Cálculo I - 07/06/2019

Cálculo I - 07/06/2019 (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h51min
Término da aula: 20h06min
Taxa de aproveitamento: 83,33%


Diferenças indeterminadas

Se lim_x→a f(x) = ∞ e lim_x→a g(x) = ∞, então o limite lim_x→a [f(x) - g(x)] é denominado de forma indeterminada do tipo: (∞ - ∞).

Podemos aplicar a regra de L'Hôpital para resolver tal limite convertendo a diferença em um quociente de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞.


Exemplo:

1) Calcule o limite lim_x→0 [1/(e^x - 1) - (1/x)].

[Res.]

Gráfico de f(x) = 1/(e^x - 1) - 1/x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→0 [1/(e^x - 1) - (1/x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
Aplicando o Teorema de L'Hôpital:
= lim_x→0 {[x - (e^x - 1)]/[x . (e^x - 1)]}
= lim_x→0 {[x - e^x + 1]/[x . (e^x - 1)]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= lim_x→0 {[1 - e^x + 0]/[1 . (e^x - 1) + x . (e^x . 1 - 0)]}
= lim_x→0 {[1 - e^x]/[e^x - 1 + x . e^x]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= lim_x→0 {[0 - e^x . 1]/[e^x . 1 - 0 + 1 . e^x + x . e^x . 1]}
= lim_x→0 {[- e^x]/[e^x + e^x + x . e^x]}
= lim_x→0 {[- e^x]/[2 . e^x + x . e^x]}
= [- 1]/[2 . 1 + 0 . 1]
= [- 1]/[2 + 0]
= - 1/2



2) Calcule o limite lim_x→𝜋/2^- [sec(x) - tg(x)].

[Res.]

Gráfico de f(x) = sec(x) - tg(x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→𝜋/2^- [sec(x) - tg(x)]

Lembrando:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x)/cos(x)

Assim:
lim_x→𝜋/2^- [sec(x) - tg(x)]
= lim_x→𝜋/2^- [1/cos(x) - sen(x)/cos(x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= lim_x→𝜋/2^- {[1 - sen(x)]/cos(x)} ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= lim_x→𝜋/2^- {[0 - cos(x)]/[-sen(x)]}
= [0 - 0]/[-1]
= 0 / (-1)
= 0



Extremos de função:

- Objetivo principal de localizar e identificar valores extremos de uma função contínua a partir de sua derivada.

- Os valores máximos e mínimos de uma função são pontos fundamentais para resolução dos problemas de otimização, nos quais encontramos a melhor maneira (maneira ótima) de fazer algo em determinada situação.


Definição:

Seja f uma função definida em um conjunto S de números reais e seja c ∈ S.

I) f(c) é um valor máximo de f em S se f(x) ≤ f(c)

II) f(c) é um valor mínimo de f em S se f(x) ≥ f(c)

- Máximo absoluto

- Mínimo absoluto


Exemplo:

Seja f(x) = 1/2 . x² - 2x. Determine os extremos de f no seguinte intervalo: [0, 5].

Gráfico de f(x) = 1/2 . x² - 2x, obtido com o GeoGebra e com o Krita.

x	...	2	...
f '(x)	-	0	+
f(x)	↘	-2	↗

Como o intervalo vai de 0 a 5, o menor valor ocorre quanto existe a transição da derivada de negativo para positivo, no ponto 2. Derivada negativa significa que a função está decrescente. Derivada positiva significa que a função está crescente. Logo, na transição, ela não cresce nem decresce.

Assim, o ponto de mínimo, que também é o mínimo absoluto da função, ocorre em x = 2, no ponto (2, -2).

f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(2) = 1/2 . 2² - 2.2
f(2) = 1/2 . 4 - 4
f(2) = 4/2 - 4
f(2) = 2 - 4
f(2) = - 2


O ponto de máximo no intervalo ocorre quando x = 5, no ponto (5, 5/2).

f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(5) = 1/2 . 5² - 2.5
f(5) = 1/2 . 25 - 10
f(5) = 25/2 - 10
f(5) = 5/2

 

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.