Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h42min
Taxa de aproveitamento: 68,88%
Continuação
Exercícios:
f(x) = -2x³ - 6x² + 5
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local de f)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local de f)
Gráfico
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| Gráfico de f(x) = -2x³ - 6x² + 5, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Teorema do Valor Médio
Seja f uma função e sejam A(a, f(a)) e B(b, f(b)) pontos do gráfico de f.
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| Gráfico de uma função f, para exemplificar o Teorema do Valor Médio, obtido com o Krita. |
A figura sugere que entre A e B deve haver algum ponto C(c, f(c)) sobre o gráfico de f, onde a reta tangente à curva seja paralela à secante AB. Logo, os coeficientes angulares das duas retas são iguais.
Como o coeficiente angular da reta tangente em c é f '(c), temos:
f '(c) = [f(b) - f(a)] / [b - a]
Exemplo:
Sabe-se que, aplicando o teorema do valor médio com a=2 e b=7 à função cujo gráfico é dado abaixo, chega-se a c=4. Qual a equação da reta tangente em 4?
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| Gráfico para exemplo do teorema do valor médio, obtido com o Krita. |
[Res.]
A equação da reta tangente é:
y - y0 = mt . (x - x0)
x0 = 4
y0 = f(4) = 8
mt = mAB = (9 - 5) / (7 - 2) = 4/5
y - 8 = 4/5 . (x - 4)
y = 4/5 . x - 16/5 + 8
y = 4/5 . x + (-16 + 40)/5
y = 4/5 . x + 24/5
Exemplo:
Uma estrada retilínea de 80km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A até B de automóvel em exatamente duas horas, sem que o velocímetro registre 40km/h ao menos uma vez.
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| Esquema do trajeto entre as cidades A e B, obtido com o Krita. |
[Res.]
A velocidade média durante o percurso de A até B é:
Vm = [S(2) - S(0)] / (2 - 0)
= (80 - 0) / 2
= 40 km/h
Logo, em pelo menos um instante entre 0 e 2 temos que a velocidade instantânea é 40km/h. Em algum instante o velocímetro registrou 40km/h.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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