2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções

2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções

Revisão breve:

Função:

• Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
• Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
• Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.

Referência:

https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm

1. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente, indicando pontos de máximo e de mínimo para as figuras a seguir:
   a)
   
   [Res.]
   Função crescente: ]-∞,-4], [-1,3]
   Função decrescente: [-4,-1], [3,∞[
   Extremos locais
   Pontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
   Ponto de mínimo: y = -2 em x = -1
   Extremos absolutosPontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
   Ponto de mínimo: não tem
   
   b)
   
   [Res.]
   Função crescente: ]-∞, -2], [1, ∞]
   Função decrescente: [-2, 1]
   Extremos locais
   Pontos de máximo: y = 3 em x = -2
   Ponto de mínimo: y = -2 em x = 1
   Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
   Ponto de mínimo: não tem
   
   c)
   
   [Res.]
   Função crescente: [-1, -0], [1,∞[
   Função decrescente: ]∞, -1], [0, 1]
   Extremos locais
   Pontos de máximo: y = 0 em x = 0
   Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1
   Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
   Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1
2. Determine se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
   a) f(x) = 5x³ + 2x
   [Res.]
   f(1) = 5+2 = 7
   f(-1) = -5 -2 = -7
   Como f(-1) é -f(1), a função é ímpar.
   
   b) f(x) = |x| - 3
   [Res.]
   f(1) = 1 - 3 = -2
   f(-1) = 1 - 3 = -2
   Como f(1) = f(-1), logo a função é par.
   
   c) f(x) = (8x³ - 3 x²)³
   [Res.]
   f(1) = (8 - 3)³ = 5³ = 125
   f(-1) = (-8 - 3)³ = (-11)³ = -1331
   Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
   
   d) f(x) = (3x^4 + 2x² - 5)^(1/2)
   [Res.]
   f(1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
   f(-1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
   Como f(1) = f(-1), logo a função é par.
   
   e) f(x) = 6x^5 - 4x³ + 2x
   [Res.]
   f(1) = 6 - 4 + 2 = 4
   f(-1) = -6 + 4 - 2 = -4
   Como f(1) = -f(-1), logo a função é ímpar.
   
   f) f(x) = x (x+5)
   [Res.]
   f(1) = 1 (1+5) = 6
   f(-1) = -1 (-1 + 5) = -4
   Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
3. Seja f: A  B. Sabe-se que o conjunto A tem (2p - 2) elementos e o conjunto B tem (p+3) elementos. Sabendo-se que f é injetora, então podemos afirmar que:
   a) 1 < p ≤ 5
   b) 5 < p ≤ 7
   c) 7 < p ≤ 8
   d) 8 < p ≤ 10
   e) p ≥ 10
   [Res.]
   Como uma função é Injetora quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio, logo:
   2p - 2 ≤ p + 3
   2p - 2 + 2 ≤ p + 3 + 2
   2p ≤ p + 5
   p ≤ 5
   
   Como 2p - 2 ≤ 0:
   0 ≤ 2p - 2
   2 ≤ 2p
   1 ≤ p
   
   Assim:
   1 ≤ p ≤ 5
4. Os gráficos abaixo representam funções de IR em IR. Verifique se elas são ou não funções sobrejetoras, injetoras ou bijetoras. Justifique sua resposta.
   a)
   
   [Res.]
   f(1) = 0
   f(-1) = -2
   Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
   Como para cada y existe apenas um valor de x, a função é injetora.
   Como todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função é sobrejetora.
   Como a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.
   
   b)
   
   [Res.]
   Como para cada x não existe apenas um valor de y, a função não é injetora.
   Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora.
   
   c)
   
   [Res.]
   Como para cada y não existe apenas um valor de x, a função não é injetora.
   Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora.
5. Determine o conjunto B de modo que a sentença f(x) = x² defina uma função sobrejetora de A = [-3,4] em B. Nestas condições podemos dizer que f é bijetora?
   
   [Res.]
   Calculando
   f(-3) = (-3)² = 9
   f(-2) = (-2)² = 4
   f(-1) = (-1)² = 1
   f(0) = (0)² = 0
   f(1) = (1)² = 1
   f(2) = (2)² = 4
   f(3) = (3)² = 9
   f(4) = (4)² = 16
   
   Logo, B = [0, 16].
   Como cada elemento da imagem não está relacionado a um único elemento do domínio, a função não é injetora. Logo, ela não é bijetora.
6. Uma função f é dada por uma tabela de valores. Determine se f é injetora em cada caso.
   a)
   
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora.
   
   b)
   
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, a função é injetora.
7. Uma função f é dada por meio de descrição verbal. Determine se f é injetora.
   a) f(t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada.
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora (tomando-se apenas os eixos x e y como coordenadas parabólicas da bola).
   
   b) f(t) é a sua altura com t anos de idade.
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função é injetora.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.