Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h45min
Término da aula: 21h55min
Taxa de aproveitamento: 77,77%
Observação: repetição de trechos da última aula escritos no quadro, fazem a aula demorar. Sugestão: reapresentar matérias anteriores com o uso de slides, ao invés de escrever no quadro.
Continuação da última aula (exemplo I).
Construir o gráfico da função: f(x) = (2 . x²) / (x²-1).
Derivando a função:
f '(x) = (-4 . x) /(x² - 1)²
Derivada segunda da função (para análise da concavidade):
f ''(x) = [-4 (x² - 1)² + 4x . 2.(x² - 1) . 2x] / (x² - 1)4
f ''(x) = [-4 . (x² - 1) + 16 x²] / (x² - 1)³
f ''(x) = [-4x² + 16x² + 4] / (x² - 1)³ = [12x² + 4] / (x² - 1)³
Fazendo f ''(x) = 0:
12x² + 4 = 0 (Absurdo, o que significa que não há pontos em que a derivada segunda seja igual a 0, indicando que não há um ponto de transição de uma concavidade para cima para uma para baixo, ou vice-versa, por exemplo.)
f ''(x) = (x² - 1)³
(x² - 1) = 0
x = ± 1 (não existe valor da função para os pontos -1 e +1, indicado possíveis assíntotas da função).
Tabela 1
| Intervalo | ]-∞, -1[ | ]-1, +1[ | ]+1, +∞[ |
|---|---|---|---|
| x | -2 | 0 | 2 |
| f ''(x) | 52/27 | -4 | 52/27 |
| Sinal | + | - | + |
| Concavidade | ⋃ | ⋂ | ⋃ |
Gráfico da função:
 |
| Gráfico de f(x) = (2 . x²) / (x²-1), obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
Otimização
Se f é diferenciável, então f '(x) pode ser útil na pesquisa de máximos e mínimos. Os valores extremos são muitas vezes valores ótimos, porque são os melhores ou os mais favoráveis valores.
A tarefa de determinar esses valores constitui um problema de otimização.
Exemplo:
De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
 |
| Esquema de uma calha obtida de uma folha retangular com 30cm de largura, obtido com o Krita. |
Aseção frontal(x) = x . (30 - 2x)
Aseção frontal(x) = 30x - 2x²
O volume da calha será máximo quando Aseção frontal(x) for máximo.
A(x) = 30x - 2x²
A'(x) = 30 - 4x
Fazendo A'(x) = 0, encontramos o ponto crítico da função:
30 - 4x = 0
-4x = -30
x = 30/4
x = 15/2
Para analisar a concavidade, obtemos a Derivada segunda:
A(x) = 30x - 2x²
A'(x) = 30 - 4x
A''(x) = -4 < 0
Assim, a concavidade é para baixo para qualquer ponto da função, incluindo para o ponto onde x = 15/2.
A''(15/2) = -4 < 0
Assim, como a concavidade é para baixo:
x = 15/2 é máximo local.
Assim, quando x = 15/2 a área frontal da calha será máxima, e igual a:
[30 - 2 . (15/2)] . 15/2 = [30 - 15] . 15/2 = 15 . 15/2 = 112,5
Com a área encontrada o volume da calha será máximo.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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