Cálculo 1 - 14/05/2019

Cálculo 1 - 14/05/2019

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h46min
Encerramento da aula: 21h47min
Taxa de aproveitamento: 61 min / 90 min = 67,7%

Funções logarítmicas

log_a x = y → a^y = x

A função logarítmica de base a, y log_a x, é a função inversa da função exponencial de base a:
log_a x = y ↔ a^y = x

Gráfico de y = e^x obtido com auxílio do GeoGebra

Gráfico de y = log_a x, com a = 1,9, obtido pelo GeoGebra

Propriedades do logarítmo

1) log_a (a^x) = x

2) log_a (x . y) = log_a x + log_a y

3) log_a (x/y) = log_a x - log_a y

4) log_a (x^r) = r . log_a x ∀ r ∈ R

5) log_a x = log_b x / log_b a


O logaritmo natural

Logaritmos de base e

ln x = log_e x

Derivada e^x

d/dx (e^x) = e^x

Prova

lim_h→0 (e^x+h - e^x) / h
lim_h→0 (e^x . e^h - e^x) / h
lim_h→0 e^x(e^h - 1) / h
e^x . lim_h→0 (e^h - 1) / h
e^x . f ' (0)

lim_h→0 e^x . 1 = e^x

d/dx e^x = e^x

Exemplo:
Determine y' em cada caso:

1) y = e^x - x

y' = e^x - 1


2) y = e^3x

y' = e^3x . 3


3) y = e^-x

y' = e^-x . (-1)


4) y = e^{sen x}

y' = e^{sen x} . cos x


5) y = e√x

y' = e√x . 1/2 . x^-1/2 = e√x . 1 / (2√x)


6) y = e^x . cos x

y' = e^x . cos x + (-sen x) . e^x
y' = e^x . (cos x - sen x)

Derivada y = a^x

Seja f(x) = a^x, temos:

d/dx a^x = a^x . ln a


Calcule a derivada de

1) y = 2^x

y' = 2^x . ln 2 . 1


2) y = 5^{(x² - x + 1)}

y' = 5^{(x² - x + 1)} . ln 5 . (2x - 1)


3) y = 8^{cos (2x)}

y' = 8^{cos (2x)} . ln 8 . [-sen (2x)] . 2


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.