Cálculo I - 20/03/2019

Cálculo I - 20/03/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 72,22%


Teorema 2

Se L, m, a e k são números reais e lim_x→a f(x) = L e lim_x→a g(x) = M, então:

1) lim_x→a [f(x) ± g(x)] = lim_x→a f(x) ± lim_x→a g(x) = L ± M


2) lim_x→a [f(x) . g(x)] = lim_x→a f(x) . lim_x→a g(x) = L . M


3) lim_x→a [k . f(x)] = k . lim_x→a f(x) = k . L


4) lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) = L / M, sendo M ≠ 0.


5) Se r e s são inteiros e s ≠ 0., então: (revisar com a professora)
lim_x→a [f(x)]^r/s = [lim_x→a f(x)]^r/s, desde que L^r/s ∈ R.


Exemplo:
Calcule lim_x→2 √(4x² - 3)

[Res.]
lim_x→2 √(4x² - 3)
= lim_x→2 (4x² - 3)^1/2
= [lim_x→2 (4x² - 3)]^1/2
= [lim_x→2 4x² - lim_x→2 3]^1/2
= [4 . lim_x→2 x² - lim_x→2 3]^1/2
= [4 . (lim_x→2 x)² - lim_x→2 3]^1/2
= [4 . (2)² - 3]^1/2
= [4 . 4 - 3]^1/2
= [16 - 3]^1/2
= [13]^1/2
= √13


Exercícios:
Suponha que lim_x→0 f(x) = 1 e lim_x→0 g(x) = -5.

Usando as propriedades dos limites, calcule:

lim_x→0 {[2 . f(x) - g(x)] / [f(x) + 7]^2/3}

= [2 . lim_x→0 f(x) - lim_x→0 g(x)] / [lim_x→0 f(x) + lim_x→0 7]^2/3
= [2 . 1 - (-5)] / [1 + 7]^2/3
= [2 + 5] / [8]^2/3
= [7] / [8]^2/3
= 7 / ∛(8²)
= 7 / ∛64
= 7 / ∛(4³)
= 7 / 4


Calcule os seguintes limites:

a) lim_x→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)

[Res.]
lim_x→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
= lim_x→0 x³ - lim_x→0 2x² + lim_x→0 4x + lim_x→0 8
= [lim_x→0 x]³ - [lim_x→0 2x]² + 4 . lim_x→0 x + 8
= [0]³ - [2 . lim_x→0 x]² + 4 . 0 + 8
= 0 - [2 . 0]² + 0 + 8
= 0 - [0]² + 0 + 8
= 0 - 0 + 0 + 8
= 8


b) lim_r→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]

[Res.]
lim_r→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
= lim_r→6 8 . lim_r→6 (r - 5) . lim_r→6 (r - 7)
= lim_r→6 8 . (lim_r→6 r - lim_r→6 5) . (lim_r→6 r - lim_r→6 7)
= 8 . (6 - 5) . (6 - 7)
= 8 . (1) . (- 1)
= - 8


c) lim_y→-3 (5 - y)^4/3

[Res.]
lim_y→-3 (5 - y)^4/3
= [lim_y→-3 (5 - y)]^4/3
= [lim_y→-3 5 - lim_y→-3 y]^4/3
= [5 - (-3)]^4/3
= [5 + 3]^4/3
= [8]^4/3
= ∛(8⁴)
= 8 . ∛8
= 8 . ∛(2³)
= 8 . 2
= 16


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.