Lucas Freitas, M.Sc.: março 2019

sexta-feira, 29 de março de 2019

Cálculo I - 29/03/2019

Cálculo I - 29/03/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 19h00min
Término da aula: 20h10min
Taxa de aproveitamento: 77,77%

Exercícios de Limites Trigonométricos

Lembrando que
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1

1) Encontre o limite:

a) lim_x→0 [sen(3x)/8x]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/8x]
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3/8 . (8x)]}
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3x]}
= lim_x→0 [3/8 . sen(3x)/(3x)]
= lim_x→0 3/8 . lim_x→0 [sen(3x)/(3x)]
= 3/8 . 1
= 3/8

b) lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]
= lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[3/2 . sen(2x)/3x]}
= lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[sen(2x)/2x]}
= lim_x→0 (3/2) . lim_x→0 [sen(3x)/3x] / lim_x→0 [sen(2x)/2x]
= 3/2 . 1 / 1
= 3/2

Limites infinitos

Ao investigarmos lim_x→a^- f(x) ou lim_x→a⁺ f(x), pode ser que o valor de f(x) ou aumente ou decresça sem limite à medida em que x se aproxima de a.

Exemplos:
Seja f(x) = 1 / (x - 2). Estude lim_x→2 f(x).

Gráfico de f(x) = 1 / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Quando x tende a 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite. Denotamos este fato escrevendo:
lim_x→2⁺ [1/(x - 2)] = + ∞.

Por outro lado, quando x tende a 2 pela esquerda, f(x) decresce sem limite. Daí, escrevemos:
lim_x→2^- [1/(x - 2)] = - ∞.

Se os limites laterais são distintos, não existe limite no ponto: ∄ lim_x→2 f(x).

Definição:
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em x = a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = + ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes com x próximo de a, mas x ≠ a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = - ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente pequenos com x próximo de a, mas x ≠ a.

Exercícios:
* lim_x→_-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)

[Res.]

Gráfico de f(x) = 2x⁵ - 5x³ + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→_-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)
= lim_x→_-∞ 2x⁵ - lim_x→_-∞ 5x³ + lim_x→_-∞ 1
= [lim_x→_-∞ 2x]⁵ - [lim_x→_-∞ 5x]³ + 1
= [2 . lim_x→_-∞ x]⁵ - [5 . lim_x→_-∞ x]³ + 1
= [2 . (-∞)]⁵ - [5 . (-∞)]³ + 1
= [-∞]⁵ - [-∞]³ + 1
Como o limite tendeu ao infinito (negativo), iremos considerar apenas o termo de maior expoente para encontrar o limite da função. Assim:
lim_x→_-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1) = -∞

* lim_x→_+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (3 - x) / (√(5 + 4 . x²)), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→_+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→_+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²) . √(5 + 4 . x²) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→_+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / (5 + 4 . x²)}
= lim_x→_+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4 . x²/x²)]}
= lim_x→_+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[x(3/x - x/x) . x√(5/x² + 4 . x²/x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4 . 1)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [(5/x² + 4)]}
= {[(0 - 1) . √(0 + 4)] / [(0 + 4)]}
= {[(- 1) . √4] / [4]}
= {[-√4] / [4]}
= {[-2] / [4]}
= -2 / 4
= -1 / 2

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Me Salva! LIM09 - Limites no infinito e assíntotas horizontais

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CALC1S4 06 Limites Infinitos

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CALC1S4 05 Exemplos

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CALC1S4 04 Consequências

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CALC1S4 03 Limites Trigonometricos Fundamentais

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CALC1S4 02 Limites Laterais Parte 2

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CALC1S4 01 Limites Laterais

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quinta-feira, 28 de março de 2019

Production Caprine

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Ovinos

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quarta-feira, 27 de março de 2019

2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções

2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções

Revisão breve:

Função:

Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.

Referência:

https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm

Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente, indicando pontos de máximo e de mínimo para as figuras a seguir:
a)

[Res.]
Função crescente: ]-∞,-4], [-1,3]
Função decrescente: [-4,-1], [3,∞[
Extremos locais
Pontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
Ponto de mínimo: y = -2 em x = -1
Extremos absolutosPontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
Ponto de mínimo: não tem

b)

[Res.]
Função crescente: ]-∞, -2], [1, ∞]
Função decrescente: [-2, 1]
Extremos locais
Pontos de máximo: y = 3 em x = -2
Ponto de mínimo: y = -2 em x = 1
Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
Ponto de mínimo: não tem

c)

[Res.]
Função crescente: [-1, -0], [1,∞[
Função decrescente: ]∞, -1], [0, 1]
Extremos locais
Pontos de máximo: y = 0 em x = 0
Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1
Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1
Determine se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
a) f(x) = 5x³ + 2x
[Res.]
f(1) = 5+2 = 7
f(-1) = -5 -2 = -7
Como f(-1) é -f(1), a função é ímpar.

b) f(x) = |x| - 3
[Res.]
f(1) = 1 - 3 = -2
f(-1) = 1 - 3 = -2
Como f(1) = f(-1), logo a função é par.

c) f(x) = (8x³ - 3 x²)³
[Res.]
f(1) = (8 - 3)³ = 5³ = 125
f(-1) = (-8 - 3)³ = (-11)³ = -1331
Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.

d) f(x) = (3x^4 + 2x² - 5)^(1/2)
[Res.]
f(1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
f(-1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
Como f(1) = f(-1), logo a função é par.

e) f(x) = 6x^5 - 4x³ + 2x
[Res.]
f(1) = 6 - 4 + 2 = 4
f(-1) = -6 + 4 - 2 = -4
Como f(1) = -f(-1), logo a função é ímpar.

f) f(x) = x (x+5)
[Res.]
f(1) = 1 (1+5) = 6
f(-1) = -1 (-1 + 5) = -4
Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
Seja f: A B. Sabe-se que o conjunto A tem (2p - 2) elementos e o conjunto B tem (p+3) elementos. Sabendo-se que f é injetora, então podemos afirmar que:
a) 1 < p ≤ 5
b) 5 < p ≤ 7
c) 7 < p ≤ 8
d) 8 < p ≤ 10
e) p ≥ 10
[Res.]
Como uma função é Injetora quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio, logo:
2p - 2 ≤ p + 3
2p - 2 + 2 ≤ p + 3 + 2
2p ≤ p + 5
p ≤ 5

Como 2p - 2 ≤ 0:
0 ≤ 2p - 2
2 ≤ 2p
1 ≤ p

Assim:
1 ≤ p ≤ 5
Os gráficos abaixo representam funções de IR em IR. Verifique se elas são ou não funções sobrejetoras, injetoras ou bijetoras. Justifique sua resposta.
a)

[Res.]
f(1) = 0
f(-1) = -2
Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
Como para cada y existe apenas um valor de x, a função é injetora.
Como todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função é sobrejetora.
Como a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.

b)

[Res.]
Como para cada x não existe apenas um valor de y, a função não é injetora.
Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora.

c)

[Res.]
Como para cada y não existe apenas um valor de x, a função não é injetora.
Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora.
Determine o conjunto B de modo que a sentença f(x) = x² defina uma função sobrejetora de A = [-3,4] em B. Nestas condições podemos dizer que f é bijetora?

[Res.]
Calculando
f(-3) = (-3)² = 9
f(-2) = (-2)² = 4
f(-1) = (-1)² = 1
f(0) = (0)² = 0
f(1) = (1)² = 1
f(2) = (2)² = 4
f(3) = (3)² = 9
f(4) = (4)² = 16

Logo, B = [0, 16].
Como cada elemento da imagem não está relacionado a um único elemento do domínio, a função não é injetora. Logo, ela não é bijetora.
Uma função f é dada por uma tabela de valores. Determine se f é injetora em cada caso.
a)

[Res.]
Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora.

b)

[Res.]
Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, a função é injetora.
Uma função f é dada por meio de descrição verbal. Determine se f é injetora.
a) f(t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada.
[Res.]
Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora (tomando-se apenas os eixos x e y como coordenadas parabólicas da bola).

b) f(t) é a sua altura com t anos de idade.
[Res.]
Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função é injetora.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 27/03/2019

Cálculo I - 27/03/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: não registrei
Taxa de aproveitamento: ≤ 88,88%

Monitoria de cálculo (2019/1):

*Carol:
Segunda e Terça: 14h30min às 18h30min
Quarta: 13h às 17h

*Júlia:
Segunda: 13h às 18h
Terça: 13h às 17h
Quarta: 13h às 19h

Limites Laterais

Limite lateral pela direita:
lim_x→a⁺ f(x) = L

Podemos tornar f(x) tão próximo de L, de modo a obter o limite lateral pela direita.

Limite lateral de f(x) quando x tende a a pela direita, obtido com o Krita.

Limite lateral pela esquerda:
lim_x→b^- f(x) = L
Seja f(x) definida em um intervalo aberto ]a, b[, onde a < b.

Limite lateral de f(x) quando x tende a b pela esquerda, obtido com o Krita.

Exercícios:
Se f(x) = √(x + 6) + x, calcule:

a) lim_x→-6^- f(x)

[Res.]
lim_x→-6^- f(x)
= lim_x→-6^- [√(x + 6) + x] = ∄ nos reais, pois não há raiz quadrada negativa aceitável no conjunto dos números reais.

b) lim_x→-6⁺ f(x)

[Res.]
lim_x→-6⁺ f(x)
= lim_x→-6⁺ [√(x + 6) + x]
= 0 + (-6)
= -6

c) lim_x→-6 f(x)

[Res.]
Como só existe o limite de f(x) quando x tende a -6 pela direita, o lim_x→-6 f(x) não existe no conjunto dos números reais. Só existe o limite do ponto se existir o limite pela esquerda e pela direita e se eles forem iguais.
Assim:
lim_x→-6 f(x) ∄ no conjunto dos reais.

Teorema

lim_x→0 [sen(x)/x] = 1 (x em radianos)

Esquema para analisar o teorema de lim_x→0 [sen(x)/x] = 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

A análise será feita pela análise de áreas de triângulos. Temos:

Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT

* Área 𝛥OAP
Área 𝛥OAP = 1/2 . 1 . sen(x) = sen(x) / 2

* Área do setor circular OAP
Área do setor circular OAP = l . R / 2
l = 𝜶 . R
l = x . 1
l = x

Logo:
Área do setor circular OAP = l . R / 2
= x . 1 / 2
= x / 2

* Área 𝛥OAT
Área 𝛥OAT = 1/2 . 1 . tg(x) = tg(x) / 2

Como Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT, logo:
sen(x) / 2 < x / 2 < tg(x) / 2
sen(x) < x < tg(x)

* Dividindo tudo por sen(x):
1 < x / sen(x) < tg(x) / sen(x)
1 < x / sen(x) < sen(x)/cos(x) . 1 / sen(x)
1 < x / sen(x) < 1/cos(x)

* Invertendo todos os membros:
cos(x) < sen(x)/x < 1

Aplicando o Teorema do Confronto, temos:

*limite quando x tende a 0 pela direita:
lim_x→0⁺ cos(x) < lim_x→0⁺ [sen(x)/x] < lim_x→0⁺ 1
= 1 < lim_x→0⁺ [sen(x)/x] < 1

Assim:
lim_x→0⁺ [sen(x)/x] = 1

*limite quando x tende a 0 pela esquerda:
lim_x→0^- cos(x) < lim_x→0^- [sen(x)/x] < lim_x→0^- 1
= 1 < lim_x→0^- [sen(x)/x] < 1

Assim:
lim_x→0^- [sen(x)/x] = 1

Como os limites pela esquerda e pela direita existem e são iguais, existe o limite da função f(x) = sen(x)/x quando x tende a 0:
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

terça-feira, 26 de março de 2019

Cálculo 1 - 1ª Lista

Dada a função f(x) = 7x - 3, obtenha:
a) f(2)
[Res.]
f(2) = 7 (2) - 3 = 14 - 3 = 11

b) f(6)
[Res.]
f(6) = 7 (6) - 3 = 42 - 3 = 39

c) f(0)
[Res.]
f(0) = 7 (0) - 3 = -3

d) f(-1)
[Res.]
f(-1) = 7 (-1) - 3 = -7 - 3 = -10

e) f (1/2)
[Res.]
f(1/2) = 7 (1/2) - 3 = 7/2 - 3 = 3,5 - 3 = 0,5

f) f (-1/3)
[Res.]
f (-1/3) = 7 (-1/3) - 3 = -7/3 - 3 = (-7 -9) / 3 = -16/3
Dada a função f(x) = 2x - 3, obtenha:
a) f(3)
[Res.]
f(3) = 2 (3) - 3 = 6 - 3 = 3

b) f(-4)
[Res.]
f(-4) = 2 (-4) -3 = -8 -3 = -11

c) O valor de x tal que f(x) = 49
[Res.]
f(x) = 49
49 = 2x - 3
52 = 2x
x = 52/2 = 26

d) O valor de x tal que f(x) = -10
[Res.]
f(x) = -10
-10 = 2x - 3
-10 + 3 = 2x
-7 = 2x
x = -7/2
Dada a função f(x) = x² - 4x +10, obtenha os valores de x cuja imagem seja 7.
[Res.]
f(x) = 7
7 = x² - 4x +10
x² - 4x + 3 =0
(x-3)(x-1) = 0

x = 1, 3
Dada a função f(x) = mx + 3, determine m sabendo que f(1) = 6.
[Res.]
f(1) = 6
6 = m(1) + 3
6 - 3 = m = 3

Logo, f(x) = 3x + 3
É dado o gráfico de uma função f:

a) Obtenha o valor de f(-1)
[Res.]
f(-1) = -2

b) Estime o valor de f(2)
[Res.]
f(2) = 3

c) f(x) = 2 para quais valores de x?
[Res.]
f(x) = 2 em x = -3, 1

d) Estime os valores de x para os quais f(x) = 0.
[Res.]
f(x) = 0 em x ≈ -2,5; 0,4
São dados os gráficos de f e g.

a) Obtenha os valores de f(-4) e g(3).
[Res.]
f(-4) = -4

g(3) ≈ 3,4

b) f(x) = g(x) para quais valores de x?
[Res.]
f(x) = g(x) em (-2,1) e (2, 2)

c) Estime a solução da equação f(x) = -1.
[Res.]
x ≈ -3; 3,6
Determine se a curva dada é o gráfico de uma função de x. Se for o caso, obtenha o domínio e a imagem da função.
a)

[Res.]
É função, pois para cada x existe apenas um valor de y.
Domínio: x pertence aos reais.
Imagem: y pertence aos reais tal que y ≥ -2

b)

[Res.]
Não é função, pois há mais de um valor de y para um único valor de x.

c)

[Res.]
Não é função, pois quando x é igual a -1 existem vários valores de y.

d)

[Res.]
É função, pois para cada valor de x existe um único valor de y.
Domínio: x pertence aos reais.
Imagem: y pertence aos reais tal que y > 0 ou y = -2.

e)

[Res.]
É função, pois para cada valor de x existe apenas um valor de y.
Domínio: x pertence ao conjunto dos números reais.
Imagem: y pertence aos reais tal que y > 0.

f)

[Res.]
Não é função, pois existe mais de um valor de y para vários valores de x.
Uma função f satisfaz a condição f(x+1) = f(x) + f(1) qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, determine o valor de f(3).
[Res.]
f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 2 . f(1)
Como f(2) = 1, logo 1 = 2 . f(1). Assim, f(1) = 1/2.
Calculando f(3):
f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) = 1 + 1/2 = 3/2.
Uma função f satisfaz a condição f(x+2) = 2 . f(x) + f(1) qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de f(1) e de f(5).
[Res.]
Como f(3) = 6:
f(3) = f(1+2) = 2 . f(1) + f(1) = 3 . f(1)
Logo:
6 = 3 . f(1)
f(1) = 2

Calculando f(5):
f(5) = f(3+2) = 2 . f(3) + f(1) = 2 . 6 + 2 = 12 + 2 = 14
Obtenha o domínio das seguintes funções:
a) f(x) = x³ - 2x² + 2x + 3
[Res.]
x pertence aos reais.

b) g(x) = (x²+5) / (x+2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x é diferente de -2.

c) f(t) = (t+1) / (t² - t - 2)
[Res.]
t pertence aos reais tal que t é diferente de 2 e de -1.

d) g(t) = (2t-1) / (t² + 3t + 5)
[Res.]
t pertence aos reais.

e) f(x) = (3 - x)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≤ 3.

f) g(x) = (3x + 8)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≥ -8/3.

g) f(x) = (2x + 1) / (3x - 12)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≥ 4.

h) g(x) = (x-1) / (x+2)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≥ -2.

i) f(x) = (x+1) / (x³ - 4x)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x é diferente de -2, 0 e 2.

j) g(x) = (4x-3)^(1/2) / (x² - 4)
[Res.]
x pertence aos reais tal que que x ≥ 3/4 e x é diferente de 2.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 26/03/2019

Cálculo I - 26/03/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 77,77%

Teorema do Confronto

O teorema do confronto nos permite calcular uma variedade de limites.
Denominado teorema do confronto porque se refere a uma função f cujos valores são "imprensados" entre os valores de duas outras funções g(x) e h(x) que possuem o mesmo limite L em um ponto a.

Teorema:
Suponha que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a.

lim_x→a g(x) = lim_x→a h(x) = L

Então, lim_x→a f(x) = L.

É também denominado de "teorema do aperto" ou "teorema do sanduíche".

Exemplificando o teorema do sanduíche, obtido com o Krita.

Exemplo de uso do Teorema do Sanduíche:

Determine lim_x→0 [x² . sen(1/x)].

Não pode-se usar a regra do produto, pois lim_x→0 sen(1/x) não existe.

Temos (do ciclo trigonométrico) que:
-1 ≤ sen (1/x) ≤ 1

*multiplicando a desigualdade por x², temos:
-x² ≤ x² . sen (1/x) ≤ x²

Fazendo:
g(x) = -x²
h(x) = x²

Logo:
g(x) ≤ x² . sen (1/x) ≤ h(x)

Do Teorema do Confronto, temos:
lim_x→0 g(x) ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ lim_x→0 h(x)
= lim_x→0 (-x²) ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ lim_x→0 (x²)
= [lim_x→0 (-x)]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [lim_x→0 x]²
= [-1 . lim_x→0 x]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [-1 . 0]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [0]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= 0 ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ 0

Assim, como o limite ficou "impressado" entre 0 e 0, ele só pode ser 0:
lim_x→0 [x². sen (1/x)] = 0

Exercícios:
1) Considere uma função f(x) cujas únicas características conhecidas sejam os fatos de que ela é maior que a função g(x) = 13x e menor que a função h(x) = x³ + 12, para 0 ≤ x ≤ 12. Qual é o limite da função f(x) quando x tende a 3?

[Res.]

Temos que:
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
13x ≤ f(x) ≤ x³ + 12

Pelo teorema do confronto:
lim_x→3 g(x) = lim_x→3 (13 . x) = 13 . 3 = 39
lim_x→3 h(x) = lim_x→3 (x³ + 12) = 3³ + 12 = 27 + 12 = 39

Assim:
lim_x→3 g(x) ≤ lim_x→3 f(x) ≤ lim_x→3 h(x)
39 ≤ lim_x→3 f(x) ≤ 39

Logo, como o lim_x→3 f(x) ficou espremido entre 39 e 39, ele só pode ser igual a 39:
lim_x→3 f(x)= 39

2) Considere a função f(x) = e^g(x) em que g(x) =|2x - 12| / (x² - 36). Calcule o limite dessa função quando x tende a 6.

[Res.]

Se tentarmos encontrar diretamente o valor de x no ponto 6, não será possível encontrar um valor de x pertencente ao conjunto dos reais.

g(x) =|2x - 12| / (x² - 36)
g(6) =|2.6 - 12| / (6² - 36)
g(6) =|12 - 12| / (36 - 36)
g(6) =|0| / (0)
g(6) =0 / 0

f(x) = e^g(x)
f(x) = e^0/0

Porém, podemos tentar encontrar o limite quando x tende a 6 da função g(x) e ver se para ele existe um limite de f(x):
lim_x→6 g(x)
= lim_x→6 |2x - 12| / (x² - 36)
= lim_x→6 |2 .(x - 6)| / [(x - 6) . (x + 6)]

Como o numerador é um módulo, o resultado dele só pode ser positivo:
= lim_x→6 2 .(x - 6) / [(x - 6) . (x + 6)]
= lim_x→6 2 / (x + 6)
= 2 / (6 + 6)
= 2 /12
= 1/6

Assim, 1/6 é o limite de g(x) quando x tende a 6, mesmo não existindo o ponto 1/6 para a função g(x). E lim_x→a g(x) = 2 / (x+6) é o limite de g(x) para qualquer a ≠ - 6.

Agora, vamos calcular o limite de f(x) baseado no valor limite encontrado para g(x) quando x tende a 6:

lim_x→6 f(x)
= lim_x→6 e^{[2 / (x+6)]}
= lim_x→6 e^{[2 / (6+6)]}
= lim_x→6 e^{[1 / 6]}
= e^1/6

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

segunda-feira, 25 de março de 2019

A China sacode o mundo - Editora Globo - James Kynge

A China sacode o mundo - Editora Globo - James Kynge - 335 p. - Leitura finalizada em 25 de Março de 2019.

Notas minhas:

Livro excelente. Autor escreve num estilo que dá ritmo à leitura. Tradução para o português apresentou número (valores monetários que não me pareceram corretos - talvez foi feita às pressas).
Apresenta um histórico das relações da China com o mundo: em diversos períodos fechada, isolada, e em outros, aberta às demais nações e parceiros comerciais. Atualmente, a industrialização crescente, expansão comercial, enriquecimento de pessoas que sofreram com a revolução comunista em trabalhos rurais, são abordados em detalhes, a partir de visitas pessoais do autor a várias pessoas.
Lenovo computadores é uma das empresas em destaque no cenário comercial, adquirindo a uma empresa da IBM. Liu Chuanzhi começou como agente de vendas da IBM na China. Montou a empresa Lenovo, com o nome inicial de "Lenda". Nas palavras do Liu: "O que fizemos foi deixar que a tartaruga subisse nas costas do coelho, e deixamos o coelho correr. A IBM é o coelho, e a Lenovo é a tartaruga nas costas do coelho. Vamos deixar que ele nos leve para a frente." As empresas chinesas enfrentam a dificuldade em consolidar marcas nos mercados internacionais. Assim, adquirindo a IBM, a Lenovo consegue usar uma marca já consolidada nos mercados e pode aproveitar essa vantagem para acessá-lo e mantê-lo.
As dificuldades atuais da China se relacionam ao suprimento energético, como o fornecimento de petróleo, que é em grande parte importado, e aos danos ambientais causados devido ao crescimento desordenado de indústrias, exploração mineral e agricultura. Defensivos agrícolas usados em excesso poluindo o ambiente, poluição por mercúrio que se espalha mundo afora, contaminando até áreas dos USA, chuvas ácidas frequentes, escavações de mineradoras que não recuperam o terreno, lançamento de esgotos industriais e domésticos diretamente em corpos d'água. Assim, os danos ambientais e a dependência energética (e de alimentos, como a soja, também) se tornaram fatores de grande relevância na China atual.
O preço muito barato da mão de obra chinesa, ausência de direitos trabalhistas, sistemas jurídicos e funcionários públicos corruptos, são também abordados tanto pelo ponto de vista interno da própria China, quanto a percepção (negativa e positiva) da situação pelo restante do mundo.
A China apresenta peculiaridades relevantes que o autor (que vive há anos na China) conseguiu abordar de forma clara, com riqueza de detalhes culturais. Livro excelente.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

sexta-feira, 22 de março de 2019

Cálculo I - 22/03/2019

Cálculo I - 22/03/2019 (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45 às 20h15min
Início da aula: cheguei às 18h53min e a aula já havia iniciado
Término da aula: 20h00min
Taxa de aproveitamento: ≥ 74,44%

Resolução de exercícios da 1ª Lista de Cálculo I (disponível em: http://lucastrfreitas.blogspot.com/2019/03/calculo-1-1-lista.html).

Resolução de exercícios da 2ª Lista de Cálculo I (disponível em: http://lucastrfreitas.blogspot.com/2019/03/2-lista-de-calculo-i-propriedades-das.html?q=2%C2%AA+lista).

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

quarta-feira, 20 de março de 2019

Cálculo I - 20/03/2019

Cálculo I - 20/03/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 72,22%

Teorema 2

Se L, m, a e k são números reais e lim_x→a f(x) = L e lim_x→a g(x) = M, então:

1) lim_x→a [f(x) ± g(x)] = lim_x→a f(x) ± lim_x→a g(x) = L ± M

2) lim_x→a [f(x) . g(x)] = lim_x→a f(x) . lim_x→a g(x) = L . M

3) lim_x→a [k . f(x)] = k . lim_x→a f(x) = k . L

4) lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) = L / M, sendo M ≠ 0.

5) Se r e s são inteiros e s ≠ 0., então: (revisar com a professora)
lim_x→a [f(x)]^r/s = [lim_x→a f(x)]^r/s, desde que L^r/s ∈ R.

Exemplo:
Calcule lim_x→2 √(4x² - 3)

[Res.]
lim_x→2 √(4x² - 3)
= lim_x→2 (4x² - 3)^1/2
= [lim_x→2 (4x² - 3)]^1/2
= [lim_x→2 4x² - lim_x→2 3]^1/2
= [4 . lim_x→2 x² - lim_x→2 3]^1/2
= [4 . (lim_x→2 x)² - lim_x→2 3]^1/2
= [4 . (2)² - 3]^1/2
= [4 . 4 - 3]^1/2
= [16 - 3]^1/2
= [13]^1/2
= √13

Exercícios:
Suponha que lim_x→0 f(x) = 1 e lim_x→0 g(x) = -5.

Usando as propriedades dos limites, calcule:

lim_x→0 {[2 . f(x) - g(x)] / [f(x) + 7]^2/3}

= [2 . lim_x→0 f(x) - lim_x→0 g(x)] / [lim_x→0 f(x) + lim_x→0 7]^2/3
= [2 . 1 - (-5)] / [1 + 7]^2/3
= [2 + 5] / [8]^2/3
= [7] / [8]^2/3
= 7 / ∛(8²)
= 7 / ∛64
= 7 / ∛(4³)
= 7 / 4

Calcule os seguintes limites:

a) lim_x→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)

[Res.]
lim_x→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
= lim_x→0 x³ - lim_x→0 2x² + lim_x→0 4x + lim_x→0 8
= [lim_x→0 x]³ - [lim_x→0 2x]² + 4 . lim_x→0 x + 8
= [0]³ - [2 . lim_x→0 x]² + 4 . 0 + 8
= 0 - [2 . 0]² + 0 + 8
= 0 - [0]² + 0 + 8
= 0 - 0 + 0 + 8
= 8

b) lim_r→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]

[Res.]
lim_r→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
= lim_r→6 8 . lim_r→6 (r - 5) . lim_r→6 (r - 7)
= lim_r→6 8 . (lim_r→6 r - lim_r→6 5) . (lim_r→6 r - lim_r→6 7)
= 8 . (6 - 5) . (6 - 7)
= 8 . (1) . (- 1)
= - 8

c) lim_y→-3 (5 - y)^4/3

[Res.]
lim_y→-3 (5 - y)^4/3
= [lim_y→-3 (5 - y)]^4/3
= [lim_y→-3 5 - lim_y→-3 y]^4/3
= [5 - (-3)]^4/3
= [5 + 3]^4/3
= [8]^4/3
= ∛(8⁴)
= 8 . ∛8
= 8 . ∛(2³)
= 8 . 2
= 16

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terça-feira, 19 de março de 2019

Cálculo I - 19/03/2019

Cálculo I - 19/03/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h36min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 74,44%

Limite

No cálculo e suas aplicações interessa-nos em geral analisar valores de f(x) de uma função f para x que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.

Precisamos então que f esteja definida em algum intervalo que contenha a para podermos estudar seu comportamento.

Exemplo:

Considere a função f(x) = (x³ - 3x²) / (2x - 6)

O que acontece com f(x) quando x se aproxima de a=3?
* Observe que a=3 não está no domínio de f pois f(3) = 0/0, que é uma expressão indeterminada.

Vamos analisar o comportamento de f(x) para alguns valores próximos de 3 através de uma tabela.

Pela esquerda (3^-):

x	f(x)
2,9	4,205
2,99	4,497
2,99999	4,49997
3^-	9/2

Pela direita (3⁺):

x	f(x)
3,1	4,805
3,001	4,5030005
3,00001	4,50003
3⁺	9/2

Logo, à medida em que x se aproxima de a = 3, tanto por valores menores quanto por valores maiores, a função f(x) fica cada vez mais próxima de y = 9/2.

lim_x→3 f(x)
= lim_x→3(x³ - 3x²) / (2x - 6)
= lim_x→3[x²(x - 3)] / [2.(x - 3)]
= lim_x→3[x²] / [2] = x² / 2 = 3² / 2 = 9 / 2

Exemplo:
Esboce o gráfico da função e determine o limite que se pede em cada caso:

a) f(x) = x + 2

lim_x→1 f(x)

[Res.]
lim_x→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3

Gráfico de f(x) = x+2 obtido com o GeoGebra.

b) g(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) = (x + 2) . (x - 1) / (x - 1) = (x + 2), com x ≠ 1

lim_x→1 g(x)

[Res.]

lim_x→1 [(x² + x - 2) / (x - 1)] = x + 2 = 1 + 2 = 3, mas g(1) não existe.

Gráfico de f(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) obtido com o GeoGebra e o Krita.

Propriedades dos limites e limites naturais

Teorema 1
Sejam a e c números reais, temos que:

a) lim_x→a c = x (I)

Gráfico de f(x) = c, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Neste caso, f(x) = c ∀ x ∈ R. Assim, para todos os valores de x próximos de a temos f(x) = c, ou seja, f(x) está próximo de c.

b) lim_x→a x = a (II)

Gráfico de f(x) = x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Neste caso, à medida em que x se aproxima de a, temos que f(x) também se aproxima de a.

Exemplos:
a) lim_x→2 5 = 5

b) lim_x→_√3 x = √3

c) lim_x→_𝜋 -3√7 = -3√7

d) lim_x→-9 x = -9

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sábado, 16 de março de 2019

Cálculo I - aula 7 confronto

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Cálculo I - aula 8 tecnicas

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Cálculo I - aula 5 propriedades parte 2

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Cálculo I - aula 4 propriedades parte 1

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sexta-feira, 15 de março de 2019

Disponibilidade

“Os soberanos desta terra nem sempre, nem com facilidade concedem audiência; mas o Rei do céu, ao contrário, escondido debaixo dos véus eucarísticos, está pronto a receber qualquer um… Ficai certos de que de todos os instantes da vossa vida, o tempo que passardes diante do Divino Sacramento será o que vos dará mais força durante a vida, mais consolação na hora da morte e durante a eternidade”.

Santo Afonso de Ligório

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Cálculo I - 15/03/2019

Cálculo I - 15/03/2019 (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h52min
Término da aula: 19h58min
Taxa de aproveitamento: 73,33%

Resumo

Funções	Inversas
seno(𝛩)	Arco seno(𝛩)
cosseno(𝛩)	Arco cosseno(𝛩)
tangente(𝛩)	Arco tangente(𝛩)
secante(𝛩)	Arco secante(𝛩)
cossecante(𝛩)	Arco cossecante(𝛩)
cotangente(𝛩)	Arco cotangente(𝛩)

Exercícios

1) Calcule o valor de y = arcsen(1/2).

[Res.]

Arcoseno(1/2) é o arco cujo seno é 1/2. Seno é 1/2 para o ângulo de 30°.

2) Um cientista deseja avaliar a performance do seu equipamento com a função y = tg (arcsen(1/2)). Calcule y.

[Res.]

arcsen(1/2) = 30°

y = tg (30°) = √3 / 3

Funções / ângulos	𝜋/6 (30°)	𝜋/4 (45°)	𝜋/3 (60°)
sen	1/2	√2/2	√3/2
cos	√3/2	√2/2	1/2
tan	√3/3	1	√3

sen²(𝛩) + cos²(𝛩) = 1
(1/2)² + cos²(𝛩) = 1
cos²(𝛩) = 1 - 1/4
cos(𝛩) = √3 / 2

Logo:
𝛩 = 30°

3) A primeira aeronave do programa Apolo tinha a forma de um tronco de cone circular reto. Na figura, os raios da base a e b já foram determinados.

Cone circular, obtido com o Krita.

Utilize semelhança de triângulos para expressar y como função de h.

[Res.]

b / y = a / (y + h)

y . a = y . b + b . h
y . (a - b) = b . h
y = b . h / (a - b)

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quinta-feira, 14 de março de 2019

Certificado - Especialista - Marcenaria - CPT e UOV

Certificado - Especialista - Marcenaria - CPT e UOV.

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quarta-feira, 13 de março de 2019

Cálculo I - 13/03/2019

Cálculo I - 13/03/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h45min
Taxa de aproveitamento: 72,22%

Função secante e cossecante

Esquema para entender a função secante e a cossecante, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Sejam os pontos M(xm, 0) e N(0, yn) interseções da reta t com os eixos x e y.
Definimos:
sec(𝛩) = xm
csc(𝛩) =yn

Podemos mostrar pela semelhança de triângulo:
OPM
OPN
OHP

Semelhança de triângulos na função secante e na cossecante, obtido com o GeoGebra e o Krita.

OPM com OHP:

OM / OP = OP / OH
sec(𝛩) / 1 = 1 / cos(𝛩)
sec(𝛩) = 1 / cos(𝛩)

OPN com OHP:

ON / OP = OP / PH
csc(𝛩) / 1 = 1 / sen(𝛩)
csc(𝛩) = 1 / cos(𝛩)

Função inversa

Ciclo trigonométrico, obtido com o GeoGebra e o Krita.

arcsen √2 / 2 = ?

sen (𝜋 / 4) = √2 / 2

Logo, temos:

sen(x) = √2 / 2
sen (𝜋 / 4) = √2 / 2

Logo:
arcsen √2 / 2 = 𝜋 / 4

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terça-feira, 12 de março de 2019

CALC1S2 14 Função Arco Cossecante

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CALC1S2 13 Função Arco Secante Sem erro

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CALC1S2 12 Características da função cossecante

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CALC1S2 11 Carácteristicas da Função secante

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CALC1S2 10 Função secante e função cossecante

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CALC1S2 09 Função Arco Cotangente

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CALC1S2 08 Função Cotangente

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CALC1S2 07 Função Arco Tangente

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Cálculo I - 12/03/2019

Cálculo I - 12/03/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: aproximadamente 21h50min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 80%

Função Cosseno

Comportamento da função cosseno, obtido com o GeoGebra e o Krita.

* f(t) = cos(t) é positiva no 1º e 4º Quadrantes
* f(t) = cos(t) é negativa no 2º e 3º Quadrantes
* f(t) = cos(t) é crescente no 3º e 4º Quadrantes
* f(t) = cos(t) é decrescente no 1º e 2º Quadrantes

Gráfico:

x	cos(x)
0	1
𝜋/2	0
𝜋	-1
3𝜋/2	0
2𝜋	1

Gráfico da função cosseno, obtido com o GeoGebra e Krita.

Características da função cosseno:

f(t) = cos(t)
* Domínio: R
* Imagem: [-1, 1]
* cos(-t) = cos(t)

Função Tangente

Gráfico da função tangente, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Considere no ciclo trigonométrico um ponto P(x,y), gerado pelo arco que mede 0 radianos e a reta vertical t que passa pelo ponto A(1,0). Prolongando a semi-reta OP encontramos o ponto Q(x',y'), interseção de OP com a reta t.

tan(𝛩)= sen(𝛩) / cos(𝛩)

Tangente de teta, obtido com o GeoGebra e o Krita.

QA / OA = PH / OH
tan(𝛩) / 1 = sen(𝛩) / cos(𝛩)

tan(𝛩) = sen(𝛩) / cos(𝛩)

Características da função tangente

* tan(-t) = - tan(t)

Comportamento da tangente, obtido com o GeoGebra e o Krita.

* f(t) = tan(t) é positiva no 1º e 3º quadrantes
* f(t) = tan(t) é negativa no 2º e 4º quadrantes
* f(t) = tan(t) é sempre crescente

Gráfico:

x	tan(x)
0	0
𝜋/2	∄
𝜋	0

Gráfico da função tangente, obtido com o GeoGebra e Krita.

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CALC1S2 06 Função Tangente

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CALC1S2 05 Função Arco Cosseno

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CALC1S2 04 Função Arco Seno

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CALC1S2 03 Características da Função Cosseno

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CALC1S2 02 Características da Função Seno

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segunda-feira, 11 de março de 2019

CALC1S2 01 Função Seno e Cosseno

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Cálculo I - aula 2 func exp

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Cálculo I - Função 11 - Função Potência

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domingo, 10 de março de 2019

CALC1S1 17 Funções Modulares

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CALC1S1 16 Funções definidas por partes

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CALC1S1 14 Aplicação de Função Quadrática

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CALC1S1 15 Função Quadrática

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CALC1S1 13 Aplicação das Funções Lineares

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CALC1S1 12 Funções Lineares

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CALC1S1 12 Funções Lineares

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CALC1S1 10 Funções Compostas

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CALC1S1 09 Forma funcional composta

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CALC1S1 08 Funções Compostas

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CALC1S1 07 Funções Pares e Impares

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CALC1S1 06 Máximos e Mínimos

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CALC1S1 05 Funções Crescentes e Decrescentes

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CALC1S1 04 Funçoes Injetoras e sobrejetoras

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CALC1S1 03 Imagem

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CALC1S1 02 Dominio de Função

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CALC1S1 Definição de Funções

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sábado, 9 de março de 2019

Função Inversa Exponencial

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sexta-feira, 8 de março de 2019

Cálculo I - 08/03/2019

Cálculo I - 08/03/2019 (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h50min
Término da aula: 20h02min
Taxa de aproveitamento: 80%

Funções trigonométricas

Ciclo trigonométrico
1) Raio igual a 1
2) Centro da origem dos eixos x e y
3) O ponto A (1, 0) como a origem dos arcos orientados.

Ciclo trigonométrico obtido com o GeoGebra e Krita.

Variação dos arcos	0 - 90º	90º - 180º	180º - 270º	270º - 360º
Quadrante correspondente	1º Quadrante	2º Quadrante	3º Quadrante	4º Quadrante

Funções circulares básicas:

Seno
Cosseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cossecante

Seno e Cosseno:

Seno e cosseno no ciclo trigonométrico, obtido com GeoGebra e Krita.

cos(𝛩) = x
sen(𝛩) = y
sen²(𝛩) + cos²(𝛩) = 1

Exemplo:
Seja 𝛩 um ângulo do 1º Quadrante cujo cosseno vale 3/4. Determine o valor de sen(𝛩).

Exercício

sen²(𝛩) + cos²(𝛩) = 1
sen²(𝛩) + (3/4)² = 1
sen²(𝛩) + 9/16 = 1
sen²(𝛩) = 1 - 9/16
sen²(𝛩) = 7/16
sen(𝛩) = √7 / 4

Utilizar a função arcsen da calculadora para encontrar o ângulo 𝛩:
𝛩 = arcsen (√7 / 4) = 41,40962211°

Calcule cos(x), sabendo que:
3 . sen(x) + 4 . cos(x) = 5 ...Eq. 1
sen²(x) + cos²(x) = 1 ...Eq. 2

cos(x) = (5 - 3 . sen(x)) / 4 ...Eq. 3

Eq. 3 em Eq. 2:
sen²(x) + [(5 - 3 . sen(x))/4]² = 1

sen²(x) + [(25 - 30 . sen(x) + 9 . sen²(x))]/16 = 1

16 . sen²(x) + 25 - 30 . sen(x) + 9 . sen²(x) = 16

25 . sen²(x) - 30 . sen(x) + 9 = 0
(5 . sen(x) - 3)² = 0
5 . sen(x) = 3
sen(x) = 3/5

sen(x) = 3/5 em Eq. 1:
3/5 + 4 . cos(x) = 5
4 . cos(x) = 5 - 3/5
4 . cos (x) = 22/5
cos(x) = 22/20
cos(x) = 11/10

Características do Seno

Comportamento da função seno, obtido com o GeoGebra e Krita.

* Função ímpar: sen(-t) = sen(t)
* Período 2𝜋
* Imagem [-1, 1]

f(t) = sen(t): positiva no 1º e 2º quadrantes
f(t) = sen(t): negativa no 3º e 4º quadrantes
f(t) = sen(t): crescente no 1º e 4º quadrantes
f(t) = sen(t): decrescente no 2º e 3º quadrantes

Senóide, obtida com o GeoGebra e Krita.

x	sen(x)
0	0
𝜋	0
2.𝜋	0

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