Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h55min
Taxa de aproveitamento: 82,22%
Observação (pontos a melhorar na aula): professora checa onde parou a matéria com os alunos. Poderia haver um registro de aula para agilizar o início das aulas (sugestão). Muitos erros no quadro. Muita conversa em sala. Poderia haver mais uso de recursos multimídia para melhor compreensão da matéria.
Continuação da matéria
Extremos de função
Exemplo:
Determine os extremos locais e absolutos da função f cujo gráfico está esboçado abaixo.
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| Exemplo de função com máximos e mínimos, obtido com o Krita. |
* Mínimos locais: f(b), f(d)
* Máximos locais: f(c), f(e)
Existe:
(I) Um máximo local de f se existe um intervalo ]a, b[ contendo c tal que f(x) ≤ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.
(II) Um mínimo local de f se existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.
Cada máximo ou mínimo local é denominado extremo local de f.
Definição:
Uma função f possui um máximo ou mínimo local em uma extremidade c do seu domínio se a desigualdade apropriada for válida para qualquer x em um intervalo que contenha c.
Definição:
Um número c do domínio de uma função é um número crítico de f se f '(c) = 0 ou f '(c) não existe.
Podemos dizer então que valores extremos de uma função ocorrem só nos seus números críticos ou nas extremidades de um intervalo fechado.
Diretrizes para determinar extremos
Seja f(x) uma função contínua definida em um intervalo fechado [a, b].
Para determinar os extremos de f em [a, b] siga os seguintes passos:
1) Determinar todos os números críticos de f em ]a, b[.
2) Calcule f(c) para cada número crítico obtido em 1.
3) Calcule os valores de f nas extremidades de [a, b].
4) Os valores máximo e mínimo de f em [a, b] são o maior e o menor valores da função calculados em 2 e 3.
Exemplo:
Encontre os valores máximo e mínimo de f(x) = -2x³ - 6x² + 5 no intervalo [-3, 1] e esboce o gráfico.
[Res.]
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| Gráfico de f(x) = -2x³ - 6x² + 5, obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
1) Números críticos:
f '(x) = -6x² - 12x = -6x . (x + 2)
f '(x) = 0
-6x . (x + 2) = 0
Números críticos
* x = 0
* x = 2
2) Calcular o valor de f:
f(0) = 5
f(-2) = -2 . (-2)³ - 6 . (-2)² + 5 = 16 - 24 + 5 = -3
3) Valores de f nas extremidades do intervalo:
f(-3) = -2 . (-3)³ - 6 . (-3)² + 5 = 5
f(1) = -2 . (1)³ - 6 . (1)² + 5 = -3
4) Comparando valores:
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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