Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 91,11%
Obs.: muito tempo gasto com texto no quadro. Até hoje não houve um vídeo ou slides na aula. Sugiro usar melhor os recursos multimídia disponíveis em sala de aula. Muito tempo parado durante a aula.
Taxas relacionadas
Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t.
x = f(t).
y = g(t).
Podemos interpretar as derivadas dx/dt e dy/dt como as taxas de variação em relação a t.
Digamos, por exemplo, que x e y estejam relacionados pela equação:
x³ + y² - 2x + 3y + 1 = 0.
Diferenciando a equação implicitamente em relação a t obtemos:
3x² dx/dt + 2y dy/dt + 2 dx/dt + 3 dy/dt = 0.
Esta equação estabelece uma relação entre dx/dt e dy/dt.
Conhecendo uma das taxas podemos usar a equação acima para determinar a outra taxa.
dx/dt e dy/dt são determinadas como taxas relacionadas.
Diretrizes para resolver os problemas de taxas relacionadas:
1) Desenhe a situação (se possível).
2) Dê nome às variáveis.
3) Identifique os dados do problema.
4) Encontre uma relação que relacione as variáveis.
5) Derive a equação encontrada implicitamente em relação a t.
6) Substitua os dados do problema.
Exemplos:
1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balcão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³/s.
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando este mede 25cm?
[Res.]
 |
| Esfera de raio r |
dv/dt = 100cm³/s
r = 25cm
Vesfera = 4/3 . 𝜋 . r³
dr/dt = ?
Derivando o volume:
Vesfera = 4/3 . 𝜋 .r³
dv/dt = 4/3 . 𝜋 . 3r² . dr/dt
dv/dt = 4 . 𝜋 . r² . dr/dt
Como r = 25:
dv/dt = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
Como dv/dt = 100cm³/s:
100 = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
25 = 𝜋 . 25² . dr/dt
25 / 25² = 𝜋 . dr/dt
1 / 25 = 𝜋 . dr/dt
dr/dt = 1 / (25 . 𝜋) cm/s
2) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical.
Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
[Res.]
 |
| Escada de 10 pés de comprimento apoiada em uma parede |
dx/dt = 1 pé/s
x = 6 pés
Tamanho da escada = 10 pés
No caso de uma parede aprumada:
Como trata-se de um triângulo retângulo (assumindo que a parede esteja no prumo), pode-se aplicar o teorema de pitágoras:
a² + b² = c², onde a e b são os catetos e c é a hipotenusa do triângulo retângulo.
No caso de uma parede inclinada:
Porém, caso considerássemos alguma inclinação da parede, o problema poderia ser solucionado com o teorema dos cossenos, que diz:
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles."
Assim, seria:
a² = b² + c² - 2b . c . cos Â
b² = a² + c² - 2a . c . cos B
c² = a² + b² - 2a . b . cos C
Para nossa resolução, vamos assumir que a parede está aprumada. Assim:
x² + y² = 10²
Quando x = 6, y = 8:
6² + y² = 100
y² = 100- 36 = 64
y = ± 8
Como tamanho só pode ser positivo, y = 8.
Assim, quando x = 6, y = 8.
Derivando:
x² + y² = 10²
x² + y² = 100
2x . dx/dt + 2y . dy/dt = 0
2x . 1 + 2y . dy/dt = 0
2x + 2y . dy/dt = 0
2y . dy/dt = -2x
Como x = 6 e y = 8:
2 . 8 . dy/dt = -2 . 6
16 . dy/dt = -12
dy/dt = -12 / 16
dy/dt = -3 / 4 pé/s
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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