Cálculo 1 - 21/05/2019

Cálculo 1 - 21/05/2019
Terça-feira

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: aproximadamente 20h30min
Encerramento: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 100% aproximadamente


Exercícios

Resolva as derivadas abaixo:

a) y = sen(x) . cos(x)

Resolução minha:

y' = cos(x) . cos(x) + (-sen(x)) . sen(x)
y' = cos²(x) - sen²(x)


b) y = x³/3 . ln (x) - x³/9

Resolução minha:
y' = x² . ln(x) + 1/x . 1 . x³/3 - 1/3 . x²
y' = x² . ln(x) + x²/3 - x²/3
y' = x² . ln(x)


c) y = 8 . sen(x) . cos(x) . tg⁸(x) / √x

Resolução minha:

y = 8 . sen(x) . cos(x) . tg⁸(x) . x^-1/2

1/y . dy/dx = 1/8 . 0 + 1/sen(x) . cos(x) + 1/cos(x) . (-sen(x)) + 8 . 1/tg(x) . 1 . sec²(x) - 1/2x . 1

1/y . dy/dx = cos(x)/sen(x) - sen(x)/cos(x) + 8 sec²(x)/tg(x) - 1/(2x)

dy/dx = 8 . sen(x) . cos(x) . tg⁸(x) / √x . {cotg(x) - tg(x) + 8 / [sen(x).cos(x)] - 1/(2x)}


2) Encontre:
∂f/∂x e ∂f/∂y

 f(x,y) = (x³ + y²) / (x² + y²)

Resolução minha:
∂f/∂x

∂f/∂x = [3x² . (x² + y²) - 2x . (x³ + y²)] / (x² + y²)²

∂f/∂x = [3x⁴ + 3x²y² - 2x⁴ - 2xy²] / (x² + y²)²

∂f/∂x = [x⁴ + 3x²y² - 2xy²] / (x² + y²)²


∂f/∂y

∂f/∂y = [2y . (x² + y²) - 2y . (x³ + y²)] / (x² + y²)²

∂f/∂y = [2x²y + 2y³ - 2yx³ - 2y³] / (x² + y²)²

∂f/∂y = [2x²y - 2yx³] / (x² + y²)²


3) Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais, usando limite.

f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)

Lembrando que:
* assíntota vertical ocorre quando o denominador = 0.
* assíntotas horizontais tem que aplicar o limite para ∞ e para -∞.

Resolução minha:

Material de apoio para resolução da questão:
http://www.alessandrosantos.com.br/emanuel/usp/calculo1/Assintota.PDF

Assíntota vertical
Igualando o denominador 3x-5 a 0:
3x-5 = 0
x = 5/3

Calculando o limite para x igual a 5/3 pela direita:
lim_x→5/3⁺ √(x² + 1) / (3x - 5) = +∞


Calculando o limite para x igual a 5/3 pela esquerda:
lim_x→5/3^- √(x² + 1) / (3x - 5) = -∞

Como os limites da função pela esquerda e pela direita com x tendendo a 5/3 foram para o infinito positivo e negativo, podemos concluir que x = 5/3 é uma assíntota vertical da função.


Assíntota horizontal
Para encontrar a assíntota horizontal é necessário verificar o comportamento da função quando ela tende a +∞ e a -∞.

Calculando os limites quando a função tende a +∞ e a -∞:
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)

Do jeito que está, é difícil calcular o limite da função. Modificando a função para facilitar as operações:
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)
f(x) = √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
f(x) = ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
f(x) = ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x)


Calculando os limites quando a função tende a +∞:
lim_x→+∞ √(x² + 1) / (3x - 5)
= lim_x→+∞ √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
= lim_x→+∞ ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
= lim_x→+∞ ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x) = ± 1/3


Calculando os limites quando a função tende a -∞:
lim_x→-∞ √(x² + 1) / (3x - 5)
= lim_x→-∞ √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x) = ± 1/3

A partir dos limites calculados, é possível observar que a função apresenta duas assíntotas horizontais:
y = 1/3 e y = -1/3.

Gráfico da função √(x² + 1) / (3x - 5) obtido com o GeoGebra

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.