Cálculo I - 26/03/2019

Cálculo I - 26/03/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 77,77%


Teorema do Confronto

O teorema do confronto nos permite calcular uma variedade de limites.
Denominado teorema do confronto porque se refere a uma função f cujos valores são "imprensados" entre os valores de duas outras funções g(x) e h(x) que possuem o mesmo limite L em um ponto a.


Teorema:
Suponha que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a.

lim_x→a g(x) = lim_x→a h(x) = L

Então, lim_x→a f(x) = L.

É também denominado de "teorema do aperto" ou "teorema do sanduíche".

Exemplificando o teorema do sanduíche, obtido com o Krita.

Exemplo de uso do Teorema do Sanduíche:

Determine lim_x→0 [x² . sen(1/x)].

Não pode-se usar a regra do produto, pois lim_x→0 sen(1/x) não existe.

Temos (do ciclo trigonométrico) que:
-1 ≤ sen (1/x) ≤ 1

*multiplicando a desigualdade por x², temos:
-x² ≤ x² . sen (1/x) ≤ x²

Fazendo:
g(x) = -x²
h(x) = x²

Logo:
g(x) ≤ x² . sen (1/x) ≤ h(x)

Do Teorema do Confronto, temos:
lim_x→0 g(x) ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ lim_x→0 h(x)
= lim_x→0 (-x²) ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ lim_x→0 (x²)
= [lim_x→0 (-x)]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [lim_x→0 x]²
= [-1 . lim_x→0 x]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [-1 . 0]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [0]² ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= 0 ≤ lim_x→0 [x². sen (1/x)] ≤ 0

Assim, como o limite ficou "impressado" entre 0 e 0, ele só pode ser 0:
lim_x→0 [x². sen (1/x)] = 0


Exercícios:
1) Considere uma função f(x) cujas únicas características conhecidas sejam os fatos de que ela é maior que a função g(x) = 13x e menor que a função h(x) = x³ + 12, para 0 ≤ x ≤ 12. Qual é o limite da função f(x) quando x tende a 3?

[Res.]

Temos que:
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
13x ≤ f(x) ≤ x³ + 12

Pelo teorema do confronto:
lim_x→3 g(x) = lim_x→3 (13 . x) = 13 . 3 = 39
lim_x→3 h(x) = lim_x→3 (x³ + 12) = 3³ + 12 = 27 + 12 = 39

Assim:
lim_x→3 g(x) ≤ lim_x→3 f(x) ≤ lim_x→3 h(x)
39 ≤ lim_x→3 f(x) ≤ 39

Logo, como o lim_x→3 f(x) ficou espremido entre 39 e 39, ele só pode ser igual a 39:
lim_x→3 f(x)= 39


2) Considere a função f(x) = e^g(x) em que g(x) =|2x - 12| / (x² - 36). Calcule o limite dessa função quando x tende a 6.

[Res.]

Se tentarmos encontrar diretamente o valor de x no ponto 6, não será possível encontrar um valor de x pertencente ao conjunto dos reais.

g(x) =|2x - 12| / (x² - 36)
g(6) =|2.6 - 12| / (6² - 36)
g(6) =|12 - 12| / (36 - 36)
g(6) =|0| / (0)
g(6) =0 / 0

f(x) = e^g(x)
f(x) = e^0/0

Porém, podemos tentar encontrar o limite quando x tende a 6 da função g(x) e ver se para ele existe um limite de f(x):
lim_x→6 g(x)
= lim_x→6 |2x - 12| / (x² - 36)
= lim_x→6 |2 .(x - 6)| / [(x - 6) . (x + 6)]

Como o numerador é um módulo, o resultado dele só pode ser positivo:
= lim_x→6 2 .(x - 6) / [(x - 6) . (x + 6)]
= lim_x→6 2 / (x + 6)
= 2 / (6 + 6)
= 2 /12
= 1/6

Assim, 1/6 é o limite de g(x) quando x tende a 6, mesmo não existindo o ponto 1/6 para a função g(x). E lim_x→a g(x) = 2 / (x+6) é o limite de g(x) para qualquer a ≠ - 6.



Agora, vamos calcular o limite de f(x) baseado no valor limite encontrado para g(x) quando x tende a 6:

lim_x→6 f(x)
= lim_x→6 e^{[2 / (x+6)]}
= lim_x→6 e^{[2 / (6+6)]} 
= lim_x→6 e^{[1 / 6]}
= e^1/6


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.