3ª Progressão de Aprendizagem de Cálculo 1 - 17/05/2019

3ª Progressão de Aprendizagem de Cálculo 1 - 17/05/2019

Questão 1 (resolvida)
Determine uma equação para a tangente à curva da função y = 4 - x² no ponto P(-1,3) e, em seguida, esboce a curva e a tangente em um único gráfico.

[Res.]
Encontrando a tangente. Primeiro vamos encontrar a inclinação da reta.
Como y = 4 - x², a inclinação será:
y' = -2 . x

Sabendo que a reta passa pelo ponto P(-1,3), vamos encontrar a inclinação da curva no ponto x = -1:
y' = -2 . x
y' = -2 . (-1)
y' = 2

Sabendo que a equação da reta é do tipo y = ax + b, e sabendo que a = 2:
y = ax + b
y = 2x + b

Substituindo os valores de P(-1,3) na equação da reta:
y = 2x + b
3 = 2(-1) + b
3 = -2 + b
5 = b

Assim, a equação da reta fica:
y = 2x + 5

Esboço do gráfico:

Gráfico das funções obtido com o auxílio do GeoGebra

Questão 2
Derive as seguintes funções:

Lembrete para resolver as questões:

• Seno
• sen x = cos (π/2 - x) = 1 / csc x
• Cosseno
• cos x = sen (π/2 - x) = 1 / sec x
• Tangente
• tan x = sen x / cos x = cot (π/2 - x) = 1 / cot x
• Cossecante
• csc x = sec (π/2 - x) = 1 / sen x
• Secante
• sec x = csc (π/2 - x) = 1 / cos x
• Cotangente
• cot x = cos x / sen x = tan (π/2 - x) = 1 / tan x

Resumindo:

• Sen x = 1 / csc x
• Cos x = 1 / sec x
• Tan x = sen x / cos x = 1 / cot x
• Csc x = 1 / sen x
• Sec x = 1 / cos x
• Cot x = cos x / sen x = 1 / tan x

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica


a) y = ln [sec (x) + tan (x)]

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = ln u ⇒ y' = 1/u . u'
y = sec u ⇒ y' = u' . sec(u) . tg (u)
y = tg u ⇒ y' = u' . sec²(u)

Derivando:
y = ln [sec (x) + tan (x)]
y' = 1 / [sec (x) + tan (x)] . [1/x . tg(x) + 1 . sec²(x)]
y' = 1 / [sec (x) + tan (x)] . [1/x . tg(x) + sec²(x)]


b) y = cot (x) / [1 + csc (x)]

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = cot u ⇒ y' = -u' . cosec² u
y = csc u ⇒ y' = -u' . cosec u . cotg u
y = u / v ⇒ y' = (u' . v - v' . u) / v²

Derivando:
y = cot (x) / [1 + csc (x)]

y' = {[-1 . cosec² (x)] . [1 + cosec (x)] - [0 + (-1) . cosec (x) . cotg (x)] . [cotg (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {[-1 . cosec² (x)] . [1 + cosec (x)] + [cosec (x) . cotg² (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {- cosec² (x) . [1 + cosec (x)] + [cosec (x) . cotg² (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {- cosec² (x) - cosec³ (x)] + [cosec (x) . cotg² (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {- cosec² (x) - cosec³ (x)] + [1/sen (x) . cos² (x)/sen² (x)]} / [1 + cosec (x)]² 
y' = {- cosec² (x) - cosec³ (x)] + [cos² (x)/sen³ (x)]} / [1 + cosec (x)]²


c) y = 8^x + log₂ x

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = u^v ⇒ y' = v . u^v-1 . u' + u^v . ln (u) . v'

y = log_a u ⇒ y' = u' / u . log_a e

Derivando
y = 8^x + log₂ x

y' = x . 8^8-1 . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/x . log₂ e

Como log₂ e = ln e / ln 2 = 1 / ln 2, temos:
y' = x . 8^8-1 . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/x . (1 / ln 2)
y' = x . 8^8-1 . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = x . 8⁷ . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = 8^x . ln (8) + 1/(x . ln 2)

d) y³ + y = x

[Res.]

Resolver por derivação implicita

y³ + y = x

3y² . dy/dx + 1 . dy/dx = 1
dy/dx (3y² + 1) = 1
dy/dx = 1 / (3y² + 1)


e) y = ∛arcsen (x)

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = ln u ⇒ y' = 1/u . u'
y = arcsen u ⇒ y' = u' / √(1 - u²)


Ajustando a equação:
y = ∛arcsen (x)
y = [arcsen (x)]^1/3
ln y = ln [arcsen (x)]^1/3
ln y = 1/3 . ln [arcsen (x)]


Derivando:
1/y . dy/dx = 1/3 . 1/[arcsen (x)] . 1 / √(1 - x²)
dy/dx = ∛arcsen (x) . 1/3 . 1/[arcsen (x)] . 1 / √(1 - x²)
dy/dx = ∛arcsen (x) . 1/{3 . [arcsen (x)] . √(1 - x²)}


Questão 3 (resolvida)
Seja y = x . e^-2x. Verifique que d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0.

[Res.]
Calculando dy/dx:
y = x . e^-2x
ln y = ln (x . e^-2x)
ln y = ln x + ln e^-2x
ln y = ln x + (-2x) . ln e
ln y = ln x - 2x . 1
ln y = ln x - 2x

d/dx ln y = d/dx (ln x - 2x)

1/y . dy/dx = d/dx ln x - d/dx 2x
1/y . dy/dx = 1/x - 2
dy/dx = y . (1/x - 2)
dy/dx = x . e^-2x . (1/x - 2)
dy/dx = e^-2x - 2x . e^-2x


Calculando d²y/dx²:

dy/dx = e^-2x - 2x . e^-2x
d²y/dx² = dy/dx (e^-2x - 2x . e^-2x)
d²y/dx² = dy/dx e^-2x - dy/dx (2x . e^-2x)

d²y/dx² = e^-2x . (-2) - [2. e^-2x + e^-2x . (-2) . 2x]

d²y/dx² = -2 . e^-2x - 2. e^-2x + 4x . e^-2x
d²y/dx² = -4 . e^-2x + 4x . e^-2x


Verificando que d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0.

d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0

-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . (e^-2x - 2x . e^-2x) + 4 . (x . e^-2x) = 0

-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x + 4x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 8x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 8x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 4 e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 4 e^-2x = 0

0 = 0

Porém, a professora solicitou a resolução pela regra do produto:
y = u . v ⇒ y' = u' . v + v' . u

Também será necessário utilizar a seguinte regra para resolver pela regra do produto:
y = e^u ⇒ y' = e^u . u'

Derivando
Para encontrar dy/dx
y = x . e^-2x
y' = 1 . e^-2x + e^-2x . (-2) . x
y' = e^-2x - 2 . x . e^-2x
y' = e^-2x - 2x . e^-2x

Para encontrar d²y/dx²
y' = e^-2x . (-2) - 2 . [1 . e^-2x + e^-2x  . (-2) . x]
y'' = -2 . e^-2x - 2 . e^-2x + 4 . x . e^-2x
y'' = -4 . e^-2x + 4x . e^-2x


Conferindo a equação
d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . (e^-2x - 2x . e^-2x) + 4 . (x . e^-2x) = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0
0 + 4x . e^-2x + 0 - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0
8x . e^-2x - 8x . e^-2x = 0
8x . e^-2x - 8x . e^-2x = 0
0 - 0 = 0
0 = 0

Questão 4 (resolvida)
Se f(x) = x^1/2 . (x² + x - 2), determine:

a) f '(x)

[Res.]
f(x) = x^1/2 . (x² + x - 2)
y = x^1/2 . (x² + x - 2)

Aplicando ln aos termos:
ln y = ln [x^1/2 . (x² + x - 2)]
ln y = ln x^1/2 + ln (x² + x - 2)
ln y = 1/2 . ln x + ln (x² + x - 2)

Derivando:
d/dx ln y = d/dx 1/2 . ln x + d/dx ln (x² + x - 2)
1/y dy/dx = 1/2 . 1/x + 1 / (x² + x - 2) . (2x + 1)
1/y dy/dx = 1/(2x) + 1 / (x² + x - 2) . (2x + 1)
1/y dy/dx = 1/(2x) + 1 / [(x - 1) (x + 2)] . (2x + 1)
1/y dy/dx =  [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / [(2x) . (x - 1) . (x + 2)]

dy/dx = x^1/2 . (x² + x - 2) . [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / [(2x) . (x - 1) . (x + 2)]
dy/dx = x^1/2 . [(x - 1) . (x + 2)] . [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / [(2x) . (x - 1) . (x + 2)]
dy/dx = x^1/2 . [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / (2x)
dy/dx = x^1/2 . (x² + x - 2 + 2x ) / (2x)
dy/dx = x^1/2 . (x² + 3x - 2) / (2x)


b) Os pontos em que a tangente de f é horizontal.

[Res.]
Para a tangente de f ser horizontal, a inclinação deve ser igual a 0.
Assim:
x^1/2 . (x² + 3x - 2) / (2x) = 0
x^1/2 .[(x - 1) (x + 2) + 2x ] / (2x) = 0

x = 0

ou

(x - 1) (x + 2) + 2x = 0
x² + 3x - 2 = 0
x = [-3 ± √(9 - 4.1.(-2))] / (2 . 1)
x = [-3 ± √(9 + 8)] / 2
x = (-3 ± √17) / 2

S = [0, (-3 + √17) / 2, (-3 - √17) / 2]


Questão 5 (resolvida)
Em que ponto sobre a curva y = e^x temos a tangente paralela à reta y = 2x?

[Res.]

Derivando y = e^x:
y' = e^x
ln y = ln e^x
ln y = x . ln e
d/dx ln y = d/dx (x . ln e)
1/y . dy/dx = ln e
dy/dx = y . ln e
dy/dx = e^x . ln e = e^x


Para as retas serem paralelas, a inclinação das retas deve ser a mesma. Assim, basta igualar a derivada de y = e^x com a derivada de y = 2x.
Como visto anteriormente:
Para y = e^x, y' = e^x

Agora, para y = 2x, y' = 2.

Basta, então, igualar e^x a 2.
e^x = 2.
ln e^x = ln 2
x . ln e = ln 2
x . 1 = ln 2
x = ln 2

Como ln 2 = 0,6931471..., x = 0,6931471...


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.