ESO - Geometria Analítica (UCLx 11382-1)

Geometria Analítica (UCLx 11382-1)

• [v] Semana 1 - Vetores
• [v] Segmentos Orientados e Segmentos Equipolentes
• Segmentos equipolentes são segmentos orientados iguais: mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
• Propriedade reflexiva: AB ~ AB
• Simétrica: AB ~ CD < > CD ~AB
• Transitiva: AB ~CD e CD ~EF => AB ~EF
• [v] Definição de Vetores
• vetorV = {XY|XY~AB}
• vetorV = vetorAB = B - A
• Módulo do vetorV = |vetorV|
• Vetores iguais: dois vetores são iguais se eles são equipolentes.
• AB~CD => vetorAB = vetorCD
• vetor nulo: todo vetor com módulo igual a 0.
• vetor unitário: tem módulo igual a 1.
• vetores opostos: vetorAB e vetorBA: vetorBA = - vetorAB
• versor: versorU = vetorV / |vetorV| => |versorU| =1
• vetores colineares têm a mesma reta suporte
• vetores coplanares: se encontram no mesmo plano
• dois vetores quaisquer sempre determinam um plano
• [v] Operações com Vetores
• adição de vetores
• vetores paralelos
• vetores não paralelos
• Propriedades:
• Comutativa: vetorU + vetorV = vetorV + vetorU
• Associativa: (vetorU + vetorV) + vetorW = vetorU + (vetorV + vetorW)
• Elemento neutro: vetorU + vetor0 = vetorU
• Elemento oposto: vetorU + (-vetorU) = vetor0
• diferença entre dois vetores: vetorU - vetorV = vetorU + (-vetorV)
• multiplicação de um vetor por um número
• (αβ).vetorV = α . (β . vetorV)
• (α + β) . vetorV = α . vetorV + β . vetorV
• α . (vetorU + vetorV) = α . vetorU + α . vetorV
• 1 . vetorV = vetorV
• versor do vetorV: vetorU = 1/|vetorV| . vetorV (é um vetor unitário)
• nota α e β são números reais e diferentes de zero
• operações com vetores
• [v] Ângulo entre vetores - concluído em:
• 0<=teta<=180°
• 0<=teta<=pi radianos
• Vetores paralelos:
• Mesmo sentido: 0°
• Sentidos opostos: 180° ou pi radianos
• Vetores ortogonais:
• teta = pi/2 radianos ou 90°
• o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor

• [v] Exercícios - concluído em: 31 de Março de 2016.
• [v] Semana 2 - Vetores no Plano e no Espaço
• [v] Vetores no Plano - concluído em:
• [v] Vetores no plano
• [v] Operações com vetores no plano
• [v] Vetores definidos por dois pontos
• [v] Ponto médio
• [v] Exemplo 
• [v] Vetores no Espaço - concluído em:
• [v] Vetores no espaço - introdução
• [v] Definições
• [v] Exemplo 
• [v] Exercícios - concluído em: 31 de Março de 2016.
• [v] Semana 3 - Produto Escalar e Aplicações
• [v] Produto escalar
• [v] Produto escalar
• |vetorQP|²=|vetorU|²+|vetorV|²-2.|vetorU|.|vetorV|.cos teta, teta=ângulo(vetorU, vetorV)
• |vetorQP|²=|vetorU|²+|vetorV|²-2.(a1.a2+b1.b2+c1.c2)
• |vetorU|.|vetorV|.cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)
• cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)/(|vetorU|.|vetorV|)
• cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)/((a1²+b1²+c1²)^(1/2).(a2²+b2²+c2²)^(1/2))
• vetorU.vetorV=0, se vetorU=0 ou vetorV=0
• vetorU.vetorV=|vetorU|.|vetorV|.cos teta, se vetorU≠0 e vetorV≠0
• teta= ângulo(vetorU,vetorV)
• [v] Consequências do produto escalar
• cos(teta)=(vetorU.vetorV)/(|vetorU|.|vetorV|)
• vetorU.vetorV=|vetorU|.|vetorV|.cos(teta)
• |vetorU|=(vetorU.vetorU)^(1/2)
• vetorU.vetorU=|vetorU|.|vetorU|.cos(0)
• vetorU.vetorU=|vetorU|.|vetorU|.1
• vetorU.vetorU=|vetorU|²
• |vetorU|.|vetorV|.cos(teta)=a1.a2+b1.b2+c1.c2
• vetorU.vetorV=a1.a2+b1.b2+c1.c2
• [v] Propriedades
• vetorU.vetorV=vetorV.vetorU
• vetorU.vetorV=a1a2+b1b2+c1c2=a2a1+b2b1+c2c1= vetorV.vetorU
•  vetorU.(vetorV+vetorW) = vetorU.vetorV+vetorU.vetorW = (a1a2+b1b2+c1c2)+(a1a3+b1b3+c1c3) = vetorU.vetorV + vetorU.vetorW
• alfa(vetorU.vetorV)=vetorU.(alfa.vetorV)
• vetorU≠vetor0 >> vetorU.vetorU>0
• vetorU=vetor0 >> vetorU.vetorU=0
• [v] Observações
• [v] Ângulos Diretores
• [v] Cossenos diretores
• cos(alfa)=x/|vetorV|
• cos(beta)=y/|vetorV|
• cos(gama)=z/|vetorV|
• vetorU=versorV
• vetorU=vetorV/|vetorV|
• = (1/|vetorV|)*(x,y,z)
• = (x/|vetorV| , y/|vetorV|, z/|vetorV|)
• = (cos(alfa), cos(beta), cos(gama))

• cos²(alfa) + cos²(beta) + cos²(gama) = (x / |vetorV|)² + (y / |vetorV|)² + (z / |vetorV|)²
• = (x² + y² + z²) / |vetorV|²
• = |vetorV|² / |vetorV|² = 1
• cos²(alfa) + cos²(beta) + cos²(gama) = 1

• [v] Projeção de vetores
• [v] Projeção de vetores
• teta = ang(vetorU,vetorV) ≠ 0
• vetorV = vetorV1 + vetorV2 
• vetorV1 // vetorU
• vetorV2 perpendicular vetorU
• lambda = (vetorU.vetorV) / |vetorU|²
• vetorV1 = projeção de vetorV em vetorU
• = ((vetorU.vetorV) / |vetorU|² ). vetorU
• [v] Aplicação de Produto Escalar
• [v] Aplicação de produto escalar
• [v] Exercícios - concluído em:
• [v] Semana 4 - Produto Vetorial e Aplicações
• [v] O Produto Vetorial
• [v] Definição do Produto Vetorial
• [v] Propriedades 1
• Sejam vetorU=(x1,y1,z1), vetorV=(x2,y2,z2) e vetorW=(x3,y3,z3).
• vetorU x vetor U = 0
• vetorU x vetorV = - vetorV x vetorU
• vetorU x (vetorV + vetorW) = vetorU x vetorV + vetorU x vetorW
• lambda(vetorU x vetorV) = (lambda . vetorU) x vetorV = vetor U x (lambda . vetorV)
• vetorU x vetorV = 0 se
• vetorU = 0 ou vetorV=0
• vetorU // vetorV
• vetorV = alfa . vetorU
• [v] Propriedades 2
• Características do produto vetorial
• vetorU x vetorV é perpendicular vetorU
• vetorU x vetorV é perpendicular vetorV
• |vetorU x vetorV| = área do parelelogramo
• Área = |vetorU| . |vetorV| . sen(teta)
• |vetorU x VetorV| = |vetorU| . |vetorV| . sen(teta)
• Identidade de Lagrange: |vetorU x vetorV|² = |vetorU|² . |vetorV|² - (vetorU . vetorV)²
• [v] Produto vetorial - exemplo
• [v] Exercícios
• [v] Semana 5 - Produto Misto e aplicações
• [v] Produto Misto
• [v] Definição de produto misto
• V = S . h
• Volume =  área da base . altura
• S = |vetorU x vetorV| 
• h / |vetorW| = cos(teta)
• h = |vetorW| . cos(teta)
• V = |vetorU x vetorV| .|vetorW|.cos(teta)
• V = |vetorU x vetorV . vetorW|
• [vetorU, vetorV, vetorW] = determinante |(x1 y1 z1) (x2 y2 z2) (x3 y3 z3)| = vetorU . vetorV x vetorW
• [v] Propriedades do Produto Misto
• [v] Propriedades do produto misto
• Alternado:
• [vetorU, vetorV, vetorW] = - [vetorV, vetorU, vetorW] = [vetorV, vetorW, vetorU] = - [vetorW, vetorV, vetorU] = [vetorW, vetorU, vetorV] = - [vetorU, vetorW, vetorV]
• vetorU . vetorV x vetorW = vetorW . vetorU x VetorV
• vetorU . vetorV x vetorW = vetorU x vetorV . vetorW
• Trilinear:
• [alfa . vetorU, vetorV, vetorW] = [vetorU, alfa . vetorV, vetorW] = [vetorU, vetorV, alfa . vetorW], alfa pertencente aos reais
• [vetorU + vetorX, vetorV, vetorW] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorX, vetorV, vetorW]
• [vetorU, vetorV + vetorX, vetorW] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorU, vetorX, vetorW]
• [vetorU, vetorV, vetorW + vetorX] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorU, vetorV, vetorX]
• Vetores coplanares
•  [vetorU, vetorV, vetorW] = 0, vetorU, vetorV e vetorW são coplanares
• [v] Produto Misto - Exemplo
• [v] Produto misto - exemplo
• [v] Exercícios
• [v] Semana 6 - Avaliação
• [v] Avaliação intermediária
• [v] Semana 7 - A reta 
• [v] Equações da Reta
• [v] Equação vetorial e equações paramétricas da reta
• Equação paramétrica da reta
• A pertence a r, vetorV // r
• x pertence a r se e somente se vetorAx // vetorV
• vetorAX = t . vetorV, t pertence ao conjunto dos Reais
• vetor AX = X - A = t . vetorV
• X = A + t . vetorV
• vetorV = vetor diretor de r
• t = parâmetro
• X = (x,y,z) ; A = (X0,Y0,Z0) ; vetorV = (a,b,c)
• (x,y,z) = (X0,Y0,Z0) + t . (a,b,c)
• Equações paramétricas da reta r
• (x,y,z) = (X0,Y0,Z0) + t . (a,b,c)
• (x,y,z) = (X0 + t.a, Y0 + t.b, Z0 + t.c)
• r:
• x = X0 + t.a
• y = Y0 + t.b
• z = Z0 + t.c
• [v] Equações simétricas e reduzidas da reta
• r:
• x = x0 + at
• y = y0 + bt
• z = z0 + ct
• a, b, c diferentes de 0
• t = (x - x0) / a
• t = (y - y0) / b
• t = (z - z0) / c
• (x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c
• [v] Retas paralelas aos eixos e aos planos coordenados
• [v] Retas paralelas aos planos coordenados
• [v] Retas paralelas aos eixos coordenados
• [v] Ângulo e posição relativa entre retas
• [v] Ângulo de retas
• do produto escalar: 
• cosAlfa = (vetorU . vetorV) / (|vetorU| . |vetorV|)
• Estudar o sinal de vetorU . vetorV
• Com vetorU . vetorV > 0
• cosAlfa > 0
• a<=alfa<=pi/2
• teta = alfa (considerando teta o ângulo entre as retas)
• Com vetorU . vetorV < 0
•  cosAlfa < 0
• pi/2<=alfa<=pi
• teta = pi - alfa
• cos(Teta) = cos(pi - Alfa) = -cos(Alfa)
• cos(Teta) = - (vetorU . vetorV) / (|vetorU| . |vetorV|)
• cos(Teta) = |(vetorU . vetorV)| / (|vetorU| . |vetorV|)
• 0 <= teta <=pi/2
• [v] Posição relativa entre retas
• r e s reversas:
• [vetorAB,vetorR,vetorS] diferente de 0
• r e s paralelas:
• se e somente se existir lambda pertencente aos reais tal que vetorR = lambda . vetorS
• se todo ponto que pertencer a R pertencer a S, R e S são coincidentes (r=s)
• r e s são concorrentes:
• não existir lambda pertencente aos reais tal que vetorR= lambda . vetorS
• e existir um ponto P pertencente ao vetorR e ao vetorS, ou seja, se R e S tiverem um ponto em comum.
• [vetorAB,vetorR,vetorS] = 0
• [v] Posição relativa entre retas - exemplo
• [v] Perpendicularismo e ortogonalidade
• R é ortogonal a S:
• produto escalar entre vetorR e vetorS = 0
• produto misto diferente de 0 (não tem pontos em comum):
• [vetorAB,vetorR,vetorS] diferente de 0
• R é perpendicular a T:
• produto escalar entre vetorR e vetorS = 0 e há um ponto em comum entre a reta R e a reta S
• produto misto = 0 (tem ponto em comum):
• [vetorAB,vetorR,vetorS] = 0
• [v] Exercícios

•  [v] Semana 8 - O Plano
• [v] Equações do Plano
• [v] Equação vetorial e equações paramétricas do plano
• Ponto A pertence ao plano pi
• vetorU e vetorV paralelos ao plano pi
• ponto x pertence ao plano pi se e somente se:
• vetorAX, vetorU e vetorV são coplanares
• vetores coplanares: produto misto = 0
• existem t e h pertencentes aos reais tal que:
• vetorAX = t . vetorU + h . vetorV
• X - A = t . vetorU + h . vetorV
• Equação vetorial do plano pi:
• X = A + t . vetorU + h . vetorV
• vetores U e V são vetores diretores de pi
• Coordenadas:
• X = (x,y,z)
• A = (x0,y0,z0)
• vetorU = (a,b,c)
• veotrV = (m,n,p)
• (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t (a,b,c) + h (m,n,p)
• Equações paramétricas de pi:
• x = x0 + a.t + m.h
• y = y0 + b.t + n.h
• z = z0 + c.t + p.h
• h e t são os parâmetros de variação
• Observações:
• I:
• existe B pertencente a pi, e existe um vetorU1 e vetorV1 paralelos a pi tais que:
• X = B + t.vetorU1 + h.vetorV1 = A + t.vetorU + h.vetorV
• II:
• vetorU = vetorAB
• vetorV = vetorAC
• X = A + t . vetorAB + h . vetorAC
• Se A, B e C são pontos distintos e não colineares de pi
• [v] Equação geral do plano
• Considere ponto A(x0,y0,z0) pertencente ao plano pi
• Considere um vetorN = (a,b,c) | vetorN é perpendicular ao plano pi
• Considere um ponto P(x,y,z) pertencente ao plano pi
• vetorAP pertencente ao plano pi
• vetorN é perpendicular ao vetorAP
• vetornN.vetorAP = 0
• vetorAP = P - A = (x,y,z,)-(x0,y0,z0)
• vetorAP = (x-x0,y-y0,z-z0)
• vetornN.vetorAP = (a,b,c) . (x-x0,y-y0,z-z0) = 0
• a.x - a.x0 + b.y - b.y0 + c.z - c.z0 = 0
• a.x + b.y + c.z - (a.x0 +b.y0 + c.z0) = 0
• - (a.x0 +b.y0 + c.z0) = d
• Equação geral do plano pi:
• a.x + b.y + c.z + d = 0
• Observação:
• sejam A e X pertencentes a pi e vetorU e vetorV dois vetores pertencentes a pi:
• vetorAX, vetorU, vetorV são coplanares (produto misto = 0)
• [vetorAX,vetorU, vetorV] = 0
• determinante:
• vetorU = (r,s,t)
• vetorV = (m,n,p)
• |(x-x0 y-y0 z-z0) (r s t) (m n p)| = 0
• |(s t) (n p)| . x + |(t r) (p m)| . y + |(r s) (m n)| . z - |(s t) (n p)| . x0 - |(t r) (p m)| . y0 - |(r s) (m n) . z0| = 0
• a . x + b . y + c . z + d = 0
• [v] Casos particulares da equação geral do plano
• a.x + b.y + c.z + d = 0, a, b, c, d pertencem aos reais
• Caso 1: a, b, c e d diferentes de 0:
• x = y = 0
• c . z + d = 0
• z = -d/c
• x = z = 0
• b.y + d = 0
• y = -d/b
• y = z = 0
• a .x +d =0
• x = -d /a
• Caso 2: d = 0 >> a.x + b.y + c.z = 0
• o plano corta os eixos coordenados na origem
• Caso 3:
• a = 0:
• plano pi: b.y + c.z + d = 0
• plano pi é paralelo a Ox
• b = 0:
• plano pi: a.x + c.z + d = 0
• plano pi é paralelo a Oy
• c = 0:
• plano pi: a.x + b.y + d = 0
• plano pi é paralelo a Oz
• Caso 4:
• a = b = 0:
• plano pi: c.z + d = 0
• plano pi paralelo ao plano xOy
• a = c = 0:
• plano pi: b.y + d = 0
• plano pi paralelo ao plano xOz
• b = c = 0:
• plano pi: a.x + d = 0
• plano pi paralelo ao plano yOz
• [v] Ângulos
• [v] Ângulo entre reta e plano
• teta = ângulo entre o plano pi e a reta r
• vetor normal ao plano: vetorN = (a,b,c)
• plano pi: a.x + b.y + c.z +d = 0
• vetorN faz um ângulo alfa com a reta r
• alfa + teta = 90°
• alfa = 90° - teta
• cos(alfa) = cos(90° - teta)
• cos(alfa) = sen(teta)
• vetorU é o vetor diretor da reta r:
• cos(alfa) = |vetorU . vetorN| / (|vetorU| . |vetorN|)
• 0 <= alfa <= pi/2
• sen(teta) = |vetorU . vetorN| / (|vetorU| . |vetorN|)
• Exemplo:
• reta r: x = (1,0,0) + t . (-1,-1,0)
• vetor diretor da reta r:
• vetorU = (-1,-1,0)
• plano pi: y + z - 10 = 0
• vetor normal: vetorN = (0,1,1)
• sen(teta) = |(-1,-1,0) . (0,1,1)| / (sqrt(1+1+0) . sqrt(0+1+1)) = |0-1+0| / (sqrt(2) . sqrt(2)) = 1/2
• teta = pi/6 = 30°
• [v] Ângulo entre dois planos
• vetorN1 normal ao plano pi1
• vetorN2 normal ao plano pi2
• teta é o ângulo entre os vetores vetorN1 e vetorN2:
• cos(teta) = |vetorN1 . vetorN2| / (|vetorN1| . |vetorN2|)
• 0 <= teta <= pi/2
• Exemplo:
• plano pi1: x - y + z = 20
• vetorN1 = (1,-1,1)
• plano pi2: x + y + z = 0
• vetorN2 = (1,1,1)
• cos(teta) = |(1,-1,1) . (1,1,1)| / (sqrt(1+1+1) . sqrt(1+1+1)) = |1-1+1| / (sqrt(3).sqrt(3)) = 1/3
• teta = arccos(1/3)
• [v] Perpendicularismo
• Perpendicularismo entre reta e plano
• reta r e plano pi:
• vetor diretor da reta r: vetorR
• vetores do plano pi: vetorU e vetorV
• se a reta r for perpendicular ao plano pi:
• vetorR é paralelo ao produto vetorial entre vetorU e vetorV:
• vetorU x vetorV = vetorW
• vetorR // vetorW
• plano pi: a.x + b.y + c.z + d = 0
• vetorN = (a,b,c)
• vetorN // vetorR
• Perpendicularismo entre plano e plano
• plano pi1:
• vetorN1
• plano pi2:
• vetorN2
• se pi1 e pi2 são perpendiculares
• vetorN1 e vetorN2 são perpendiculares:
• vetorN1 . vetorN2 = 0
• Exemplo:
• reta r:
• x = (0,1,0) + t . (1,1,3)
• vetor diretor da reta:
• vetorR = (1,1,3)
• plano pi:
• x = (3,4,5) + t. (6,7,8) + h . (9, 10, 11)
• vetor normal ao plano pi:
• vetorU = (6,7,8)
• vetorV = (9,10,11)
• vetorN = vetorU x vetorV
• vetorN = |(i,j,k) (6,7,8) (9,10,11)| = 77i + 72j + 60k - 63k - 80i - 66j = (-3,-6,-3)
• Não existe lambda pertencente aos reais tal que vetorN = lambda . vetorR:
• vetorN e vetorR não são paralelos
• r e pi não são perpendiculares
• [v] Exercícios
• [v] Semana 9 - Posições relativas
• [v] Posição relativa
• [v] Posição relativa entre reta e plano
• reta r:
• x = (x0,y0,z0) + t . (m,n,p)
• vetor diretos da reta:
• vetorR = (m,n,p)
• plano pi:
• a.x + b.y + c.z + d = 0
• vetor normal ao plano:
• vetorN = (a,b,c)
• Existem 3 posições relativas entre a reta e o plano:
• reta r paralela ao plano pi
• a reta r é perpendicular ao vetor normal ao plano pi
• vetorR é perpendicular ao vetorN
• vetorR . vetorN = 0
• reta r contida no plano pi
• se além de ser paralela existir um ponto A (x0,y0,z0) pertencente à reta e também pertecente ao plano pi: a reta está contida no plano pi
• reta r transversal ao plano pi
• o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano não são perpendiculares:
• vetorR . vetorN ≠ 0
• interseção entre a reta r e o plano pi é igual a um ponto P
• x = x0 + t.m
• y = y0 + t.n
• z = z0 + t.p
• a.x + b.y + c.z +d = 0.
• [v] Posição relativa entre reta e plano - exemplo
• Plano pi:
• x = (1,1,3) + lambda.(1,-1,1) + mi.(0,1,3)
• A = (1,1,3)
• vetorU = (1,-1,1) 
• vetorV = (0,1,3)
• reta r:
• x = (1,1,1) + alfa . (3,2,1)
• vetorR = (3,2,1)
• Achando a equação geral do plano pi:
• [vetorAX,vetorU,vetorV] = 0
• 4.x + 3.y - z - 4 = 0
• vetor normal ao plano pi:
• vetorN = (4,3,-1)
• vetorN . vetorR = (4,3,-1) . (3,2,1) = 12 + 6 -1 = 17 ≠ 0
• vetorN . vetorR ≠ 0
• vetorR é transveral a pi
• interseção entre a reta r e o plano pi
• P = (x,y,z) pertence à reta r e ao plano pi
• x = 1 + 3 . alfa
• y = 1 + 2 . alfa
• z = 1 + alfa
• 4.x + 3.y - z - 4 = 0
• 4 . (1 + 3.alfa) + 3 . (1 + 2.alfa) - (1 + alfa) - 4 = 0
• 4 + 12.alfa + 3 + 6.alfa - 1 - alfa - 4 = 0
• alfa =-2/17
• x = 1 + 3. (-2/17) = 11/17
• y = 1 + 2 . (-2/17) = 13/17
• z = 1 + (-2/17) = 15/17
• P = (11/17, 13/17, 15/17) pertence à interseção entre a reta r e o plano pi
• [v] Posição relativa entre planos
• plano pi1:
• a1.x + b1.y + c1.z +d1 = 0
• vetorN1= (a1,b1,c1)
• plano pi2:
• a2.x + b2.y + c2.z +d2 = 0
• vetorN2= (a2,b2,c2)
• plano pi1 = plano pi2 ?
• plano pi1 // plano pi2 ? (paralelo?)
• plano pi1 secante plano pi2?
• quando pi1 e pi2 são secantes, a interseção entre pi1 e pi2 é uma reta
• vetorN1 e vetorN2 não são colineares:
• plano pi1 e plano pi2 são secantes
• reta r secante:
• resolver o sistema:
• a1.x + b1.y + c1.z +d1 = 0
• a2.x + b2.y + c2.z +d2 = 0
• vetorN1 e vetorN2 são colineares:
• vetorN1 = lambda . vetorN2
• plano pi1 // plano pi2 ou plano pi1 = plano pi2
• ponto P pertencente a pi1
• se P também é pertencente a pi2, pi1 e pi2 são coincidentes
• Exemplo:
• plano pi1:
• 2.x - y + z - 1 = 0
• vetorN1 = (2,-1,-1)
• plano pi2:
• x - 1/2 . y +1/2 . z - 9 = 0
• vetorN2 = (1,-1/2,-1/2)
•  vetorN1 = 2 . vetorN2
• vetorN1 // vetorN2
• plano pi1 // plano pi2 ou plano pi1 = plano pi2
• Ponto P(0,0,z) pertencente a pi1:
• 2.0 - 0 + z -1 = 0
• z =1
• P = (0,0,1)
• Ponto P (0,0,1) em pi2:
• 0 - 1/2 .0 + 1/2.1 - 9 = 1/2 - 9 ≠ 0
• O ponto P não pertence a pi2
• Portanto, os planos pi1 e pi2 são planos distintos, porém, parelelos.
• [-] Exercícios
• [v] Semana 10 - Distâncias
• [v] Distâncias
• [v] Distância de ponto a ponto - Distância de ponto a reta
• Distância de ponto a ponto
• Considere um ponto A (x1,y1,z1) 
• Considere um ponto B (x2,y2,z2) 
• dist(A,B) = |vetorAB|
• [(x2-x1)²+ (y2-y1)² + (z2-z1)²]¹/²
• Distância de ponto a reta
• Área do paralelograma = base . altura do paralelogramo
• = |vetorV| . d(P,r) = |vetorAP x vetorV|
• d(P,r) = |vetorAP x vetorV| / |vetorV|
• [v] Distância de ponto a plano
• Ponto P (x0,y0,z0)
• Plano pi
• vetorN (a,b,c)
• Ponto A no plano pi (x1,y1,z1)
• vetorAP = (x0-x1, y0-y1,z0-z1)
• vetorAP . vetorN = (x0-x1,y0-y1,z0-z1) . (a,b,c)
• = a.x0+b.y0+c.z0-(a.x1+b.y1+c.z1)
• vetorAP . vetorN = a.x0+b.y0+c.z0 + d
• dist (P,pi)
• projetar o vetorAP na direção do vetor normal ao plano pi
• dist (P,pi) = |vetorAP . (1/|vetorN|) .vetorN| 
• = |vetorAP . vetorN / |vetorN||
• dist (P,pi) = |a.x0+b.y0+c.z0 + d| / (a²+b²+c²)¹/²
• Equação geral do plano pi  = a.x0+b.y0+c.z0 + d
• [v] Distância entre duas retas
• reta r
• reta s
• encontrar uma reta t que seja perpendicular a r e a s
• intercessões A e B
• d(r,s) = d(A,B) = |vetorAB|
• Casos especiais
• r e s são concorrentes:
•  reta r e reta s se cruzam em um ponto:
• d(r,s)=0
• r é paralela a s
• d(r,s)=d(P,s), sendo P um ponto que pertence à reta r
• r e s são retas reversas
• reta r
• ponto A
• vetor diretor vetorR
• reta s
• ponto B
• vetor diretor vetorS
• a distância entre as retas é a altura do paralelepípedo formado pelo vetorR, vetorS e vetorAB
• V = S . d(r,s) = |vetorR x vetorS| . d(r,s)
• = [vetorAB,vetorR,vetorS]
• d(r,s) = [vetorAB,vetorR,vetorS] / |vetorR x vetorS|
• [v] Distância entre reta e plano - Distância entre planos
• reta secante ao plano pi
• existe uma intercessão entre a reta e o plano
• distância entre a reta e o plano = 0
• produto escalar entre vetorR da reta e vetorNormal do plano = 0
• r // plano pi ou r está contida no plano pi
• r // plano pi
• r está contida no plano pi
• vetorNormal ao plano é perpendicular ao vetor diretor da reta
• vetorR . vetorNormal = 0
• d(r,pi) = d(P, pi), P pertence a R
• quando r está contida em pi: d(r,pi)=0
• distância entre dois planos
• pi1 e pi2 são planos secantes
• d(pi1,pi2)=0
• vetorNormal1 não é paralelo ao vetorNormal2
•  pi1 // pi2 ou pi1=pi2
• vetorNormal1 // vetorNormal2
• vetorN1 . vetorN2 = 0
• d(P,pi1)=d(pi1,pi2), P pertencente a pi2
• [-] Exercícios
• [-] Semana 11 - Avaliação
• [-] Avaliação intermediária
• [v] Semana 12 - Cônicas - Parte 1
• [v] As seções cônicas
• Parábola
• Elipse
• Hipérbole
• Cônicas degeneradas
• reta
• contém a geratriz
• ponto
•  passa pelo vértice da superfície cônica
• duas retas
•  intercepta a superfície, passando pelo vértice da superfície cônica, e é paralelo ao eixo da superfície cônica
• [v] Parábola
• Elementos
• Foco
• reta diretriz da parábola
• vértice da parábola
• eixo
• 2p: parâmetro da parábola
• Equação da parábola
• P pertencente à parábola
• d(P,r)=d(P,F)
• |y+p|/sqrt(0²+1²)=sqrt((x-0)²+(y-p)²)
• (y+p)²=x² + (y-p)²
• y²+2yp+p²=x²+y²-2yp+p²
• x²=4py
• Vértice (0,0)
• y²=4px (parábola no outro eixo)
• Vértice (0,0)
• [v] Elipse
• d(F1,F2)=2c
• c>0
• a>0
• 2a>2c
• F1 e F2 são os focos da elipse
• a distância entre F1 e F2 é a distância focal
• d(P,f1)+d(P,F2)=2a
• A1A2: eixo maior
• d(A1,A2)=2a
• B1B2: eixo menor da elipse
• d(A1,A2)=2a
• A1,A2,B1,B2: vértices da elipse
• a²=b²+c²
• a>b
• a>c
• excentricidades:
• 0<e<1
• quanto mais próximo de 0, mais a elipse parece com uma circunferência
• quanto mais próximo de 1, mais a elipse parece achatada
• eixo maior
• e=c/a
• eixo menor
• e=c/b
• Equação reduzida da elipse
• d(P,F1)+d(P,F2)=2a
• |vetorPF1|+|vetorPF2|=2a
• sqrt(((x-(-c))²+y²)+sqrt((x-c)²+y²)=2a
• a²=b²+c²
• b²=a²-c²
• eixo maior da elipse no eixo X
• x²/a²+y²/b²=1
• eixo maior da elipse no eixo Y
• x²/b²+y²/a²=1
• Esboço do gráfico da elipse
• y=b/a*sqrt(a²-x²), 0<=x<=a
• Para todo P pertencente à elipse
• x²/a²<=1
• -a<=x<=a
• y²/b²<=1
• -b<=y<=b
• em toda elipse a>b
• [v] Hipérbole
• d(F1,F2)=2c
• 2c>0
• 0<a<c
•  P pertence à hipérbole
• |d(P,F1)-d(P,F2)|=2a
• Equação reduzida da hipérbole
• c²=a²+b²
• F1 e F2: focos da hipérbole
• 2c = distância entre os focos
• A1A2: eixo transverso
• B1B2: eixo conjugado
• O: centro
• A1 e A2: vértices
• F1 e F2: segmento focal
• r e s: assíntotas
• F1(-c,0)
• F2(c,0)
• |sqrt(x-(-c)²)+y²)-sqrt((x-c)²+y²|=2a
• c²=a²+b²
• focos da hipérbole pertencentes ao eixo X:
• x²/a² - y²/b²=1
• focos da hipérbole pertencentes ao eixo Y:
• -x²/b² + y²/a²=1
• Observações
• x²/a² - y²/b²=1
• y=b/a*sqrt(x²-a²)
• x>=a
• Para qualquer P(x,y) pertencente a hipérbole
• x²/a²=1+y²/b²>=1
• x>=a
• x<=-a
• Quando F1 e F2 pertencem ao eixo Ox
• r: y=b/a*x
• s: y = -b/a*x
• x²/a²-y2/b²=1
• Quando F1 e F2 pertencem ao eixo Oy
• r: y=a/b*x
• s: y = -a/b*x
• -x²/b²+y2/a²=1
• [v] Mudança de coordenadas
• Translação
• x=h+x'
• x'=x-h
• y=r+y'
• y'=y-r
• P (x,y) = P' (x-h, y-r)
• Rotação
• vetorF1=Versor_i.Cos_teta + Versor_j.Sen_teta
• vetorF2= -Versor_i.Sen_teta + Versor_j.Cos_teta
• P(x,y)
• vetorOP = x'*vetorF1+y'*vetorF2
• x'*(Versor_i.Cos_teta + Versor_j.Sen_teta)+y'*(-Versor_i.Sen_teta + Versor_j.Cos_teta)
• (x'*CosTeta-y'*SenTeta)versor_i + (x'*SenTeta+y'*CosTeta)versor_j
• x = x'*CosTeta-y'*SenTeta
• y = x'*SenTeta+y'*CosTeta
• [-] Exercícios
• [v] Semana 13 - Cônicas - Parte 2
• [v] Cônicas transladadas
• Parábola
•  (x-h)²=4p(y-k)
• x²-2hx-4py+h²+4pk=0
• G(x,y)=Ax²+Cx+Dy+E=0
• Se o eixo de simetria da parábola for paralelo ao eixo OX
• G(x,y)=By²+Cx+Dy+E=0
• Elipse
• (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
• G(x,y)=Ax²+By²+Cx+Dy+E=0
• Hipérbole
• (x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1
• G(x,y)=Ax²+By²+Cx+Dy+E=0
• [v] Equações paramétricas das cônicas
• Parábola
• Eixo de simetria paralelo ao eixo Y
• x²=4py
• y=1/4p*x²
• Equação paramétrica da parábole
• x=t
• y=1/4p*t²
• Elipse
• x²/a²+y²/b²=1
• x'=x/a
• y'=y/b
• Equação de uma circunferência
• (x')²+(y')²=1
• x'=Cos_Teta
• x/a=Cos_Teta
• y'=Sen_Teta
• y/b=Sen_Teta
• Equação paramétrica da elipse
• x=a*cos*t
• t=b*sen*t
• t pertencente ao intervalo de 0 a 2pi
• Hipérbole
• x²/a²-y²/b²=1
• tg²t+1=sec²t
• sec²t-tg²t=1
• x/a=sec_t
• y/b=tg_t
• t pertencente ao intervalo entre 0 e 2pi
• Equações paramétricas da hipérbole
• x=a*sec_t
• y=b*tg_t
• t pertence ao intervalo entre -pi/2 e pi/2 (ramo direito da hipérbole) União com o intervalo entre pi/2 e 3*pi/2 (ramo esquerdo da hipérbole)
• [-] Exercícios
• [v] Semana 14 - Superfícies Quádricas
• [v] Introdução ao estudo das quádricas
• Superfície pertence ao R³:
• G(x,y,z) = ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz+mx+ny+pz=0
• a,b,c,d,e ou f deve ser diferente de 0
• S intercessão pi é uma cônica
• traço da superfície quádrica
• Equações canônicas das quádricas
• Ax²+By²+Cz²=D
• Quádrica cêntrica
• elipsóide
• hiperbolóide
• cone
• Quádricas não cêntricas
• Ax²+By²=Cz
• Ax²+Bz²=Cy
• Ay²+Bz²=Cx
• Cilindro
• Parabolóide
• [v] Superfície esférica
• [v] Superfície esférica
• S é o conjunto de todos os pontos P pertencentes ao R³, tais que d(P,C)=r, que é o raio da esfera
• d(P,C)=sqrt((x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²)=r
• Equação reduzida da superfície S
• S: (x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)² = r²
• Equação geral da superfície:
• x²+y²+z²+ax+by+cz+d=0
• (x+a/2)²+(y+b/2)²+(z+c/2)²=1/4*(a²+b²+c²-4d)
• se (a²+b²+c²-4d) > 0
• C = (-a/2,-b/2,-c/2)
• r = sqrt(a²+b²+c²-4d)/2
• se (a²+b²+c²-4d) = 0
• C = (-a/2,-b/2,-d/2)
• r=0 > Ponto!
•  se (a²+b²+c²-4d) < 0
• conjunto vazio!
• [v] Plano tangente a uma superfície esférica
• Intercessão entre S e pi é um ponto: ponto T
• vetorCT é normal ao plano pi
• d(C,T) = r
• [v] Superfície cilíndrica
• [v] Superfície cônica
• Caso 1
• x²/a²+y²/b²=z²
• Caso 2 - Se o eixo for ao longo do eixo Y
•  x²/a²+z²/c²=1
• y=b
• v=(0,0,0)
•  x²/a²+z²/c²=y²
• Caso 3 - Se a superfície elíptica estiver ao longo do eixo X
•  y²/b²+z²/c²=1 
• x=a
• V=(0,0,0)
•  y²/b²+z²/c²=x²
• V=(h,k,l)
• x'=x-h
• y'=y-k
• z'=z-l
• Caso 1
• (x-h)²/a²+(y-k)¹/b²=(z-l)²
• Caso 2
• (x-h)²/a²+(z-l)²/c²=(y-k)²
• Caso 3
• (y-k)²/b²+(z-l)²/c²=(x-h)²
• [v] Superfícies de revolução
• [v] Superfície de revolução
• S: x²+z²=2y
• eixo x:
• y² + z²=2x
• eixo y:
• x²+z²=2y
• eixo z:
• x²+y²=2z
•  z²=2y
• x²+z²=2y
• [v] Elipsóide
• Elipse: y²/b²+z²/c²=1
• Elipsóide:
• y²/b²+(x²+z²)/c²=1
• x²/c²+y²/b²+z²/c²=1
• Forma canônica do elipsóide
• x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
• Soluções de S:
• pontos onde o elipsóide intercepta os eixos coordenados:
• (+-a,0,0), (0,+-b,0), (0,0,+-c)
• Traços
• xOy: z=0
• x²/a²+y²/b²=1
• xOz: y=0
• x²/a²+z²/c²=1
• yOz: x=0
• y²/b²+z²/c²=1
• Elipses, pontos e conjunto vazio:
• x=k
• y=k
• z=k
•  a=b=c:
• x²/a²+y²/a²+z²/a²=1
• Equação de uma esfera com centro na origem e raio igual a a:
• x²+y²+z²=a² 
• C=(h,k,l)
• Quando os eixos do elipsóide são parelelos aos eixos coordenados e ocorreu uma translação de eixos:
• (x-h)²/a²+(y-k)²/b²+(z-l)²/c²=1
• [v] Hiperbolóide de uma folha
• hipérbole:
• y²/b²-z²/c²=1
• y= +-sqrt(x²+y²)
• (x²+y²)/b²-z²/c²=1
• x²/b²+y²/b²-z²/c²=1
• Geral
• Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OZ:
• x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
• Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OY:
• x²/a²-y²/b²+z²/c²=1
• Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OX:
• -x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
• Traços:
• xOy: z=0
• elipse: x²/a²+y²/b²=1
• xOz: y=0
• hipérbole: x²/a²-z²/c²=1
• yOz: x=0
• hipérbole: y²/b²-z²/c²=1
• [v] Hiperbolóide de duas folhas
• hipérbole:
• y²/b²-z²/c²=1
• x=+-sqrt(x²+z²)
• Equação do hiperbolóide:
• y²/b²-(x²+z²)/c²= 1
• -x²/c²+y²/b²-z²/c²=1
• Geral:
• Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OY:
• -x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
• Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OX:
• x²/a²-y²/b²-z²/c²=1
• Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OZ:
• -x²/a²-y²/b²+z²/c²=1
• Traços:
• C=(h,k,l)
• -(x-h)²/a²+(y-k)²/b²+(z-l)²/c²=1
• Resumindo
• +-x²/a²+-y²/b²+-z²/c²=1
• +++: elipsóide
• hiperbolóide de uma folha:
• +-+
• ++-
• -++
• hiperbolóide de duas folhas:
• +--
• -+-
• --+
• [v] Parabolóide elíptico
• Parábola: z=y²/b²
• x=0
• girar a parábola em torno do eixo OZ 
• Parabolóide de revolução
• y=+-sqrt(x²+y²)
• z=(x²+y²)/b²
• z=x²/b²+y²/b²
• Geral:
• Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OZ:
• z=x²/a²+y²/b² 
• Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OX:
• x=y²/b²+z²/c² 
• Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OY:
• y=x²/a²+z²/c² 
• Traços do parabolóide:
• xOy: z=0
• C=(0,0,0)
• z=k>0:
• elipse
• z=k<0:
• conjunto vazio
• x=k ou y=k: eixos paralelos a Oz:
• parábolas
• [v] Parabolóide hiperbólico
• Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz:
• z=y²/b²-x²/a²
• Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oy:
• y=z²/c²-x²/a²
• Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Ox:
• x=z²/c²-y²/b²
• Traços do parabolóide:
• x=k
• Equação de parábola
• z=y²/b²-k²/a²
• y=k
• Equação de parábola
• z=k²/b²-x²/a²
• z=k
•  Hipérbole
• k=y²/b²-x²/a²
• k=0
• y²/b²-x²/a²=0
• (y/b-x/a)(y/b+x/a)=0
• Equações de duas retas que passam pela origem
• k>0:
• eixo real paralelo a Oy
• k<0:
• eixo real paralelo a Ox
• [v] Cone circular
• reta g:
• z=my
• x=0
• está no plano yOz
• rotação em torno do eixo Oz:
• y=+-sqrt(x²+y²)
• z=m(+-sqrt(x²+y²)
• z²=m²x²+m²y²
• m=1/a
• Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Oz:
• z²=x²/a²+y²/a²
• Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Oy:
• y²=x²/a²+z²/a²
• Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Ox:
• x²=y²/a²+z²/a²
• Observações:
• intercessão entre o cone circular e os eixos coordenados é a origem
• v=(0,0,0)
• Traços
• xOy:
• z=0
• x²/a²+y²/a²=0
• ponto que satisfaz: (0,0,0)
• xOz:
• y=0
• z²=x²/a²
• x=+-az
• yOz:
• x=0
• y=+-az
• x=+-az  e y=+-az:
• retas concorrentes que passam pela origem
• z²=y²/a²
• z=k
• x²/a²+y²/a²=k²
• k diferente de 0
• circunferência
• C(0,0)
• raio r  = ak
• x=k
• k²/a²+y²/a²=z²
• hipérbole:
• z²-y²/a²=k²/a²
• k diferente de 0
• y=k
• x²/a²+k²/a²=z²
• hipérbole:
• z²-x²/a²=k²/a²
• k diferente de 0
• [] Exercícios
• [] Semana 15 - Avaliação
• [] Avaliação Intermediária
• [] Trabalho de cônicas e quádricas

Lucas T R Freitas