Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h54min
Encerramento da aula: 20h01min
Taxa de aproveitamento: 67min / 90min = 74,44%
Observação pessoal: muito tempo parado durante a aula.
Derivação implícita
y = √(x³+1)
y = x . sen(x)
y é uma função explícita de x
Algumas funções são descritas implicitamente por uma relação entre x e y, tais como:
x² - y² = -1
x² + y² = 25
x³ - y³ - 9xy = 0
Dizemos que y é uma função implícita de x, ou que y = f(x) é definida implicitamente pela equação dada.
Exemplo:
A função f(x) = 3x² - 2 é definida implicitamente pela equação: 6x² - 2y = 4.
Substituindo y = f(x) na equação, temos uma identidade:
6x² - 2(3x² - 2) = 4
6x² - 6x² + 4 = 4
4 = 4
Exemplo:
Para a equação x² + y² = 25 temos que seu gráfico é a circunferência de centro na origem e raio 5.
Resolvendo essa equação em relação a y, temos:
y² = 25 - x²
y = ± √(25 - x²)
Logo, temos duas funções f e g definidas implicitamente por essa equação.
f(x) = √(25 - x²)
 |
| Gráfico de √(25 - x²) obtido com o GeoGebra |
g(x) = - √(25 - x²)
 |
| Gráfico de -√(25 - x²) obtido com o GeoGebra |
Os gráficos são partes da circunferência definida por elas.
 |
| Gráfico de √(25 - x²) e -√(25 - x²) obtido com o GeoGebra |
Exercícios:
Exemplo:
Determine dy/dx se x² + y² = 25
d/dx (x² + y²) = d/dx (25)
2x + 2y . dy/dx = 0
2y dy/dx = -2x
dy/dx = -2x / 2y
dy/dx = -x/y
Exercícios
Encontre dy/dx
1) x³ + y³ = 8
3x² + 3y² dy/dx = 0
3y² dy/dx = -3x²
dy/dx = -x²/y²
2) 4x² - 9y² = 17
8x - 18y dy/dx = 0
-18y dy/dx = -8x
dy/dx = 4x/9y
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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