Cálculo I - 19/03/2019

Cálculo I - 19/03/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h36min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 74,44%


Limite

No cálculo e suas aplicações interessa-nos em geral analisar valores de f(x) de uma função f para x que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.

Precisamos então que f esteja definida em algum intervalo que contenha a para podermos estudar seu comportamento.


Exemplo:

Considere a função f(x) = (x³ - 3x²) / (2x - 6)

O que acontece com f(x) quando x se aproxima de a=3?
* Observe que a=3 não está no domínio de f pois f(3) = 0/0, que é uma expressão indeterminada.

Vamos analisar o comportamento de f(x) para alguns valores próximos de 3 através de uma tabela.

Pela esquerda (3^-):

x	f(x)
2,9	4,205
2,99	4,497
2,99999	4,49997
3-	9/2

Pela direita (3⁺):

x	f(x)
3,1	4,805
3,001	4,5030005
3,00001	4,50003
3+	9/2

Logo, à medida em que x se aproxima de a = 3, tanto por valores menores quanto por valores maiores, a função f(x) fica cada vez mais próxima de y = 9/2.

lim_x→3 f(x)
= lim_x→3 (x³ - 3x²) / (2x - 6)
= lim_x→3 [x²(x - 3)] / [2.(x - 3)]
= lim_x→3 [x²] / [2] = x² / 2 = 3² / 2 = 9 / 2


Exemplo:
Esboce o gráfico da função e determine o limite que se pede em cada caso:

a) f(x) = x + 2

lim_x→1 f(x)

[Res.]
lim_x→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3

Gráfico de f(x) = x+2 obtido com o GeoGebra.

b) g(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) = (x + 2) . (x - 1) / (x - 1) = (x + 2), com x ≠ 1

lim_x→1 g(x)

[Res.]

lim_x→1 [(x² + x - 2) / (x - 1)] = x + 2 = 1 + 2 = 3, mas g(1) não existe.

Gráfico de f(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) obtido com o GeoGebra e o Krita.

Propriedades dos limites e limites naturais

Teorema 1
Sejam a e c números reais, temos que:

a) lim_x→a c = x  (I)

Gráfico de f(x) = c, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Neste caso, f(x) = c ∀ x ∈ R. Assim, para todos os valores de x próximos de a temos f(x) = c, ou seja, f(x) está próximo de c.


b) lim_x→a x = a  (II)

Gráfico de f(x) = x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Neste caso, à medida em que x se aproxima de a, temos que f(x) também se aproxima de a.


Exemplos:
a) lim_x→2 5 = 5

b) lim_x→√3 x = √3

c) lim_x→𝜋 -3√7 = -3√7

d) lim_x→-9 x = -9


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.