Cálculo I - 26/06/2019

Cálculo I - 26/06/2019 (Quarta-feira)


Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h43min
Término da aula: 21h54min
Taxa de aproveitamento: 78,88%


Exercícios

Esboce o gráfico de y = x⁴ + 4x³

Passo 1) Domínio
 
Conjunto dos números reais


Passo 2) f(x) = 0
Interceptos:
y = x⁴ + 4x³ = x³ . (x + 4) = 0
x = 0 ou x = -4


Passo 3) Análise de simetria
f(-1) = (-1)⁴ + 4 . (-1)³ = 1 - 4 = -3
f(+1) = (+1)⁴ + 4 . (+1)³ = 1 + 4 = +5

Como f(-1) ≠ f(+1), a função não apresenta simetria.


Passo 4) Análise das assíntotas vertical e horizontal


Assíntota Horizontal (limite da função quando x tende a +∞ ou -∞):
lim_x→+∞ f(x)
= lim_x→+∞ [x⁴ + 4x³] = +∞

lim_x→-∞ f(x)
= lim_x→-∞ [x⁴ + 4x³] = +∞

Assim, a função não apresenta assíntota horizontal.

Assíntota Vertical:
Como não há nenhum ponto onde a função não está definida, ou seja, como a função é sempre contínua, não há assíntota vertical para a função.


Passo 5) Análise de Crescimento e Decrescimento da função
f(x) = x⁴ + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²

Igualando a derivada primeira a 0, encontra-se os pontos críticos.
f(x) = x⁴ + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²
4x³ + 12x² = 0
4x^² . (x + 3) = 0

Daí:
4x² = 0 ou  x+3 = 0
x = 0 ou x = -3

Intervalo	]-∞, -3[	]-3, 0[	]0, +∞[
x	-4	-1	1
f '(x)	-64	8	16
Sinal	-	+	+
Resultado	↓	↑	↑

Passo 6) Análise de extremos locais

Pontos críticos da função f(x) = x⁴ + 4x³:
f(0) = 0
f(-3) = -27 (ponto de mínimo)

Passo 7) Análise de concavidade e pontos de inflexão

Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = x⁴ + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²
f ''(x) = 12x^² + 24x

Igualando a derivada segunda da função a 0:
f ''(x) = 12x^² + 24x = 0
12x^² + 24x = 0
12x (x + 2) = 0

Daí:
12x = 0 ou x+2 = 0
x = 0 ou x = -2

Intervalo	]-∞, -2[	]-2, 0[	]0, +∞[
x	-3	-1	1
f ''(x)	36	-12	36
Sinal	+	-	+
Resultado	∪	∩	∪

Passo 8) Gráfico

Gráfico de f(x) = x⁴ + 4x³, obtido com o GeoGebra e com o Krita.

ESO Semana 9 - Questão 1

f(x) = [3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x

[Res.]
f(x) = [3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x
y = [3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x

ln y = ln {[3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x}
ln y = ln (3) + ln sen(x) + ln cos(x) + ln [tg²(x)] - ln √x
ln y = ln (3) + ln sen(x) + ln cos(x) + 2 . ln tg(x) - 1/2 ln (x)

Derivando:
1/y . dy/dx = 0 + 1/sen(x) . cos(x) + 1/cos(x) . (-sen(x)) + 2 . 1/tg(x) . sec²x + 1/2 . 1/x

1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . sec²(x)/tg(x) + 1/(2x)
1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . [1/cos²(x)]/[sen(x)/cos(x)] + 1/(2x)
1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . [1/cos²(x)].[cos(x)/sen(x)] + 1/(2x)
1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . 1 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)
1/y . dy/dx = cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)
dy/dx = y . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}

dy/dx = {[3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x} . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}

={[3 . sen(x) . cos(x) . sen²(x)/cos²(x)] / √x} . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}

={[3 . sen³(x)/cos(x)] / √x} . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}



Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 25/06/2019

Cálculo I - 25/06/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h45min
Término da aula: 21h55min
Taxa de aproveitamento: 77,77%

Observação: repetição de trechos da última aula escritos no quadro, fazem a aula demorar. Sugestão: reapresentar matérias anteriores com o uso de slides, ao invés de escrever no quadro.


Continuação da última aula (exemplo I).

Construir o gráfico da função: f(x) = (2 . x²) / (x²-1).

Derivando a função:
f '(x) = (-4 . x) /(x² - 1)²

Derivada segunda da função (para análise da concavidade):
f ''(x) = [-4 (x² - 1)² + 4x . 2.(x² - 1) . 2x] / (x² - 1)⁴
f ''(x) = [-4 . (x² - 1) + 16 x²] / (x² - 1)³
f ''(x) = [-4x² + 16x² + 4] / (x² - 1)³ = [12x² + 4] / (x² - 1)³

Fazendo f ''(x) = 0:
12x² + 4 = 0 (Absurdo, o que significa que não há pontos em que a derivada segunda seja igual a 0, indicando que não há um ponto de transição de uma concavidade para cima para uma para baixo, ou vice-versa, por exemplo.)


f ''(x) = (x² - 1)³
(x² - 1) = 0
x = ± 1 (não existe valor da função para os pontos -1 e +1, indicado possíveis assíntotas da função).

Tabela 1

Intervalo	]-∞, -1[	]-1, +1[	]+1, +∞[
x	-2	0	2
f ''(x)	52/27	-4	52/27
Sinal	+	-	+
Concavidade	⋃	⋂	⋃

Gráfico da função:

Gráfico de f(x) = (2 . x²) / (x²-1), obtido com o GeoGebra e com o Krita.

Otimização

Se f é diferenciável, então f '(x) pode ser útil na pesquisa de máximos e mínimos. Os valores extremos são muitas vezes valores ótimos, porque são os melhores ou os mais favoráveis valores.
A tarefa de determinar esses valores constitui um problema de otimização.


Exemplo:
De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?

Esquema de uma calha obtida de uma folha retangular com 30cm de largura, obtido com o Krita.

Dadas as condições de tamanho da folha de metal, podemos encontrar o ponto ótimo para dobrar as calhas a partir da área da seção frontal da calha.

A_{seção frontal}(x) = x . (30 - 2x)
A_{seção frontal}(x) = 30x - 2x²

O volume da calha será máximo quando A_{seção frontal}(x) for máximo.

A(x) = 30x - 2x²
A'(x) = 30 - 4x

Fazendo A'(x) = 0, encontramos o ponto crítico da função:
30 - 4x = 0
-4x = -30
x = 30/4
x = 15/2

Para analisar a concavidade, obtemos a Derivada segunda:
A(x) = 30x - 2x²
A'(x) = 30 - 4x
A''(x) = -4 < 0
Assim, a concavidade é para baixo para qualquer ponto da função, incluindo para o ponto onde x = 15/2.

A''(15/2) = -4 < 0

Assim, como a concavidade é para baixo:
x = 15/2 é máximo local.

Assim, quando x = 15/2 a área frontal da calha será máxima, e igual a:
[30 - 2 . (15/2)] . 15/2 = [30 - 15] . 15/2 = 15 . 15/2 = 112,5

Com a área encontrada o volume da calha será máximo.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Como Fazer Forno a Lenha.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

35 IDEIAS COM CIMENTO QUE SÃO MUITO FÁCEIS

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Ed Sheeran - Perfect (Amadeus violin cover instrumental)

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

André Rieu - Tales from the Vienna Woods

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Andre Rieu Ave Maria

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

André Rieu - Nearer, My God, to Thee (live in Amsterdam)

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 19/06/2019

Cálculo I - 19/06/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 22h05min
Taxa de aproveitamento: 93,33%


Roteiro
1- Domínio, imagem, simetrias
2- Limite, continuidade e assíntotas
3- Derivadas e tangentes
4- Valores extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão.

Agora vamos agrupar todas as informações para esboçar gráficos.


Exemplo I

Esboce o gráfico de f(x) = 2x² / (x²-1)

Passo 1) Domínio
x pertence aos reais tal que x é diferente de 1 e de -1.


Passo 2) Interceptos
x e y

Para x = 0:
f(x) = 2x² / (x²-1)
f(0) = 2(0)² / (0²-1) = 0 / (-1)
f(0) = 0

Para y = 0:
f(x) = 2x² / (x²-1)
0 = 2x² / (x²-1)
2x² = 0 . (x²-1)
2x² = 0
x = 0

Logo, a função passa pelo ponto (0, 0).


Passo 3) Simetria

Testando a função

f(x) = 2x² / (x²-1)

Para x = -2
f(-2) = 2 . (-2)² / ((-2)²-1)
f(-2) = 2 . 4 / (4 - 1)
f(-2) = 8 / 3

Para x = 2
f(2) = 2 . (2)² / ((2)²-1)
f(2) = 2 . 4 / (3)
f(-2) = 8 / 3

Assim, a função é par, indicando a simetria da curva em relação ao eixo y.

Passo 4) Assíntotas
Horizontal e Vertical

Assíntota Horizontal (limite da função quando x tende a +∞ ou -∞):
lim_x→+∞ f(x)
= lim_x→+∞ [2x² / (x²-1)]
Utilizando o Teorema de L'Hopital
= lim_x→+∞ [4x / (2x-0)]
= lim_x→+∞ [4x / (2x)]
= lim_x→+∞ [4 / 2]
= lim_x→+∞ 2

Também pode ser feito assim:
= lim_x→+∞ [2x² / (x²-1)]
= lim_x→+∞ [2x² / [x² . (1 - 1/x²)]
= lim_x→+∞ [2 / (1 - 1/x²)]
= 2 / (1 - 0)
= 2 / 1
= 2

Como trata-se de uma constante (2), os limites para +∞ e para -∞ serão iguais à própria constante (2). Assim, a função tem apenas uma assíntota horizontal, y = 2.


Assíntota Vertical (limite da função quando x tende a 1⁺ ou 1^- e quando x tende a -1⁺ ou -1^-):

Limite com x tendendo a +1:

Limite pela direita de +1:
lim_x→1⁺ f(x)
= lim_x→1⁺ [2x² / (x²-1)]
= lim_x→1⁺ (2x²) / lim_x→1⁺ (x²-1)
= +∞

Limite pela esquerda de +1:lim_x→1^- f(x)
= lim_x→1^- [2x² / (x²-1)]
= lim_x→1^- (2x²) / lim_x→1^- (x²-1)
= -∞

Assim, existe uma assíntota vertical em x = 1.

Limite com x tendendo a -1:

Limite pela direita de -1
lim_x→-1⁺ f(x)
= lim_x→-1⁺ [2x² / (x²-1)]
= lim_x→-1⁺ (2x²) / lim_x→-1⁺ (x²-1)
= lim_x→-1⁺ (2x²) / [lim_x→-1⁺ x² - lim_x→-1⁺ 1]
= lim_x→-1⁺ (2x²) / [lim_x→-1⁺ x² - 1]
= -∞
Limite pela esquerda de -1:
lim_x→-1^- f(x)
= lim_x→-1^- [2x² / (x²-1)]
= lim_x→-1^- (2x²) / lim_x→-1^- (x²-1)
= lim_x→-1^- (2x²) / [lim_x→-1^- x² - lim_x→-1^- 1]
= lim_x→-1^- (2x²) / [lim_x→-1^- x² - 1]
= +∞

Assim, existe uma assíntota vertical em x = -1.


Passo 5) Crescimento e Decrescimento

Derivada primeira da função:
f(x) = 2x² / (x² - 1)
Utilizando a regra do quociente:
y = u / v ⇒ y' = (u' . v - v' . u) / v²
Assim
f '(x) = [4x . (x² - 1) - (2x - 0) . 2x²] / (x⁴ - 2x² + 1)
f '(x) = [4x . (x² - 1) - (2x) . 2x²] / (x⁴ - 2x² + 1)
f '(x) = [4x³ - 4x - 4x³] / (x⁴ - 2x² + 1)
f '(x) = [- 4x] / (x⁴ - 2x² + 1)
f '(x) = - 4x / (x⁴ - 2x² + 1)
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²

Igualando a derivada primeira a 0:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)² = 0
- 4x / (x² - 1)² = 0
- 4x = 0
x = 0


Passo 6) Valores de máximo e mínimos locais
Analisar os pontos especiais encontrados em relação à função original.

f(0) = 0
x = -1
x = 1

Análise do crescimento no intervalo	]-∞, -1[	]-1, 0[	]0, 1[	]1, ∞[
x	-2	-1/2	1/2	2
f '(x)	8/9	32/9	-32/9	-8/9
Sinal de f '(x)	+	+	-	-
Conclusão	↑	↑	↓	↓

Cálculos para o preenchimento da tabela de análise do crescimento:

f(x) = 2x² / (x² - 1)
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²

Para x = -2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(-2) = - 4 . (-2) / ((-2)² - 1)²
f '(-2) = 8 / (4 - 1)²
f '(-2) = 8 / (3)²
f '(-2) = 8 / 9

Para x = -1/2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(-1/2) = - 4 . (-1/2) / ((-1/2)² - 1)²
f '(-1/2) = 4 . 1/2 / (1/4 - 1)²
f '(-1/2) = 4/2 / (1/4 - 1)²
f '(-1/2) = 2 / (-3/4)²
f '(-1/2) = 2 / (9/16)
f '(-1/2) = 2 . 16/9
f '(-1/2) = 32/9

Para x = 1/2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(1/2) = - 4 . (1/2) / ((1/2)² - 1)²
f '(1/2) = - 4/2 / (1/4 - 1)²
f '(1/2) = - 2 / (-3/4)²
f '(1/2) = - 2 / (9/16)
f '(1/2) = - 2 . 16/9
f '(1/2) = - 32/9


Para x = 2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(2) = - 4 . (2) / ((2)² - 1)²
f '(2) = - 8 / (4 - 1)²
f '(2) = - 8 / (3)²
f '(2) = - 8 / 9


Passo 7) Concavidade e pontos de inflexão:

Análise da concavidade no intervalo	]-∞, -1[	]-1, 1[	]1,0[
f ''(x)	52/9	-4	52/27
Sinal de f ''(x)	+	-	+
Concavidade	↑	↓	↑

Cálculos para o preenchimento da tabela de análise da concavidade:

f(x) = 2x² / (x² - 1)
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²

Para encontrar a derivada segunda:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
Utilizando a regra do quociente:
y = u / v ⇒ y' = (u' . v - v' . u) / v²
f ''(x) = [(- 4) . (x² - 1)² - 2 . (x² - 1) . (2x - 0) . (-4x)] / [(x² - 1)²]²
f ''(x) = [(- 4) . (x² - 1)² - 2 . (x² - 1) . (2x) . (-4x)] / (x² - 1)⁴ 
f ''(x) = [(- 4) . (x² - 1)² + 16x² . (x² - 1)] / (x² - 1)⁴
f ''(x) = {(x² - 1) . [-4 . (x² - 1) + 16x²]} / (x² - 1)⁴
f ''(x) = {(x² - 1) . [-4x² + 4 + 16x²]} / (x² - 1)⁴
f ''(x) = {(x² - 1) . [4 + 12x²]} / (x² - 1)⁴
f ''(x) = (x² - 1) . (4 + 12x²) / (x² - 1)⁴
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)³


Igualando f ''(x) a 0:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)³ = 0
(4 + 12x²) / (x² - 1)³ = 0
(4 + 12x²) = 0 . (x² - 1)³
(4 + 12x²) = 0
4 + 12x² = 0
12x² = -4
x² = -4 / 12
x² = -1 / 3
Assim, não existe solução no conjunto dos números reais.
Solucionando com o conjunto dos números complexos (apenas para demonstração):
x² = -1 / 3
x = ± √(-1 / 3)
Fazendo i² = -1:
x = ± √[i² . (1/3)]
x = ± i . √(1/3)

Como não foi possível encontrar um valor que solucione a equação f ''(x) = 0, não existe inflexão na curva. Mesmo assim, vamos analisar pontos de amostra entre x = -∞ e x = -1 (onde existe uma assíntota), entre x = -1 e x = 1 (na região entre as duas assíntotas), e entre x = 1 e x = +∞.

f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)³

Para x = -2:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)³
f ''(-2) = [4 + 12 . (-2)²] / [(-2)² - 1]³
f ''(-2) = [4 + 12 . 4] / [4 - 1]³
f ''(-2) = [4 + 48] / [3]³
f ''(-2) = 52 / 9


Para x = 0:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)³
f ''(0) = [4 + 12 . (0)²] / [(0)² - 1]³
f ''(0) = [4 + 0] / [0 - 1]³
f ''(0) = 4 / [- 1]³ 
f ''(0) = 4 / (- 1)
f ''(0) = - 4

Para x = +2:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)³
f ''(2) = [4 + 12 . (2)²] / [(2)² - 1]³
f ''(2) = [4 + 12 . 4] / [4 - 1]³
f ''(2) = [4 + 48] / [3]³
f ''(2) = 52 / 27

Verifica-se com base nos resultados, que a função apresenta 2 trechos com concavidade para cima e um para baixo. Porém, devido às assíntotas, existe uma ruptura no gráfico, descontinuando a função. Assim, realmente não há pontos de inflexão, ou seja, de mudança de concavidade (contínua) na curva. A concavidade muda na função, porém a função é descontínua no ponto em que ocorre a mudança de concavidade.


Passo 8) Esboço da curva

Como conhecemos as assíntotas, as direções de crescimento e decrescimento e as concavidades, podemos desenhar o gráfico da função f(x) = 2x² / (x² - 1).

Assíntotas
Assíntotas verticais: x = -1 e x = +1
Assíntota horizontal: y = 2

Análise de crescimento função f(x) = 2x² / (x² - 1):

Análise do crescimento no intervalo	]-∞, -1[	]-1, 0[	]0, 1[	]1, ∞[
x	-2	-1/2	1/2	2
f '(x)	8/9	32/9	-32/9	-8/9
Sinal de f '(x)	+	+	-	-
Conclusão	↑	↑	↓	↓

Análise de concavidade da função f(x) = 2x² / (x² - 1):

Análise da concavidade no intervalo	]-∞, -1[	]-1, 1[	]1,0[
f ''(x)	52/9	-4	52/27
Sinal de f ''(x)	+	-	+
Concavidade	↑	↓	↑

 Com todos os dados obtidos, é possível obter o gráfico da função f(x) = 2x² / (x² - 1).

Gráfico de f(x) = 2x² / (x² - 1), obtido com o GeoGebra e com o Krita.

Exemplo II

Esboce o gráfico de y = x⁴ + 4x³.

[Resolução minha, baseada no estilo do Kumon de Matemática]

Encontrar os pontos críticos:

y = x⁴ + 4x³

Seja f(x) = x⁴ + 4x³.
f '(x) = 4x³ + 12x²

Fazendo f '(x) = 0:
4x³ + 12x² = 0
4x² . (x + 3) = 0

Assim, x = -3, 0.

Análise de crescimento ou decrescimento da função (com base na derivada primeira da função):

f(x) = x⁴ + 4x³
f(-3) = (-3)⁴ + 4 . (-3)³ = 81 + 4 . (-27) = 81 - 108 = -27
f(0) = (0)⁴ + 4 . (0)³= 0 + 0 = 0

Tabela indicando o crescimento e o decrescimento da função:

x	...	-3	...	0	...
f '(x)	-	0	+	0	+
f(x)	↘	-27	↗	0	↗

Análise de concavidade da função (com base na derivada segunda da função):

f(x) = x⁴ + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²
f ''(x) = 12x² + 24x

Fazendo f ''(x) = 0:
12x² + 24x = 0
12x . (x + 2) = 0

Assim, x = -2, 0.

f(x) = x⁴ + 4x³
f(-2) = (-2)⁴ + 4 . (-2)³ = 16 + 4 . (-8) = 16 - 32 = -16
f(0) = (0)⁴ + 4 . (0)³= 0 + 0 = 0

x	...	-2	...	0	...
f ''(x)	+	0	-	0	+
f(x)	∪	-16	∩	0	∪

Agora, conhecendo os intervalos onde a função cresce e decresce, e onde ela apresenta concavidade para cima e para baixo, pode-se obter o gráfico da função.

Gráfico de f(x) = x⁴ + 4x, obtido com o GeoGebra e com o Krita.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Näher, mein Gott, zu Dir - Nearer, My God, to Thee

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J. S. Bach - "Jesus bleibet meine Freude" BWV 147

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Patricia JANEČKOVÁ: "Frühlingsstimmen" (Johann Strauss II)

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Antonio Vivaldi - "Summer" from four seasons

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Festmesse Kirchenchöre St.Joseph St.Albertus Magnus Leverkus

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DIE HIMMEL ERZÄHLEN DIE EHRE GOTTES von Joseph Haydn

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Wolfgang Amadeus Mozart - Laudate Dominum Leverkusen Kirche St.Joseph

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Die göttliche Liturgie - Teil 1 (bis zur 2. Antiphon)

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Katholische Kirchenmusik in Latein Gregorian mittelalterlichen Kirchen

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FAUN - Federkleid (Offizielles Video)

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Greatest Catholic Mass Hymns Of All Time (1)

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Cálculo I -18/06/2019

Cálculo I -18/06/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h37min
Término da aula: 20h49min
Taxa de aproveitamento: 80%

Observação: demora excessiva para exibir os resultados das provas, o que atrapalha os alunos a se organizarem para os estudos, visto que a matéria é cumulativa para a última prova. Sugestão: entregar os resultados das provas num prazo máximo de duas semanas a partir da avaliação. Também podem ser utilizados recursos multimídia para facilitar a compreensão da matéria pelos alunos.


Continuação:

Exemplo:

1) Determine a concavidade de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.

f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1
f '(x) = 6x² + 2x - 20
f ''(x) = 12x + 2

Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x + 2 = 0
12x = -2
x = -2 / 12
x = -1 / 6

Tomando um número maior que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = 0 > -1/6:
f ''(0) = 2, que é positiva (+), indicando concavidade para cima.

Tomando um número menor que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = -1 < -1/6:
f ''(-1) = 12 . (-1) + 2 = -12 + 2 = -10, que é negativa (-), indicando concavidade para baixo.

Assim, existe um ponto de inflexão, pois a concavidade muda ao longo da função.



Ponto de inflexão

Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão da função f(x).

Condições:

Observe que se um ponto (c, f(c)) do gráfico de f(x) é um ponto de inflexão, então:
a) f(x) é contínua em c.
b) Existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em ]a, c[ e côncavo para baixo em ]c, b[ ou vice-versa.


Exemplo 1:
Os pontos P1, P2, P3 e P5 do gráfico abaixo são pontos de inflexão de f(x).

Exemplo de função com concavidades para cima e para baixo, obtido com o Krita.

Exemplo 2:
Mostre que y = x⁴ não possui pontos de inflexão:
y' = 4x³
y'' = 12x²

Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x² = 0
x = 0

Análise da concavidade da função, obtido com o Krita.

Conferindo o gráfico de y = x⁴, mostrando que não há mudança de concavidade na função:

Gráfico de y = x⁴, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Exercício

Verifique se a função f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7 tem ponto de inflexão.

[Res.]

Gráfico de f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Assim, com o gráfico da função, já é possível visualizar que ela tem mudanças na concavidade. Portanto, existe o ponto de inflexão.

Agora, verificando os extremos da função, com a derivada primeira:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3 (x² - 2x - 3) = 3 . (x - 3) . (x + 1)

Igualando a derivada primeira a 0, encontram-se os pontos de extremos da função:
f '(x) = 3 . (x - 3) . (x + 1) = 0
x = -1, x = 3.

Agora, para analisar a concavidade, analisa-se o comportamento da derivada segunda:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3
f ''(x) = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Igualando a derivada segunda a 0, encontramos um ponto onde pode haver a inflexão da função:

f ''(x) = 6 (x - 1) = 0
x = 1

Agora, vamos analisar o valor ao redor de 1:
f ''(x) = 6 (x - 1)

Fazendo x = 0 < 1:
f ''(0) = 6 (0 - 1) = 6 . (-1) = -6. Logo, antes de x = 1, a derivada segunda é negativa, indicando que a concavidade da função é para baixo.

Fazendo x = 2 > 1:
f ''(2) = 6 (2 - 1) = 6 . (1) =  +6. Logo, depois de x = 1, a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função é para cima.


Como já tínhamos visto o gráfico, podemos comprovar que a análise das concavidades pelo comportamento da derivada segunda da função se mostrou eficiente.


Exercício:

Determine os extremos de f(x) = -2x³ + 6x² - 3.

[Res.]

Encontrando a derivada primeira:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f '(x) = -6x (x - 2)

Igualando a derivada primeira a 0 encontra-se os extremos da função:
f '(x) = -6x (x - 2) = 0
Logo, x = 0, x = 2.


Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f ''(x) = -12x + 12
f ''(x) = -12 (x - 1)

Igualando a derivada segunda a 0 encontra-se o(s) possível(is) ponto(s) de inflexão:
f ''(x) = -12 (x - 1) = 0
Logo, x = 1.

Verificando o comportamento da derivada segunda ao redor de x = 1:
f ''(x) = -12x + 12

Para x = 2 > 1:
f ''(2) = -12 . (2) + 12 = -24 + 12 = -12. Logo, o sinal negativo indica que a concavidade da função é para baixo antes de x = 1.

Para x = 0 < 1:
f ''(0) = -12 . (0) + 12 = 0 + 12 = +12. Logo, o sinal positivo indica que a concavidade da função é para cima depois de x = 1.
Como ocorre a inversão da concavidade ao longo da função, existe um ponto de inflexão na função.


O gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3 pode ser visualizado abaixo. Note que a concavidade muda exatamente em x = 1, que é o ponto de inflexão da função, encontrado igualando-se a derivada segunda da função a 0.

Gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3, obtido com o GeoGebra e com o Krita.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 14/06/2019

Cálculo I - 14/06/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h52min
Término da aula: aproximadamente 20h15min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 92,22%

Observações: a aula pode ser melhorada com a utilização de recursos multimídia e com uso aperfeiçoado do tempo em sala de aula (sugestões: exercícios programados valendo nota, "pré-prova", trabalhos explicando aplicações matemáticas práticas para os temas em discussão).


A forma de um gráfico

Função Crescente / Função Decrescente (Verificada com a Derivada primeira)

Concavidade (Verificada com a Derivada segunda)

Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento


O gráfico abaixo indica que, se o coeficiente angular da tangente é positivo em um intervalo I (aberto), então f é crescente. Da mesma forma, se o coeficiente angular for negativo, então f é decrescente.

Relação entre derivada e crescimento e decrescimento da função, obtido com o Krita.

Teorema

Se f é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável em ]a, b[:

a) se f '(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é crescente

b) se f '(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é decrescente


Exemplo:
Seja f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.

a) Determine os extremos locais de f

b) Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.

c) Esboce o gráfico.

[Res.]
a) f(x) = 2x³ + x² -20x + 1

Derivada Primeira
f '(x) = 6x² + 2x - 20
(x+2) . (6x -10) = 0

Soluções:
x = 2
x = 5/3

f(2) = 29
f(5/3) ≅ - 20,3

b) Intervalos crescentes e decrescentes:

Intervalo	]-∞, 2[	]-2, 5/3[	]5/3, ∞[
x	-3	0	2
f '(x)	28	-20	8
sinal f '(x)	+	-	+
conclusão	↑	↓	↑

Observações:
f(-2) é ponto de máximo
f(5/3) é ponto de mínimo


c) Gŕafico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1:

Gráfico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Concavidade e o teste da derivada segunda

- Ambas as funções abaixo tratam de funções crescentes no intervalo ]a, b[. Porém, elas inclinam-se em direções diferentes. Como distinguir?

Exemplos de função crescente e decrescente, e tangentes delas, obtidas com o Krita.

1º caso: a curva fica acima das tangentes e a inclinação das tangentes é crescente.

2º caso: a curva fica abaixo das tangentes e a inclinação é decrescente.


Definição:

O gráfico de uma função derivável y = f(x) é:

a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y' é crescente em I.

b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y' é decrescente em I.

Teste da derivada segunda:
a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.

b) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 12/06/2019

Cálculo I - 12/06/2019 - (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h42min
Taxa de aproveitamento: 68,88%


Continuação

Exercícios:
f(x) = -2x³ - 6x² + 5

f(0) = f(-3) = 5 (máximo local de f)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local de f)

Gráfico

Gráfico de f(x) = -2x³ - 6x² + 5, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Teorema do Valor Médio

Seja f uma função e sejam A(a, f(a)) e B(b, f(b)) pontos do gráfico de f.

Gráfico de uma função f, para exemplificar o Teorema do Valor Médio, obtido com o Krita.

A figura sugere que entre A e B deve haver algum ponto C(c, f(c)) sobre o gráfico de f, onde a reta tangente à curva seja paralela à secante AB. Logo, os coeficientes angulares das duas retas são iguais.

Como o coeficiente angular da reta tangente em c é f '(c), temos:
f '(c) = [f(b) - f(a)] / [b - a]


Exemplo:
Sabe-se que, aplicando o teorema do valor médio com a=2 e b=7 à função cujo gráfico é dado abaixo, chega-se a c=4.  Qual a equação da reta tangente em 4?

Gráfico para exemplo do teorema do valor médio, obtido com o Krita.

[Res.]

A equação da reta tangente é:
y - y₀ = m_t . (x - x₀)

x₀ = 4
y₀ = f(4) = 8
m_t = m_AB = (9 - 5) / (7 - 2) = 4/5

y - 8 = 4/5 . (x - 4)
y = 4/5 . x - 16/5 + 8
y = 4/5 . x + (-16 + 40)/5
y = 4/5 . x + 24/5


Exemplo:
Uma estrada retilínea de 80km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A até B de automóvel em exatamente duas horas, sem que o velocímetro registre 40km/h ao menos uma vez.

Esquema do trajeto entre as cidades A e B, obtido com o Krita.

[Res.]


A velocidade média durante o percurso de A até B é:
Vm = [S(2) - S(0)] / (2 - 0)
= (80 - 0) / 2
= 40 km/h

Logo, em pelo menos um instante entre 0 e 2 temos que a velocidade instantânea é 40km/h. Em algum instante o velocímetro registrou 40km/h.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 11/06/2019

Cálculo I - 11/06/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h55min
Taxa de aproveitamento: 82,22%

Observação (pontos a melhorar na aula): professora checa onde parou a matéria com os alunos. Poderia haver um registro de aula para agilizar o início das aulas (sugestão). Muitos erros no quadro. Muita conversa em sala. Poderia haver mais uso de recursos multimídia para melhor compreensão da matéria.


Continuação da matéria

Extremos de função

Exemplo:
Determine os extremos locais e absolutos da função f cujo gráfico está esboçado abaixo.

Exemplo de função com máximos e mínimos, obtido com o Krita.

* Mínimos locais: f(b), f(d)
* Máximos locais: f(c), f(e)


Existe:

(I) Um máximo local de f se existe um intervalo ]a, b[ contendo c tal que f(x) ≤ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.

(II) Um mínimo local de f se existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.

Cada máximo ou mínimo local é denominado extremo local de f.


Definição:
Uma função f possui um máximo ou mínimo local em uma extremidade c do seu domínio se a desigualdade apropriada for válida para qualquer x em um intervalo que contenha c.


Definição:
Um número c do domínio de uma função é um número crítico de f se f '(c) = 0 ou f '(c) não existe.

Podemos dizer então que valores extremos de uma função ocorrem só nos seus números críticos ou nas extremidades de um intervalo fechado.



Diretrizes para determinar extremos

Seja f(x) uma função contínua definida em um intervalo fechado [a, b].

Para determinar os extremos de f em [a, b] siga os seguintes passos:
1) Determinar todos os números críticos de f em ]a, b[.
2) Calcule f(c) para cada número crítico obtido em 1.
3) Calcule os valores de f nas extremidades de [a, b].
4) Os valores máximo e mínimo de f em [a, b] são o maior e o menor valores da função calculados em 2 e 3.

Exemplo:
Encontre os valores máximo e mínimo de f(x) = -2x³ - 6x² + 5 no intervalo [-3, 1] e esboce o gráfico.

[Res.]

Gráfico de f(x) = -2x³ - 6x² + 5, obtido com o GeoGebra e com o Krita.

1) Números críticos:
f '(x) = -6x² - 12x = -6x . (x + 2)
f '(x) = 0

-6x . (x + 2) = 0
Números críticos
* x = 0
* x = 2

2) Calcular o valor de f:
f(0) = 5
f(-2) = -2 . (-2)³ - 6 . (-2)² + 5 = 16 - 24 + 5 = -3

3) Valores de f nas extremidades do intervalo:
f(-3) = -2 . (-3)³ - 6 . (-3)² + 5 = 5
f(1) = -2 . (1)³ - 6 . (1)² + 5 = -3

4) Comparando valores:
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local)


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Chega de óculos - Médico chinês cria exercicios para uma visão saudável

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✅ МАНГАЛ ИЗ АВТОМОБИЛЬНОГО ДИСКА | Churrasqueira com roda de carro !!!

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Cálculo I - 07/06/2019

Cálculo I - 07/06/2019 (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h51min
Término da aula: 20h06min
Taxa de aproveitamento: 83,33%


Diferenças indeterminadas

Se lim_x→a f(x) = ∞ e lim_x→a g(x) = ∞, então o limite lim_x→a [f(x) - g(x)] é denominado de forma indeterminada do tipo: (∞ - ∞).

Podemos aplicar a regra de L'Hôpital para resolver tal limite convertendo a diferença em um quociente de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞.


Exemplo:

1) Calcule o limite lim_x→0 [1/(e^x - 1) - (1/x)].

[Res.]

Gráfico de f(x) = 1/(e^x - 1) - 1/x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→0 [1/(e^x - 1) - (1/x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
Aplicando o Teorema de L'Hôpital:
= lim_x→0 {[x - (e^x - 1)]/[x . (e^x - 1)]}
= lim_x→0 {[x - e^x + 1]/[x . (e^x - 1)]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= lim_x→0 {[1 - e^x + 0]/[1 . (e^x - 1) + x . (e^x . 1 - 0)]}
= lim_x→0 {[1 - e^x]/[e^x - 1 + x . e^x]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= lim_x→0 {[0 - e^x . 1]/[e^x . 1 - 0 + 1 . e^x + x . e^x . 1]}
= lim_x→0 {[- e^x]/[e^x + e^x + x . e^x]}
= lim_x→0 {[- e^x]/[2 . e^x + x . e^x]}
= [- 1]/[2 . 1 + 0 . 1]
= [- 1]/[2 + 0]
= - 1/2



2) Calcule o limite lim_x→𝜋/2^- [sec(x) - tg(x)].

[Res.]

Gráfico de f(x) = sec(x) - tg(x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→𝜋/2^- [sec(x) - tg(x)]

Lembrando:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x)/cos(x)

Assim:
lim_x→𝜋/2^- [sec(x) - tg(x)]
= lim_x→𝜋/2^- [1/cos(x) - sen(x)/cos(x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= lim_x→𝜋/2^- {[1 - sen(x)]/cos(x)} ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= lim_x→𝜋/2^- {[0 - cos(x)]/[-sen(x)]}
= [0 - 0]/[-1]
= 0 / (-1)
= 0



Extremos de função:

- Objetivo principal de localizar e identificar valores extremos de uma função contínua a partir de sua derivada.

- Os valores máximos e mínimos de uma função são pontos fundamentais para resolução dos problemas de otimização, nos quais encontramos a melhor maneira (maneira ótima) de fazer algo em determinada situação.


Definição:

Seja f uma função definida em um conjunto S de números reais e seja c ∈ S.

I) f(c) é um valor máximo de f em S se f(x) ≤ f(c)

II) f(c) é um valor mínimo de f em S se f(x) ≥ f(c)

- Máximo absoluto

- Mínimo absoluto


Exemplo:

Seja f(x) = 1/2 . x² - 2x. Determine os extremos de f no seguinte intervalo: [0, 5].

Gráfico de f(x) = 1/2 . x² - 2x, obtido com o GeoGebra e com o Krita.

x	...	2	...
f '(x)	-	0	+
f(x)	↘	-2	↗

Como o intervalo vai de 0 a 5, o menor valor ocorre quanto existe a transição da derivada de negativo para positivo, no ponto 2. Derivada negativa significa que a função está decrescente. Derivada positiva significa que a função está crescente. Logo, na transição, ela não cresce nem decresce.

Assim, o ponto de mínimo, que também é o mínimo absoluto da função, ocorre em x = 2, no ponto (2, -2).

f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(2) = 1/2 . 2² - 2.2
f(2) = 1/2 . 4 - 4
f(2) = 4/2 - 4
f(2) = 2 - 4
f(2) = - 2


O ponto de máximo no intervalo ocorre quando x = 5, no ponto (5, 5/2).

f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(5) = 1/2 . 5² - 2.5
f(5) = 1/2 . 25 - 10
f(5) = 25/2 - 10
f(5) = 5/2

 

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Utilizando o GMA - Vigas sobre parede

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Caixaria RÁPIDO e Fácil | ECO GRAMPOS JF

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Edlseer - Geh Madl

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Läts Fetz - Bei Locken wer i locker

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Läts Fetz - Höllawind, mei Alte spinnt

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Melissa Naschenweng - Net mit mir

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Melissa Naschenweng - Gott is a Dirndl

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Daniela Alfinito - Küss mir die Sehnsucht aus dem Blick (offizielles Video)

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Ich danke allen Menschen - Xavier Naidoo [Official Video]

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06 de junho - Dia do profissional de Logística

Comemoração da UCL aos profissionais de Logística.

Parabéns ao profissional que alia tecnologia e informação para entregar o produto certo, na quantidade esperada e no tempo adequado!
Parabéns a todos os profissionais de Logística!

(Fonte: e-mail comemorativo da UCL - Faculdade do Centro Leste)

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OOMPH! - Tausend Mann Und Ein Befehl (Official Video) | Napalm Records

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SDP - Das Lied (feat. Bela B)

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HARRIS & FORD feat. FiNCH ASOZiAL - FREITAG SAMSTAG

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Dido - Thank You (Official Music Video)

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Cálculo 1 - 05/06/2019

Cálculo 1 - 05/06/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 72/90 = 80%


Produtos indeterminados

Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis tais que:
lim_x→a f(x) = 0 e lim_x→a g(x) = ± ∞

O cálculo do lim_x→a [f(x) . g(x)] nos leva à uma forma indeterminada do tipo ± 0 . ∞.

Podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular tal limite e para isso devemos escrever o produto f . g como um quociente:

f . g = f / (1/g) ou f . g = g / (1/f)

Isso converte o limite na forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞.


Potências indeterminadas
lim_x→a [f(x)]^g(x)

1) Se lim_x→a f(x) = 1 e lim_x→a g(x) = ± ∞, temos: 1^±∞


2) Se lim_x→a f(x) = ∞ e lim_x→a g(x) = 0, temos: ∞⁰


3) Se lim_x→a f(x) = 0 e lim_x→a g(x) = 0, temos: 0⁰


Vamos usar regra de L'Hôpital para resolver limites em situações assim. Para isso, é necessário ajustar a função para ela se encaixar na regra do quociente. Um método para isso é utilizar o logaritmo natural em ambos os membros da equação, o que será apresentado abaixo.

1) Seja y = [f(x)]^g(x), usando logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, temos:

ln y = ln [f(x)]^g(x)
ln y = g(x) . ln [f(x)]

Observação:
Como ln é uma função contínua, temos que:
lim_x→a ln y = ln (lim_x→a y)

* Se lim_x→a ln y = L, então ln (lim_x→a y) = L ⇒ lim_x→a y = e^L

* Se lim_x→a ln y = ∞, então ln (lim_x→a y) = ∞ ⇒ lim_x→a y = e^∞ = ∞


Exemplo:
lim_x→0 (x² + 2x)^x ∴ Forma indeterminada do tipo: 0⁰.
y = (x² + 2x)^x

Gráfico de f(x) = (x² + 2x)^x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Gráfico de f(x) = (x² + 2x)^x, em detalhe, obtido com o GeoGebra e o Krita.

y = (x² + 2x)^x
Aplicando logaritmo natural:
ln y = ln (x² + 2x)^x
ln y = x . ln (x² + 2x)

Gráfico de f(x) = x . ln (x² + 2x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Como ln y = x . ln (x² + 2x), logo:
lim_x→0 ln y = lim_x→0 [x . ln (x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0 . (- ∞).
= lim_x→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: -∞/∞.

Lembrando que:
y = ln u →y' = 1/u . u'

Continuando as derivações:
= lim_x→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)]
= lim_x→0 {[1/(x² + 2x) . (2x + 2)] / (-1 . x^-2)}
= lim_x→0 {[(2x + 2)/(x² + 2x)] / (-1/x²)} ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= lim_x→0 [-(2x³ + 2x²)/(x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= lim_x→0 [-(6x² + 4x)/(2x + 2)]
= -0 / 2
= 0

Como lim_x→0 ln y = 0, logo:
lim_x→a y = e⁰ = 1


Exercícios:

Encontro o limite: lim_x→0 (1 + 3x)^1/2x ∴ Forma indeterminada do tipo: 1^∞

[Res.]
Para solucionar o limite, aplicaremos o logaritmo natural.

Seja:
y = (1 + 3x)^1/(2x)

Gráfico de f(x) = (1 + 3x)^1/(2x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

y = (1 + 3x)^1/(2x)

ln y = ln (1 + 3x)^1/(2x)
ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x)


Como ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x), logo:
lim_x→0 ln y = lim_x→0 [1/(2x) . ln (1 + 3x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 1^∞ / 0
= lim_x→0 [ln (1 + 3x) / (2x)]
= lim_x→0 {[1 / (1 + 3x) . 3] / (2)}
= lim_x→0 {[3 / (1 + 3x)] / (2)}
= lim_x→0 {3 / [2 . (1 + 3x)]}
= lim_x→0 [3 / (2 + 6x)]
= 3 / (2 + 0)
= 3 / 2

Como lim_x→0 ln y = 3 / 2, logo:
lim_x→0 y = e^3/2 = √(e³)


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 04/06/2019

Cálculo I - 04/06/2019 - (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h33min
Término da aula: 21h59min
Taxa de aproveitamento: 95,55%


Diferenciais

Até agora dy/dx tem sido visto apenas como uma simples notação para a derivada da função y = f(x).
O que faremos aqui é introduzir duas novas variáveis dx e dy com a propriedade de que, caso a razão dy/dx exista, esta será igual à derivada f '(x).


Definição
Seja y = f(x), onde f é uma função diferenciável e seja ∆x um incremento de x.

* A diferencial dx da variável independente x é: dx = ∆x.
* A diferencial dy da variável independente y é:  dy = f '(x) dx

Logo:
dy/dx = f '(x)


Exemplo:
Determine o diferencial dy se y = (x² - 1)^1/5.

[Res.]
dy/dx = 1/5 . (x² - 1)^-4/5 . 2x
dy = 2x / [5 . (x² - 1)^4/5] . dx

Exemplo de variação em uma função, obtido com o Krita.

Aplicações das derivadas

* Formas indeterminadas e Regra de L'Hôpital

Formas indeterminadas do tipo 0/0 e ∞/∞.

No capítulo 1 tratamos de limites de quocientes tais como:
* lim_x→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]

* lim_x→0 [sen (x) / x]

Para resolver estes limites, usamos métodos algébricos, geométricos e trigonométricos, mas esses métodos não resolvem todos os limites que resultam em formas indeterminadas.

O principal instrumento para o estudo destas formas indeterminadas é a regra de L'Hôpital.


Regra de L'Hôpital

Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g'(x) ≠ 0. Suponha que f(x) / g(x) tenha forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞ em x = 0.

lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a [f '(x) / g'(x)], desde que:
lim_x→a [f '(x) / g'(x)] exista ou lim_x→a [f '(x) / g'(x)] = ± ∞.


Observação:

1) A Regra de L'Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas.

2) A Regra de L'Hôpital é válida também para limites laterais.


Exemplo:
Determine, usando a regra de L'Hôpital, os seguintes limites:

1) lim_x→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (x³ - 8) / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

 
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.

Aplicando a regra de L'Hôpital:
lim_x→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
= lim_x→2 [(3 . x²) / 1]
= lim_x→2 (3 . x²)
= lim_x→2 3 . lim_x→2 x²
= 3 . (lim_x→2 x)²
= 3 . (2)²
= 3 . 2²
= 3 . 4
= 12


2) lim_x→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (x² - 1) / (2x² + 1), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.

Aplicando a regra de L'Hôpital:
lim_x→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]
= lim_x→∞ [2x / 4x]
= lim_x→∞ [2 / 4]
= lim_x→∞ 2 / lim_x→∞ 4
= 2/4
= 1/2


3) lim_x→∞ [(e^3x) / (x²)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (e^3x) / (x²), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.

Aplicando a regra de L'Hôpital:
lim_x→∞ [(e^3x) / (x²)]
= lim_x→∞ [(e^3x . 3) / (2x)]
= lim_x→∞ [(3 . e^3x . 3) / (2)]
= lim_x→∞ [(9 . e^3x) / (2)]
= lim_x→∞ (9/2 . e^3x)
= lim_x→∞ 9/2 . lim_x→∞ e^3x
= 9/2 . ∞
= + ∞


4) lim_x→𝜋/2^- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (4 . tg(x)) / (1 + sec(x)), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.

Aplicando a regra de L'Hôpital:
lim_x→𝜋/2^- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]
=  lim_x→𝜋/2^- [(4 . 1 . sec²(x)) / (0 + 1 . sec(x) . tg(x))]
=  lim_x→𝜋/2^- [(4 . sec²(x)) / (sec(x) . tg(x))]
=  lim_x→𝜋/2^- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]

Lembrando que:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x) / cos(x)

Continuando o limite:
lim_x→𝜋/2^- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]
= lim_x→𝜋/2^- [(4 . 1/cos(x)) / (sen(x)/cos(x))]
= lim_x→𝜋/2^- [(4/cos(x)) . (cos(x)/sen(x))]
= lim_x→𝜋/2^- [4 / cos(x) . cos(x) / sen(x)]
= lim_x→𝜋/2^- [4 / sen(x)]
= lim_x→𝜋/2^- 4 / lim_x→𝜋/2^- sen(x)
= 4 / 1
= 4



5) lim_x→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.

Aplicando a regra de L'Hôpital:
lim_x→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]

Lembrando que:
y = sen(u) ⇒ y' = u' . cos (u)
y = cos(u) ⇒ y' = -u' . sen (u)
y = u . v ⇒ y' = u' . v + v' . u
sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x)

Derivando-se o numerador e o denominador, obtém-se:

= lim_x→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
Porém, ainda encontra-se a forma indeterminada: 0/0. Assim, pode-se proceder a nova derivação do numerador e do denominador.

Antes de proceder às derivações, iremos utilizar a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x) para facilitar as operações:
= lim_x→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
= lim_x→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]

Procedendo as derivações:
= lim_x→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]
= lim_x→0 [(cos(2x) . 2 - 2 . cos(x)) / (-cos(2x) . 2 - cos(x) - 1 . cos(x) - (-sen(x)) . x)]
= lim_x→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]

Agora é possível calcular o limite da função:
= lim_x→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]
= (2 . 1 - 2 . 1) / (-2 . 1 - 2 . 1 + 0 . 0 )
= (2 - 2) / (-2 -2)
= 0 / (-4)
= 0


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.