Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h33min
Término da aula: 21h59min
Taxa de aproveitamento: 95,55%
Diferenciais
Até agora dy/dx tem sido visto apenas como uma simples notação para a derivada da função y = f(x).
O que faremos aqui é introduzir duas novas variáveis dx e dy com a propriedade de que, caso a razão dy/dx exista, esta será igual à derivada f '(x).
Definição
Seja y = f(x), onde f é uma função diferenciável e seja ∆x um incremento de x.
* A diferencial dx da variável independente x é: dx = ∆x.
* A diferencial dy da variável independente y é: dy = f '(x) dx
Logo:
dy/dx = f '(x)
Exemplo:
Determine o diferencial dy se y = (x² - 1)1/5.
[Res.]
dy/dx = 1/5 . (x² - 1)-4/5 . 2x
dy = 2x / [5 . (x² - 1)4/5] . dx
 |
| Exemplo de variação em uma função, obtido com o Krita. |
Aplicações das derivadas
* Formas indeterminadas e Regra de L'Hôpital
Formas indeterminadas do tipo 0/0 e ∞/∞.
No capítulo 1 tratamos de limites de quocientes tais como:
* limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
* limx→0 [sen (x) / x]
Para resolver estes limites, usamos métodos algébricos, geométricos e trigonométricos, mas esses métodos não resolvem todos os limites que resultam em formas indeterminadas.
O principal instrumento para o estudo destas formas indeterminadas é a regra de L'Hôpital.
Regra de L'Hôpital
Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g'(x) ≠ 0. Suponha que f(x) / g(x) tenha forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞ em x = 0.
limx→a [f(x) / g(x)] = limx→a [f '(x) / g'(x)], desde que:
limx→a [f '(x) / g'(x)] exista ou limx→a [f '(x) / g'(x)] = ± ∞.
Observação:
1) A Regra de L'Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas.
2) A Regra de L'Hôpital é válida também para limites laterais.
Exemplo:
Determine, usando a regra de L'Hôpital, os seguintes limites:
1) limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x³ - 8) / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
= limx→2 [(3 . x²) / 1]
= limx→2 (3 . x²)
= limx→2 3 . limx→2 x²
= 3 . (limx→2 x)²
= 3 . (2)²
= 3 . 2²
= 3 . 4
= 12
2) limx→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x² - 1) / (2x² + 1), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]
= limx→∞ [2x / 4x]
= limx→∞ [2 / 4]
= limx→∞ 2 / limx→∞ 4
= 2/4
= 1/2
3) limx→∞ [(e3x) / (x²)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (e3x) / (x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→∞ [(e3x) / (x²)]
= limx→∞ [(e3x . 3) / (2x)]
= limx→∞ [(3 . e3x . 3) / (2)]
= limx→∞ [(9 . e3x) / (2)]
= limx→∞ (9/2 . e3x)
= limx→∞ 9/2 . limx→∞ e3x
= 9/2 . ∞
= + ∞
4) limx→𝜋/2- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (4 . tg(x)) / (1 + sec(x)), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→𝜋/2- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . 1 . sec²(x)) / (0 + 1 . sec(x) . tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . sec²(x)) / (sec(x) . tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]
Lembrando que:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x) / cos(x)
Continuando o limite:
limx→𝜋/2- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . 1/cos(x)) / (sen(x)/cos(x))]
= limx→𝜋/2- [(4/cos(x)) . (cos(x)/sen(x))]
= limx→𝜋/2- [4 / cos(x) . cos(x) / sen(x)]
= limx→𝜋/2- [4 / sen(x)]
= limx→𝜋/2- 4 / limx→𝜋/2- sen(x)
= 4 / 1
= 4
5) limx→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]
Lembrando que:
y = sen(u) ⇒ y' = u' . cos (u)
y = cos(u) ⇒ y' = -u' . sen (u)
y = u . v ⇒ y' = u' . v + v' . u
sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x)
Derivando-se o numerador e o denominador, obtém-se:
= limx→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
Porém, ainda encontra-se a forma indeterminada: 0/0. Assim, pode-se proceder a nova derivação do numerador e do denominador.
Antes de proceder às derivações, iremos utilizar a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x) para facilitar as operações:
= limx→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
= limx→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]
Procedendo as derivações:
= limx→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]
= limx→0 [(cos(2x) . 2 - 2 . cos(x)) / (-cos(2x) . 2 - cos(x) - 1 . cos(x) - (-sen(x)) . x)]
= limx→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]
Agora é possível calcular o limite da função:
= limx→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]
= (2 . 1 - 2 . 1) / (-2 . 1 - 2 . 1 + 0 . 0 )
= (2 - 2) / (-2 -2)
= 0 / (-4)
= 0
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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