Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h36min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 74,44%
Limite
No cálculo e suas aplicações interessa-nos em geral analisar valores de f(x) de uma função f para x que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.
Precisamos então que f esteja definida em algum intervalo que contenha a para podermos estudar seu comportamento.
Exemplo:
Considere a função f(x) = (x³ - 3x²) / (2x - 6)
O que acontece com f(x) quando x se aproxima de a=3?
* Observe que a=3 não está no domínio de f pois f(3) = 0/0, que é uma expressão indeterminada.
Vamos analisar o comportamento de f(x) para alguns valores próximos de 3 através de uma tabela.
Pela esquerda (3-):
| x | f(x) |
|---|---|
| 2,9 | 4,205 |
| 2,99 | 4,497 |
| 2,99999 | 4,49997 |
| 3- | 9/2 |
Pela direita (3+):
| x | f(x) |
|---|---|
| 3,1 | 4,805 |
| 3,001 | 4,5030005 |
| 3,00001 | 4,50003 |
| 3+ | 9/2 |
Logo, à medida em que x se aproxima de a = 3, tanto por valores menores quanto por valores maiores, a função f(x) fica cada vez mais próxima de y = 9/2.
limx→3 f(x)
= limx→3 (x³ - 3x²) / (2x - 6)
= limx→3 [x²(x - 3)] / [2.(x - 3)]
= limx→3 [x²] / [2] = x² / 2 = 3² / 2 = 9 / 2
Exemplo:
Esboce o gráfico da função e determine o limite que se pede em cada caso:
a) f(x) = x + 2
limx→1 f(x)
[Res.]
limx→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3
 |
| Gráfico de f(x) = x+2 obtido com o GeoGebra. |
b) g(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) = (x + 2) . (x - 1) / (x - 1) = (x + 2), com x ≠ 1
limx→1 g(x)
[Res.]
limx→1 [(x² + x - 2) / (x - 1)] = x + 2 = 1 + 2 = 3, mas g(1) não existe.
 |
| Gráfico de f(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Propriedades dos limites e limites naturais
Teorema 1
Sejam a e c números reais, temos que:
a) limx→a c = x (I)
 |
| Gráfico de f(x) = c, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Neste caso, f(x) = c ∀ x ∈ R. Assim, para todos os valores de x próximos de a temos f(x) = c, ou seja, f(x) está próximo de c.
b) limx→a x = a (II)
 |
| Gráfico de f(x) = x, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Neste caso, à medida em que x se aproxima de a, temos que f(x) também se aproxima de a.
Exemplos:
a) limx→2 5 = 5
b) limx→√3 x = √3
c) limx→𝜋 -3√7 = -3√7
d) limx→-9 x = -9
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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