sábado, 6 de abril de 2019
Cálculo I - aula 3 continuidade intervalo
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 5 de abril de 2019
Me Salva! LIM14 - Continuidade
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quinta-feira, 4 de abril de 2019
Teorema do Primeiro Limite Fundamental
Teorema do Primeiro Limite Fundamental
limx → 0 sen(x)/x = 1
Ele é obtido a partir do uso do Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto), da forma descrita abaixo.
Consideremos a figura abaixo. Nela observa-se o arco AC, e os triângulos BOC e AOG, e o setor circular AOC.
Podemos dizer claramente que a área do triângulo BOC é menor que a área do setor circular AOC, que é menor que a área do triângulo AOG.
Considerando:
Área do triângulo BOC = AΔBOC
Área do setor circular AOC = ASCAOC
Área do triângulo AOG = AΔAOG
Assim:
AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG
A partir dos valores apresentados, podemos relacionar as áreas da maneira descrita abaixo.
Lembrando que:
* a área do triângulo é igual a base vezes a altura sobre dois: A = b . h / 2;
* e a área do setor circular é igual ao lado vezes o raio sobre dois, onde o lado L pode ser obtido a partir da multiplicação do ângulo (que é x) pelo raio (que é 1): A = L . R / 2, onde L = x . 1 = x. Logo A = x / 2
AΔBOC = cos(x) . sen(x) / 2
ASCAOC = x / 2
AΔAOG = 1 . tg(x) / 2 = tg(x) / 2 = (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG:
cos(x) . sen(x) / 2 ≤ x / 2 ≤ (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como está tudo dividido por 2, pode-se simplificar:
cos(x) . sen(x) ≤ x ≤ sen(x) / cos(x)
Invertendo-se tudo:
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ 1 / (sen(x) / cos(x))
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ cos(x) / sen(x)
Multiplicando-se todos os membros por sen(x):
1 / cos(x) ≥ (sen(x) / x) ≥ 1 / cos(x)
Aplicando-se o limite com o Teorema do Confronto, obtém-se:
limx → 0 1 / cos(x) ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ limx → 0 1 / cos(x)
1/1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1/1
1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1
Assim, "espremendo" limx → 0 (sen(x) / x) entre 1 e 1, obtém-se que:
limx → 0 sen(x) / x = 1
Referência: http://dcm.ffclrp.usp.br/~jair/listas/Aula_jmaaFundLim.pdf
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
limx → 0 sen(x)/x = 1
Ele é obtido a partir do uso do Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto), da forma descrita abaixo.
Consideremos a figura abaixo. Nela observa-se o arco AC, e os triângulos BOC e AOG, e o setor circular AOC.
Podemos dizer claramente que a área do triângulo BOC é menor que a área do setor circular AOC, que é menor que a área do triângulo AOG.
Considerando:
Área do triângulo BOC = AΔBOC
Área do setor circular AOC = ASCAOC
Área do triângulo AOG = AΔAOG
Assim:
AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG
A medida do segmento OC é conhecida, pois é o raio do ciclo trigonométrico, igual a 1.
A medida do segmento BC é o valor do seno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será sen(x).
A medida do segmento OB é o valor do cosseno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será cos(x).
A medida do segmento AG é o valor da tangente para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será tg(x).
A partir dos valores apresentados, podemos relacionar as áreas da maneira descrita abaixo.
Lembrando que:
* a área do triângulo é igual a base vezes a altura sobre dois: A = b . h / 2;
* e a área do setor circular é igual ao lado vezes o raio sobre dois, onde o lado L pode ser obtido a partir da multiplicação do ângulo (que é x) pelo raio (que é 1): A = L . R / 2, onde L = x . 1 = x. Logo A = x / 2
AΔBOC = cos(x) . sen(x) / 2
ASCAOC = x / 2
AΔAOG = 1 . tg(x) / 2 = tg(x) / 2 = (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG:
cos(x) . sen(x) / 2 ≤ x / 2 ≤ (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como está tudo dividido por 2, pode-se simplificar:
cos(x) . sen(x) ≤ x ≤ sen(x) / cos(x)
Invertendo-se tudo:
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ 1 / (sen(x) / cos(x))
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ cos(x) / sen(x)
Multiplicando-se todos os membros por sen(x):
1 / cos(x) ≥ (sen(x) / x) ≥ 1 / cos(x)
Aplicando-se o limite com o Teorema do Confronto, obtém-se:
limx → 0 1 / cos(x) ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ limx → 0 1 / cos(x)
1/1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1/1
1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1
Assim, "espremendo" limx → 0 (sen(x) / x) entre 1 e 1, obtém-se que:
limx → 0 sen(x) / x = 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
SAFRAPAY Maquininha com PEGADINHA - Tome CUIDADO - # PAGSEGURO
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
2ª Progressão de aprendizagem de Cálculo I
2ª Progressão de aprendizagem de Cálculo I
Questão 1) Nos gráficos abaixo, determine os limites laterais limx → 2+ f(x) e limx → 2- f(x) da função dada e verifique se limx → 2 f(x) existe.
[Res.]
A questão já deu o passo a passo para a própria resolução. Primeiro, deve-se calcular os limites laterais (visualizar no gráfico), tanto pela esquerda quanto pela direita do ponto em destaque na figura. Caso os limites laterais sejam iguais, haverá limite no ponto.
Gráfico 1)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = -2
limx → 2+ f(x) = 1
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Gráfico 2)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 4
limx → 2+ f(x) = 2
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Gráfico 3)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 2
limx → 2+ f(x) = 2
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = 2, pois os limites laterais são iguais para o ponto.
Gráfico 4)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 2
limx → 2+ f(x) = ∞
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Questão 2) Calcule cada um dos limites abaixo:
a) limx → 0 tg(x)/x
[Res.]
Pode-se observar que não é possível calcular diretamente o limite da função, pois tg(0)/0 é uma divisão por 0, o que não se pode realizar.
Então, é necessário ajustar a função de modo a poder realizar o cálculo do limite.
f(x) = tg(x) / x
f(x) = [sen(x) / cos(x)] / x
f(x) = sen(x) / [x . cos(x)]
f(x) = [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
-----
Agora vale um lembrete do Teorema do Primeiro Limite Fundamental:
limx → 0 sen(x)/x = 1
Ele é obtido a partir do uso do Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto), da forma descrita abaixo.
Consideremos a figura abaixo. Nela observa-se o arco AC, e os triângulos BOC e AOG, e o setor circular AOC.
Podemos dizer claramente que a área do triângulo BOC é menor que a área do setor circular AOC, que é menor que a área do triângulo AOG.
Considerando:
Área do triângulo BOC = AΔBOC
Área do setor circular AOC = ASCAOC
Área do triângulo AOG = AΔAOG
Assim:
AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG
A partir dos valores apresentados, podemos relacionar as áreas da maneira descrita abaixo.
Lembrando que:
* a área do triângulo é igual a base vezes a altura sobre dois: A = b . h / 2;
* e a área do setor circular é igual ao lado vezes o raio sobre dois, onde o lado L pode ser obtido a partir da multiplicação do ângulo (que é x) pelo raio (que é 1): A = L . R / 2, onde L = x . 1 = x. Logo A = x / 2
AΔBOC = cos(x) . sen(x) / 2
ASCAOC = x / 2
AΔAOG = 1 . tg(x) / 2 = tg(x) / 2 = (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG:
cos(x) . sen(x) / 2 ≤ x / 2 ≤ (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como está tudo dividido por 2, pode-se simplificar:
cos(x) . sen(x) ≤ x ≤ sen(x) / cos(x)
Invertendo-se tudo:
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ 1 / (sen(x) / cos(x))
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ cos(x) / sen(x)
Multiplicando-se todos os membros por sen(x):
1 / cos(x) ≥ (sen(x) / x) ≥ 1 / cos(x)
Aplicando-se o limite com o Teorema do Confronto, obtém-se:
limx → 0 1 / cos(x) ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ limx → 0 1 / cos(x)
1/1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1/1
1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1
Assim, "espremendo" limx → 0 (sen(x) / x) entre 1 e 1, obtém-se que:
limx → 0 sen(x) / x = 1
Referência: http://dcm.ffclrp.usp.br/~jair/listas/Aula_jmaaFundLim.pdf
----
Retomando a resolução da questão
f(x) = [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
Vamos tentar agora solucionar a questão.
limx → 0 tg(x)/x = limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1 . (1 / 1)
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1 . 1
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1
Assim, encontra-se a solução da questão:
limx → 0 tg(x)/x = 1
b) limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
[Res.]
Se tentarmos resolver diretamente, obteremos para o denominador [x + sen(2x)] = 0 + sen (0) = 0. Assim, haverá divisão por 0, o que impossibilita encontrar o limite no ponto. Portanto, faz-se necessário modificar a função, de modo que ela permite encontrar o limite.
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
f(x) = [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
f(x) = [(x - sen(3x)) . 1/(3x)] / [(x + sen(2x)) . 1/(3x)]
f(x) = [(1/3 - sen(3x)/3x)] / [(1/3 + sen(2x)/3x)]
f(x) = [(1/3 - sen(3x)/3x) . (3/2)] / [(1/3 + sen(2x)/3x) . (3/2)]
f(x) = [(1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x))] / [(1/2 + sen(2x)/(2x))]
Pronto. Agora já deve ser possível calcular o limite. Vamos ver.
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)] = limx → 0 [(1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x))] / [(1/2 + sen(2x)/(2x))]
= [limx → 0 (1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x)] / [limx → 0 (1/2 + sen(2x)/(2x)] =
= [limx → 0 1/2 - limx → 0 (3/2) . limx → 0 sen(3x)/3x] / [limx → 0 1/2 + limx → 0 sen(2x)/(2x)]
= [1/2 - (3/2) . 1] / [1/2 + 1]
= [1/2 - 3/2] / [1/2 + 1]
= [(1-3)/2] / [(1+2)/2]
= (-2/2) / (3/2)
= -1 / (3/2)
= -2 /3
Assim, obtém-se o valor do limite para x = 0:
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)] = - 2 / 3
c) limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1)
[Res.]
Se tentarmos calcular o limite diretamente, obteremos um resultado do tipo -∞ / ∞, o que não é possível de calcular, pois não podemos determinar se os valores de infinito são iguais.
Assim, é preciso modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
Calculando por derivação é muito fácil:
f(x) = (1 - 2x³) / (x + 1)
f '(x) = -2 . 3 . x / 1 = -6 . x / 1 = -6 . x
Com x tendendo a ∞, o resultado será -6 . ∞ = -∞.
Agora vamos tentar calculando sem a derivada.
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1)
f(x) = (1 - 2x³) / (x + 1)
Precisamos nos concentrar em resolver o problema da divisão de - ∞ / ∞, que não é possível de calcular.
Se tirarmos o infinito do denominador será possível obter o limite da função. Para isso dividiremos os membros por x.
f(x) = [(1 - 2x³)/x] / [(x + 1)/x]
f(x) = [1/x - 2x²] / [1 + 1/x]
Calculando o limite:
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1) = limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = [1/∞ - 2∞²] / [1 + 1/∞]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = [0 - 2∞²] / [1 + 0]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - 2∞² / 1
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - 2∞²
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - ∞
Assim, obteve-se o limite da função:
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1) = - ∞
d) limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³)
[Res.]
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³)
Se tentarmos aplicar o limite diretamente, obteremos algo do tipo:
((-∞)² + (-∞) - 5) / (1 - 2(-∞) - (-∞)³) = -∞ / -∞, o que não é possível de calcular, pois não sabemos se os infinitos tem a mesma dimensão.
Assim, será necessário modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
Faremos uma tentativa dividindo o numerador e o denominador por 1 / x³.
f(x) = [(1/x³) . (x² + x - 5)] / [(1/x³) . (1 - 2x - x³)]
f(x) = [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1]
Agora, com a função modificada, vamos tentar aplicar o limite.
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³) = limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [1/-∞ + 1/(-∞)² - 5/(-∞)³] / [1/(-∞)³ - 2/(-∞)² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [0 + 1/∞² - 5/-∞³] / [1/-∞³ - 2/∞² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [0 + 0 - 0] / [0 - 0 - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = 0 / -1
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = 0
Assim:
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³) = 0
e) limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
[Res.]
Se tentarmos resolver o limite diretamente, iremos obter o seguinte:
(2 - (-∞)) / (7 + 6.(-∞)²)1/2 = ∞ / ∞, o que não é possível de calcular, pois não sabemos se os infinitos são iguais.
Assim, será necessário modificar a função, de modo a possibilitar o cálculo do limite.
f(x) = (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
Vamos tirar o infinito do numerador. Para isso, multiplicamos os dois membros por 1/x:
Questão 1) Nos gráficos abaixo, determine os limites laterais limx → 2+ f(x) e limx → 2- f(x) da função dada e verifique se limx → 2 f(x) existe.
[Res.]
A questão já deu o passo a passo para a própria resolução. Primeiro, deve-se calcular os limites laterais (visualizar no gráfico), tanto pela esquerda quanto pela direita do ponto em destaque na figura. Caso os limites laterais sejam iguais, haverá limite no ponto.
Gráfico 1)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = -2
limx → 2+ f(x) = 1
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Gráfico 2)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 4
limx → 2+ f(x) = 2
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Gráfico 3)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 2
limx → 2+ f(x) = 2
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = 2, pois os limites laterais são iguais para o ponto.
Gráfico 4)
Limites laterais
limx → 2- f(x) = 2
limx → 2+ f(x) = ∞
Limite no ponto
limx → 2 f(x) = não existe, pois os limites laterais são diferentes para o ponto.
Questão 2) Calcule cada um dos limites abaixo:
a) limx → 0 tg(x)/x
[Res.]
Pode-se observar que não é possível calcular diretamente o limite da função, pois tg(0)/0 é uma divisão por 0, o que não se pode realizar.
Então, é necessário ajustar a função de modo a poder realizar o cálculo do limite.
f(x) = tg(x) / x
f(x) = [sen(x) / cos(x)] / x
f(x) = sen(x) / [x . cos(x)]
f(x) = [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
-----
Agora vale um lembrete do Teorema do Primeiro Limite Fundamental:
limx → 0 sen(x)/x = 1
Ele é obtido a partir do uso do Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto), da forma descrita abaixo.
Consideremos a figura abaixo. Nela observa-se o arco AC, e os triângulos BOC e AOG, e o setor circular AOC.
Podemos dizer claramente que a área do triângulo BOC é menor que a área do setor circular AOC, que é menor que a área do triângulo AOG.
Considerando:
Área do triângulo BOC = AΔBOC
Área do setor circular AOC = ASCAOC
Área do triângulo AOG = AΔAOG
Assim:
AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG
A medida do segmento OC é conhecida, pois é o raio do ciclo trigonométrico, igual a 1.
A medida do segmento BC é o valor do seno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será sen(x).
A medida do segmento OB é o valor do cosseno para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será cos(x).
A medida do segmento AG é o valor da tangente para o ângulo da figura. Se considerarmos o ângulo como x, será tg(x).
A partir dos valores apresentados, podemos relacionar as áreas da maneira descrita abaixo.
Lembrando que:
* a área do triângulo é igual a base vezes a altura sobre dois: A = b . h / 2;
* e a área do setor circular é igual ao lado vezes o raio sobre dois, onde o lado L pode ser obtido a partir da multiplicação do ângulo (que é x) pelo raio (que é 1): A = L . R / 2, onde L = x . 1 = x. Logo A = x / 2
AΔBOC = cos(x) . sen(x) / 2
ASCAOC = x / 2
AΔAOG = 1 . tg(x) / 2 = tg(x) / 2 = (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como AΔBOC ≤ ASCAOC ≤ AΔAOG:
cos(x) . sen(x) / 2 ≤ x / 2 ≤ (1/2) . (sen(x) / cos(x))
Como está tudo dividido por 2, pode-se simplificar:
cos(x) . sen(x) ≤ x ≤ sen(x) / cos(x)
Invertendo-se tudo:
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ 1 / (sen(x) / cos(x))
1 / (cos(x) . sen(x)) ≥ (1 / x) ≥ cos(x) / sen(x)
Multiplicando-se todos os membros por sen(x):
1 / cos(x) ≥ (sen(x) / x) ≥ 1 / cos(x)
Aplicando-se o limite com o Teorema do Confronto, obtém-se:
limx → 0 1 / cos(x) ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ limx → 0 1 / cos(x)
1/1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1/1
1 ≥ limx → 0 sen(x) / x ≥ 1
Assim, "espremendo" limx → 0 (sen(x) / x) entre 1 e 1, obtém-se que:
limx → 0 sen(x) / x = 1
----
Retomando a resolução da questão
f(x) = [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
Vamos tentar agora solucionar a questão.
limx → 0 tg(x)/x = limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)]
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1 . (1 / 1)
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1 . 1
limx → 0 [sen(x) / x] . [1 / cos(x)] = 1
Assim, encontra-se a solução da questão:
limx → 0 tg(x)/x = 1
b) limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
[Res.]
Se tentarmos resolver diretamente, obteremos para o denominador [x + sen(2x)] = 0 + sen (0) = 0. Assim, haverá divisão por 0, o que impossibilita encontrar o limite no ponto. Portanto, faz-se necessário modificar a função, de modo que ela permite encontrar o limite.
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
f(x) = [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)]
f(x) = [(x - sen(3x)) . 1/(3x)] / [(x + sen(2x)) . 1/(3x)]
f(x) = [(1/3 - sen(3x)/3x)] / [(1/3 + sen(2x)/3x)]
f(x) = [(1/3 - sen(3x)/3x) . (3/2)] / [(1/3 + sen(2x)/3x) . (3/2)]
f(x) = [(1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x))] / [(1/2 + sen(2x)/(2x))]
Pronto. Agora já deve ser possível calcular o limite. Vamos ver.
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)] = limx → 0 [(1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x))] / [(1/2 + sen(2x)/(2x))]
= [limx → 0 (1/2 - (3/2) . sen(3x)/(3x)] / [limx → 0 (1/2 + sen(2x)/(2x)] =
= [limx → 0 1/2 - limx → 0 (3/2) . limx → 0 sen(3x)/3x] / [limx → 0 1/2 + limx → 0 sen(2x)/(2x)]
= [1/2 - (3/2) . 1] / [1/2 + 1]
= [1/2 - 3/2] / [1/2 + 1]
= [(1-3)/2] / [(1+2)/2]
= (-2/2) / (3/2)
= -1 / (3/2)
= -2 /3
Assim, obtém-se o valor do limite para x = 0:
limx → 0 [x - sen(3x)] / [x + sen(2x)] = - 2 / 3
c) limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1)
[Res.]
Se tentarmos calcular o limite diretamente, obteremos um resultado do tipo -∞ / ∞, o que não é possível de calcular, pois não podemos determinar se os valores de infinito são iguais.
Assim, é preciso modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
Calculando por derivação é muito fácil:
f(x) = (1 - 2x³) / (x + 1)
f '(x) = -2 . 3 . x / 1 = -6 . x / 1 = -6 . x
Com x tendendo a ∞, o resultado será -6 . ∞ = -∞.
Agora vamos tentar calculando sem a derivada.
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1)
f(x) = (1 - 2x³) / (x + 1)
Precisamos nos concentrar em resolver o problema da divisão de - ∞ / ∞, que não é possível de calcular.
Se tirarmos o infinito do denominador será possível obter o limite da função. Para isso dividiremos os membros por x.
f(x) = [(1 - 2x³)/x] / [(x + 1)/x]
f(x) = [1/x - 2x²] / [1 + 1/x]
Calculando o limite:
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1) = limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = [1/∞ - 2∞²] / [1 + 1/∞]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = [0 - 2∞²] / [1 + 0]
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - 2∞² / 1
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - 2∞²
limx → ∞ [1/x - 2x²] / [1 + 1/x] = - ∞
Assim, obteve-se o limite da função:
limx → ∞ (1 - 2x³) / (x + 1) = - ∞
d) limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³)
[Res.]
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³)
Se tentarmos aplicar o limite diretamente, obteremos algo do tipo:
((-∞)² + (-∞) - 5) / (1 - 2(-∞) - (-∞)³) = -∞ / -∞, o que não é possível de calcular, pois não sabemos se os infinitos tem a mesma dimensão.
Assim, será necessário modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
Faremos uma tentativa dividindo o numerador e o denominador por 1 / x³.
f(x) = [(1/x³) . (x² + x - 5)] / [(1/x³) . (1 - 2x - x³)]
f(x) = [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1]
Agora, com a função modificada, vamos tentar aplicar o limite.
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³) = limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [1/-∞ + 1/(-∞)² - 5/(-∞)³] / [1/(-∞)³ - 2/(-∞)² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [0 + 1/∞² - 5/-∞³] / [1/-∞³ - 2/∞² - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = [0 + 0 - 0] / [0 - 0 - 1]
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = 0 / -1
limx → -∞ [1/x + 1/x² - 5/x³] / [1/x³ - 2/x² - 1] = 0
Assim:
limx → -∞ (x² + x - 5) / (1 - 2x - x³) = 0
e) limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
[Res.]
Se tentarmos resolver o limite diretamente, iremos obter o seguinte:
(2 - (-∞)) / (7 + 6.(-∞)²)1/2 = ∞ / ∞, o que não é possível de calcular, pois não sabemos se os infinitos são iguais.
Assim, será necessário modificar a função, de modo a possibilitar o cálculo do limite.
f(x) = (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
Vamos tirar o infinito do numerador. Para isso, multiplicamos os dois membros por 1/x:
f(x) = (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x) . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x²)1/2 . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6.x²/x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(7/∞² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(0 + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = - 1 / (6)1/2
Assim, o limite da função é:
limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2 = - 1 / (6)1/2
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x) . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [(1/x) . (2 - x)] / [(1/x²)1/2 . (7 + 6.x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6.x²/x²)1/2]
f(x) = [2/x - 1] / [(7/x² + 6)1/2]
Agora é possível calcular o limite da função.
limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2 = limx → -∞ [2/x - 1] / [(7/x² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [2/(-∞) - 1] / [(7/(-∞)² + 6)1/2]limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(7/∞² + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = [0 - 1] / [(0 + 6)1/2]
limx → -∞ [2/x- 1] / [(7/x² + 6)1/2] = - 1 / (6)1/2
Assim, o limite da função é:
limx → -∞ (2 - x) / (7 + 6.x²)1/2 = - 1 / (6)1/2
f) limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1)
[Res.]
Se tentarmos calcular o limite diretamente, iremos encontrar uma divisão por 0, o que não é possível de calcular. Assim, será necessário modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1)
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1)
Realizando a divisão obtemos
Conforme a divisão:
(x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Então:
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Logo:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = limx → 1 x² + x + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1² + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1 + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 3
Assim, obteve-se a resposta da questão:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = 3
Questão 3) Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de f(x) = (x² + 1) / (x² - 1) e esboce seu gráfico.
[Res.]
Assíntotas verticais
As assíntotas verticais ocorrem quando:
(x² - 1) = 0
x² = 1
x = -1 ou x = +1
Assíntotas horizontais
As assíntotas horizontais ocorrem quando a função tende para - ∞ e + ∞. Assim, é necessário calcular o limite da função quando x → - ∞ e quando x → + ∞.
limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1)
Se formos tentar resolver diretamente chegaremos à seguinte situação no limite: ∞ / ∞. Dá vontade de dizer que isso é igual a 1, mas não necessariamente é, pois não conhecemos os valores exatos dos infinitos para dizer que eles são iguais. Só podemos dizer que são número muito grandes, mas não conseguimos dizer se são iguais.
Assim, precisamos modificar a função de modo que possibilite calcular o limite.
f(x) = (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = (1 / 1) . (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = [(1 / x²) / (1 / x²)] . [(x² + 1) / (x² - 1)]
f(x) = [(1 / x²) . (x² + 1)] / [(1 / x²) . (x² - 1)]
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Calculando o limite quando x tende a + ∞:
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Como limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → + ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = 1, a assíntota horizontal está em y = 1.
Gráfico da função
O gráfico da função é mostrado abaixo (obtido com o auxílio do GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing). Observa-se claramente que quando os valores de x tendem a - ∞ e + ∞ o valor de y tende a 1, mas sem tocar a linha de y = 1 (assíntota horizontal). E quando os valores de x tendem a -1 e a +1, os valores de y tendem a + ∞, mas sem chegarem aos valores de x = -1 e x = +1 (assintotas verticais).
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
[Res.]
Se tentarmos calcular o limite diretamente, iremos encontrar uma divisão por 0, o que não é possível de calcular. Assim, será necessário modificar a função de modo a possibilitar o cálculo do limite.
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1)
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1)
Realizando a divisão obtemos
 |
| Divisão de (x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1 |
(x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Então:
f(x) = (x³ - 1) / (x - 1) = x² + x + 1
Logo:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = limx → 1 x² + x + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1² + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 1 + 1 + 1
limx → 1 x² + x + 1 = 3
Assim, obteve-se a resposta da questão:
limx → 1 (x³ - 1) / (x - 1) = 3
Questão 3) Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de f(x) = (x² + 1) / (x² - 1) e esboce seu gráfico.
[Res.]
Assíntotas verticais
As assíntotas verticais ocorrem quando:
(x² - 1) = 0
x² = 1
x = -1 ou x = +1
Assíntotas horizontais
As assíntotas horizontais ocorrem quando a função tende para - ∞ e + ∞. Assim, é necessário calcular o limite da função quando x → - ∞ e quando x → + ∞.
limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1)
Se formos tentar resolver diretamente chegaremos à seguinte situação no limite: ∞ / ∞. Dá vontade de dizer que isso é igual a 1, mas não necessariamente é, pois não conhecemos os valores exatos dos infinitos para dizer que eles são iguais. Só podemos dizer que são número muito grandes, mas não conseguimos dizer se são iguais.
Assim, precisamos modificar a função de modo que possibilite calcular o limite.
f(x) = (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = (1 / 1) . (x² + 1) / (x² - 1)
f(x) = [(1 / x²) / (1 / x²)] . [(x² + 1) / (x² - 1)]
f(x) = [(1 / x²) . (x² + 1)] / [(1 / x²) . (x² - 1)]
f(x) = (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²)
Agora, vamos ao cálculo do limite da função modificada.
Calculando o limite quando x tende a - ∞:
limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²)
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = [1 + 1 / (- ∞)²] / [1 - 1 / (- ∞)²]
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 1 / ∞²) / (1 - 1 / ∞²)
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 0) / (1 - 0)
limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1 / 1limx → - ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Calculando o limite quando x tende a + ∞:
limx → + ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²)
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = [1 + 1 / (+ ∞)²] / [1 - 1 / (+ ∞)²]
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 1 / ∞²) / (1 - 1 / ∞²)
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = (1 + 0) / (1 - 0)
limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1 / 1limx → + ∞ (1 + 1 / x²) / (1 - 1 / x²) = 1
Como limx → - ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = limx → + ∞ (x² + 1) / (x² - 1) = 1, a assíntota horizontal está em y = 1.
Gráfico da função
O gráfico da função é mostrado abaixo (obtido com o auxílio do GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing). Observa-se claramente que quando os valores de x tendem a - ∞ e + ∞ o valor de y tende a 1, mas sem tocar a linha de y = 1 (assíntota horizontal). E quando os valores de x tendem a -1 e a +1, os valores de y tendem a + ∞, mas sem chegarem aos valores de x = -1 e x = +1 (assintotas verticais).
 |
| Gráfico da função obtido com o auxílio do Geo Gebra |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
1ª Progressão de aprendizagem de Cálculo I
1ª Progressão de aprendizagem de Cálculo I
1) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).
a) Determine a equação da reta r.
[Res.]
A equação da reta deve ser do tipo:
y = ax + b
Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax + b
- 24 = a (-4) + b, o que chamaremos de equação 1.
Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax + b
0 = a (2) + b, o que chamaremos de equação 2.
Com a equação 1 e a equação 2 é possível montar um sistema e encontrar os valores de a e b.
0 = a (2) + b (Equação 2)
b) Determine a equação dessa parábola.
[Res.]
A equação da parábola deve ser do tipo:
y = ax² + bx + c
É imporante ressaltar aqui que os valores de a e b da questão anterior (relacionados à reta) não estão relacionados a questão presente (equação da parábola).
Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax² + bx + c
-24 = a(-4)² + b(-4) + c
-24 = 16a - 4b + c, o que chamaremos de equação 1.
Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(2)² + b(2) + c
0 = 4a + 2b + c, o que chamaremos de equação 2.
Analisando-se o gráfico, é possível perceber que a parábola passa pelo ponto (0, 0), o que permite obter uma terceira equação.
Substituindo os valores do ponto B(0, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(0)² + b(0) + c
Como encontrou-se que o valor de c = 0, pode-se substituí-lo nas equações 1 e 2.
-24 = 16a - 4b + c (Equação 1)
-24 = 16a - 4b + 0
-24 = 16a - 4b (Equação 1')
0 = 4a + 2b + c (Equação 2)
0 = 4a + 2b + 0
0 = 4a + 2b (Equação 2')
Agora pode-se fazer um sistema de equações para encontrar os valores de a e b, a partir das equações 1' e 2'.
(Equação 1') + 2 . (Equação 2')
-24 + 2 . 0 = 16a + 2 . 4a - 4b + 2 . 2b
-24 + 0 = 16a + 8a - 4b + 4b
-24 = 24a + 0b
-24 = 24 a
a = -1
Substituindo a = -1 na equação 1', pode-se encontrar o valor de b.
-24 = 16a - 4b
-24 = 16(-1) - 4b
-24 = -16 - 4b
-8 = -4b
b = -8 / -4
b = 2
Com os valores de a = -1, b = 2 e c = 0, pode-se montar a equação da parábola.
y = ax² + bx + c
y = (-1)x² + 2x + 0
y = -x² + 2x
Logo, a equação da parábola é:
y = -x² + 2x
2) Nos gráficos de 1 a 6, determine o limx →a f(x) caso o limite exista.
[Res.]
Para existir o limite no ponto, ele deve existir tanto pela esquerda quanto pela direita, e os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Por isso, vamos observar os limites pela esquerda e pela direita de cada gráfico e ver se eles são iguais, para ver se existe e qual é o limite em cada figura.
Gráfico 1)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
Gráfico 2)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
3) Calcule cada um dos limites abaixo:
a) limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
[Res.]
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
Como a equação está dividida por h, não é possível calcular o limite do jeito que ela está, pois não é possível dividir por 0 (quando h tende a 0).
Assim, é preciso modificar a equação, para encontrar o limite.
Comecemos a modificar então, de modo a tentar encontrar uma equação em que seja possível verificar o limite.
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h . 1 / 1
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h . (5h + 4)1/2 + 2) / (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (((5h + 4)1/2)² - (2)²) / h . 1 / (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (5h + 4 - 4) / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (5h + 0) / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5h / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2)
Nessa nova forma da função, vamos tentar encontrar o limite:
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h = limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2) = 5 / ((5 . 0 + 4)1/2 + 2)
= 5 / ((0 + 4)1/2 + 2)
= 5 / (41/2 + 2)
= 5 / (2 + 2)
= 5 / 4
Assim, obtém-se a resposta da questão:
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h = 5 / 4
b) limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)
[Res.]
Se tentarmos resolver diretamente o limite, obteremos para a parte do denominador o seguinte valor:
(x² - 5x + 4) = (4² - 5.4 + 4) = 16 - 20 + 4 = 0
Como não é possível dividir por 0, logo não se pode calcular o limite da função diretamente. Primeiro é preciso modifícá-la de modo a poder calcular o limite.
limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)
Analisando separadamente o numerador e o denominador, podemos verificar que:
(x² - 16) = (x + 4) . (x - 4)
(x² - 5x + 4) = (x - 1) (x - 4)
Assim, limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4) = limx →4 ((x + 4) . (x - 4)) / ((x - 1) (x - 4))
Simplificando a equação, obtém-se:
limx →4 (x + 4) / (x - 1)
Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando x tende a 4.
(x - 1) = 4 - 1 = 3
Como a divisão por 3 é possível, agora pode-se encontrar o valor do limite da função, pois não há mais nenhuma restrição ao cálculo do limite. Caso houvesse mais alguma restrição, seria necessário continuar a modificar a função até que o limite pudesse ser calculado.
limx →4 (x + 4) / (x - 1) = (4 + 4) / (4 - 1) = 8 / 3
c) limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1)
[Res.]
Como o denominador da função é igual a 1, não há restrições de divisão na função que impeçam o cálculo do limite. Como não se observa mais nenhum tipo de restrição, parece possível o cálculo direto do limite.
Calculando o limite da função quando x tende a 0.
limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = 3(0)³ - 18(0)² + (0) - 1 = 0 - 0 + 0 - 1 = -1
Logo,
limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = -1
d) limx →0 x.cos(1/x)
[Res.]
Vamos analisar o que acontece com a função quando x tende a 0.
x.cos(1/x) = (0).cos(1/0)
Como não é possível dividir por 0, não é possível calcular o limite do jeito que a função está.
Assim, será necessário modificar a função, até que seja possível calcular o limite.
Como é a parte relacionada ao cosseno que está impossibilitando o cálculo do limite, uma forma de tentar encontrar o limite poderia passar pela substituição do cosseno por algo equivalente.
Vamos relembrar a seguinte expressão e ver se é possível a partir dela encontrar alguma relação com cos(1/x):
sen²(x) + cos²(x) = 1
Essa equação pode ser obtida a partir do Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c², onde a é hipotenusa e b e c são catetos de um triângulo ABC com ângulo reto em A.
Assim:
sen (B) = b/a
cos (B) = c/a
Demonstrando:
sen²(B) + cos²(B) = (b/a)² + (c/a)²
sen²(B) + cos²(B) = b²/a² + c²/a²
sen²(B) + cos²(B) = (b² + c²) / a²
sen²(B) + cos²(B) = a² / a²
sen²(B) + cos²(B) = 1
Referência: http://stoa.usp.br/semirames/weblog/92100.html
A partir da relação trigonométrica demonstrada acima, vamos tentar simplificar a equação para possibilitar a resolução do limite.
Como sen²(x) + cos²(x) = 1:
cos²(x) = 1 - sen²(x)
cos(x) = (1 - sen²(x))1/2
Como x é apenas o ângulo, pode-se reescrever a relação obtida da seguinte forma:
cos(1/x) = (1 - sen²(1/x))1/2
Retomando o limite e fazendo a substituição pela relação encontrada:
limx →0 x.cos(1/x)
limx →0 x.(1 - sen²(1/x))1/2
Agora ao analisar a equação modificada é possível perceber, que apesar de toda a modificação, ainda não foi possível calcular o limite, pois a equação modificada também apresenta a divisão por 0, que não é possível de ser executada.
Será então necessário resolver o problema com outra técnica.
Vamos tentar agora solucionar o limite pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto. A ideia é simples e bem útil.
Para a aplicação do Teorema do Confronto, devemos analisar a função em que se deseja aplicar o limite.
Como se deseja encontrar o limite de limx →0 x.cos(1/x), a função em questão é:
f(x) = x.cos(1/x)
Vamos dividir a função em duas partes e analisar a parte relacionada com o cosseno.
Sabe-se que a função cosseno varia de -1 a 1, passando pelo 0 (conforme as relação trigonométricas do círculo trigonométrico). Assim, -1 ≤ cos(x) ≤ 1. Como x pode ser qualquer ângulo, a relação abaixo também será válida:
-1 ≤ cos(1/x) ≤ 1
Se multiplicarmos os 3 membros da inequação por x iremos obter:
-1 . x ≤ x . cos(1/x) ≤ 1 . x
-x ≤ x . cos(1/x) ≤ x
Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto, "prensando" as partes da inequação.
limx →0 -x ≤ limx →0 x . cos(1/x) ≤ limx →0 x
Como limx →0 -x = 0 e limx →0 x = 0, podemos "espremer" o limite limx →0 x . cos(1/x) entre os dois limites conhecidos. Assim, obtém-se:
0 ≤ limx →0 x . cos(1/x) ≤ 0
Como limx →0 x . cos(1/x) está entre 0 e 0, ele só pode ser igual ao próprio 0.
Assim, através do Teorema do Confronto, foi possível encontrar a resposta da questão:
limx →0 x . cos(1/x) = 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
1) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).
a) Determine a equação da reta r.
[Res.]
A equação da reta deve ser do tipo:
y = ax + b
Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax + b
- 24 = a (-4) + b, o que chamaremos de equação 1.
Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax + b
0 = a (2) + b, o que chamaremos de equação 2.
Com a equação 1 e a equação 2 é possível montar um sistema e encontrar os valores de a e b.
0 = a (2) + b (Equação 2)
- 24 = a (-4) + b (Equação 1)
Calculando (Equação 2) - (Equação 1):
24 = 6a + 0
24 = 6a
a = 24/6
a = 4
Susbstituindo a = 4 na Equação 2:
0 = a (2) + b (Equação 2)
0 = 4 . 2 + b
b = -8
Assim, a equação da reta é:
y = ax + b
y = 4x - 8
[Res.]
A equação da parábola deve ser do tipo:
y = ax² + bx + c
É imporante ressaltar aqui que os valores de a e b da questão anterior (relacionados à reta) não estão relacionados a questão presente (equação da parábola).
Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax² + bx + c
-24 = a(-4)² + b(-4) + c
-24 = 16a - 4b + c, o que chamaremos de equação 1.
Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(2)² + b(2) + c
0 = 4a + 2b + c, o que chamaremos de equação 2.
Analisando-se o gráfico, é possível perceber que a parábola passa pelo ponto (0, 0), o que permite obter uma terceira equação.
Substituindo os valores do ponto B(0, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(0)² + b(0) + c
0 = c, o que chamaremos de equação 3.
Como encontrou-se que o valor de c = 0, pode-se substituí-lo nas equações 1 e 2.
-24 = 16a - 4b + c (Equação 1)
-24 = 16a - 4b + 0
-24 = 16a - 4b (Equação 1')
0 = 4a + 2b + c (Equação 2)
0 = 4a + 2b + 0
Agora pode-se fazer um sistema de equações para encontrar os valores de a e b, a partir das equações 1' e 2'.
(Equação 1') + 2 . (Equação 2')
-24 + 2 . 0 = 16a + 2 . 4a - 4b + 2 . 2b
-24 + 0 = 16a + 8a - 4b + 4b
-24 = 24a + 0b
-24 = 24 a
a = -1
Substituindo a = -1 na equação 1', pode-se encontrar o valor de b.
-24 = 16a - 4b
-24 = 16(-1) - 4b
-24 = -16 - 4b
-8 = -4b
b = -8 / -4
b = 2
Com os valores de a = -1, b = 2 e c = 0, pode-se montar a equação da parábola.
y = ax² + bx + c
y = (-1)x² + 2x + 0
y = -x² + 2x
Logo, a equação da parábola é:
y = -x² + 2x
2) Nos gráficos de 1 a 6, determine o limx →a f(x) caso o limite exista.
[Res.]
Para existir o limite no ponto, ele deve existir tanto pela esquerda quanto pela direita, e os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Por isso, vamos observar os limites pela esquerda e pela direita de cada gráfico e ver se eles são iguais, para ver se existe e qual é o limite em cada figura.
Gráfico 1)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
Gráfico 2)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
Gráfico 3)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
Gráfico 4)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = c
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = c
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
Gráfico 5)
limx →a- f(x) = ∞
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
limx →a- f(x) = ∞
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) ≠ limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = não existe
Gráfico 6)
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
limx →a- f(x) = b
limx →a+ f(x) = b
Como limx →a- f(x) = limx →a+ f(x) = b, logo:
limx →a f(x) = b
3) Calcule cada um dos limites abaixo:
a) limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
[Res.]
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
Como a equação está dividida por h, não é possível calcular o limite do jeito que ela está, pois não é possível dividir por 0 (quando h tende a 0).
Assim, é preciso modificar a equação, para encontrar o limite.
Comecemos a modificar então, de modo a tentar encontrar uma equação em que seja possível verificar o limite.
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h . 1 / 1
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h . (5h + 4)1/2 + 2) / (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (((5h + 4)1/2)² - (2)²) / h . 1 / (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (5h + 4 - 4) / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 (5h + 0) / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5h / (h . (5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2)
Nessa nova forma da função, vamos tentar encontrar o limite:
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h = limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2)
limh →0 5 / ((5h + 4)1/2 + 2) = 5 / ((5 . 0 + 4)1/2 + 2)
= 5 / ((0 + 4)1/2 + 2)
= 5 / (41/2 + 2)
= 5 / (2 + 2)
= 5 / 4
Assim, obtém-se a resposta da questão:
limh →0 ((5h + 4)1/2 - 2) / h = 5 / 4
b) limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)
[Res.]
Se tentarmos resolver diretamente o limite, obteremos para a parte do denominador o seguinte valor:
(x² - 5x + 4) = (4² - 5.4 + 4) = 16 - 20 + 4 = 0
Como não é possível dividir por 0, logo não se pode calcular o limite da função diretamente. Primeiro é preciso modifícá-la de modo a poder calcular o limite.
limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)
Analisando separadamente o numerador e o denominador, podemos verificar que:
(x² - 16) = (x + 4) . (x - 4)
(x² - 5x + 4) = (x - 1) (x - 4)
Assim, limx →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4) = limx →4 ((x + 4) . (x - 4)) / ((x - 1) (x - 4))
Simplificando a equação, obtém-se:
limx →4 (x + 4) / (x - 1)
Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando x tende a 4.
(x - 1) = 4 - 1 = 3
Como a divisão por 3 é possível, agora pode-se encontrar o valor do limite da função, pois não há mais nenhuma restrição ao cálculo do limite. Caso houvesse mais alguma restrição, seria necessário continuar a modificar a função até que o limite pudesse ser calculado.
limx →4 (x + 4) / (x - 1) = (4 + 4) / (4 - 1) = 8 / 3
c) limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1)
[Res.]
Como o denominador da função é igual a 1, não há restrições de divisão na função que impeçam o cálculo do limite. Como não se observa mais nenhum tipo de restrição, parece possível o cálculo direto do limite.
Calculando o limite da função quando x tende a 0.
limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = 3(0)³ - 18(0)² + (0) - 1 = 0 - 0 + 0 - 1 = -1
Logo,
limx →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = -1
d) limx →0 x.cos(1/x)
[Res.]
Vamos analisar o que acontece com a função quando x tende a 0.
x.cos(1/x) = (0).cos(1/0)
Como não é possível dividir por 0, não é possível calcular o limite do jeito que a função está.
Assim, será necessário modificar a função, até que seja possível calcular o limite.
Como é a parte relacionada ao cosseno que está impossibilitando o cálculo do limite, uma forma de tentar encontrar o limite poderia passar pela substituição do cosseno por algo equivalente.
Vamos relembrar a seguinte expressão e ver se é possível a partir dela encontrar alguma relação com cos(1/x):
sen²(x) + cos²(x) = 1
Essa equação pode ser obtida a partir do Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c², onde a é hipotenusa e b e c são catetos de um triângulo ABC com ângulo reto em A.
Assim:
sen (B) = b/a
cos (B) = c/a
Demonstrando:
sen²(B) + cos²(B) = (b/a)² + (c/a)²
sen²(B) + cos²(B) = b²/a² + c²/a²
sen²(B) + cos²(B) = (b² + c²) / a²
sen²(B) + cos²(B) = a² / a²
sen²(B) + cos²(B) = 1
Referência: http://stoa.usp.br/semirames/weblog/92100.html
A partir da relação trigonométrica demonstrada acima, vamos tentar simplificar a equação para possibilitar a resolução do limite.
Como sen²(x) + cos²(x) = 1:
cos²(x) = 1 - sen²(x)
cos(x) = (1 - sen²(x))1/2
Como x é apenas o ângulo, pode-se reescrever a relação obtida da seguinte forma:
cos(1/x) = (1 - sen²(1/x))1/2
Retomando o limite e fazendo a substituição pela relação encontrada:
limx →0 x.cos(1/x)
limx →0 x.(1 - sen²(1/x))1/2
Agora ao analisar a equação modificada é possível perceber, que apesar de toda a modificação, ainda não foi possível calcular o limite, pois a equação modificada também apresenta a divisão por 0, que não é possível de ser executada.
Será então necessário resolver o problema com outra técnica.
Vamos tentar agora solucionar o limite pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto. A ideia é simples e bem útil.
Para a aplicação do Teorema do Confronto, devemos analisar a função em que se deseja aplicar o limite.
Como se deseja encontrar o limite de limx →0 x.cos(1/x), a função em questão é:
f(x) = x.cos(1/x)
Vamos dividir a função em duas partes e analisar a parte relacionada com o cosseno.
Sabe-se que a função cosseno varia de -1 a 1, passando pelo 0 (conforme as relação trigonométricas do círculo trigonométrico). Assim, -1 ≤ cos(x) ≤ 1. Como x pode ser qualquer ângulo, a relação abaixo também será válida:
-1 ≤ cos(1/x) ≤ 1
Se multiplicarmos os 3 membros da inequação por x iremos obter:
-1 . x ≤ x . cos(1/x) ≤ 1 . x
-x ≤ x . cos(1/x) ≤ x
Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto, "prensando" as partes da inequação.
limx →0 -x ≤ limx →0 x . cos(1/x) ≤ limx →0 x
Como limx →0 -x = 0 e limx →0 x = 0, podemos "espremer" o limite limx →0 x . cos(1/x) entre os dois limites conhecidos. Assim, obtém-se:
0 ≤ limx →0 x . cos(1/x) ≤ 0
Como limx →0 x . cos(1/x) está entre 0 e 0, ele só pode ser igual ao próprio 0.
Assim, através do Teorema do Confronto, foi possível encontrar a resposta da questão:
limx →0 x . cos(1/x) = 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 3 de abril de 2019
5ª Lista de Cálculo I - Aplicações das Funções
5ª Lista de Cálculo I - Aplicações das Funções
1) Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a t anos será V(t) = 6561 . (1/3)t. Determine a depreciação total sofrida até daqui a 3 anos.
[Res.]
Para calcular a depreciação, primeiro é preciso saber o valor atual do equipamento. Para isso, faremos t = 0.
V(0) = 6561 . (1/3)0
V(0) = 6561 . 1
V(0) = 6561 (unidades monetárias)
Agora, é preciso calcular o valor do equipamento após 3 anos de depreciação. Para isso, faremos t = 3.
V(0) = 6561 . (1/3)3
V(0) = 6561 . (1/27)
V(0) = 6561 / 27
V(0) = 243 (unidades monetárias)
Observa-se que o valor do bem caiu muito com 3 anos de depreciação. Para calcular o valor total da depreciação, basta subtrair do valor inicial do bem o valor após o período de depreciação.
Depreciação em 3 anos = Valor inicial - Valor depreciado
Depreciação em 3 anos = 6561 - 243
Depreciação em 3 anos = 6318 (unidades monetárias)
2) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro.
[Res.]
Para respondermos a pergunta, precisamos saber que o Lucro = Receita - Custo. Assim:
Lucro = 115q - (90q + 760)
Lucro = 25q - 760
Para o lucro ser positivo, teremos:
25q - 760 > 0
25q > 760
q > 760 / 25
q > 30,4 unidades
Como não é possível produzir um produto parcialmente, o lucro será obtido a partir da venda de 31 unidades do produto.
3) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00?
[Res.]
Primeiro devemos organizar a função Custo.
Custo = 15 . q + 600, onde q é a quantidade produzida.
Agora é preciso obter a função Receita.
Receita = 85 . q, onde q é a quantidade vendida.
Assim, é possível calcular o lucro da seguinte forma:
Lucro = Receita - Custo
Lucro = 85.q - (15.q + 600)
Lucro = 85.q - 15.q - 600
Lucro = 70.q - 600
Para que o lucro obtido seja maior que R$ 800,00:
Lucro > 800
70.q - 600 > 800
70 . q > 1400
q > 1400 / 70
q > 20
Assim, deverão ser vendidas mais de 21 unidades para ser obtido um lucro superior a R$ 800,00.
4) Um motorista de táxi cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine:
a) O preço da corrida em função da distância.
[Res.]
Preço = Custo variável + Custo fixo
Preço = 1,20 . q + 3,70, onde q é a quantidade de quilômetros percorridos.
b) O preço de uma corrida de 8 km.
[Res.]
Para encontrar o preço de uma corrida de 8km, basta utillizar a função preço para q = 8km.
Preço = 1,20 . q + 3,70
Preço = 1,20 . 8 + 3,70
Preço = 9,60 + 3,70
Preço = 13,30 reais
c) A distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida.
[Res.]
Como a corrida custou R$ 18,70, entraremos com o valor do preço para achar a quantidade de quilômetros percorridos, na equação do preço da corrida.
Preço = 1,20 . q + 3,70
18,70 = 1,20 . q + 3,70
18,70 - 3,70 = 1,20 . q
15,00 = 1,20 . q
q = 15,00 / 1,20
q = 12,5 quilômetros
Assim, em uma corrida com preço de R$ 18,70, foram percorridos 12,5 quilômetros.
5) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30.
Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano B menos vantajoso do que o plano A.
[Res.]
Para resolver, vamos organizar a função custo para cada plano.
Custo do Plano A:
Custo Plano A = valor fixo A + Valor variável A
Custo Plano A = 50,00 + 0,25 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.
Custo do Plano B:
Custo Plano B = valor fixo B + Valor variável B
Custo Plano B = 39,00 + 0,30 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.
Custo do Plano B = 39,00 + 60
Custo do Plano B = 99,00 reais
Assim, para utilização de menos de 220 minutos de ligações locais, o Plano B é o mais barato.
Agora, vamos analisar o que acontece quando a utilização é maior que 220 minutos para ligações locais.
Para q > 220, vamos colocar 230 minutos por exemplo.
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . q
Custo do Plano B = 39,00 + 69
Custo do Plano B = 108,00 reais
6) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por DVD, para não haver prejuízo?
[Res.]
Vamos começar organizando as funções Receita e Custo.
Receita = Quantidade . Preço
Receita = 20.000 . Preço, onde Preço é o preço de venda de cada DVD.
Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q, onde q é a quantidade de DVDs fabricada.
Considerando que q = 20.000 cópias do DVD, o Custo Total será:
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . 20.000
Custo Total = 120.000,00 + 360.000,00
Custo Total = 480.000,00 reais
Para não haver prejuízo, o lucro precisa ser maior ou igual a zero.
Lucro = Receita - Custo Total
Lucro = 20.000 . Preço - 480.000,00
Como Lucro ≥ 0:
20.000 . Preço - 480.000,00 ≥ 0
20.000 . Preço ≥ 480.000,00
Preço ≥ 480.000,00 / 20.000
Preço ≥ 24,00 reais
Assim, para um preço de R$ 24,00 ou acima, não haverá prejuízo se todas as 20.000 cópias do filme em DVD forem vendidas.
7) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:
C(x):
* 5 + x (12-x), se 0 ≤ x ≤ 10
* -(3/2)x + 40, se 10 < x ≤ 20
Se em um dia foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo da produção das 24 unidades.
[Res.]
Falta um dado necessário para responder a questão, que é saber se a função custo é calculada diariamente. Não está claro no texto, mas vamos considerar que o custo é calculado diariamente para responder a questão.
Custo diário de produção = Custo Fixo + Custo Variável
Considerando x a quantidade produzida:
se 0 ≤ x ≤ 10, Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
se 10 < x ≤ 20, Custo diário de produção = -(3/2)x + 40
Como no primeiro dia foram produzidas 9 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
Custo diário de produção = 5 + 9 (12-9)
Custo diário de produção = 5 + 9 (3)
Custo diário de produção = 5 + 27
Custo diário de produção = 32 reais
Como no segundo dia foram produzidas 15 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = -(3/2)x + 40
Custo diário de produção = -(3/2).15 + 40
Custo diário de produção = -45/2 + 40
Custo diário de produção = (-45 + 80) / 2
Custo diário de produção = 35 / 2
8) Sobre os preços dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de:
* Até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria de R$ 18,00;
* Mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por R$ 15,00.
Nessas condições, determine a expressão que permite calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que compra x ingressos, com x > 20.
[Res.]
Como o número de ingressos é superior a 20, pode-se calcular o gasto com ingressos da seguinte forma:
Gastos com ingressos = 20 . 18,00 + 15,00 . (x - 20), considerando x o número de ingressos, com x > 20 ingressos.
Gastos com ingressos = 360,00 + 15,00x - 300,00
Gastos com ingressos = 60,00 + 15,00x
9) Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é I = m / a², na qual m é a massa da pessoa, em quilogramas, e a é a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2kg obteve I = 20.
Determine a altura dessa mulher.
[Res.]
Como sabe-se a massa e o valor de I (índice de massa corpórea - IMC), pode-se encontrar o valor de a (altura) da seguinte forma:
I = m / a²
20 = 51,2 / a²
a² = 51,2 / 20
a² = 2,56
a = (2,56)1/2
a = 1,60 metros
Assim, a altura da mulher é 1,60 metros.
10) Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10m. Considere que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma válvula que verte petróleo para o tanque, à taxa de 4m³ por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que fornece a altura (H), em metros, do petróleo no tanque, t horas após a abertura da válvula?
[Res.]
Primeiramente, vamos calcular o volume do tanque. Como trata-se de um cubo, o cálculo do volume é igual ao valor da aresta elevado ao cubo. Assim:
Volume do tanque = volume do cubo
Volume do tanque = (10m)³
Volume do tanque = 10m . 10m . 10m
Volume do tanque = 100m² . 10m
Volume do tanque = 1000 m³
A questão informa que o volume inicial do tanque é 0m³, pois ele está vazio.
O tanque é preenchido a uma taxa de 4m³ por hora, até ficar cheio. Pode-se acompanhar o aumento do nível do tanque da seguinte forma:
Primeiro, vamos considerar que a área da base do cubo é fixa.
Base do cubo = (10m)²
Base do cubo = 100m²
Para encontrarmos o nível do tanque em função do tempo, poderemos relacionar a vazão de preenchimento com a área da base da seguinte forma.
Nível do tanque = Vazão / área da base do tanque
Nível do tanque = (4m³/h) / 100m²
Nível do tanque = (4m³/h) . (1/100m²)
Nível do tanque = 4m³/100m²h
Nível do tanque = 4m/100h
Nível do tanque = 0,04m/h
Assim, podemos encontrar o nível do tanque em função do tempo em horas:
Nível do tanque em função do tempo = 0,04m/h . tempo em horas
Também pode-se escrever das seguintes formas:
Nível em metros = 0,04 . t
Nível em metros = (4/100) . t
Nível em metros = (1/25) . t
Nível em metros = t / 25
Respondendo a questão, a altura H será:
H = t/25 metros, onde t é o tempo de abertura da válvula em horas.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
1) Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a t anos será V(t) = 6561 . (1/3)t. Determine a depreciação total sofrida até daqui a 3 anos.
[Res.]
Para calcular a depreciação, primeiro é preciso saber o valor atual do equipamento. Para isso, faremos t = 0.
V(0) = 6561 . (1/3)0
V(0) = 6561 . 1
V(0) = 6561 (unidades monetárias)
Agora, é preciso calcular o valor do equipamento após 3 anos de depreciação. Para isso, faremos t = 3.
V(0) = 6561 . (1/3)3
V(0) = 6561 . (1/27)
V(0) = 6561 / 27
V(0) = 243 (unidades monetárias)
Observa-se que o valor do bem caiu muito com 3 anos de depreciação. Para calcular o valor total da depreciação, basta subtrair do valor inicial do bem o valor após o período de depreciação.
Depreciação em 3 anos = Valor inicial - Valor depreciado
Depreciação em 3 anos = 6561 - 243
Depreciação em 3 anos = 6318 (unidades monetárias)
2) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro.
[Res.]
Para respondermos a pergunta, precisamos saber que o Lucro = Receita - Custo. Assim:
Lucro = 115q - (90q + 760)
Lucro = 25q - 760
Para o lucro ser positivo, teremos:
25q - 760 > 0
25q > 760
q > 760 / 25
q > 30,4 unidades
Como não é possível produzir um produto parcialmente, o lucro será obtido a partir da venda de 31 unidades do produto.
3) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00?
[Res.]
Primeiro devemos organizar a função Custo.
Custo = 15 . q + 600, onde q é a quantidade produzida.
Agora é preciso obter a função Receita.
Receita = 85 . q, onde q é a quantidade vendida.
Assim, é possível calcular o lucro da seguinte forma:
Lucro = Receita - Custo
Lucro = 85.q - (15.q + 600)
Lucro = 85.q - 15.q - 600
Lucro = 70.q - 600
Para que o lucro obtido seja maior que R$ 800,00:
Lucro > 800
70.q - 600 > 800
70 . q > 1400
q > 1400 / 70
q > 20
Assim, deverão ser vendidas mais de 21 unidades para ser obtido um lucro superior a R$ 800,00.
4) Um motorista de táxi cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine:
a) O preço da corrida em função da distância.
[Res.]
Preço = Custo variável + Custo fixo
Preço = 1,20 . q + 3,70, onde q é a quantidade de quilômetros percorridos.
b) O preço de uma corrida de 8 km.
[Res.]
Para encontrar o preço de uma corrida de 8km, basta utillizar a função preço para q = 8km.
Preço = 1,20 . q + 3,70
Preço = 1,20 . 8 + 3,70
Preço = 9,60 + 3,70
Preço = 13,30 reais
c) A distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida.
[Res.]
Como a corrida custou R$ 18,70, entraremos com o valor do preço para achar a quantidade de quilômetros percorridos, na equação do preço da corrida.
Preço = 1,20 . q + 3,70
18,70 = 1,20 . q + 3,70
18,70 - 3,70 = 1,20 . q
15,00 = 1,20 . q
q = 15,00 / 1,20
q = 12,5 quilômetros
Assim, em uma corrida com preço de R$ 18,70, foram percorridos 12,5 quilômetros.
5) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30.
Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano B menos vantajoso do que o plano A.
[Res.]
Para resolver, vamos organizar a função custo para cada plano.
Custo do Plano A:
Custo Plano A = valor fixo A + Valor variável A
Custo Plano A = 50,00 + 0,25 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.
Custo do Plano B:
Custo Plano B = valor fixo B + Valor variável B
Custo Plano B = 39,00 + 0,30 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.
Na minha opinião, a pergunta está bem esquisita. Poderia ter sido melhor elaborada. Mas dá para entender o que se pede, que parece ser analisar até quando um plano é mais vantajoso que o outro. Então, passemos à análise do plano A em comparação com o plano B.
Vamos analisar o que acontece quando ocorrer a seguinte situação:
Custo do Plano A = Custo do Plano B
50,00 + 0,25 . q = 39,00 + 0,30 . q
11,00 = 0,05 . q
q = 11,00 / 0,05
q = 220 minutos
Ou seja, quando são utilizados 220 minutos de ligações locais, o valor da conta no tanto no Plano A quanto no Plano B é o mesmo.
Então, temos um marco, que é a utilização de 220 minutos de ligações locais.
Agora, vamos analisar o que acontece quando se utiliza menos que 220 minutos de ligações locais para cada plano.
Para q < 220, vamos colocar 200 minutos por exemplo. (Podemos fazer isso porque se trata de uma reta crescente a função custo, tanto do Plano A quanto do Plano B).
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . q
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . 200
Custo do Plano A = 50,00 + 50,00
Custo do Plano A = 100,00 reais
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . q
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . 200Custo do Plano B = 39,00 + 60
Custo do Plano B = 99,00 reais
Assim, para utilização de menos de 220 minutos de ligações locais, o Plano B é o mais barato.
Agora, vamos analisar o que acontece quando a utilização é maior que 220 minutos para ligações locais.
Para q > 220, vamos colocar 230 minutos por exemplo.
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . q
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . 230
Custo do Plano A = 50,00 + 57,50
Custo do Plano A = 107,50 reais
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . q
Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . 230Custo do Plano B = 39,00 + 69
Custo do Plano B = 108,00 reais
Assim, para utilização de mais de 220 minutos de ligações locais, o Plano A é o mais barato.
Agora, vamos analisar o que a questão pede novamente: a questão pede o número de minutos que torna o Plano B menos vantajoso. Ou seja, a questão quer saber quando o Plano A se torna mais vantajoso. Como analisamos anteriormente, o plano A é o mais vantajoso quando o número de minutos de ligações locais é superior a 220.
Resumindo:
Utilização abaixo de 200 minutos de ligações locais: plano B é o mais vantajoso.
Utilização igual a 200 minutos de ligações locais: qualquer dos planos tem o mesmo valor.
Utilização acima de 200 minutos de ligações locais: plano A é o mais vantajoso.
6) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por DVD, para não haver prejuízo?
[Res.]
Vamos começar organizando as funções Receita e Custo.
Receita = Quantidade . Preço
Receita = 20.000 . Preço, onde Preço é o preço de venda de cada DVD.
Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q, onde q é a quantidade de DVDs fabricada.
Considerando que q = 20.000 cópias do DVD, o Custo Total será:
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . 20.000
Custo Total = 120.000,00 + 360.000,00
Custo Total = 480.000,00 reais
Para não haver prejuízo, o lucro precisa ser maior ou igual a zero.
Lucro = Receita - Custo Total
Lucro = 20.000 . Preço - 480.000,00
Como Lucro ≥ 0:
20.000 . Preço - 480.000,00 ≥ 0
20.000 . Preço ≥ 480.000,00
Preço ≥ 480.000,00 / 20.000
Preço ≥ 24,00 reais
Assim, para um preço de R$ 24,00 ou acima, não haverá prejuízo se todas as 20.000 cópias do filme em DVD forem vendidas.
7) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:
C(x):
* 5 + x (12-x), se 0 ≤ x ≤ 10
* -(3/2)x + 40, se 10 < x ≤ 20
Se em um dia foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo da produção das 24 unidades.
[Res.]
Falta um dado necessário para responder a questão, que é saber se a função custo é calculada diariamente. Não está claro no texto, mas vamos considerar que o custo é calculado diariamente para responder a questão.
Custo diário de produção = Custo Fixo + Custo Variável
Considerando x a quantidade produzida:
se 0 ≤ x ≤ 10, Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
se 10 < x ≤ 20, Custo diário de produção = -(3/2)x + 40
Como no primeiro dia foram produzidas 9 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
Custo diário de produção = 5 + 9 (12-9)
Custo diário de produção = 5 + 9 (3)
Custo diário de produção = 5 + 27
Custo diário de produção = 32 reais
Como no segundo dia foram produzidas 15 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = -(3/2)x + 40
Custo diário de produção = -(3/2).15 + 40
Custo diário de produção = -45/2 + 40
Custo diário de produção = (-45 + 80) / 2
Custo diário de produção = 35 / 2
Custo diário de produção = 17,50 reais
Assim, pode-se obter o custo total da produção dos dois dias somando-se o custo do primeiro dia com o custo do segundo dia.
Custo Total = Custo do primeiro dia + Custo do segundo dia
Custo Total = 32 + 17,50
Custo Total = 49,50 reais
Assim, nos dias dias o custo total foi de R$ 49,50.
8) Sobre os preços dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de:
* Até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria de R$ 18,00;
* Mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por R$ 15,00.
Nessas condições, determine a expressão que permite calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que compra x ingressos, com x > 20.
[Res.]
Como o número de ingressos é superior a 20, pode-se calcular o gasto com ingressos da seguinte forma:
Gastos com ingressos = 20 . 18,00 + 15,00 . (x - 20), considerando x o número de ingressos, com x > 20 ingressos.
Gastos com ingressos = 360,00 + 15,00x - 300,00
Gastos com ingressos = 60,00 + 15,00x
9) Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é I = m / a², na qual m é a massa da pessoa, em quilogramas, e a é a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2kg obteve I = 20.
Determine a altura dessa mulher.
[Res.]
Como sabe-se a massa e o valor de I (índice de massa corpórea - IMC), pode-se encontrar o valor de a (altura) da seguinte forma:
I = m / a²
20 = 51,2 / a²
a² = 51,2 / 20
a² = 2,56
a = (2,56)1/2
a = 1,60 metros
Assim, a altura da mulher é 1,60 metros.
10) Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10m. Considere que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma válvula que verte petróleo para o tanque, à taxa de 4m³ por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que fornece a altura (H), em metros, do petróleo no tanque, t horas após a abertura da válvula?
[Res.]
Primeiramente, vamos calcular o volume do tanque. Como trata-se de um cubo, o cálculo do volume é igual ao valor da aresta elevado ao cubo. Assim:
Volume do tanque = volume do cubo
Volume do tanque = (10m)³
Volume do tanque = 10m . 10m . 10m
Volume do tanque = 100m² . 10m
Volume do tanque = 1000 m³
A questão informa que o volume inicial do tanque é 0m³, pois ele está vazio.
O tanque é preenchido a uma taxa de 4m³ por hora, até ficar cheio. Pode-se acompanhar o aumento do nível do tanque da seguinte forma:
Primeiro, vamos considerar que a área da base do cubo é fixa.
Base do cubo = (10m)²
Base do cubo = 100m²
Para encontrarmos o nível do tanque em função do tempo, poderemos relacionar a vazão de preenchimento com a área da base da seguinte forma.
Nível do tanque = Vazão / área da base do tanque
Nível do tanque = (4m³/h) / 100m²
Nível do tanque = (4m³/h) . (1/100m²)
Nível do tanque = 4m³/100m²h
Nível do tanque = 4m/100h
Nível do tanque = 0,04m/h
Assim, podemos encontrar o nível do tanque em função do tempo em horas:
Nível do tanque em função do tempo = 0,04m/h . tempo em horas
Também pode-se escrever das seguintes formas:
Nível em metros = 0,04 . t
Nível em metros = (4/100) . t
Nível em metros = (1/25) . t
Nível em metros = t / 25
Respondendo a questão, a altura H será:
H = t/25 metros, onde t é o tempo de abertura da válvula em horas.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas
4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas
1) Determine f -1(x) em cada caso:
a) f(x) = 3x + 5
[Res.]
Para encontrar a função inversa:
x = 3y + 5
Daí: y = (x - 5) / 3
Simples assim. Onde era f(x) coloca-se x e onde era x coloca-se y, que é o f(x).
b) f(x) = 1/ (3x - 2)
[Res.]
x = 1 / (3y - 2)
3y - 2 = 1 / x
3y = (1/x) + 2
3y = (1 + 2x) / x
y = (1 + 2x) / 3x
f -1(x) = (1 + 2x) / 3x
c) f(x) = (3x + 2) / (2x - 5)
[Res.]
x = (3y + 2) / (2y - 5)
2yx - 5x = 3y + 2
2yx - 3y = 2 + 5x
y (2x - 3) = 2 + 5x
y = (2 + 5x) / (2x-3)
f -1(x) = (2 + 5x) / (2x-3)
d) f(x) = 2 - 3x²
[Res.]
x = 2 - 3y²
3y² = 2 - x
y² = (2 - x) / 3
y = ((2 - x) / 3)^(1/2)
f -1(x) = ((2 - x) / 3)^(1/2)
e) f(x) = 5x² + 2
[Res.]
x = 5y² + 2
5y² = x - 2
y² = (x-2) / 5
y = ((x-2) / 5)^(1/2)
f -1(x) = ((x-2) / 5)^(1/2)
f) f(x) = (4 - x²)^(1/2), 0 ≤ x ≤ 2
[Res.]
x = (4-y²)^(1/2)
x² = 4 - y²
y² = 4 - x²
y = (4 - x²)^(1/2)
f -1(x) = (4 - x²)^(1/2)
g) f(x) = x^(1/3) + 1
[Res.]
x = y^(1/3) + 1
y^(1/3) = x - 1
y = (x - 1)³
f -1(x) = (x - 1)³
h) f(x) = (x³ + 1)^5
[Res.]
x = (y³+1)^5
x^(1/5) = y³ + 1
y³ = x^(1/5) - 1
y = (x^(1/5) - 1)^(1/3)
f -1(x) = (x^(1/5) - 1)^(1/3)
i) f(x) = (2x + 3) / (x - 5)
[Res.]
x = (2y + 3) / (y - 5)
xy - 5x = 2y + 3
y (x - 2) = 3 + 5x
y = (3 + 5x) / (x - 2)
f -1(x) = (3 + 5x) / (x - 2)
2) Sejam as funções f(x) = 2x - 1 e g(x) = kx + t funções de IR em IR. Determine os valores de k e t para que g(x) = f -1(x).
[Res.]
Encontrando a inversa de f(x):
x = 2y - 1
2y = x + 1
y = (x + 1) / 2
Assim, f -1(x) = (x + 1) / 2
Logo,
(x + 1) / 2 = kx + t
(1/2) . x + 1/2 = kx + t
Assim, k = 1/2 e t = 1/2
3) Seja f: IR → IR uma função bijetora definida por f(x) = x³ + 1. Seja g: IR → IR uma função bijetora, definida por g(x) = (4x + 1) / 3. Determine o valor de f -1(9) + g(f(1/2)).
[Res.]
Revisando os conceitos:
Função:
Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.
Referência:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
Calculando a função inversa de f(x):
x = y³ + 1
y³ = x - 1
y = (x - 1)^(1/3)
Assim:
f -1(x) = (x - 1)^(1/3)
Calculando f -1(9):
f -1(9) = (9 - 1)^(1/3) = 8^(1/3) = 2
Calculando g(f(1/2)):
g(x) = (4x + 1) / 3
f(1/2) = (1/2)³ + 1 = 1/8 + 1 = 9/8
g(f(1/2)) = (4 . (9/8) + 1) / 3 = (9/2 + 1) / 3 = 11/2 *1 / 3 = 11/6
Calculando f -1(9) + g(f(1/2)):
f -1(9) + g(f(1/2)) = 2 + 11/6 = (12 + 11) / 6 = 23/6
4) A função f, definida em IR - {2} por f(x) = (2 + x) / (2 - x) é inversível. O seu contradomínio é IR - {a}. Determine o valor de a.
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (2 + y) / (2 - y)
2x - xy = 2 + y
2x - 2 = y + xy
y (1 + x) = 2x -2
y = (2x - 2) / (1 + x)
Assim:
f -1(x) = (2x - 2) / (1 + x)
Logo, o valor de a = -1.
5) Seja f: IR → IR, definida por f(x) =
Gabarito: letra b, porém, conforme resolução abaixo, encontrei como resposta a letra c.
[Res.]
Vamos analisar letra a letra para responder a questão, já que as opções de resposta envolvem números.
Analisando a letra a:
Vamos calcular (f ° f)(-2/3):
Como -2/3 ≤ 0, usaremos f(x) = 3x + 3:
(f ° f)(x) = 3 . (3x + 3) + 3
(f ° f)(-2/3) = 3 . [3 . (-2/3) + 3] + 3
= 3 . [-2 + 3] + 3
= 3 . 1 + 3
= 3 + 3
= 6
Calculando f -1 (21):
Como 21 > 0, usaremos f(x) = x² + 4x + 3:
Encontrando f -1 (x):
y = x² + 4x + 3
Yvértice = - ∆ / 4a
Yvértice = - [16 - 4 . (1) . (3)] / [4 . (1)]
Yvértice = - [16 - 12] / 4
Yvértice = - 4 / 4
Yvértice = - 1
Como a concavidade é para cima, a imagem da função y = x² + 4x + 3 será de [-1, +∞[.
Trocando o x pelo y, obtemos:
y = x² + 4x + 3
x = y² + 4y + 3
Assim:
y² + 4y + 3 - x = 0
Utilizando Bháskara
y = [-4 ± √(16 - 4 . (1) . (3-x)] / [2 . (1)]
y = [-4 ± √(16 - 12 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √(4 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √4(1 + x)] / [2]
y = [-4 ± 2√(1 + x)] / [2]
y = [-2 ± √(1 + x)] / [1]
y = -2 ± √(1 + x)
Avaliando a Imagem de f(x), que é [-1, +∞[, vemos que:
y = -2 + √(1 + x) condiz com a imagem
y = -2 - √(1 + x) não condiz com a imagem
Portanto, o valor de y para o intervalo da função f(x) será:
y = -2 + √(1 + x)
Referência consultada: http://entendaexatas.blogspot.com/2013/09/funcao-quadratica-inversa.html
Assim:
f -1 (x) = -2 + √(1 + x)
f -1 (21) = -2 + √(1 + 21)
f -1 (21) = -2 + √22
Assim, descartamos a resposta a, pois a afirmação (f ° f)(-2/3) = f -1 (21) não é verdadeira.
(f ° f)(-2/3) = 6
f -1 (21) = -2 + √22
(f ° f)(-2/3) ≠ f -1 (21)
Analisando a letra b:
Calculamos na letra a (f ° f)(-2/3):
(f ° f)(-2/3) = 6
Agora vamos calcular f -1 (99):
f -1 (x) = -2 + √(1 + x)
f -1 (99) = -2 + √(1 + 99)
f -1 (99) = -2 + √100
f -1 (99) = -2 + 10
f -1 (99) = 8
Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f -1 (99) = 8:
(f ° f)(-2/3) ≠ f -1 (99)
Analisando a letra c:
A letra c diz que f é sobrejetora mas não é injetora.
Sobrejetora
Sobrejetora é a função que para todo elemento no contradomínio há pelo menos um no domínio.
Como f(x) =
Injetora
Injetora é a função em que existe uma única imagem distinta para cada valor do domínio.
Como f(x) pode ser uma parábola caso x > 0, ela não é injetora.
Assim, a resposta correta é a letra c.
Analisando a letra d:
A letra d diz que f é injetora mas não é sobrejetora.
Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é injetora, mas é sobrejetora.
Analisando a letra e:
A letra e diz que f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f -1 (3).
Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é bijetora, pois para ser bijetora ela precisaria ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Além disso, como vimos anteriormente, (f ° f)(-2/3) = 6 e f -1 (x) = -2 + √(1 + x). Assim:
f -1 (3) = -2 + √(1 + 3)
f -1 (3) = -2 + √4
f -1 (3) = -2 + 2
f -1 (3) = 0
Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f -1 (3) = 0:
(f ° f)(-2/3) ≠ f -1 (3)
6) Dadas as funções bijetoras f(x) = 2x - 3 e g(x) = x³, determine (f ° g)-1(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = 2 . (x³) - 3
Calculando f(g(x))-1:
x = 2 y³ - 3
2y³ = x + 3
y³ = (x + 3) / 2
y = ((x + 3) / 2)^(1/3)
f(g(x))-1 = ((x + 3) / 2)^(1/3)
7) Dadas as funções bijetoras f(x) = x - 1 e g(x) = 2x + 3, mostre que (f ° g)-1(x) = (g-1 ° f -1)(x).
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = y - 1
y = x + 1
f(x)-1 = x + 1
Calculando a função inversa de g(x):
x = 2y + 3
2y = x -3
y = (x - 3) / 2
g(x)-1 = (x - 3) / 2
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2
Calculando a inversa de f(g(x)):
x = 2y + 2
2y = x - 2
y = (x - 2) / 2
f(g(x))-1 = (x - 2) / 2
Calculando g(f(x)-1)-1:
g(f(x)-1)-1 = g(x+1)-1 = ((x + 1) - 3) / 2 = (x -2) / 2
Assim:
f(g(x))-1 = g(f(x)-1)-1 = (x -2) / 2
8) Seja f, de IR em IR, uma função definida por f(x) = mx + p. Se o gráfico de f -1(x) passa peloas pontos A(4,0) e B(0,3), determine a função f(x).
[Res.]
Encontrando a função inversa de f(x):
x = my + p
my = x - p
y = (x - p) / m
f(x)-1 = (x - p) / m
Considerando o ponto A(4, 0):
0 = (4 - p) / m
4 - p = 0
p = 4
Considerando o ponto B(0, 3):
3 = (0 - p) / m
3 = -p / m
m = -p / 3
Como p = 4:
m = - 4 / 3
Assim:
f(x) = mx + p
f(x) = -(4/3) . x + 4
9) Qual a relação entre a e b para a função f(x) = (ax + 1) / (2x + b) coincida com sua inversa?
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (ay + 1) / (2y + b)
2xy + xb = ay + 1
2xy - ay = 1 - xb
y(2x - a) = 1 - xb
y = (1 - xb) / (2x - a)
f(x)-1 = (1 - xb) / (2x - a)
Para f(x) = f(x)-1:
(ax + 1) / (2x + b) = (1 - xb) / (2x - a)
(ax + 1) . (2x - a) = (1 - xb) . (2x + b)
2ax² - a²x + 2x - a = 2x + b - 2bx² - b²x
Reorganizando:
2ax² - a²x + 2x - a = - 2bx² + 2x - b²x + b
2ax² + (2 - a²)x - a = - 2bx² + (2 - b²)x + b
Assim:
2ax² = -2bx²
Logo:
a = -b
10) Seja f a função definida por f(x) = (3x + 2) / (4x - 1), onde x ≠ 1/4. Determine os valores de a e b para que f -1(x) = (x+2) / (ax+b).
[Res.]
Calculando f -1(x):
x = (3y + 2) / (4y - 1)
4xy - x = 3y + 2
4xy - 3y = x + 2
y (4x - 3) = x + 2
y = (x + 2) / (4x - 3)
f -1(x) = (x + 2) / (4x - 3)
Para f -1(x) = (x+2) / (ax+b):
(x + 2) / (4x - 3) = (x+2) / (ax+b)
Logo:
a = 4 e b = -3
11) Considere a função f: [0, ∞[ → [12, ∞[, dada por f(x) = x² + 2kx + k² - 4, onde a constante real k faz com que a função f(x) admita inversa. Determine o valor de f -1(21).
[Res.]
Para f(x):
f(x) = x² + 2kx + k² - 4
f(x) = (x + k)² - 4
Como x ≥ 0 e y ≥ 12:
f(x) ≥ 12
Logo:
(x + k)² - 4 ≥ 12
(x + k)² ≥ 16
Assim: x + k ≥ 4 ou x + k ≤ - 4
Como x ≥ 0:
Calculando a função inversa de f(x):
x = y² +2ky + k² - 4
x = (y + k)² - 4
(y + k)² = x +4
y + k = (x + 4)^(1/2)
y = (x + 4)^(1/2) - k
Logo:
f -1(x) = (x + 4)^(1/2) - k
Calculando f -1(21):
f -1(21) = (21 + 4)^(1/2) - k = 25^(1/2) - k
f -1(21) = 5 - k
Para k ≤ - 4:
f -1(21) ≥ 5 - k
f -1(21) ≥ 5 - (-4)
f -1(21) ≥ 9
Para k ≤ 4:
f -1(21) ≤ 5 - k
f -1(21) ≤ 5 - (4)
f -1(21) ≤ 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
1) Determine f -1(x) em cada caso:
a) f(x) = 3x + 5
[Res.]
Para encontrar a função inversa:
x = 3y + 5
Daí: y = (x - 5) / 3
Simples assim. Onde era f(x) coloca-se x e onde era x coloca-se y, que é o f(x).
b) f(x) = 1/ (3x - 2)
[Res.]
x = 1 / (3y - 2)
3y - 2 = 1 / x
3y = (1/x) + 2
3y = (1 + 2x) / x
y = (1 + 2x) / 3x
f -1(x) = (1 + 2x) / 3x
c) f(x) = (3x + 2) / (2x - 5)
[Res.]
x = (3y + 2) / (2y - 5)
2yx - 5x = 3y + 2
2yx - 3y = 2 + 5x
y (2x - 3) = 2 + 5x
y = (2 + 5x) / (2x-3)
f -1(x) = (2 + 5x) / (2x-3)
d) f(x) = 2 - 3x²
[Res.]
x = 2 - 3y²
3y² = 2 - x
y² = (2 - x) / 3
y = ((2 - x) / 3)^(1/2)
f -1(x) = ((2 - x) / 3)^(1/2)
e) f(x) = 5x² + 2
[Res.]
x = 5y² + 2
5y² = x - 2
y² = (x-2) / 5
y = ((x-2) / 5)^(1/2)
f -1(x) = ((x-2) / 5)^(1/2)
f) f(x) = (4 - x²)^(1/2), 0 ≤ x ≤ 2
[Res.]
x = (4-y²)^(1/2)
x² = 4 - y²
y² = 4 - x²
y = (4 - x²)^(1/2)
f -1(x) = (4 - x²)^(1/2)
g) f(x) = x^(1/3) + 1
[Res.]
x = y^(1/3) + 1
y^(1/3) = x - 1
y = (x - 1)³
f -1(x) = (x - 1)³
h) f(x) = (x³ + 1)^5
[Res.]
x = (y³+1)^5
x^(1/5) = y³ + 1
y³ = x^(1/5) - 1
y = (x^(1/5) - 1)^(1/3)
f -1(x) = (x^(1/5) - 1)^(1/3)
i) f(x) = (2x + 3) / (x - 5)
[Res.]
x = (2y + 3) / (y - 5)
xy - 5x = 2y + 3
y (x - 2) = 3 + 5x
y = (3 + 5x) / (x - 2)
f -1(x) = (3 + 5x) / (x - 2)
2) Sejam as funções f(x) = 2x - 1 e g(x) = kx + t funções de IR em IR. Determine os valores de k e t para que g(x) = f -1(x).
[Res.]
Encontrando a inversa de f(x):
x = 2y - 1
2y = x + 1
y = (x + 1) / 2
Assim, f -1(x) = (x + 1) / 2
Logo,
(x + 1) / 2 = kx + t
(1/2) . x + 1/2 = kx + t
Assim, k = 1/2 e t = 1/2
3) Seja f: IR → IR uma função bijetora definida por f(x) = x³ + 1. Seja g: IR → IR uma função bijetora, definida por g(x) = (4x + 1) / 3. Determine o valor de f -1(9) + g(f(1/2)).
[Res.]
Revisando os conceitos:
Função:
Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.
Referência:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
Calculando a função inversa de f(x):
x = y³ + 1
y³ = x - 1
y = (x - 1)^(1/3)
Assim:
f -1(x) = (x - 1)^(1/3)
Calculando f -1(9):
f -1(9) = (9 - 1)^(1/3) = 8^(1/3) = 2
Calculando g(f(1/2)):
g(x) = (4x + 1) / 3
f(1/2) = (1/2)³ + 1 = 1/8 + 1 = 9/8
g(f(1/2)) = (4 . (9/8) + 1) / 3 = (9/2 + 1) / 3 = 11/2 *1 / 3 = 11/6
Calculando f -1(9) + g(f(1/2)):
f -1(9) + g(f(1/2)) = 2 + 11/6 = (12 + 11) / 6 = 23/6
4) A função f, definida em IR - {2} por f(x) = (2 + x) / (2 - x) é inversível. O seu contradomínio é IR - {a}. Determine o valor de a.
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (2 + y) / (2 - y)
2x - xy = 2 + y
2x - 2 = y + xy
y (1 + x) = 2x -2
y = (2x - 2) / (1 + x)
Assim:
f -1(x) = (2x - 2) / (1 + x)
Logo, o valor de a = -1.
5) Seja f: IR → IR, definida por f(x) =
- 3x + 3, se x ≤ 0
- x² + 4x + 3, se x > 0
É correto afirmar que:
a) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f -1 (21).
b) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f -1 (99).
c) ( ) f é sobrejetora mas não é injetora.
d) ( ) f é injetora mas não é sobrejetora.
e) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f -1 (3)
Gabarito: letra b, porém, conforme resolução abaixo, encontrei como resposta a letra c.
[Res.]
Vamos analisar letra a letra para responder a questão, já que as opções de resposta envolvem números.
Analisando a letra a:
Vamos calcular (f ° f)(-2/3):
Como -2/3 ≤ 0, usaremos f(x) = 3x + 3:
(f ° f)(x) = 3 . (3x + 3) + 3
(f ° f)(-2/3) = 3 . [3 . (-2/3) + 3] + 3
= 3 . [-2 + 3] + 3
= 3 . 1 + 3
= 3 + 3
= 6
Calculando f -1 (21):
Como 21 > 0, usaremos f(x) = x² + 4x + 3:
Encontrando f -1 (x):
y = x² + 4x + 3
Yvértice = - ∆ / 4a
Yvértice = - [16 - 4 . (1) . (3)] / [4 . (1)]
Yvértice = - [16 - 12] / 4
Yvértice = - 4 / 4
Yvértice = - 1
Como a concavidade é para cima, a imagem da função y = x² + 4x + 3 será de [-1, +∞[.
Trocando o x pelo y, obtemos:
y = x² + 4x + 3
x = y² + 4y + 3
Assim:
y² + 4y + 3 - x = 0
Utilizando Bháskara
y = [-4 ± √(16 - 4 . (1) . (3-x)] / [2 . (1)]
y = [-4 ± √(16 - 12 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √(4 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √4(1 + x)] / [2]
y = [-4 ± 2√(1 + x)] / [2]
y = [-2 ± √(1 + x)] / [1]
y = -2 ± √(1 + x)
Avaliando a Imagem de f(x), que é [-1, +∞[, vemos que:
y = -2 + √(1 + x) condiz com a imagem
y = -2 - √(1 + x) não condiz com a imagem
Portanto, o valor de y para o intervalo da função f(x) será:
y = -2 + √(1 + x)
Referência consultada: http://entendaexatas.blogspot.com/2013/09/funcao-quadratica-inversa.html
Assim:
f -1 (x) = -2 + √(1 + x)
f -1 (21) = -2 + √(1 + 21)
f -1 (21) = -2 + √22
Assim, descartamos a resposta a, pois a afirmação (f ° f)(-2/3) = f -1 (21) não é verdadeira.
(f ° f)(-2/3) = 6
f -1 (21) = -2 + √22
(f ° f)(-2/3) ≠ f -1 (21)
Analisando a letra b:
Calculamos na letra a (f ° f)(-2/3):
(f ° f)(-2/3) = 6
Agora vamos calcular f -1 (99):
f -1 (x) = -2 + √(1 + x)
f -1 (99) = -2 + √(1 + 99)
f -1 (99) = -2 + √100
f -1 (99) = -2 + 10
f -1 (99) = 8
Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f -1 (99) = 8:
(f ° f)(-2/3) ≠ f -1 (99)
Analisando a letra c:
A letra c diz que f é sobrejetora mas não é injetora.
Sobrejetora
Sobrejetora é a função que para todo elemento no contradomínio há pelo menos um no domínio.
Como f(x) =
- 3x + 3, se x ≤ 0
- x² + 4x + 3, se x > 0
Injetora
Injetora é a função em que existe uma única imagem distinta para cada valor do domínio.
Como f(x) pode ser uma parábola caso x > 0, ela não é injetora.
Assim, a resposta correta é a letra c.
Analisando a letra d:
A letra d diz que f é injetora mas não é sobrejetora.
Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é injetora, mas é sobrejetora.
Analisando a letra e:
A letra e diz que f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f -1 (3).
Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é bijetora, pois para ser bijetora ela precisaria ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Além disso, como vimos anteriormente, (f ° f)(-2/3) = 6 e f -1 (x) = -2 + √(1 + x). Assim:
f -1 (3) = -2 + √(1 + 3)
f -1 (3) = -2 + √4
f -1 (3) = -2 + 2
f -1 (3) = 0
Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f -1 (3) = 0:
(f ° f)(-2/3) ≠ f -1 (3)
6) Dadas as funções bijetoras f(x) = 2x - 3 e g(x) = x³, determine (f ° g)-1(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = 2 . (x³) - 3
Calculando f(g(x))-1:
x = 2 y³ - 3
2y³ = x + 3
y³ = (x + 3) / 2
y = ((x + 3) / 2)^(1/3)
f(g(x))-1 = ((x + 3) / 2)^(1/3)
7) Dadas as funções bijetoras f(x) = x - 1 e g(x) = 2x + 3, mostre que (f ° g)-1(x) = (g-1 ° f -1)(x).
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = y - 1
y = x + 1
f(x)-1 = x + 1
Calculando a função inversa de g(x):
x = 2y + 3
2y = x -3
y = (x - 3) / 2
g(x)-1 = (x - 3) / 2
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2
Calculando a inversa de f(g(x)):
x = 2y + 2
2y = x - 2
y = (x - 2) / 2
f(g(x))-1 = (x - 2) / 2
Calculando g(f(x)-1)-1:
g(f(x)-1)-1 = g(x+1)-1 = ((x + 1) - 3) / 2 = (x -2) / 2
Assim:
f(g(x))-1 = g(f(x)-1)-1 = (x -2) / 2
8) Seja f, de IR em IR, uma função definida por f(x) = mx + p. Se o gráfico de f -1(x) passa peloas pontos A(4,0) e B(0,3), determine a função f(x).
[Res.]
Encontrando a função inversa de f(x):
x = my + p
my = x - p
y = (x - p) / m
f(x)-1 = (x - p) / m
Considerando o ponto A(4, 0):
0 = (4 - p) / m
4 - p = 0
p = 4
Considerando o ponto B(0, 3):
3 = (0 - p) / m
3 = -p / m
m = -p / 3
Como p = 4:
m = - 4 / 3
Assim:
f(x) = mx + p
f(x) = -(4/3) . x + 4
9) Qual a relação entre a e b para a função f(x) = (ax + 1) / (2x + b) coincida com sua inversa?
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (ay + 1) / (2y + b)
2xy + xb = ay + 1
2xy - ay = 1 - xb
y(2x - a) = 1 - xb
y = (1 - xb) / (2x - a)
f(x)-1 = (1 - xb) / (2x - a)
Para f(x) = f(x)-1:
(ax + 1) / (2x + b) = (1 - xb) / (2x - a)
(ax + 1) . (2x - a) = (1 - xb) . (2x + b)
2ax² - a²x + 2x - a = 2x + b - 2bx² - b²x
Reorganizando:
2ax² - a²x + 2x - a = - 2bx² + 2x - b²x + b
2ax² + (2 - a²)x - a = - 2bx² + (2 - b²)x + b
Assim:
2ax² = -2bx²
Logo:
a = -b
10) Seja f a função definida por f(x) = (3x + 2) / (4x - 1), onde x ≠ 1/4. Determine os valores de a e b para que f -1(x) = (x+2) / (ax+b).
[Res.]
Calculando f -1(x):
x = (3y + 2) / (4y - 1)
4xy - x = 3y + 2
4xy - 3y = x + 2
y (4x - 3) = x + 2
y = (x + 2) / (4x - 3)
f -1(x) = (x + 2) / (4x - 3)
Para f -1(x) = (x+2) / (ax+b):
(x + 2) / (4x - 3) = (x+2) / (ax+b)
Logo:
a = 4 e b = -3
11) Considere a função f: [0, ∞[ → [12, ∞[, dada por f(x) = x² + 2kx + k² - 4, onde a constante real k faz com que a função f(x) admita inversa. Determine o valor de f -1(21).
[Res.]
Para f(x):
f(x) = x² + 2kx + k² - 4
f(x) = (x + k)² - 4
Como x ≥ 0 e y ≥ 12:
f(x) ≥ 12
Logo:
(x + k)² - 4 ≥ 12
(x + k)² ≥ 16
Assim: x + k ≥ 4 ou x + k ≤ - 4
Como x ≥ 0:
- 0 + k ≥ 4
- k ≥ 4
- 0 + k ≤ - 4
- k ≤ - 4
Calculando a função inversa de f(x):
x = y² +2ky + k² - 4
x = (y + k)² - 4
(y + k)² = x +4
y + k = (x + 4)^(1/2)
y = (x + 4)^(1/2) - k
Logo:
f -1(x) = (x + 4)^(1/2) - k
Calculando f -1(21):
f -1(21) = (21 + 4)^(1/2) - k = 25^(1/2) - k
f -1(21) = 5 - k
Para k ≤ - 4:
f -1(21) ≥ 5 - k
f -1(21) ≥ 5 - (-4)
f -1(21) ≥ 9
Para k ≤ 4:
f -1(21) ≤ 5 - k
f -1(21) ≤ 5 - (4)
f -1(21) ≤ 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - 03/04/2019
Cálculo I - 03/04/2019 - (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h56min
Taxa de aproveitamento: 82,22%
Exercícios:
1) Calcule limx→2 (x2 - 7x + 10) / (x2 - 4).
[Res.]
limx→2 (x2 - 7x + 10) / (x2 - 4)
= limx→2 [(x - 2) . (x - 5)] / [(x + 2) . (x - 2)]
= limx→2 (x - 5) / (x + 2)
= (2 - 5) / (2 + 2)
= - 3 / 4
2) Calcule limx→0 x . cos(1/x).
[Res.]
É fácil observar pelo gráfico da função que o limite tende a 0.
Calculando o limite:
limx→0 x . cos(1/x)
= limx→0 x . limx→0 cos(1/x)
Como:
limx→0 x . limx→0 cos(1/x)
= 0 . limx→0 cos(1/x)
= 0
Operações com infinito (lembrete):
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h56min
Taxa de aproveitamento: 82,22%
Exercícios:
1) Calcule limx→2 (x2 - 7x + 10) / (x2 - 4).
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x2 - 7x + 10) / (x2 - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
limx→2 (x2 - 7x + 10) / (x2 - 4)
= limx→2 [(x - 2) . (x - 5)] / [(x + 2) . (x - 2)]
= limx→2 (x - 5) / (x + 2)
= (2 - 5) / (2 + 2)
= - 3 / 4
2) Calcule limx→0 x . cos(1/x).
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = x . cos(1/x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Calculando o limite:
limx→0 x . cos(1/x)
= limx→0 x . limx→0 cos(1/x)
Como:
- limx→0 x = 0
- -1 < limx→0 cos(1/x) < 1
limx→0 x . limx→0 cos(1/x)
= 0 . limx→0 cos(1/x)
= 0
Operações com infinito (lembrete):
- x + ∞ = ∞
- x + (-∞) = -∞
- x - ∞ = -∞
- x - (-∞) = ∞
- ∞ + ∞ = ∞
- -∞ + (-∞) = -∞
- ∞ . ∞ = ∞
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 2 de abril de 2019
Cálculo 1 - 02/04/2019
Cálculo 1 - 02/04/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 77,77%
Exercícios
1) limx→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
[Res.]
limx→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
= limx→25 [(5 - √x) / (25 - x)] . [(5 + √x) / (5 + √x)]
= limx→25 (25 - x) / [(25 - x) . (5 + √x)]
= limx→25 1 / (5 + √x)
= 1 / (5 + 5)
= 1 /10
2) limx→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
[Res.]
limx→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
= limx→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)] . {[(√(x² + 12) + √12)] / [√(x² + 12) + √12)]}
= limx→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / [(x² + 12) - 12]
= limx→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / x²
= limx→0 √(x² + 12) + √12
= √(0² + 12) + √12
= √12 + √12
= 2 . √12
3) limy→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
[Res.]
Lembrando que :
limx→0 [sen(x)/x] = 1.
limx→0 cos(x) = cos(0) = 1.
limy→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
= limy→0 {[sen(5y) . cos(8y)/sen(8y)] / [y . cos(10y)/sen(10y)]}
= limy→0 {sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . 1/y . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5/5 . 1/y . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5/(5y) . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) . (10y)/cos(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [(10y) . sen(10y)/(10y) . 1/cos(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y) . [1/cos(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 5/4 . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 {5 . 5/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 {25/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 25/4 . limy→0 [sen(5y)/(5y)] . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)] . limy→0 {1 / [sen(8y)/(8y)]} . limy→0 [sen(10y)/(10y)]
= 25/4 . 1 . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)] . limy→0 1 / limy→0 [sen(8y)/(8y)] . 1
= 25/4 . 1 . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)] . 1 / 1 . 1
= 25/4 . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)]
= 25/4 . limy→0 cos(8y) / limy→0 cos(10y)
= 25/4 . 1 / 1
= 25/4
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 77,77%
Exercícios
1) limx→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (5 - √x) / (25 - x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
limx→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
= limx→25 [(5 - √x) / (25 - x)] . [(5 + √x) / (5 + √x)]
= limx→25 (25 - x) / [(25 - x) . (5 + √x)]
= limx→25 1 / (5 + √x)
= 1 / (5 + 5)
= 1 /10
2) limx→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = x² / (√(x² + 12) - √12), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
limx→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
= limx→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)] . {[(√(x² + 12) + √12)] / [√(x² + 12) + √12)]}
= limx→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / [(x² + 12) - 12]
= limx→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / x²
= limx→0 √(x² + 12) + √12
= √(0² + 12) + √12
= √12 + √12
= 2 . √12
3) limy→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = [sen(5x) . cotg(8x)] / [x . cotg(10x)], obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Lembrando que :
limx→0 [sen(x)/x] = 1.
limx→0 cos(x) = cos(0) = 1.
limy→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
= limy→0 {[sen(5y) . cos(8y)/sen(8y)] / [y . cos(10y)/sen(10y)]}
= limy→0 {sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . 1/y . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5/5 . 1/y . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5/(5y) . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) . (10y)/cos(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [(10y) . sen(10y)/(10y) . 1/cos(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y) . [1/cos(10y)]}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 5/4 . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 {5 . 5/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 {25/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= limy→0 25/4 . limy→0 [sen(5y)/(5y)] . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)] . limy→0 {1 / [sen(8y)/(8y)]} . limy→0 [sen(10y)/(10y)]
= 25/4 . 1 . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)] . limy→0 1 / limy→0 [sen(8y)/(8y)] . 1
= 25/4 . 1 . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)] . 1 / 1 . 1
= 25/4 . limy→0 [cos(8y)/cos(10y)]
= 25/4 . limy→0 cos(8y) / limy→0 cos(10y)
= 25/4 . 1 / 1
= 25/4
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
segunda-feira, 1 de abril de 2019
3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas
3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas
1) Considere f(x) = 1 / (x - 1). Determine o valor de x, para o qual (f ° f)(x) = 1.
[Res.]
f(f(x)) = 1 / ((1 / (x - 1)) - 1) = 1 / ((1 - x + 1) / (x-1)) = 1 / ((2-x)/(x-1))
Como f(f(x)) = 1, logo:
1 / ((2-x)/(x-1)) = 1
1 = (2-x)/(x-1)
x - 1 = 2 - x
2x = 3
x = 3/2
2) Se f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x², determine o valor de f(g(-1)) - g(f(-1)).
[Res.]
f(g(-1)) = 3(2x²) + 1 = 6x² + 1 = 6(-1)² + 1 = 7
g(f(-1)) = 2(3x + 1)² = 2(3(-1) + 1)² = 2 (-3+1)² = 2 (-2)² = 2 . 4 = 8
Logo:
f(g(-1)) - g(f(-1)) = 7 - 8 = -1
3) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1. Determine as raízes da equação f(g(x)) = 0.
[Res.]
f(g(x)) = 2(x² - 1) + 1 = 2x² - 2 + 1 = 2x² - 1
Fazendo 2x² - 1 = 0, obtém-se:
x1 = (-0 + (0 +8)^(1/2)) / 4 = 2(2)^(1/2)/4 = (2)^(1/2)/2
x2 = (-0 - (0 +8)^(1/2)) / 4 = -2(2)^(1/2)/4 = -(2)^(1/2)/2
4) Determine as funções compostas (f ° g)(x), (g ° f)(x) com seus respectivos domínios onde:
a) f(x) = x² - 3x e g(x) = (x + 2)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = ((x + 2)^(1/2))² - 3((x + 2)^(1/2))
= x + 2 - 3((x + 2)^(1/2))
Domínio = [-2, ∞[
g(f(x)) = ((x² - 3x) + 2)^(1/2)
= (x² - 3x + 2)^(1/2)
= ((x-2)(x-1))^(1/2)
Domínio = ]-∞, 1] U [2, ∞[
b) f(x) = (x-2)^(1/2) e g(x) = (x + 5)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (((x + 5)^(1/2))-2)^(1/2)
Domínio = [-1, ∞[
g(f(x)) = (((x-2)^(1/2)) + 5)^(1/2)
Domínio = [2, ∞[
c) f(x) = (25-x²)^(1/2) e g(x) = (x - 3)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (25-((x - 3)^(1/2))²)^(1/2)
= (28 - x)^(1/2))²)^(1/2)
Domínio = [3, 28]
g(f(x)) = (((25-x²)^(1/2)) - 3)^(1/2)
Domínio = [-4, 4]
d) f(x) = x / (3x + 2) e g(x) = 2/x
[Res.]
f(g(x)) = (2/x) / (3(2/x) + 2)
= (2/x)/((6+2x)/x) = 2/x * x/(6+2x) = 1 / (3+x)
Domínio = IR - {0, -3}
g(f(x)) = 2/(x / (3x + 2))
= (6x + 4) / x
Domínio = IR - {0, -2/3}
5) Sabendo que f(x) = x+2 e f(g(x)) = 2x - 3, determine a função g(x).
[Res.]
f(x) = x + 2
Fazendo g(x) = y, f(g(x)) = y + 2
Como f(g(x)) = 2x -3, logo:
2x - 3 = y + 2
y = 2x - 5
Logo, g(x) = 2x - 5
6) Sendo g(x) = x - 7 e f(g(x)) = 3x - 1, determine a função f(x).
[Res.]
De f(g(x)) = 3x - 1:
x = (f(g(x)) + 1) / 3
g(x) = (f(g(x)) + 1)/3 - 7 = (f(g(x)) + 1 - 21) / 3
3*g(x) = f(g(x)) -20
f(g(x)) = 3g(x) + 20
Logo:
f(x) = 3x + 20
7) Determine uma forma funcional composta para y em cada caso:
a) y = (x² + 3x)^(1/3)
[Res.]
y = u^(1/3)
com u = x^2 + 3x
b) y = 1 / (x - 3)^4
[Res.]
y = 1 / u^4
com u = x - 3
c) y = (x^4 - 16)^(1/4)
[Res.]
y = u^(1/4)
com u = x^4 - 16
d) y = 4 + (x^2 + 1)^(1/2)
[Res.]
y = 4 + u^(1/2)
com u = x^2 + 1
e) y = (x^4 - 2.x^2 + 5)^5
[Res.]
y = u^5
com u = x^4 - 2.x^2 + 5
f) y = ((x + 4)^(1/2) - 2) / ((x + 4)^(1/2) + 2)
[Res.]
y = (u - 2) / (u + 2)
com u = v^(1/2)
com v = (x+4)
g) y = 1 / (x² + 3x - 5)^3
[Res.]
y = 1 / u^3
com u = x² + 3x - 5
h) y = x^(1/3) / (1 + x^(1/3))
[Res.]
y = u / (1 + u)
com u = x^(1/3)
8) Sejam f(x) = x² + 3x + 4 e g(x) = ax + b duas funções. Determine as constantes reais a e b para que (f ° g) (x) = (g ° f) (x) para todo x real.
[Res.]
(f ° g) (x) = (ax + b)² + 3(ax + b) + 4
(g ° f) (x) = a(x² + 3x + 4) + b
Fazendo (f ° g) (x) = (g ° f) (x):
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (g(x)) - 1
Como f(g(x)) = -2x:
(g(x)) - 1 = -2x
Assim:
g(x) = -2x + 1
10) Se f(x) = 2 / (2x + 5) determine o valor de x de modo que f(f(x)) = 2.
[Res.]
f(f(x)) = 2 / (2(2 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (4 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (((4 + 5 (2x +5))) / (2x+5))
= 2 / ((4 + 10x + 25) / (2x + 5))
= (4x + 10) / (10x + 29)
Como f(f(x)) = 2, logo:
(4x + 10) / (10x + 29) = 2
(4x + 10) = 2 . (10x + 29)
4x + 10 = 20x + 58
16x = -48
x = -48 / 16
x = -3
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
1) Considere f(x) = 1 / (x - 1). Determine o valor de x, para o qual (f ° f)(x) = 1.
[Res.]
f(f(x)) = 1 / ((1 / (x - 1)) - 1) = 1 / ((1 - x + 1) / (x-1)) = 1 / ((2-x)/(x-1))
Como f(f(x)) = 1, logo:
1 / ((2-x)/(x-1)) = 1
1 = (2-x)/(x-1)
x - 1 = 2 - x
2x = 3
x = 3/2
2) Se f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x², determine o valor de f(g(-1)) - g(f(-1)).
[Res.]
f(g(-1)) = 3(2x²) + 1 = 6x² + 1 = 6(-1)² + 1 = 7
g(f(-1)) = 2(3x + 1)² = 2(3(-1) + 1)² = 2 (-3+1)² = 2 (-2)² = 2 . 4 = 8
Logo:
f(g(-1)) - g(f(-1)) = 7 - 8 = -1
3) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1. Determine as raízes da equação f(g(x)) = 0.
[Res.]
f(g(x)) = 2(x² - 1) + 1 = 2x² - 2 + 1 = 2x² - 1
Fazendo 2x² - 1 = 0, obtém-se:
x1 = (-0 + (0 +8)^(1/2)) / 4 = 2(2)^(1/2)/4 = (2)^(1/2)/2
x2 = (-0 - (0 +8)^(1/2)) / 4 = -2(2)^(1/2)/4 = -(2)^(1/2)/2
4) Determine as funções compostas (f ° g)(x), (g ° f)(x) com seus respectivos domínios onde:
a) f(x) = x² - 3x e g(x) = (x + 2)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = ((x + 2)^(1/2))² - 3((x + 2)^(1/2))
= x + 2 - 3((x + 2)^(1/2))
Domínio = [-2, ∞[
g(f(x)) = ((x² - 3x) + 2)^(1/2)
= (x² - 3x + 2)^(1/2)
= ((x-2)(x-1))^(1/2)
Domínio = ]-∞, 1] U [2, ∞[
b) f(x) = (x-2)^(1/2) e g(x) = (x + 5)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (((x + 5)^(1/2))-2)^(1/2)
Domínio = [-1, ∞[
g(f(x)) = (((x-2)^(1/2)) + 5)^(1/2)
Domínio = [2, ∞[
c) f(x) = (25-x²)^(1/2) e g(x) = (x - 3)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (25-((x - 3)^(1/2))²)^(1/2)
= (28 - x)^(1/2))²)^(1/2)
Domínio = [3, 28]
g(f(x)) = (((25-x²)^(1/2)) - 3)^(1/2)
Domínio = [-4, 4]
d) f(x) = x / (3x + 2) e g(x) = 2/x
[Res.]
f(g(x)) = (2/x) / (3(2/x) + 2)
= (2/x)/((6+2x)/x) = 2/x * x/(6+2x) = 1 / (3+x)
Domínio = IR - {0, -3}
g(f(x)) = 2/(x / (3x + 2))
= (6x + 4) / x
Domínio = IR - {0, -2/3}
5) Sabendo que f(x) = x+2 e f(g(x)) = 2x - 3, determine a função g(x).
[Res.]
f(x) = x + 2
Fazendo g(x) = y, f(g(x)) = y + 2
Como f(g(x)) = 2x -3, logo:
2x - 3 = y + 2
y = 2x - 5
Logo, g(x) = 2x - 5
6) Sendo g(x) = x - 7 e f(g(x)) = 3x - 1, determine a função f(x).
[Res.]
De f(g(x)) = 3x - 1:
x = (f(g(x)) + 1) / 3
g(x) = (f(g(x)) + 1)/3 - 7 = (f(g(x)) + 1 - 21) / 3
3*g(x) = f(g(x)) -20
f(g(x)) = 3g(x) + 20
Logo:
f(x) = 3x + 20
7) Determine uma forma funcional composta para y em cada caso:
a) y = (x² + 3x)^(1/3)
[Res.]
y = u^(1/3)
com u = x^2 + 3x
b) y = 1 / (x - 3)^4
[Res.]
y = 1 / u^4
com u = x - 3
c) y = (x^4 - 16)^(1/4)
[Res.]
y = u^(1/4)
com u = x^4 - 16
d) y = 4 + (x^2 + 1)^(1/2)
[Res.]
y = 4 + u^(1/2)
com u = x^2 + 1
e) y = (x^4 - 2.x^2 + 5)^5
[Res.]
y = u^5
com u = x^4 - 2.x^2 + 5
f) y = ((x + 4)^(1/2) - 2) / ((x + 4)^(1/2) + 2)
[Res.]
y = (u - 2) / (u + 2)
com u = v^(1/2)
com v = (x+4)
g) y = 1 / (x² + 3x - 5)^3
[Res.]
y = 1 / u^3
com u = x² + 3x - 5
h) y = x^(1/3) / (1 + x^(1/3))
[Res.]
y = u / (1 + u)
com u = x^(1/3)
8) Sejam f(x) = x² + 3x + 4 e g(x) = ax + b duas funções. Determine as constantes reais a e b para que (f ° g) (x) = (g ° f) (x) para todo x real.
[Res.]
(f ° g) (x) = (ax + b)² + 3(ax + b) + 4
(g ° f) (x) = a(x² + 3x + 4) + b
Fazendo (f ° g) (x) = (g ° f) (x):
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b
a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b
a²x² + 2 abx + b² + 3b + 4 = ax² + 4a + b
2abx = 0
a²x² = ax², logo a² = a, e, portanto, a = 1
b² + 3b + 4 = 4a + b
Com a = 1, tem-se:
b² + 3b + 4 = 4a + b
b² + 3b + 4 = 4 . 1 + b
b² + 2b = 0
b (b + 2) = 0
b = 0 ou b = -2
Testando a = 1 e b = 0:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + 0)² + 3(1 . x + 0) + 4 = 1(x² + 3x + 4) + 0
x² + 3x + 4 = x² + 3x + 4, o que é verdadeiro!
Testando a = 1 e b = -2:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + (-2))² + 3(1 . x + (-2)) + 4 = 1 . (x² + 3x + 4) + (-2)
(x -2)² + 3(x - 2) + 4 = x² + 3x + 2
x² - 4x + 4 + 3x - 6 + 4 = x² + 3x + 2
x² - x + 2 = x² + 3x + 2, o que não é verdadeiro!
Logo, a resposta é:
a = 1 e b = 0.
9) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x - 1, e g(x) = ax + b. Sabendo que f(g(x)) = -2x, determine a função g(x).2abx = 0
a²x² = ax², logo a² = a, e, portanto, a = 1
b² + 3b + 4 = 4a + b
Com a = 1, tem-se:
b² + 3b + 4 = 4a + b
b² + 3b + 4 = 4 . 1 + b
b² + 2b = 0
b (b + 2) = 0
b = 0 ou b = -2
Testando a = 1 e b = 0:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + 0)² + 3(1 . x + 0) + 4 = 1(x² + 3x + 4) + 0
x² + 3x + 4 = x² + 3x + 4, o que é verdadeiro!
Testando a = 1 e b = -2:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + (-2))² + 3(1 . x + (-2)) + 4 = 1 . (x² + 3x + 4) + (-2)
(x -2)² + 3(x - 2) + 4 = x² + 3x + 2
x² - 4x + 4 + 3x - 6 + 4 = x² + 3x + 2
x² - x + 2 = x² + 3x + 2, o que não é verdadeiro!
Logo, a resposta é:
a = 1 e b = 0.
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (g(x)) - 1
Como f(g(x)) = -2x:
(g(x)) - 1 = -2x
Assim:
g(x) = -2x + 1
10) Se f(x) = 2 / (2x + 5) determine o valor de x de modo que f(f(x)) = 2.
[Res.]
f(f(x)) = 2 / (2(2 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (4 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (((4 + 5 (2x +5))) / (2x+5))
= 2 / ((4 + 10x + 25) / (2x + 5))
= (4x + 10) / (10x + 29)
Como f(f(x)) = 2, logo:
(4x + 10) / (10x + 29) = 2
(4x + 10) = 2 . (10x + 29)
4x + 10 = 20x + 58
16x = -48
x = -48 / 16
x = -3
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Assinar:
Postagens (Atom)
