1) Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a t anos será V(t) = 6561 . (1/3)t. Determine a depreciação total sofrida até daqui a 3 anos.
[Res.]
Para calcular a depreciação, primeiro é preciso saber o valor atual do equipamento. Para isso, faremos t = 0.
V(0) = 6561 . (1/3)0
V(0) = 6561 . 1
V(0) = 6561 (unidades monetárias)
Agora, é preciso calcular o valor do equipamento após 3 anos de depreciação. Para isso, faremos t = 3.
V(0) = 6561 . (1/3)3
V(0) = 6561 . (1/27)
V(0) = 6561 / 27
V(0) = 243 (unidades monetárias)
Observa-se que o valor do bem caiu muito com 3 anos de depreciação. Para calcular o valor total da depreciação, basta subtrair do valor inicial do bem o valor após o período de depreciação.
Depreciação em 3 anos = Valor inicial - Valor depreciado
Depreciação em 3 anos = 6561 - 243
Depreciação em 3 anos = 6318 (unidades monetárias)
2) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro.
[Res.]
Para respondermos a pergunta, precisamos saber que o Lucro = Receita - Custo. Assim:
Lucro = 115q - (90q + 760)
Lucro = 25q - 760
Para o lucro ser positivo, teremos:
25q - 760 > 0
25q > 760
q > 760 / 25
q > 30,4 unidades
Como não é possível produzir um produto parcialmente, o lucro será obtido a partir da venda de 31 unidades do produto.
3) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00?
[Res.]
Primeiro devemos organizar a função Custo.
Custo = 15 . q + 600, onde q é a quantidade produzida.
Agora é preciso obter a função Receita.
Receita = 85 . q, onde q é a quantidade vendida.
Assim, é possível calcular o lucro da seguinte forma:
Lucro = Receita - Custo
Lucro = 85.q - (15.q + 600)
Lucro = 85.q - 15.q - 600
Lucro = 70.q - 600
Para que o lucro obtido seja maior que R$ 800,00:
Lucro > 800
70.q - 600 > 800
70 . q > 1400
q > 1400 / 70
q > 20
Assim, deverão ser vendidas mais de 21 unidades para ser obtido um lucro superior a R$ 800,00.
4) Um motorista de táxi cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine:
a) O preço da corrida em função da distância.
[Res.]
Preço = Custo variável + Custo fixo
Preço = 1,20 . q + 3,70, onde q é a quantidade de quilômetros percorridos.
b) O preço de uma corrida de 8 km.
[Res.]
Para encontrar o preço de uma corrida de 8km, basta utillizar a função preço para q = 8km.
Preço = 1,20 . q + 3,70
Preço = 1,20 . 8 + 3,70
Preço = 9,60 + 3,70
Preço = 13,30 reais
c) A distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida.
[Res.]
Como a corrida custou R$ 18,70, entraremos com o valor do preço para achar a quantidade de quilômetros percorridos, na equação do preço da corrida.
Preço = 1,20 . q + 3,70
18,70 = 1,20 . q + 3,70
18,70 - 3,70 = 1,20 . q
15,00 = 1,20 . q
q = 15,00 / 1,20
q = 12,5 quilômetros
Assim, em uma corrida com preço de R$ 18,70, foram percorridos 12,5 quilômetros.
5) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30.
Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano B menos vantajoso do que o plano A.
[Res.]
Para resolver, vamos organizar a função custo para cada plano.
Custo do Plano A:
Custo Plano A = valor fixo A + Valor variável A
Custo Plano A = 50,00 + 0,25 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.
Custo do Plano B:
Custo Plano B = valor fixo B + Valor variável B
Custo Plano B = 39,00 + 0,30 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.
Na minha opinião, a pergunta está bem esquisita. Poderia ter sido melhor elaborada. Mas dá para entender o que se pede, que parece ser analisar até quando um plano é mais vantajoso que o outro. Então, passemos à análise do plano A em comparação com o plano B.
Vamos analisar o que acontece quando ocorrer a seguinte situação:
Custo do Plano A = Custo do Plano B
50,00 + 0,25 . q = 39,00 + 0,30 . q
11,00 = 0,05 . q
q = 11,00 / 0,05
q = 220 minutos
Ou seja, quando são utilizados 220 minutos de ligações locais, o valor da conta no tanto no Plano A quanto no Plano B é o mesmo.
Então, temos um marco, que é a utilização de 220 minutos de ligações locais.
Agora, vamos analisar o que acontece quando se utiliza menos que 220 minutos de ligações locais para cada plano.
Para q < 220, vamos colocar 200 minutos por exemplo. (Podemos fazer isso porque se trata de uma reta crescente a função custo, tanto do Plano A quanto do Plano B).
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . q
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . 200
Custo do Plano A = 50,00 + 50,00
Custo do Plano A = 100,00 reais
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . q
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . 200Custo do Plano B = 39,00 + 60
Custo do Plano B = 99,00 reais
Assim, para utilização de menos de 220 minutos de ligações locais, o Plano B é o mais barato.
Agora, vamos analisar o que acontece quando a utilização é maior que 220 minutos para ligações locais.
Para q > 220, vamos colocar 230 minutos por exemplo.
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . q
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . 230
Custo do Plano A = 50,00 + 57,50
Custo do Plano A = 107,50 reais
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . q
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . 230Custo do Plano B = 39,00 + 69
Custo do Plano B = 108,00 reais
Assim, para utilização de mais de 220 minutos de ligações locais, o Plano A é o mais barato.
Agora, vamos analisar o que a questão pede novamente: a questão pede o número de minutos que torna o Plano B menos vantajoso. Ou seja, a questão quer saber quando o Plano A se torna mais vantajoso. Como analisamos anteriormente, o plano A é o mais vantajoso quando o número de minutos de ligações locais é superior a 220.
Resumindo:
Utilização abaixo de 200 minutos de ligações locais: plano B é o mais vantajoso.
Utilização igual a 200 minutos de ligações locais: qualquer dos planos tem o mesmo valor.
Utilização acima de 200 minutos de ligações locais: plano A é o mais vantajoso.
6) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por DVD, para não haver prejuízo?
[Res.]
Vamos começar organizando as funções Receita e Custo.
Receita = Quantidade . Preço
Receita = 20.000 . Preço, onde Preço é o preço de venda de cada DVD.
Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q, onde q é a quantidade de DVDs fabricada.
Considerando que q = 20.000 cópias do DVD, o Custo Total será:
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . 20.000
Custo Total = 120.000,00 + 360.000,00
Custo Total = 480.000,00 reais
Para não haver prejuízo, o lucro precisa ser maior ou igual a zero.
Lucro = Receita - Custo Total
Lucro = 20.000 . Preço - 480.000,00
Como Lucro ≥ 0:
20.000 . Preço - 480.000,00 ≥ 0
20.000 . Preço ≥ 480.000,00
Preço ≥ 480.000,00 / 20.000
Preço ≥ 24,00 reais
Assim, para um preço de R$ 24,00 ou acima, não haverá prejuízo se todas as 20.000 cópias do filme em DVD forem vendidas.
7) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:
C(x):
* 5 + x (12-x), se 0 ≤ x ≤ 10
* -(3/2)x + 40, se 10 < x ≤ 20
Se em um dia foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo da produção das 24 unidades.
[Res.]
Falta um dado necessário para responder a questão, que é saber se a função custo é calculada diariamente. Não está claro no texto, mas vamos considerar que o custo é calculado diariamente para responder a questão.
Custo diário de produção = Custo Fixo + Custo Variável
Considerando x a quantidade produzida:
se 0 ≤ x ≤ 10, Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
se 10 < x ≤ 20, Custo diário de produção = -(3/2)x + 40
Como no primeiro dia foram produzidas 9 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
Custo diário de produção = 5 + 9 (12-9)
Custo diário de produção = 5 + 9 (3)
Custo diário de produção = 5 + 27
Custo diário de produção = 32 reais
Como no segundo dia foram produzidas 15 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = -(3/2)x + 40
Custo diário de produção = -(3/2).15 + 40
Custo diário de produção = -45/2 + 40
Custo diário de produção = (-45 + 80) / 2
Custo diário de produção = 35 / 2
Custo diário de produção = 17,50 reais
Assim, pode-se obter o custo total da produção dos dois dias somando-se o custo do primeiro dia com o custo do segundo dia.
Custo Total = Custo do primeiro dia + Custo do segundo dia
Custo Total = 32 + 17,50
Custo Total = 49,50 reais
Assim, nos dias dias o custo total foi de R$ 49,50.
8) Sobre os preços dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de:
* Até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria de R$ 18,00;
* Mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por R$ 15,00.
Nessas condições, determine a expressão que permite calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que compra x ingressos, com x > 20.
[Res.]
Como o número de ingressos é superior a 20, pode-se calcular o gasto com ingressos da seguinte forma:
Gastos com ingressos = 20 . 18,00 + 15,00 . (x - 20), considerando x o número de ingressos, com x > 20 ingressos.
Gastos com ingressos = 360,00 + 15,00x - 300,00
Gastos com ingressos = 60,00 + 15,00x
9) Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é I = m / a², na qual m é a massa da pessoa, em quilogramas, e a é a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2kg obteve I = 20.
Determine a altura dessa mulher.
[Res.]
Como sabe-se a massa e o valor de I (índice de massa corpórea - IMC), pode-se encontrar o valor de a (altura) da seguinte forma:
I = m / a²
20 = 51,2 / a²
a² = 51,2 / 20
a² = 2,56
a = (2,56)1/2
a = 1,60 metros
Assim, a altura da mulher é 1,60 metros.
10) Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10m. Considere que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma válvula que verte petróleo para o tanque, à taxa de 4m³ por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que fornece a altura (H), em metros, do petróleo no tanque, t horas após a abertura da válvula?
[Res.]
Primeiramente, vamos calcular o volume do tanque. Como trata-se de um cubo, o cálculo do volume é igual ao valor da aresta elevado ao cubo. Assim:
Volume do tanque = volume do cubo
Volume do tanque = (10m)³
Volume do tanque = 10m . 10m . 10m
Volume do tanque = 100m² . 10m
Volume do tanque = 1000 m³
A questão informa que o volume inicial do tanque é 0m³, pois ele está vazio.
O tanque é preenchido a uma taxa de 4m³ por hora, até ficar cheio. Pode-se acompanhar o aumento do nível do tanque da seguinte forma:
Primeiro, vamos considerar que a área da base do cubo é fixa.
Base do cubo = (10m)²
Base do cubo = 100m²
Para encontrarmos o nível do tanque em função do tempo, poderemos relacionar a vazão de preenchimento com a área da base da seguinte forma.
Nível do tanque = Vazão / área da base do tanque
Nível do tanque = (4m³/h) / 100m²
Nível do tanque = (4m³/h) . (1/100m²)
Nível do tanque = 4m³/100m²h
Nível do tanque = 4m/100h
Nível do tanque = 0,04m/h
Assim, podemos encontrar o nível do tanque em função do tempo em horas:
Nível do tanque em função do tempo = 0,04m/h . tempo em horas
Também pode-se escrever das seguintes formas:
Nível em metros = 0,04 . t
Nível em metros = (4/100) . t
Nível em metros = (1/25) . t
Nível em metros = t / 25
Respondendo a questão, a altura H será:
H = t/25 metros, onde t é o tempo de abertura da válvula em horas.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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