Cálculo 1 - 05/06/2019

Cálculo 1 - 05/06/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 72/90 = 80%


Produtos indeterminados

Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis tais que:
lim_x→a f(x) = 0 e lim_x→a g(x) = ± ∞

O cálculo do lim_x→a [f(x) . g(x)] nos leva à uma forma indeterminada do tipo ± 0 . ∞.

Podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular tal limite e para isso devemos escrever o produto f . g como um quociente:

f . g = f / (1/g) ou f . g = g / (1/f)

Isso converte o limite na forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞.


Potências indeterminadas
lim_x→a [f(x)]^g(x)

1) Se lim_x→a f(x) = 1 e lim_x→a g(x) = ± ∞, temos: 1^±∞


2) Se lim_x→a f(x) = ∞ e lim_x→a g(x) = 0, temos: ∞⁰


3) Se lim_x→a f(x) = 0 e lim_x→a g(x) = 0, temos: 0⁰


Vamos usar regra de L'Hôpital para resolver limites em situações assim. Para isso, é necessário ajustar a função para ela se encaixar na regra do quociente. Um método para isso é utilizar o logaritmo natural em ambos os membros da equação, o que será apresentado abaixo.

1) Seja y = [f(x)]^g(x), usando logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, temos:

ln y = ln [f(x)]^g(x)
ln y = g(x) . ln [f(x)]

Observação:
Como ln é uma função contínua, temos que:
lim_x→a ln y = ln (lim_x→a y)

* Se lim_x→a ln y = L, então ln (lim_x→a y) = L ⇒ lim_x→a y = e^L

* Se lim_x→a ln y = ∞, então ln (lim_x→a y) = ∞ ⇒ lim_x→a y = e^∞ = ∞


Exemplo:
lim_x→0 (x² + 2x)^x ∴ Forma indeterminada do tipo: 0⁰.
y = (x² + 2x)^x

Gráfico de f(x) = (x² + 2x)^x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Gráfico de f(x) = (x² + 2x)^x, em detalhe, obtido com o GeoGebra e o Krita.

y = (x² + 2x)^x
Aplicando logaritmo natural:
ln y = ln (x² + 2x)^x
ln y = x . ln (x² + 2x)

Gráfico de f(x) = x . ln (x² + 2x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Como ln y = x . ln (x² + 2x), logo:
lim_x→0 ln y = lim_x→0 [x . ln (x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0 . (- ∞).
= lim_x→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: -∞/∞.

Lembrando que:
y = ln u →y' = 1/u . u'

Continuando as derivações:
= lim_x→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)]
= lim_x→0 {[1/(x² + 2x) . (2x + 2)] / (-1 . x^-2)}
= lim_x→0 {[(2x + 2)/(x² + 2x)] / (-1/x²)} ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= lim_x→0 [-(2x³ + 2x²)/(x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= lim_x→0 [-(6x² + 4x)/(2x + 2)]
= -0 / 2
= 0

Como lim_x→0 ln y = 0, logo:
lim_x→a y = e⁰ = 1


Exercícios:

Encontro o limite: lim_x→0 (1 + 3x)^1/2x ∴ Forma indeterminada do tipo: 1^∞

[Res.]
Para solucionar o limite, aplicaremos o logaritmo natural.

Seja:
y = (1 + 3x)^1/(2x)

Gráfico de f(x) = (1 + 3x)^1/(2x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

y = (1 + 3x)^1/(2x)

ln y = ln (1 + 3x)^1/(2x)
ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x)


Como ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x), logo:
lim_x→0 ln y = lim_x→0 [1/(2x) . ln (1 + 3x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 1^∞ / 0
= lim_x→0 [ln (1 + 3x) / (2x)]
= lim_x→0 {[1 / (1 + 3x) . 3] / (2)}
= lim_x→0 {[3 / (1 + 3x)] / (2)}
= lim_x→0 {3 / [2 . (1 + 3x)]}
= lim_x→0 [3 / (2 + 6x)]
= 3 / (2 + 0)
= 3 / 2

Como lim_x→0 ln y = 3 / 2, logo:
lim_x→0 y = e^3/2 = √(e³)


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.