Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h37min
Término da aula: 20h49min
Taxa de aproveitamento: 80%
Observação: demora excessiva para exibir os resultados das provas, o que atrapalha os alunos a se organizarem para os estudos, visto que a matéria é cumulativa para a última prova. Sugestão: entregar os resultados das provas num prazo máximo de duas semanas a partir da avaliação. Também podem ser utilizados recursos multimídia para facilitar a compreensão da matéria pelos alunos.
Continuação:
Exemplo:
1) Determine a concavidade de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1
f '(x) = 6x² + 2x - 20
f ''(x) = 12x + 2
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x + 2 = 0
12x = -2
x = -2 / 12
x = -1 / 6
Tomando um número maior que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = 0 > -1/6:
f ''(0) = 2, que é positiva (+), indicando concavidade para cima.
Tomando um número menor que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = -1 < -1/6:
f ''(-1) = 12 . (-1) + 2 = -12 + 2 = -10, que é negativa (-), indicando concavidade para baixo.
Assim, existe um ponto de inflexão, pois a concavidade muda ao longo da função.
Ponto de inflexão
Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão da função f(x).
Condições:
Observe que se um ponto (c, f(c)) do gráfico de f(x) é um ponto de inflexão, então:
a) f(x) é contínua em c.
b) Existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em ]a, c[ e côncavo para baixo em ]c, b[ ou vice-versa.
Exemplo 1:
Os pontos P1, P2, P3 e P5 do gráfico abaixo são pontos de inflexão de f(x).
 |
| Exemplo de função com concavidades para cima e para baixo, obtido com o Krita. |
Exemplo 2:
Mostre que y = x⁴ não possui pontos de inflexão:
y' = 4x³
y'' = 12x²
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x² = 0
x = 0
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| Análise da concavidade da função, obtido com o Krita. |
Conferindo o gráfico de y = x⁴, mostrando que não há mudança de concavidade na função:
 |
| Gráfico de y = x⁴, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Exercício
Verifique se a função f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7 tem ponto de inflexão.
[Res.]
 | ||
| Gráfico de f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Agora, verificando os extremos da função, com a derivada primeira:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3 (x² - 2x - 3) = 3 . (x - 3) . (x + 1)
Igualando a derivada primeira a 0, encontram-se os pontos de extremos da função:
f '(x) = 3 . (x - 3) . (x + 1) = 0
x = -1, x = 3.
Agora, para analisar a concavidade, analisa-se o comportamento da derivada segunda:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3
f ''(x) = 6x - 6 = 6 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0, encontramos um ponto onde pode haver a inflexão da função:
f ''(x) = 6 (x - 1) = 0
x = 1
Agora, vamos analisar o valor ao redor de 1:
f ''(x) = 6 (x - 1)
Fazendo x = 0 < 1:
f ''(0) = 6 (0 - 1) = 6 . (-1) = -6. Logo, antes de x = 1, a derivada segunda é negativa, indicando que a concavidade da função é para baixo.
Fazendo x = 2 > 1:
f ''(2) = 6 (2 - 1) = 6 . (1) = +6. Logo, depois de x = 1, a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função é para cima.
Como já tínhamos visto o gráfico, podemos comprovar que a análise das concavidades pelo comportamento da derivada segunda da função se mostrou eficiente.
Exercício:
Determine os extremos de f(x) = -2x³ + 6x² - 3.
[Res.]
Encontrando a derivada primeira:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f '(x) = -6x (x - 2)
Igualando a derivada primeira a 0 encontra-se os extremos da função:
f '(x) = -6x (x - 2) = 0
Logo, x = 0, x = 2.
Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f ''(x) = -12x + 12
f ''(x) = -12 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0 encontra-se o(s) possível(is) ponto(s) de inflexão:
f ''(x) = -12 (x - 1) = 0
Logo, x = 1.
Verificando o comportamento da derivada segunda ao redor de x = 1:
f ''(x) = -12x + 12
Para x = 2 > 1:
f ''(2) = -12 . (2) + 12 = -24 + 12 = -12. Logo, o sinal negativo indica que a concavidade da função é para baixo antes de x = 1.
Para x = 0 < 1:
f ''(0) = -12 . (0) + 12 = 0 + 12 = +12. Logo, o sinal positivo indica que a concavidade da função é para cima depois de x = 1.
Como ocorre a inversão da concavidade ao longo da função, existe um ponto de inflexão na função.
O gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3 pode ser visualizado abaixo. Note que a concavidade muda exatamente em x = 1, que é o ponto de inflexão da função, encontrado igualando-se a derivada segunda da função a 0.
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| Gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3, obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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