Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h52min
Término da aula: aproximadamente 20h15min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 92,22%
Observações: a aula pode ser melhorada com a utilização de recursos multimídia e com uso aperfeiçoado do tempo em sala de aula (sugestões: exercícios programados valendo nota, "pré-prova", trabalhos explicando aplicações matemáticas práticas para os temas em discussão).
A forma de um gráfico
Função Crescente / Função Decrescente (Verificada com a Derivada primeira)
Concavidade (Verificada com a Derivada segunda)
Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento
O gráfico abaixo indica que, se o coeficiente angular da tangente é positivo em um intervalo I (aberto), então f é crescente. Da mesma forma, se o coeficiente angular for negativo, então f é decrescente.
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| Relação entre derivada e crescimento e decrescimento da função, obtido com o Krita. |
Teorema
Se f é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável em ]a, b[:
a) se f '(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é crescente
b) se f '(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é decrescente
Exemplo:
Seja f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
a) Determine os extremos locais de f
b) Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.
c) Esboce o gráfico.
[Res.]
a) f(x) = 2x³ + x² -20x + 1
Derivada Primeira
f '(x) = 6x² + 2x - 20
(x+2) . (6x -10) = 0
Soluções:
x = 2
x = 5/3
f(2) = 29
f(5/3) ≅ - 20,3
b) Intervalos crescentes e decrescentes:
| Intervalo | ]-∞, 2[ | ]-2, 5/3[ | ]5/3, ∞[ |
|---|---|---|---|
| x | -3 | 0 | 2 |
| f '(x) | 28 | -20 | 8 |
| sinal f '(x) | + | - | + |
| conclusão | ↑ | ↓ | ↑ |
Observações:
f(-2) é ponto de máximo
f(5/3) é ponto de mínimo
c) Gŕafico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1:
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| Gráfico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Concavidade e o teste da derivada segunda
- Ambas as funções abaixo tratam de funções crescentes no intervalo ]a, b[. Porém, elas inclinam-se em direções diferentes. Como distinguir?
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| Exemplos de função crescente e decrescente, e tangentes delas, obtidas com o Krita. |
1º caso: a curva fica acima das tangentes e a inclinação das tangentes é crescente.
2º caso: a curva fica abaixo das tangentes e a inclinação é decrescente.
Definição:
O gráfico de uma função derivável y = f(x) é:
a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y' é crescente em I.
b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y' é decrescente em I.
Teste da derivada segunda:
a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.
b) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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