Cálculo I - 27/03/2019

Cálculo I - 27/03/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: não registrei
Taxa de aproveitamento: ≤ 88,88%


Monitoria de cálculo (2019/1):

*Carol:
Segunda e Terça: 14h30min às 18h30min
Quarta: 13h às 17h

*Júlia:
Segunda: 13h às 18h
Terça: 13h às 17h
Quarta: 13h às 19h


Limites Laterais

Limite lateral pela direita:
lim_x→a⁺ f(x) = L

Podemos tornar f(x) tão próximo de L, de modo a obter o limite lateral pela direita.

Limite lateral de f(x) quando x tende a a pela direita, obtido com o Krita.

Limite lateral pela esquerda:
lim_x→b^- f(x) = L
Seja f(x) definida em um intervalo aberto ]a, b[, onde a < b.

Limite lateral de f(x) quando x tende a b pela esquerda, obtido com o Krita.

Exercícios:
Se f(x) = √(x + 6) + x, calcule:

a) lim_x→-6^- f(x)

[Res.]
lim_x→-6^- f(x)
= lim_x→-6^- [√(x + 6) + x] = ∄ nos reais, pois não há raiz quadrada negativa aceitável no conjunto dos números reais.


b) lim_x→-6⁺ f(x)

[Res.]
lim_x→-6⁺ f(x)
= lim_x→-6⁺ [√(x + 6) + x]
= 0 + (-6)
= -6

c) lim_x→-6 f(x)

[Res.]
Como só existe o limite de f(x) quando x tende a -6 pela direita, o lim_x→-6 f(x) não existe no conjunto dos números reais. Só existe o limite do ponto se existir o limite pela esquerda e pela direita e se eles forem iguais.
Assim:
lim_x→-6 f(x) ∄ no conjunto dos reais.


Teorema

lim_x→0 [sen(x)/x] = 1 (x em radianos)

Esquema para analisar o teorema de lim_x→0 [sen(x)/x] = 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

A análise será feita pela análise de áreas de triângulos. Temos:

Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT

* Área 𝛥OAP
Área 𝛥OAP = 1/2 . 1 . sen(x) = sen(x) / 2

* Área do setor circular OAP
Área do setor circular OAP = l . R / 2
l = 𝜶 . R
l = x . 1
l = x

Logo:
Área do setor circular OAP = l . R / 2
= x . 1 / 2
= x / 2

* Área 𝛥OAT
Área 𝛥OAT = 1/2 . 1 . tg(x) = tg(x) / 2


Como Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT, logo:
sen(x) / 2 < x / 2 < tg(x) / 2
sen(x) < x < tg(x)


* Dividindo tudo por sen(x):
1 <  x / sen(x) < tg(x) / sen(x)
1 <  x / sen(x) < sen(x)/cos(x) . 1 / sen(x)
1 <  x / sen(x) < 1/cos(x)

* Invertendo todos os membros:
cos(x) < sen(x)/x < 1


Aplicando o Teorema do Confronto, temos:


*limite quando x tende a 0 pela direita:
lim_x→0⁺ cos(x) < lim_x→0⁺ [sen(x)/x] < lim_x→0⁺ 1
= 1 < lim_x→0⁺ [sen(x)/x] < 1

Assim:
lim_x→0⁺ [sen(x)/x] = 1

*limite quando x tende a 0 pela esquerda:
lim_x→0^- cos(x) < lim_x→0^- [sen(x)/x] < lim_x→0^- 1
= 1 < lim_x→0^- [sen(x)/x] < 1

Assim:
lim_x→0^- [sen(x)/x] = 1

Como os limites pela esquerda e pela direita existem e são iguais, existe o limite da função f(x) = sen(x)/x quando x tende a 0:
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.