FACULDADE DO CENTRO LESTE
AMANDA GABRIELLY OLIVEIRA CRUZ
ERMELIANA SCHUINA ALVES
GREICE KELLY OLIVEIRA GUEDES
HÉLIO MAURO LIMA FERREIRA
IVAN BEZERRA DA SILVA NETTO
LEONARDO BARBOZA DOS SANTOS
LUCAS TIAGO RODRIGUES DE FREITAS
MEIRIANE PEREIRA EVÊNCIO
NATHALIA ELLEN OLIVEIRA
RAFAELLA ANDREATTA
WÊNIO SANTOS SOUSA
AMANDA GABRIELLY OLIVEIRA CRUZ
ERMELIANA SCHUINA ALVES
GREICE KELLY OLIVEIRA GUEDES
HÉLIO MAURO LIMA FERREIRA
IVAN BEZERRA DA SILVA NETTO
LEONARDO BARBOZA DOS SANTOS
LUCAS TIAGO RODRIGUES DE FREITAS
MEIRIANE PEREIRA EVÊNCIO
NATHALIA ELLEN OLIVEIRA
RAFAELLA ANDREATTA
WÊNIO SANTOS SOUSA
Trabalho de Matemática Financeira: Amortização
Trabalho apresentado à disciplina de Matemática Financeira, do curso de Tecnologia em Logística, da Faculdade do Centro Leste, como requisito parcial para avaliação na referida disciplina.
Orientadora: Profª. Alix
INTRODUÇÃO
O SURGIMENTO DOS CÁLCULOS E DOS EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
A origem da amortização está intimamente ligada à origem dos empréstimos, cuja origem está relacionada à origem da própria contagem. A necessidade de manter relações sociais, e de organizar os recursos, como irrigação, medidas de grãos, como arroz e cevada, destinando os recursos a cada pessoa do grupo, culminou em formas de medições de tempo, de medidas, e na forma abstrata de medição indireta de recursos e poder através de metais como o ouro, a prata e o bronze. Esses recursos indiretos possibilitaram a realização de trocas a longas distâncias, tornando intercambiáveis recursos diferentes de pessoas que produziam em regiões longínquas. Se uma região produzia tijolos, e a outra alimentos, mesmo que as duas regiões estivessem longe para realizar trocas diretas, poderiam realizar trocas indiretas, possibilitando aos produtores de alimentos a aquisição de tijolos, com a utilização do dinheiro obtido com a venda dos alimentos (RESISTIR, 2007; BANCO CENTRAL, 2017; CASA DA MOEDA, 2017).
Nesse contexto, poderia surgir a possibilidade da venda dos tijolos baseada num contrato de confiança, num empréstimo ou financiamento, para pagamento posterior. Assim, além da possibilidade das trocas em dinheiro diretamente, passou-se a realizar trocas baseadas na esperança de recebimento futuro da quantia combinada. A quantia poderia ser acrescida de juros, dependendo de como fosse realizado o acordo, como forma de remuneração do tempo de espera pelo recebimento (RESISTIR, 2007; BANCO CENTRAL, 2017; CASA DA MOEDA, 2017).
Todo essa situação relacionada ao surgimento do dinheiro e dos empréstimos e financiamentos está relacionada ao surgimento da contagem por meio de cálculos (pedras) e por meio da cunhagem de moedas (RESISTIR, 2007; BANCO CENTRAL, 2017; CASA DA MOEDA, 2017).
AMORTIZAÇÃO EM EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
Como os costumes das pessoas são diferentes nas diferentes regiões do mundo, vários tipos de acordos surgiram para a realização da devolução do dinheiro (recurso) emprestado ou financiado.
As dívidas podem ser extintas de formas variadas. Podem ser, por exemplo, perdoadas, substituídas pela realização de um trabalho específico, ou pagas em dinheiro (ou outra espécie de recurso), com ou sem acréscimo de juros.
A amortização é um processo de extinção de dívidas que ocorre através de pagamentos periódicos. Os pagamentos são realizados conforme um planejamento, e cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital e/ou dos juros do saldo devedor (INFO ESCOLA, 2017; SAMANEZ, 2002, p. 207).
Existem vários sistemas de amortização no mundo, que variam conforme a cultura dos povos e os acordos entre as pessoas.
O Sistema de Amortização Francês, por exemplo, tem esse nome por ter sido utilizado primeiramente na França. É conhecido também como Tabela Price em homenagem ao economista inglês que incorporou a teoria de juro composto às amortizações de empréstimos no século XVIII. No sistema de amortização francês, a dívida é quitada por meio de pagamentos periódicos iguais (SAMANEZ, 2002, p. 208).
Além do sistema francês existem o sistema alemão, o sistema de pagamento único (utilizado nos USA) e até um sistema brasileiro, utilizado pela Caixa Econômica Federal, o sistema SACRE, que são descritos brevemente na seção Sistemas de Amortização do presente trabalho, na seção conceitos básicos.
CONCEITOS BÁSICOS
A presente seção apresenta o conceito de empréstimo, financiamento, saldo devedor, amortização, e os principais sistemas de amortização disponíveis no mercado mundial.
Conceito de Empréstimo
Com base na explicação que temos o empréstimo, podemos definir que este conceito o comprador poder fazer uso deste valor, sempre precisar declarar qual o bem que será adquirido, para o contratante. Neste quesito a negociação se torna livre. O que chama atenção nesta negociação, e que pelo fato deste vínculo não apresentar nenhum típico de garantia, a taxa de juros é negociada em um valor muito mais elevado (LENDICO, 2015).
Conceito de Financiamento
O financiamento é um crédito que o solicitante ao requerer tal valor, o mesmo precisa apresentar ou comprovar qual o bem será adquirido. Este modelo de solicitação é muito usado em compra de Imóveis e Móveis, onde os valores são altos para compra. Um fato importante, é que as taxas que sao negociadas no crédito, sao bem menores que na modalidade de Empréstimo, daí a importância de conhecer as taxas de juros, pois as demandas de ofertantes que são os bancos/financeiras são bem variadas, o que possibilita negociar um bom valor (LENDICO, 2015).
Conceito de saldo devedor
Saldo devedor ou saldo negativo se refere ao valor que a pessoa física ou jurídica gasta além do dinheiro dela própria na conta. Ou seja, é um crédito que o banco dá ao cliente. Quando a conta zera, ao invés do banco bloquear a movimentação, ele passa a cobrir os gastos que são realizados. Assim, o saldo da conta pode passar de positivo para negativo, ficando o cliente devendo ao banco a quantia em que ultrapassou o seu próprio saldo. O banco pode lucrar com a operação, com a cobrança de juros, ou oferecer um prazo para a devolução do dinheiro, dentro de um determinado limite, sem a cobrança de juro, conforme o pacote de serviços da conta do cliente (KONKERO, 2016).
Conceito de amortização
Quando se vê a palavra “Amortização”, logo pensa-se que será uma matéria/sistema, dentro da matemática financeira que vai tirar noites e noites de sono, para entender o que significa e analisa-se qual finalidade tem esta matéria. No decorrer do estudo, observa-se que este módulo está mais próximo do que se imaginou, como por exemplo na aquisição de imóveis, veículos e outros bens. A dívida surge quando compramos um bem sem termos o recurso financeiro para pagá-lo imediatamente. A amortização é o procedimento que extingue a dívida através de pagamentos periódicos. Os pagamentos podem incluir o reembolso do capital, o pagamento dos juros, ou ambos (PORTAL DO EMPRÉSTIMO, 2017).
Sistemas de amortização
Dentre os sistemas de amortização existentes destacam-se (ADMINISTRADORES, 2017; BRANCO, 2010, p.186-187; INFO ESCOLA, 2017):
- sistema de pagamento único:
- ocorre um único pagamento no final do período contratado, contendo o capital mais os juros.
- sistema de pagamento variável:
- ocorrem vários pagamentos diferentes durante o período, às vezes somente de juros, outras incluindo juros e capital.
- sistema americano:
- ocorre um único pagamento ao final do período, mas os juros são calculados em várias etapas durante o período.
- sistema de amortização constante (SAC):
- os juros e o capital são calculados uma vez e divididos em parcelas para o período.
- sistema price ou francês:
- são geralmente aplicados em financiamento de bens de consumo; todas as parcelas são iguais e com os juros já embutidos.
- sistema de amortização misto:
- é calculado pelos métodos SAC e price; obtém uma média aritmética das prestações dos dois sistemas, chegando ao valor da prestação do sistema misto.
- sistema alemão:
- pagam-se os juros antecipadamente com prestações iguais, com exceção do primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no instante da operação.
- Sistema de amortização crescente (SACRE)
- foi criado pela Caixa Econômica Federal (CEF) para ser utilizado em suas linhas de crédito do Sistema Financeiro de Habitação (SFH). Foi desenvolvido para permitir maior amortização do valor emprestado, com redução simultânea da parcela de juros sobre o saldo devedor. As prestações mensais são calculadas com base no saldo devedor existente no início de cada período de 12 meses.
DESENVOLVIMENTO
SISTEMA SAC
Conceito
As parcelas de amortização no sistema Sistema de Amortização Constante (SAC) são constantes durante o período de amortizações. Com isso, o financiamento é pago em parcelas que são uniformemente decrescentes, cada uma composta por uma parte de amortização e uma de juros. Assim, os juros dos períodos são uniformemente decrescentes (BRANCO, 2010, p. 178).
O sistema SAC é comumente utilizado por bancos comerciais em financiamentos imobiliários e, em alguns casos, em empréstimos para empresas privadas por meio de entidades governamentais (SAMANEZ, 2007, p. 155)
Cálculos
Para exemplificar os cálculos utilizados no Sistema SAC vamos utilizar o exemplo abaixo.
Se Ane obter um empréstimo de R$ 30.000,00 em uma financeira e pagar em 5 parcelas iguais por mensais pelo sistema de amortização constante (SAC), a taxa de 3% ao mês, como será montada a tabela SAC, contendo o juros, as amortizações, e os valores da prestação? Considere 0 de entrada.
Resolução
Como o sistema é de amortização constante, o valor de todas as amortizações em cada período será igual. Basta dividir o valor do capital pelo número de prestações (BRASIL ESCOLA, 2017).
Amortização = Capital / 5 = R$ 30.000,00 / 5 = R$ 6.000,00
Assim, o saldo devedor de cada período será de:
- mês 1: R$ 30.000,00 - (R$ 6.000,00) = R$ 24.000,00
- mês 2: R$ 24.000,00 - (R$ 6.000,00) = R$ 18.000,00
- mês 3: R$ 18.000,00 - (R$ 6.000,00) = R$ 12.000,00
- mês 4: R$ 12.000,00 - (R$ 6.000,00) = R$ 6.000,00
- mês 5: R$ 6.000,00 - (R$ 6.000,00) = R$ 0,00
Os juros irão incidir sobre o saldo devedor de cada período:
- mês 1: R$ 30.000,00 * 0,03 = R$ 900,00
- mês 2: R$ 24.000,00 * 0,03 = R$ 720,00
- mês 3: R$ 18.000,00 * 0,03 = R$ 540,00
- mês 4: R$ 12.000,00 * 0,03 = R$ 360,00
- mês 5: R$ 6.000,00 * 0,03 = R$ 180,00
Tabelas
Com o valor obtido para a prestação, juros e amortização, pode-se então preencher os dados da Tabela SAC, abaixo.
Mês
|
Saldo devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
0
|
30.000,00
|
-
|
-
|
-
|
1
|
24.000,00
|
6.000,00
|
30.000,00*0,03 = 900,00
|
6.900,00
|
2
|
18.000,00
|
6.000,00
|
24.000,00*0,03 = 720,00
|
6.720,00
|
3
|
12.000,00
|
6.000,00
|
18.000,00*0,03 = 540,00
|
6.540,00
|
4
|
6.000,00
|
6.000,00
|
12.000,00*0,03 = 360,00
|
6.360,00
|
5
|
0,00
|
6.000,00
|
6.000,00*0,03 = 180,00
|
6.180,00
|
Total
|
-
|
30.000,00
|
2.700,00
|
32.700,00
|
Fonte: Elaboração própria.
Gráficos
A partir dos dados calculados, pode-se obter a análise gráfica dos valores e verificar como se dá o financiamento realizado pela Ane com a utilização do sistema de amortização constante (SAC).
Gráfico 1: valores no financiamento SAC por mês
- Análise gráfica de prestações: como as prestações não são constantes no sistema SAC, mas sim decrescentes, o gráfico das prestações será uma linha com tendência de queda.
- Análise gráfica dos juros: como os juros incidem sobre o saldo devedor, e ele se reduz ao longo do tempo, eles ficam cada vez menores quando se aproximam do término do período contratado.
- Análise gráfica das amortizações: como o valor das amortizações no sistema SAC é constante, o gráfico das amortização é uma linha reta, sem oscilações.
- Análise gráfica do saldo devedor: como as amortizações apresentam valor constante ao longo do tempo, o gráfico de saldo devedor fica exatamente igual a uma reta.
SISTEMA PRICE
Conceito
Pelo sistema francês de amortização, também conhecido como sistema price, a dívida é liquidada por meio de prestações. O devedor obriga-se a saldar o débito por uma série de pagamentos idênticos e que devem ser efetuados periodicamente (FARO, 1989, p. 225).
Ele consiste no pagamento de empréstimos ou financiamentos com prestações iguais e períodos constantes. É o sistema mais utilizado pelas instituições financeiras e comércio em geral. É chamado de sistema francês por ter sido inventado na frança aproximadamente no século XVIII, pelo matemático inglês Richard Price. A Tabela Price trata-se de um caso específico derivado do sistema francês de amortização (BRANCO, 2010, p. 168-169).
Cálculos
Para exemplificar os cálculos utilizados no Sistema Price vamos utilizar o exemplo abaixo, utilizado para a exemplificação do sistema SAC na seção anterior, o que permitirá uma comparação posterior entre os dois sistemas.
Se Ane obter um empréstimo de R$ 30.000,00 em uma financeira e, ao invés de pagar em 5 parcelas iguais mensais pelo sistema de amortização constante (SAC), optar pelo pagamento no sistema Price, a taxa de 3% ao mês, como será montada a Tabela Price, contendo juros, amortizações, e os valores da prestação?
Resolução:
Para responder à questão é preciso realizar o cálculo do valor fixo de cada uma das 5 prestações. O valor pode ser obtido a partir da seguinte equação (MUNDO EDUCAÇÃO, 2017):
P = PV * ((1+i)n*i)/((1+i)n-1)
onde:
P = valor da prestação
PV = Valor presente
n = número de parcelas
i = taxa de juros
Utilizando então a equação obtém-se:
P = 30000 * ((1+0,03)5*0,03)/((1+0,03)5-1)
Assim, o valor de P obtido é:
P = 6550,64 reais
Como tratam-se de 5 parcelas, o valor total a ser pago será de R$ 32.753,19. Como o montante tomado em empréstimo foi de R$ 30.000,00, o valor total a ser pago de juros será de R$ 2.753,19.
O saldo devedor de cada período pode ser obtido deduzindo-se do capital o valor amortizado, que é o valor da prestação menos os juros do período:
- mês 1: R$ 30.000,00 - (R$ 6.550,64 - R$ 30.000,00 * 0,03) = R$ 24.349,36
- mês 2: R$ 24.349,36 - (R$ 6.550,64 - R$ 24.349,36 * 0,03) = R$ 18.529,21
- mês 3: R$ 18.529,21 - (R$ 6.550,64 - R$ 18.529,21 * 0,03) = R$ 12.534,45
- mês 4: R$ 12.534,45 - (R$ 6.550,64 - R$ 12.534,45 * 0,03) = R$ 6.359,84
- mês 5: R$ 6.359,84 - (R$ 6.550,64 - R$ 6.359,84 * 0,03) = R$ 0,00
Os juros podem ser calculados a partir do saldo devedor, da seguinte maneira:
- mês 1: R$ 30.000,00 * 0,03 = R$ 900,00
- mês 2: R$ 24349,36 * 0,03 = R$ 730,48
- mês 3: R$ 18529,21 * 0,03 = R$ 555,88
- mês 4: R$ 12534,45 * 0,03 = R$ 376,03
- mês 5: R$ 6359,84 * 0,03 = R$ 190,80
Tabelas
Com o valor obtido para a prestação, juros e amortização, pode-se então preencher os dados da Tabela Price, abaixo.
Mês
|
Prestação
|
Juros
|
Amortização
|
Saldo devedor
|
1
|
6.550,64
|
900,00
|
5.650,64
|
24.349,36
|
2
|
6.550,64
|
730,48
|
5.820,16
|
18.529,21
|
3
|
6.550,64
|
555,88
|
5.994,76
|
12.534,45
|
4
|
6.550,64
|
376,03
|
6.174,60
|
6.359,84
|
5
|
6.550,64
|
190,80
|
6.359,84
|
0
|
Total
|
32.753,19
|
2.753,19
|
30.000,00
|
Fonte: Elaboração própria.
Gráficos
A partir dos dados calculados, pode-se obter a análise gráfica dos valores e verificar como se dá o financiamento realizado pela Ane, com o sistema Price.
Gráfico 2: valores no financiamento Price por mês
A análise do Gráfico 2 permite o acompanhamento de como ocorre o sistema Price:
- Análise gráfica de prestações: como as prestações são constantes no sistema Price, o gráfico será uma linha constante nos períodos de 1 a 5.
- Análise gráfica dos juros: como os juros incidem sobre o saldo devedor, e ele se reduz ao longo do tempo, logo os juros ficam cada vez menores quando se aproximam do término do período contratado.
- Análise gráfica das amortizações: como o valor dos juros é reduzido com o passar do tempo, e o valor da prestação é constante, logo o valor das amortizações aumenta com o passar do tempo.
- Análise gráfica do saldo devedor: apesar das amortizações não terem valor constante ao longo do tempo, o gráfico de saldo devedor ficou semelhante a uma reta, mas é possível observar que quanto maior a amortização, mas se inclina a curva do saldo devedor.
CONCLUSÕES
Comparação entre os dois sistemas e em que situação se deve optar por cada um: Price ou SAC?
A conclusão a que se pode chegar ao comparar os sistemas SAC e PRICE é que caso o comprador consiga desembolsar uma quantia maior no início do financiamento, será mais vantajoso para ele optar pelo financiamento no sistema SAC, no qual pagará menos juros. A vantagem do sistema PRICE ocorre quando se busca uma parcela inicial menor, mesmo sabendo-se que os juros totais a serem pagos serão maiores (UOL ECONOMIA, 2008).
O que os exemplos trabalhados mostram é justamente a diferença da situação de quando se pode realizar abatimentos maiores na dívida pelo sistema SAC, ou quando se opta pelo financiamento regulado com valor constante na tabela Price.
O sistema SAC reduz o valor total dos juros, mas exige um esforço maior do cliente para o pagamento das prestações iniciais do empréstimo ou financiamento.
O sistema Price, apesar dos juros maiores, conta com um valor constante ao longo do tempo, o que pode ser útil para um cliente que tem uma renda fixa e deseja aplicá-la no pagamento de um determinado investimento.
Enquanto o SAC oferece menores juros, o Price dá uma parcela fixa. Há que se verificar em cada caso qual é a melhor a opção a se escolher, conforme a situação econômica do cliente.
REFERÊNCIAS
ADMINISTRADORES. Sistema de amortização. Disponível em: <http://www.administradores.com.br/artigos/negocios/sistema-de-amortizacao/23225//>. Acesso em: 04 Nov. 2017.
BANCO CENTRAL. Museu de valores do banco central. Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/htms/origevol.asp>. Acesso em: 07 Nov. 2017.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
BRASIL ESCOLA. SAC: Sistema de Amortizações Constantes. Disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/sac-sistema-amortizacoes-constantes.htm>. Acesso em: 07 Nov. 2017.
CASA DA MOEDA. Origem do dinheiro. Disponível em: <http://www.casadamoeda.gov.br/portal/socioambiental/cultural/origem-do-dinheiro.html>. Acesso em: 07 Nov. 2017.
FARO. Clovis. Matemática Financeira. 9 ed. São Paulo: Atlas, 1989, p. 225.
INFO ESCOLA. Amortização. Disponível em: <https://www.infoescola.com/economia/amortizacao/>. Acesso em: 04 Nov. 2017.
KONKERO. Saldo negativo / saldo devedor - o que é e o que significa. Disponível em: <https://www.lendico.com.br/blog/qual-a-diferenca-entre-emprestimo-e-financiamento/>. Acesso em: 06 Nov. 2017.
LENDICO. Qual A Diferença Entre Empréstimo E Financiamento. Disponível em: <https://www.lendico.com.br/blog/qual-a-diferenca-entre-emprestimo-e-financiamento/>. Acesso em: 06 Nov. 2017.
MUNDO EDUCAÇÃO. Tabela Price. Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tabela-price.htm>. Acesso em: 06 Nov. 2017.
PORTAL DO EMPRÉSTIMO. Amortização de Empréstimo Pessoal: Como funciona? Disponível em: <https://www.portaldoemprestimo.com/amortizacao-de-emprestimo-pessoal/>. Acesso em: 07 Nov. 2017.
RESISTIR. Uma breve história dos empréstimos. Disponível em: <https://resistir.info/financas/dinheiro_couesbouc.html>. Acesso em: 07 Nov. 2017.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira. São Paulo: Prentice Hall, 2002.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira. São Paulo: Prentice Hall, 2007.
UOL ECONOMIA. Qual é a melhor forma de amortização: SAC ou Tabela Price? Disponível em: <https://economia.uol.com.br/financas-pessoais/noticias/redacao/2008/10/16/3-qual-e-a-melhor-forma-de-amortizacao-sac-ou-tabela-price.htm>. Acesso em: 07 Nov. 2017.
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