Cálculo I - 26/06/2019

Cálculo I - 26/06/2019 (Quarta-feira)


Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h43min
Término da aula: 21h54min
Taxa de aproveitamento: 78,88%


Exercícios

Esboce o gráfico de y = x⁴ + 4x³

Passo 1) Domínio
 
Conjunto dos números reais


Passo 2) f(x) = 0
Interceptos:
y = x⁴ + 4x³ = x³ . (x + 4) = 0
x = 0 ou x = -4


Passo 3) Análise de simetria
f(-1) = (-1)⁴ + 4 . (-1)³ = 1 - 4 = -3
f(+1) = (+1)⁴ + 4 . (+1)³ = 1 + 4 = +5

Como f(-1) ≠ f(+1), a função não apresenta simetria.


Passo 4) Análise das assíntotas vertical e horizontal


Assíntota Horizontal (limite da função quando x tende a +∞ ou -∞):
lim_x→+∞ f(x)
= lim_x→+∞ [x⁴ + 4x³] = +∞

lim_x→-∞ f(x)
= lim_x→-∞ [x⁴ + 4x³] = +∞

Assim, a função não apresenta assíntota horizontal.

Assíntota Vertical:
Como não há nenhum ponto onde a função não está definida, ou seja, como a função é sempre contínua, não há assíntota vertical para a função.


Passo 5) Análise de Crescimento e Decrescimento da função
f(x) = x⁴ + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²

Igualando a derivada primeira a 0, encontra-se os pontos críticos.
f(x) = x⁴ + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²
4x³ + 12x² = 0
4x^² . (x + 3) = 0

Daí:
4x² = 0 ou  x+3 = 0
x = 0 ou x = -3

Intervalo	]-∞, -3[	]-3, 0[	]0, +∞[
x	-4	-1	1
f '(x)	-64	8	16
Sinal	-	+	+
Resultado	↓	↑	↑

Passo 6) Análise de extremos locais

Pontos críticos da função f(x) = x⁴ + 4x³:
f(0) = 0
f(-3) = -27 (ponto de mínimo)

Passo 7) Análise de concavidade e pontos de inflexão

Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = x⁴ + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²
f ''(x) = 12x^² + 24x

Igualando a derivada segunda da função a 0:
f ''(x) = 12x^² + 24x = 0
12x^² + 24x = 0
12x (x + 2) = 0

Daí:
12x = 0 ou x+2 = 0
x = 0 ou x = -2

Intervalo	]-∞, -2[	]-2, 0[	]0, +∞[
x	-3	-1	1
f ''(x)	36	-12	36
Sinal	+	-	+
Resultado	∪	∩	∪

Passo 8) Gráfico

Gráfico de f(x) = x⁴ + 4x³, obtido com o GeoGebra e com o Krita.

ESO Semana 9 - Questão 1

f(x) = [3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x

[Res.]
f(x) = [3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x
y = [3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x

ln y = ln {[3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x}
ln y = ln (3) + ln sen(x) + ln cos(x) + ln [tg²(x)] - ln √x
ln y = ln (3) + ln sen(x) + ln cos(x) + 2 . ln tg(x) - 1/2 ln (x)

Derivando:
1/y . dy/dx = 0 + 1/sen(x) . cos(x) + 1/cos(x) . (-sen(x)) + 2 . 1/tg(x) . sec²x + 1/2 . 1/x

1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . sec²(x)/tg(x) + 1/(2x)
1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . [1/cos²(x)]/[sen(x)/cos(x)] + 1/(2x)
1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . [1/cos²(x)].[cos(x)/sen(x)] + 1/(2x)
1/y . dy/dx = 0 + cot(x) - tg(x) + 2 . 1 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)
1/y . dy/dx = cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)
dy/dx = y . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}

dy/dx = {[3 . sen(x) . cos(x) . tg²(x)] / √x} . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}

={[3 . sen(x) . cos(x) . sen²(x)/cos²(x)] / √x} . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}

={[3 . sen³(x)/cos(x)] / √x} . {cot(x) - tg(x) + 2 / [cos(x) . sen(x)] + 1/(2x)}



Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.