Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 22h05min
Taxa de aproveitamento: 93,33%
Roteiro
1- Domínio, imagem, simetrias
2- Limite, continuidade e assíntotas
3- Derivadas e tangentes
4- Valores extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão.
Agora vamos agrupar todas as informações para esboçar gráficos.
Exemplo I
Esboce o gráfico de f(x) = 2x² / (x²-1)
Passo 1) Domínio
x pertence aos reais tal que x é diferente de 1 e de -1.
Passo 2) Interceptos
x e y
Para x = 0:
f(x) = 2x² / (x²-1)
f(0) = 2(0)² / (0²-1) = 0 / (-1)
f(0) = 0
Para y = 0:
f(x) = 2x² / (x²-1)
0 = 2x² / (x²-1)
2x² = 0 . (x²-1)
2x² = 0
x = 0
Logo, a função passa pelo ponto (0, 0).
Passo 3) Simetria
Testando a função
f(x) = 2x² / (x²-1)
Para x = -2
f(-2) = 2 . (-2)² / ((-2)²-1)
f(-2) = 2 . 4 / (4 - 1)
f(-2) = 8 / 3
Para x = 2
f(2) = 2 . (2)² / ((2)²-1)
f(2) = 2 . 4 / (3)
f(-2) = 8 / 3
Assim, a função é par, indicando a simetria da curva em relação ao eixo y.
Passo 4) Assíntotas
Horizontal e Vertical
Assíntota Horizontal (limite da função quando x tende a +∞ ou -∞):
limx→+∞ f(x)
= limx→+∞ [2x² / (x²-1)]
Utilizando o Teorema de L'Hopital
= limx→+∞ [4x / (2x-0)]
= limx→+∞ [4x / (2x)]
= limx→+∞ [4 / 2]
= limx→+∞ 2
Também pode ser feito assim:
= limx→+∞ [2x² / (x²-1)]
= limx→+∞ [2x² / [x² . (1 - 1/x²)]
= limx→+∞ [2 / (1 - 1/x²)]
= 2 / (1 - 0)
= 2 / 1
= 2
Como trata-se de uma constante (2), os limites para +∞ e para -∞ serão iguais à própria constante (2). Assim, a função tem apenas uma assíntota horizontal, y = 2.
Assíntota Vertical (limite da função quando x tende a 1+ ou 1- e quando x tende a -1+ ou -1-):
Limite com x tendendo a +1:
Limite pela direita de +1:
limx→1+ f(x)
= limx→1+ [2x² / (x²-1)]
= limx→1+ (2x²) / limx→1+ (x²-1)
= +∞
Limite pela esquerda de +1:limx→1- f(x)
= limx→1- [2x² / (x²-1)]
= limx→1- (2x²) / limx→1- (x²-1)
= -∞
Assim, existe uma assíntota vertical em x = 1.
Limite com x tendendo a -1:
Limite pela direita de -1
limx→-1+ f(x)
= limx→-1+ [2x² / (x²-1)]
= limx→-1+ (2x²) / limx→-1+ (x²-1)
= limx→-1+ (2x²) / [limx→-1+ x² - limx→-1+ 1]
= limx→-1+ (2x²) / [limx→-1+ x² - 1]
= -∞
Limite pela esquerda de -1:
limx→-1- f(x)
= limx→-1- [2x² / (x²-1)]
= limx→-1- (2x²) / limx→-1- (x²-1)
= limx→-1- (2x²) / [limx→-1- x² - limx→-1- 1]
= limx→-1- (2x²) / [limx→-1- x² - 1]
= +∞
Assim, existe uma assíntota vertical em x = -1.
Passo 5) Crescimento e Decrescimento
Derivada primeira da função:
f(x) = 2x² / (x² - 1)
Utilizando a regra do quociente:
y = u / v ⇒ y' = (u' . v - v' . u) / v²
Assim
f '(x) = [4x . (x² - 1) - (2x - 0) . 2x²] / (x4 - 2x² + 1)
f '(x) = [4x . (x² - 1) - (2x) . 2x²] / (x4 - 2x² + 1)
f '(x) = [4x³ - 4x - 4x³] / (x4 - 2x² + 1)
f '(x) = [- 4x] / (x4 - 2x² + 1)
f '(x) = - 4x / (x4 - 2x² + 1)
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
Igualando a derivada primeira a 0:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)² = 0
- 4x / (x² - 1)² = 0
- 4x = 0
x = 0
Passo 6) Valores de máximo e mínimos locais
Analisar os pontos especiais encontrados em relação à função original.
f(0) = 0
x = -1
x = 1
| Análise do crescimento no intervalo |
]-∞, -1[ | ]-1, 0[ | ]0, 1[ | ]1, ∞[ |
|---|---|---|---|---|
| x | -2 | -1/2 | 1/2 | 2 |
| f '(x) | 8/9 | 32/9 | -32/9 | -8/9 |
| Sinal de f '(x) | + | + | - | - |
| Conclusão | ↑ | ↑ | ↓ | ↓ |
Cálculos para o preenchimento da tabela de análise do crescimento:
f(x) = 2x² / (x² - 1)
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
Para x = -2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(-2) = - 4 . (-2) / ((-2)² - 1)²
f '(-2) = 8 / (4 - 1)²
f '(-2) = 8 / (3)²
f '(-2) = 8 / 9
Para x = -1/2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(-1/2) = - 4 . (-1/2) / ((-1/2)² - 1)²
f '(-1/2) = 4 . 1/2 / (1/4 - 1)²
f '(-1/2) = 4/2 / (1/4 - 1)²
f '(-1/2) = 2 / (-3/4)²
f '(-1/2) = 2 / (9/16)
f '(-1/2) = 2 . 16/9
f '(-1/2) = 32/9
Para x = 1/2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(1/2) = - 4 . (1/2) / ((1/2)² - 1)²
f '(1/2) = - 4/2 / (1/4 - 1)²
f '(1/2) = - 2 / (-3/4)²
f '(1/2) = - 2 / (9/16)
f '(1/2) = - 2 . 16/9
f '(1/2) = - 32/9
Para x = 2:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
f '(2) = - 4 . (2) / ((2)² - 1)²
f '(2) = - 8 / (4 - 1)²
f '(2) = - 8 / (3)²
f '(2) = - 8 / 9
Passo 7) Concavidade e pontos de inflexão:
| Análise da concavidade no intervalo |
]-∞, -1[ | ]-1, 1[ | ]1,0[ |
|---|---|---|---|
| f ''(x) | 52/9 | -4 | 52/27 |
| Sinal de f ''(x) | + | - | + |
| Concavidade | ↑ | ↓ | ↑ |
Cálculos para o preenchimento da tabela de análise da concavidade:
f(x) = 2x² / (x² - 1)
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
Para encontrar a derivada segunda:
f '(x) = - 4x / (x² - 1)²
Utilizando a regra do quociente:
y = u / v ⇒ y' = (u' . v - v' . u) / v²
f ''(x) = [(- 4) . (x² - 1)² - 2 . (x² - 1) . (2x - 0) . (-4x)] / [(x² - 1)²]²
f ''(x) = [(- 4) . (x² - 1)² - 2 . (x² - 1) . (2x) . (-4x)] / (x² - 1)4
f ''(x) = [(- 4) . (x² - 1)² + 16x² . (x² - 1)] / (x² - 1)4
f ''(x) = {(x² - 1) . [-4 . (x² - 1) + 16x²]} / (x² - 1)4
f ''(x) = {(x² - 1) . [-4x² + 4 + 16x²]} / (x² - 1)4
f ''(x) = {(x² - 1) . [4 + 12x²]} / (x² - 1)4
f ''(x) = (x² - 1) . (4 + 12x²) / (x² - 1)4
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)3
Igualando f ''(x) a 0:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)3 = 0
(4 + 12x²) / (x² - 1)3 = 0
(4 + 12x²) = 0 . (x² - 1)3
(4 + 12x²) = 0
4 + 12x² = 0
12x² = -4
x² = -4 / 12
x² = -1 / 3
Assim, não existe solução no conjunto dos números reais.
Solucionando com o conjunto dos números complexos (apenas para demonstração):
x² = -1 / 3
x = ± √(-1 / 3)
Fazendo i² = -1:
x = ± √[i² . (1/3)]
x = ± i . √(1/3)
Como não foi possível encontrar um valor que solucione a equação f ''(x) = 0, não existe inflexão na curva. Mesmo assim, vamos analisar pontos de amostra entre x = -∞ e x = -1 (onde existe uma assíntota), entre x = -1 e x = 1 (na região entre as duas assíntotas), e entre x = 1 e x = +∞.
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)3
Para x = -2:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)3
f ''(-2) = [4 + 12 . (-2)²] / [(-2)² - 1]3
f ''(-2) = [4 + 12 . 4] / [4 - 1]3
f ''(-2) = [4 + 48] / [3]3
f ''(-2) = 52 / 9
Para x = 0:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)3
f ''(0) = [4 + 12 . (0)²] / [(0)² - 1]3
f ''(0) = [4 + 0] / [0 - 1]3
f ''(0) = 4 / [- 1]3
f ''(0) = 4 / (- 1)
f ''(0) = - 4
Para x = +2:
f ''(x) = (4 + 12x²) / (x² - 1)3
f ''(2) = [4 + 12 . (2)²] / [(2)² - 1]3
f ''(2) = [4 + 12 . 4] / [4 - 1]3
f ''(2) = [4 + 48] / [3]3
f ''(2) = 52 / 27
Verifica-se com base nos resultados, que a função apresenta 2 trechos com concavidade para cima e um para baixo. Porém, devido às assíntotas, existe uma ruptura no gráfico, descontinuando a função. Assim, realmente não há pontos de inflexão, ou seja, de mudança de concavidade (contínua) na curva. A concavidade muda na função, porém a função é descontínua no ponto em que ocorre a mudança de concavidade.
Passo 8) Esboço da curva
Como conhecemos as assíntotas, as direções de crescimento e decrescimento e as concavidades, podemos desenhar o gráfico da função f(x) = 2x² / (x² - 1).
Assíntotas
Assíntotas verticais: x = -1 e x = +1
Assíntota horizontal: y = 2
Análise de crescimento função f(x) = 2x² / (x² - 1):
| Análise do crescimento no intervalo |
]-∞, -1[ | ]-1, 0[ | ]0, 1[ | ]1, ∞[ |
|---|---|---|---|---|
| x | -2 | -1/2 | 1/2 | 2 |
| f '(x) | 8/9 | 32/9 | -32/9 | -8/9 |
| Sinal de f '(x) | + | + | - | - |
| Conclusão | ↑ | ↑ | ↓ | ↓ |
Análise de concavidade da função f(x) = 2x² / (x² - 1):
| Análise da concavidade no intervalo |
]-∞, -1[ | ]-1, 1[ | ]1,0[ |
|---|---|---|---|
| f ''(x) | 52/9 | -4 | 52/27 |
| Sinal de f ''(x) | + | - | + |
| Concavidade | ↑ | ↓ | ↑ |
Com todos os dados obtidos, é possível obter o gráfico da função f(x) = 2x² / (x² - 1).
 |
| Gráfico de f(x) = 2x² / (x² - 1), obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
Exemplo II
Esboce o gráfico de y = x4 + 4x³.
[Resolução minha, baseada no estilo do Kumon de Matemática]
Encontrar os pontos críticos:
y = x4 + 4x³
Seja f(x) = x4 + 4x³.
f '(x) = 4x³ + 12x²
Fazendo f '(x) = 0:
4x³ + 12x² = 0
4x² . (x + 3) = 0
Assim, x = -3, 0.
Análise de crescimento ou decrescimento da função (com base na derivada primeira da função):
f(x) = x4 + 4x³
f(-3) = (-3)4 + 4 . (-3)³ = 81 + 4 . (-27) = 81 - 108 = -27
f(0) = (0)4 + 4 . (0)³= 0 + 0 = 0
Tabela indicando o crescimento e o decrescimento da função:
| x | ... | -3 | ... | 0 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f '(x) | - | 0 | + | 0 | + |
| f(x) | ↘ | -27 | ↗ | 0 | ↗ |
Análise de concavidade da função (com base na derivada segunda da função):
f(x) = x4 + 4x³
f '(x) = 4x³ + 12x²
f ''(x) = 12x² + 24x
Fazendo f ''(x) = 0:
12x² + 24x = 0
12x . (x + 2) = 0
Assim, x = -2, 0.
f(x) = x4 + 4x³
f(-2) = (-2)4 + 4 . (-2)³ = 16 + 4 . (-8) = 16 - 32 = -16
f(0) = (0)4 + 4 . (0)³= 0 + 0 = 0
| x | ... | -2 | ... | 0 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f ''(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ∪ | -16 | ∩ | 0 | ∪ |
Agora, conhecendo os intervalos onde a função cresce e decresce, e onde ela apresenta concavidade para cima e para baixo, pode-se obter o gráfico da função.
 |
| Gráfico de f(x) = x4 + 4x, obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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