmula de Diferenciação para Funções Inversas

dy / dx = 1 / (dx / dy)

com dx / dy ≠ 0

Derivada de x ^p

Quando p é um número racional, (x ^p ) ' = p . x ^{p - 1} 

Observação: números que podem ser expressos por uma fração, como m / n, são chamados de números racionais.

Diferenciação de Funções Trigonométricas

As fórmulas de transformação de Soma/Diferença em Produto são frequentemente utilizadas para diferenciação e integração de funções trigonométricas.

sen A + sen B = 2 . sen [(A + B) / 2] . cos [(A - B) / 2]

sen A - sen B = 2 . cos [(A + B) / 2] . sen [(A - B) / 2]

cos A + cos B = 2 . cos [(A + B) / 2] . cos [(A - B) / 2]

cos A - cos B = - 2 . sen [(A + B) / 2] . sen [(A - B) / 2]

Derivadas de Funções Trigonométricas

(sen x) ' = cos x

(cos x) ' = -sen x

(tg x) ' = 1 / cos² x

Diferenciação de Funções Logarítmicas e Exponenciais

Quando examinamos o valor de (1 + k)^1/k substituindo k com um valor próximo de 0, ele se aproxima de um valor constante como mostrado abaixo. A constante e é um número irracional, e = 2,7182818...

k = 0,1; (1 + k)^1/k = 2,59374...

k = 0,01; (1 + k)^1/k = 2,70481...

k = 0,001; (1 + k)^1/k = 2,71692...

k = 0,0001; (1 + k)^1/k = 2,71814...

k = 0,00001; (1 + k)^1/k = 2,71826...

k = -0,1; (1 + k)^1/k = 2,86797...

k = -0,01; (1 + k)^1/k = 2,73199...

k = -0,001; (1 + k)^1/k = 2,71964...

k = -0,0001; (1 + k)^1/k = 2,71841...

k = -0,00001; (1 + k)^1/k = 2,71829...

Derivadas de funções logarítmicas I

(ln x) ' = 1 / x

(log_a x) ' = 1 / (x . ln a)

Derivadas de funções logarítmicas II

(ln |x|) ' = 1 / x

(log_a |x|) ' = 1 / (x . ln a)

[f (g (x)] ' = f '(g(x)) . g '(x)

[f (g (x)] ' = g '(x) / g(x)

Derivada de x^a

Quando α é um número real, (x^α) ' = α . x^{α - 1}

Derivada de funções exponenciais

(e^x) ' = e^x

(a^x) ' = a^x. ln a

Derivada de funções diversas e derivadas de ordem superior

dy / dx = dy / dt . dt / dx = dy / dt . 1 / (dx / dt)

Derivadas de funções representadas por um parâmetro

Quando x = f (t) e y = g (t), dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt) = g ' (t) / f ' (t)

Diferenciação de funções diversas e derivadas de ordem superior

A função [f ' (x)] ' que é derivada por meio da diferenciação da derivada f ' (x) de y = f (x) é chamada de derivada de segunda ordem de f (x), e é expressa como y '' ou f '' (x). Além disso, a derivada da derivada de segunda ordem f '' (x) é chamada de derivada de terceira ordem de f (x) e é expressa como y ''' ou f ''' (x).

f ' (x) é frequentemente chamada de derivada de primeira ordem de f (x). Em geral, a função determinada ao se diferenciar n vezes a função y = f (x) é chamada de derivada de n-ésima ordem de f (x) e é expressa como y⁽ⁿ⁾ ou f ⁽ⁿ⁾ (x). As derivadas de segunda ordem em diante são chamadas de derivadas de ordem superior.

As derivadas de segunda, terceira e n-ésima ordem são expressas como

d ²y / d x², d ³y / d x³, d ⁿy / d xⁿ ou 

(d ² / d x²) f (x), (d ³ / d x³) f (x), (d ⁿ / d xⁿ) f (x), respectivamente.

d ²y / d x² é lido como "d dois y sobre dx ao quadrado".

Propriedades diversas de derivadas

Se a função f (x) é diferenciável em x = a, então f ' (a) existe e lim_x→a [f(x) - f(a)] = lim_x→a {[f(x) - f(a)] / (x - a) . (x - a)} = f ' (a) . 0 = 0

Portante, lim_x→a f (x) = f (a)

f (x) é contínua em x = a.

Diferenciabilidade e continuidade

Se a função f(x) é diferenciável em x = a, então ela é contínua em x = a.

Propriedades Diversas de Derivadas

Teorema de Rolle

Se a função f (x) é contínua no intervalo fechado [a, b], diferenciável no intervalo aberto (a, b) e f (a) = f (b), então existe pelo menos um valor c tal que f ' (c) = 0 e a < c < b.

O Teorema de Rolle afirma que, se f (a) = f (b), então existe pelo menos um ponto entre A e B na curva cujo gradiente da tangente é 0, isto é, f ' (c) = 0.

Teorema do valor médio

Se a função f (x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um valor de c tal que [f (b) - f (a)] / (b - a) = f ' (c) e a < c < b.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.