domingo, 20 de março de 2016

ESO - Geometria Analítica (UCLx 11382-1)

Geometria Analítica (UCLx 11382-1)
  • [v] Semana 1 - Vetores
    • [v] Segmentos Orientados e Segmentos Equipolentes
      • Segmentos equipolentes são segmentos orientados iguais: mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
        • Propriedade reflexiva: AB ~ AB
        • Simétrica: AB ~ CD < > CD ~AB
        • Transitiva: AB ~CD e CD ~EF => AB ~EF
    • [v] Definição de Vetores
      • vetorV = {XY|XY~AB}
      • vetorV = vetorAB = B - A
      • Módulo do vetorV = |vetorV|
      • Vetores iguais: dois vetores são iguais se eles são equipolentes.
        • AB~CD => vetorAB = vetorCD
        • vetor nulo: todo vetor com módulo igual a 0.
        • vetor unitário: tem módulo igual a 1.
        • vetores opostos: vetorAB e vetorBA: vetorBA = - vetorAB
        • versor: versorU = vetorV / |vetorV| => |versorU| =1
        • vetores colineares têm a mesma reta suporte
        • vetores coplanares: se encontram no mesmo plano
        • dois vetores quaisquer sempre determinam um plano
    • [v] Operações com Vetores
      • adição de vetores
      • vetores paralelos
      • vetores não paralelos
      • Propriedades:
        • Comutativa: vetorU + vetorV = vetorV + vetorU
        • Associativa: (vetorU + vetorV) + vetorW = vetorU + (vetorV + vetorW)
        • Elemento neutro: vetorU + vetor0 = vetorU
        • Elemento oposto: vetorU + (-vetorU) = vetor0
      • diferença entre dois vetores: vetorU - vetorV = vetorU + (-vetorV)
      • multiplicação de um vetor por um número
        • (αβ).vetorV = α . (β . vetorV)
        • (α + β) . vetorV = α . vetorV + β . vetorV
        • α . (vetorU + vetorV) = α . vetorU + α . vetorV
        • 1 . vetorV = vetorV
        • versor do vetorV: vetorU = 1/|vetorV| . vetorV (é um vetor unitário)
          • nota α e β são números reais e diferentes de zero
      • operações com vetores
    • [v] Ângulo entre vetores - concluído em:
      • 0<=teta<=180°
      • 0<=teta<=pi radianos
      • Vetores paralelos:
        • Mesmo sentido: 0°
        • Sentidos opostos: 180° ou pi radianos
        • Vetores ortogonais:
          • teta = pi/2 radianos ou 90°
          • o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor
      • [v] Exercícios - concluído em: 31 de Março de 2016.
    • [v] Semana 2 - Vetores no Plano e no Espaço
      • [v] Vetores no Plano - concluído em:
        • [v] Vetores no plano
        • [v] Operações com vetores no plano
        • [v] Vetores definidos por dois pontos
        • [v] Ponto médio
        • [v] Exemplo 
      • [v] Vetores no Espaço - concluído em:
        • [v] Vetores no espaço - introdução
        • [v] Definições
        • [v] Exemplo 
      • [v] Exercícios - concluído em: 31 de Março de 2016.
    • [v] Semana 3 - Produto Escalar e Aplicações
      • [v] Produto escalar
        • [v] Produto escalar
          • |vetorQP|²=|vetorU|²+|vetorV|²-2.|vetorU|.|vetorV|.cos teta, teta=ângulo(vetorU, vetorV)
          • |vetorQP|²=|vetorU|²+|vetorV|²-2.(a1.a2+b1.b2+c1.c2)
          • |vetorU|.|vetorV|.cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)
            • cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)/(|vetorU|.|vetorV|)
            • cos teta = (a1.a2+b1.b2+c1.c2)/((a1²+b1²+c1²)^(1/2).(a2²+b2²+c2²)^(1/2))
          • vetorU.vetorV=0, se vetorU=0 ou vetorV=0
          • vetorU.vetorV=|vetorU|.|vetorV|.cos teta, se vetorU≠0 e vetorV≠0
            • teta= ângulo(vetorU,vetorV)
        • [v] Consequências do produto escalar
          • cos(teta)=(vetorU.vetorV)/(|vetorU|.|vetorV|)
            • vetorU.vetorV=|vetorU|.|vetorV|.cos(teta)
          • |vetorU|=(vetorU.vetorU)^(1/2)
            • vetorU.vetorU=|vetorU|.|vetorU|.cos(0)
            • vetorU.vetorU=|vetorU|.|vetorU|.1
            • vetorU.vetorU=|vetorU|²
          • |vetorU|.|vetorV|.cos(teta)=a1.a2+b1.b2+c1.c2
            • vetorU.vetorV=a1.a2+b1.b2+c1.c2
        • [v] Propriedades
          • vetorU.vetorV=vetorV.vetorU
            • vetorU.vetorV=a1a2+b1b2+c1c2=a2a1+b2b1+c2c1= vetorV.vetorU
          •  vetorU.(vetorV+vetorW) = vetorU.vetorV+vetorU.vetorW = (a1a2+b1b2+c1c2)+(a1a3+b1b3+c1c3) = vetorU.vetorV + vetorU.vetorW
          • alfa(vetorU.vetorV)=vetorU.(alfa.vetorV)
          • vetorU≠vetor0 >> vetorU.vetorU>0
            • vetorU=vetor0 >> vetorU.vetorU=0
        • [v] Observações
      • [v] Ângulos Diretores
        • [v] Cossenos diretores
          • cos(alfa)=x/|vetorV|
          • cos(beta)=y/|vetorV|
          • cos(gama)=z/|vetorV|
          • vetorU=versorV
            • vetorU=vetorV/|vetorV|
            • = (1/|vetorV|)*(x,y,z)
            • = (x/|vetorV| , y/|vetorV|, z/|vetorV|)
            • = (cos(alfa), cos(beta), cos(gama))
          • cos²(alfa) + cos²(beta) + cos²(gama) = (x / |vetorV|)² + (y / |vetorV|)² + (z / |vetorV|)²
            • = (x² + y² + z²) / |vetorV|²
            • = |vetorV|² / |vetorV|² = 1
            • cos²(alfa) + cos²(beta) + cos²(gama) = 1
      • [v] Projeção de vetores
        • [v] Projeção de vetores
          • teta = ang(vetorU,vetorV) ≠ 0
            • vetorV = vetorV1 + vetorV2 
              • vetorV1 // vetorU
              • vetorV2 perpendicular vetorU
            • lambda = (vetorU.vetorV) / |vetorU|²
          • vetorV1 = projeção de vetorV em vetorU
            • = ((vetorU.vetorV) / |vetorU|² ). vetorU
      • [v] Aplicação de Produto Escalar
        • [v] Aplicação de produto escalar
      • [v] Exercícios - concluído em:
    • [v] Semana 4 - Produto Vetorial e Aplicações
      • [v] O Produto Vetorial
        • [v] Definição do Produto Vetorial
        • [v] Propriedades 1
          • Sejam vetorU=(x1,y1,z1), vetorV=(x2,y2,z2) e vetorW=(x3,y3,z3).
            • vetorU x vetor U = 0
            • vetorU x vetorV = - vetorV x vetorU
            • vetorU x (vetorV + vetorW) = vetorU x vetorV + vetorU x vetorW
            • lambda(vetorU x vetorV) = (lambda . vetorU) x vetorV = vetor U x (lambda . vetorV)
            • vetorU x vetorV = 0 se
              • vetorU = 0 ou vetorV=0
              • vetorU // vetorV
                • vetorV = alfa . vetorU
        • [v] Propriedades 2
          • Características do produto vetorial
            • vetorU x vetorV é perpendicular vetorU
            • vetorU x vetorV é perpendicular vetorV
            • |vetorU x vetorV| = área do parelelogramo
              • Área = |vetorU| . |vetorV| . sen(teta)
              • |vetorU x VetorV| = |vetorU| . |vetorV| . sen(teta)
              • Identidade de Lagrange: |vetorU x vetorV|² = |vetorU|² . |vetorV|² - (vetorU . vetorV)²
        • [v] Produto vetorial - exemplo
      • [v] Exercícios
    • [v] Semana 5 - Produto Misto e aplicações
      • [v] Produto Misto
        • [v] Definição de produto misto
          • V = S . h
            • Volume =  área da base . altura
          • S = |vetorU x vetorV| 
          • h / |vetorW| = cos(teta)
            • h = |vetorW| . cos(teta)
          • V = |vetorU x vetorV| .|vetorW|.cos(teta)
          • V = |vetorU x vetorV . vetorW|
          • [vetorU, vetorV, vetorW] = determinante |(x1 y1 z1) (x2 y2 z2) (x3 y3 z3)| = vetorU . vetorV x vetorW
      • [v] Propriedades do Produto Misto
        • [v] Propriedades do produto misto
          • Alternado:
            • [vetorU, vetorV, vetorW] = - [vetorV, vetorU, vetorW] = [vetorV, vetorW, vetorU] = - [vetorW, vetorV, vetorU] = [vetorW, vetorU, vetorV] = - [vetorU, vetorW, vetorV]
            • vetorU . vetorV x vetorW = vetorW . vetorU x VetorV
            • vetorU . vetorV x vetorW = vetorU x vetorV . vetorW
          • Trilinear:
            • [alfa . vetorU, vetorV, vetorW] = [vetorU, alfa . vetorV, vetorW] = [vetorU, vetorV, alfa . vetorW], alfa pertencente aos reais
            • [vetorU + vetorX, vetorV, vetorW] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorX, vetorV, vetorW]
            • [vetorU, vetorV + vetorX, vetorW] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorU, vetorX, vetorW]
            • [vetorU, vetorV, vetorW + vetorX] = [vetorU, vetorV, vetorW] + [vetorU, vetorV, vetorX]
          • Vetores coplanares
            •  [vetorU, vetorV, vetorW] = 0, vetorU, vetorV e vetorW são coplanares
      • [v] Produto Misto - Exemplo
        • [v] Produto misto - exemplo
      • [v] Exercícios
    • [v] Semana 6 - Avaliação
      • [v] Avaliação intermediária
    • [v] Semana 7 - A reta 
      • [v] Equações da Reta
        • [v] Equação vetorial e equações paramétricas da reta
          • Equação paramétrica da reta
            • A pertence a r, vetorV // r
            • x pertence a r se e somente se vetorAx // vetorV
            • vetorAX = t . vetorV, t pertence ao conjunto dos Reais
            • vetor AX = X - A = t . vetorV
              • X = A + t . vetorV
                • vetorV = vetor diretor de r
                • t = parâmetro
            • X = (x,y,z) ; A = (X0,Y0,Z0) ; vetorV = (a,b,c)
              • (x,y,z) = (X0,Y0,Z0) + t . (a,b,c)
            • Equações paramétricas da reta r
              • (x,y,z) = (X0,Y0,Z0) + t . (a,b,c)
                • (x,y,z) = (X0 + t.a, Y0 + t.b, Z0 + t.c)
                • r:
                  • x = X0 + t.a
                  • y = Y0 + t.b
                  • z = Z0 + t.c
        • [v] Equações simétricas e reduzidas da reta
          • r:
            • x = x0 + at
            • y = y0 + bt
            • z = z0 + ct
            • a, b, c diferentes de 0
              • t = (x - x0) / a
              • t = (y - y0) / b
              • t = (z - z0) / c
                • (x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c
      • [v] Retas paralelas aos eixos e aos planos coordenados
        • [v] Retas paralelas aos planos coordenados
        • [v] Retas paralelas aos eixos coordenados
      • [v] Ângulo e posição relativa entre retas
        • [v] Ângulo de retas
          • do produto escalar: 
            • cosAlfa = (vetorU . vetorV) / (|vetorU| . |vetorV|)
          • Estudar o sinal de vetorU . vetorV
            • Com vetorU . vetorV > 0
              • cosAlfa > 0
                • a<=alfa<=pi/2
                • teta = alfa (considerando teta o ângulo entre as retas)
            • Com vetorU . vetorV < 0
              •  cosAlfa < 0
                • pi/2<=alfa<=pi
                • teta = pi - alfa
                • cos(Teta) = cos(pi - Alfa) = -cos(Alfa)
                  • cos(Teta) = - (vetorU . vetorV) / (|vetorU| . |vetorV|)
                  • cos(Teta) = |(vetorU . vetorV)| / (|vetorU| . |vetorV|)
                  • 0 <= teta <=pi/2
        • [v] Posição relativa entre retas
          • r e s reversas:
            • [vetorAB,vetorR,vetorS] diferente de 0
          • r e s paralelas:
            • se e somente se existir lambda pertencente aos reais tal que vetorR = lambda . vetorS
            • se todo ponto que pertencer a R pertencer a S, R e S são coincidentes (r=s)
          • r e s são concorrentes:
            • não existir lambda pertencente aos reais tal que vetorR= lambda . vetorS
            • e existir um ponto P pertencente ao vetorR e ao vetorS, ou seja, se R e S tiverem um ponto em comum.
            • [vetorAB,vetorR,vetorS] = 0
        • [v] Posição relativa entre retas - exemplo
        • [v] Perpendicularismo e ortogonalidade
          • R é ortogonal a S:
            • produto escalar entre vetorR e vetorS = 0
            • produto misto diferente de 0 (não tem pontos em comum):
              • [vetorAB,vetorR,vetorS] diferente de 0
          • R é perpendicular a T:
            • produto escalar entre vetorR e vetorS = 0 e há um ponto em comum entre a reta R e a reta S
            • produto misto = 0 (tem ponto em comum):
              • [vetorAB,vetorR,vetorS] = 0
      • [v] Exercícios
    •  [v] Semana 8 - O Plano
      • [v] Equações do Plano
        • [v] Equação vetorial e equações paramétricas do plano
          • Ponto A pertence ao plano pi
          • vetorU e vetorV paralelos ao plano pi
          • ponto x pertence ao plano pi se e somente se:
            • vetorAX, vetorU e vetorV são coplanares
              • vetores coplanares: produto misto = 0
            • existem t e h pertencentes aos reais tal que:
              • vetorAX = t . vetorU + h . vetorV
              • X - A = t . vetorU + h . vetorV
              • Equação vetorial do plano pi:
                • X = A + t . vetorU + h . vetorV
                  • vetores U e V são vetores diretores de pi
                • Coordenadas:
                  • X = (x,y,z)
                  • A = (x0,y0,z0)
                  • vetorU = (a,b,c)
                  • veotrV = (m,n,p)
                  • (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t (a,b,c) + h (m,n,p)
                • Equações paramétricas de pi:
                  • x = x0 + a.t + m.h
                  • y = y0 + b.t + n.h
                  • z = z0 + c.t + p.h
                  • h e t são os parâmetros de variação
                • Observações:
                  • I:
                    • existe B pertencente a pi, e existe um vetorU1 e vetorV1 paralelos a pi tais que:
                      • X = B + t.vetorU1 + h.vetorV1 = A + t.vetorU + h.vetorV
                  • II:
                    • vetorU = vetorAB
                    • vetorV = vetorAC
                    • X = A + t . vetorAB + h . vetorAC
                    • Se A, B e C são pontos distintos e não colineares de pi
        • [v] Equação geral do plano
          • Considere ponto A(x0,y0,z0) pertencente ao plano pi
          • Considere um vetorN = (a,b,c) | vetorN é perpendicular ao plano pi
          • Considere um ponto P(x,y,z) pertencente ao plano pi
          • vetorAP pertencente ao plano pi
          • vetorN é perpendicular ao vetorAP
            • vetornN.vetorAP = 0
            • vetorAP = P - A = (x,y,z,)-(x0,y0,z0)
            • vetorAP = (x-x0,y-y0,z-z0)
            • vetornN.vetorAP = (a,b,c) . (x-x0,y-y0,z-z0) = 0
              • a.x - a.x0 + b.y - b.y0 + c.z - c.z0 = 0
              • a.x + b.y + c.z - (a.x0 +b.y0 + c.z0) = 0
                • - (a.x0 +b.y0 + c.z0) = d
                • Equação geral do plano pi:
                  • a.x + b.y + c.z + d = 0
                • Observação:
                  • sejam A e X pertencentes a pi e vetorU e vetorV dois vetores pertencentes a pi:
                    • vetorAX, vetorU, vetorV são coplanares (produto misto = 0)
                    • [vetorAX,vetorU, vetorV] = 0
                  • determinante:
                    • vetorU = (r,s,t)
                    • vetorV = (m,n,p)
                    • |(x-x0 y-y0 z-z0) (r s t) (m n p)| = 0
                      • |(s t) (n p)| . x + |(t r) (p m)| . y + |(r s) (m n)| . z - |(s t) (n p)| . x0 - |(t r) (p m)| . y0 - |(r s) (m n) . z0| = 0
                      • a . x + b . y + c . z + d = 0
        • [v] Casos particulares da equação geral do plano
          • a.x + b.y + c.z + d = 0, a, b, c, d pertencem aos reais
            • Caso 1: a, b, c e d diferentes de 0:
              • x = y = 0
                • c . z + d = 0
                  • z = -d/c
              • x = z = 0
                • b.y + d = 0
                  • y = -d/b
              • y = z = 0
                • a .x +d =0
                  • x = -d /a
            • Caso 2: d = 0 >> a.x + b.y + c.z = 0
              • o plano corta os eixos coordenados na origem
            • Caso 3:
              • a = 0:
                • plano pi: b.y + c.z + d = 0
                • plano pi é paralelo a Ox
              • b = 0:
                • plano pi: a.x + c.z + d = 0
                • plano pi é paralelo a Oy
              • c = 0:
                • plano pi: a.x + b.y + d = 0
                • plano pi é paralelo a Oz
            • Caso 4:
              • a = b = 0:
                • plano pi: c.z + d = 0
                • plano pi paralelo ao plano xOy
              • a = c = 0:
                • plano pi: b.y + d = 0
                • plano pi paralelo ao plano xOz
              • b = c = 0:
                • plano pi: a.x + d = 0
                • plano pi paralelo ao plano yOz
      • [v] Ângulos
        • [v] Ângulo entre reta e plano
          • teta = ângulo entre o plano pi e a reta r
            • vetor normal ao plano: vetorN = (a,b,c)
            • plano pi: a.x + b.y + c.z +d = 0
            • vetorN faz um ângulo alfa com a reta r
            • alfa + teta = 90°
              • alfa = 90° - teta
              • cos(alfa) = cos(90° - teta)
                • cos(alfa) = sen(teta)
            • vetorU é o vetor diretor da reta r:
              • cos(alfa) = |vetorU . vetorN| / (|vetorU| . |vetorN|)
                • 0 <= alfa <= pi/2
              • sen(teta) = |vetorU . vetorN| / (|vetorU| . |vetorN|)
          • Exemplo:
            • reta r: x = (1,0,0) + t . (-1,-1,0)
              • vetor diretor da reta r:
                • vetorU = (-1,-1,0)
            • plano pi: y + z - 10 = 0
              • vetor normal: vetorN = (0,1,1)
            • sen(teta) = |(-1,-1,0) . (0,1,1)| / (sqrt(1+1+0) . sqrt(0+1+1)) = |0-1+0| / (sqrt(2) . sqrt(2)) = 1/2
              • teta = pi/6 = 30°
        • [v] Ângulo entre dois planos
          • vetorN1 normal ao plano pi1
          • vetorN2 normal ao plano pi2
          • teta é o ângulo entre os vetores vetorN1 e vetorN2:
            • cos(teta) = |vetorN1 . vetorN2| / (|vetorN1| . |vetorN2|)
              • 0 <= teta <= pi/2
          • Exemplo:
            • plano pi1: x - y + z = 20
              • vetorN1 = (1,-1,1)
            • plano pi2: x + y + z = 0
              • vetorN2 = (1,1,1)
            • cos(teta) = |(1,-1,1) . (1,1,1)| / (sqrt(1+1+1) . sqrt(1+1+1)) = |1-1+1| / (sqrt(3).sqrt(3)) = 1/3
              • teta = arccos(1/3)
        • [v] Perpendicularismo
          • Perpendicularismo entre reta e plano
            • reta r e plano pi:
              • vetor diretor da reta r: vetorR
              • vetores do plano pi: vetorU e vetorV
            • se a reta r for perpendicular ao plano pi:
              • vetorR é paralelo ao produto vetorial entre vetorU e vetorV:
                • vetorU x vetorV = vetorW
                • vetorR // vetorW
              • plano pi: a.x + b.y + c.z + d = 0
                • vetorN = (a,b,c)
              • vetorN // vetorR
          • Perpendicularismo entre plano e plano
            • plano pi1:
              • vetorN1
            • plano pi2:
              • vetorN2
            • se pi1 e pi2 são perpendiculares
              • vetorN1 e vetorN2 são perpendiculares:
                • vetorN1 . vetorN2 = 0
          • Exemplo:
            • reta r:
              • x = (0,1,0) + t . (1,1,3)
              • vetor diretor da reta:
                • vetorR = (1,1,3)
            • plano pi:
              • x = (3,4,5) + t. (6,7,8) + h . (9, 10, 11)
              • vetor normal ao plano pi:
                • vetorU = (6,7,8)
                • vetorV = (9,10,11)
                • vetorN = vetorU x vetorV
                  • vetorN = |(i,j,k) (6,7,8) (9,10,11)| = 77i + 72j + 60k - 63k - 80i - 66j = (-3,-6,-3)
            • Não existe lambda pertencente aos reais tal que vetorN = lambda . vetorR:
              • vetorN e vetorR não são paralelos
              • r e pi não são perpendiculares
      • [v] Exercícios
    • [v] Semana 9 - Posições relativas
      • [v] Posição relativa
        • [v] Posição relativa entre reta e plano
          • reta r:
            • x = (x0,y0,z0) + t . (m,n,p)
              • vetor diretos da reta:
                • vetorR = (m,n,p)
          • plano pi:
            • a.x + b.y + c.z + d = 0
              • vetor normal ao plano:
                • vetorN = (a,b,c)
          • Existem 3 posições relativas entre a reta e o plano:
            • reta r paralela ao plano pi
              • a reta r é perpendicular ao vetor normal ao plano pi
              • vetorR é perpendicular ao vetorN
                • vetorR . vetorN = 0
            • reta r contida no plano pi
              • se além de ser paralela existir um ponto A (x0,y0,z0) pertencente à reta e também pertecente ao plano pi: a reta está contida no plano pi
            • reta r transversal ao plano pi
              • o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano não são perpendiculares:
                • vetorR . vetorN ≠ 0
              • interseção entre a reta r e o plano pi é igual a um ponto P
                • x = x0 + t.m
                • y = y0 + t.n
                • z = z0 + t.p
                • a.x + b.y + c.z +d = 0.
        • [v] Posição relativa entre reta e plano - exemplo
          • Plano pi:
            • x = (1,1,3) + lambda.(1,-1,1) + mi.(0,1,3)
              • A = (1,1,3)
              • vetorU = (1,-1,1) 
              • vetorV = (0,1,3)
          • reta r:
            • x = (1,1,1) + alfa . (3,2,1)
              • vetorR = (3,2,1)
          • Achando a equação geral do plano pi:
            • [vetorAX,vetorU,vetorV] = 0
              • 4.x + 3.y - z - 4 = 0
            • vetor normal ao plano pi:
              • vetorN = (4,3,-1)
          • vetorN . vetorR = (4,3,-1) . (3,2,1) = 12 + 6 -1 = 17 ≠ 0
            • vetorN . vetorR ≠ 0
              • vetorR é transveral a pi
          • interseção entre a reta r e o plano pi
            • P = (x,y,z) pertence à reta r e ao plano pi
              • x = 1 + 3 . alfa
              • y = 1 + 2 . alfa
              • z = 1 + alfa
              • 4.x + 3.y - z - 4 = 0
                • 4 . (1 + 3.alfa) + 3 . (1 + 2.alfa) - (1 + alfa) - 4 = 0
                • 4 + 12.alfa + 3 + 6.alfa - 1 - alfa - 4 = 0
                  • alfa =-2/17
                    • x = 1 + 3. (-2/17) = 11/17
                    • y = 1 + 2 . (-2/17) = 13/17
                    • z = 1 + (-2/17) = 15/17
                    • P = (11/17, 13/17, 15/17) pertence à interseção entre a reta r e o plano pi
        • [v] Posição relativa entre planos
          • plano pi1:
            • a1.x + b1.y + c1.z +d1 = 0
              • vetorN1= (a1,b1,c1)
          • plano pi2:
            • a2.x + b2.y + c2.z +d2 = 0
              • vetorN2= (a2,b2,c2)
          • plano pi1 = plano pi2 ?
          • plano pi1 // plano pi2 ? (paralelo?)
          • plano pi1 secante plano pi2?
            • quando pi1 e pi2 são secantes, a interseção entre pi1 e pi2 é uma reta
          • vetorN1 e vetorN2 não são colineares:
            • plano pi1 e plano pi2 são secantes
            • reta r secante:
              • resolver o sistema:
                • a1.x + b1.y + c1.z +d1 = 0
                • a2.x + b2.y + c2.z +d2 = 0
          • vetorN1 e vetorN2 são colineares:
            • vetorN1 = lambda . vetorN2
            • plano pi1 // plano pi2 ou plano pi1 = plano pi2
            • ponto P pertencente a pi1
              • se P também é pertencente a pi2, pi1 e pi2 são coincidentes
          • Exemplo:
            • plano pi1:
              • 2.x - y + z - 1 = 0
                • vetorN1 = (2,-1,-1)
            • plano pi2:
              • x - 1/2 . y +1/2 . z - 9 = 0
                • vetorN2 = (1,-1/2,-1/2)
            •  vetorN1 = 2 . vetorN2
              • vetorN1 // vetorN2
                • plano pi1 // plano pi2 ou plano pi1 = plano pi2
            • Ponto P(0,0,z) pertencente a pi1:
              • 2.0 - 0 + z -1 = 0
                • z =1
                  • P = (0,0,1)
            • Ponto P (0,0,1) em pi2:
              • 0 - 1/2 .0 + 1/2.1 - 9 = 1/2 - 9 ≠ 0
              • O ponto P não pertence a pi2
                • Portanto, os planos pi1 e pi2 são planos distintos, porém, parelelos.
      • [-] Exercícios
    • [v] Semana 10 - Distâncias
      • [v] Distâncias
        • [v] Distância de ponto a ponto - Distância de ponto a reta
          • Distância de ponto a ponto
            • Considere um ponto A (x1,y1,z1) 
            • Considere um ponto B (x2,y2,z2) 
            • dist(A,B) = |vetorAB|
              • [(x2-x1)²+ (y2-y1)² + (z2-z1)²]¹/²
          • Distância de ponto a reta
            • Área do paralelograma = base . altura do paralelogramo
              • = |vetorV| . d(P,r) = |vetorAP x vetorV|
                • d(P,r) = |vetorAP x vetorV| / |vetorV|
        • [v] Distância de ponto a plano
          • Ponto P (x0,y0,z0)
          • Plano pi
            • vetorN (a,b,c)
          • Ponto A no plano pi (x1,y1,z1)
          • vetorAP = (x0-x1, y0-y1,z0-z1)
          • vetorAP . vetorN = (x0-x1,y0-y1,z0-z1) . (a,b,c)
            • = a.x0+b.y0+c.z0-(a.x1+b.y1+c.z1)
            • vetorAP . vetorN = a.x0+b.y0+c.z0 + d
          • dist (P,pi)
            • projetar o vetorAP na direção do vetor normal ao plano pi
            • dist (P,pi) = |vetorAP . (1/|vetorN|) .vetorN| 
              • = |vetorAP . vetorN / |vetorN||
              • dist (P,pi) = |a.x0+b.y0+c.z0 + d| / (a²+b²+c²)¹/²
              • Equação geral do plano pi  = a.x0+b.y0+c.z0 + d
        • [v] Distância entre duas retas
          • reta r
          • reta s
          • encontrar uma reta t que seja perpendicular a r e a s
          • intercessões A e B
          • d(r,s) = d(A,B) = |vetorAB|
          • Casos especiais
            • r e s são concorrentes:
              •  reta r e reta s se cruzam em um ponto:
                • d(r,s)=0
            • r é paralela a s
              • d(r,s)=d(P,s), sendo P um ponto que pertence à reta r
            • r e s são retas reversas
              • reta r
                • ponto A
                • vetor diretor vetorR
              • reta s
                • ponto B
                • vetor diretor vetorS
              • a distância entre as retas é a altura do paralelepípedo formado pelo vetorR, vetorS e vetorAB
              • V = S . d(r,s) = |vetorR x vetorS| . d(r,s)
                • = [vetorAB,vetorR,vetorS]
                • d(r,s) = [vetorAB,vetorR,vetorS] / |vetorR x vetorS|
        • [v] Distância entre reta e plano - Distância entre planos
          • reta secante ao plano pi
            • existe uma intercessão entre a reta e o plano
            • distância entre a reta e o plano = 0
            • produto escalar entre vetorR da reta e vetorNormal do plano = 0
          • r // plano pi ou r está contida no plano pi
            • r // plano pi
            • r está contida no plano pi
            • vetorNormal ao plano é perpendicular ao vetor diretor da reta
              • vetorR . vetorNormal = 0
              • d(r,pi) = d(P, pi), P pertence a R
              • quando r está contida em pi: d(r,pi)=0
          • distância entre dois planos
            • pi1 e pi2 são planos secantes
              • d(pi1,pi2)=0
              • vetorNormal1 não é paralelo ao vetorNormal2
            •  pi1 // pi2 ou pi1=pi2
              • vetorNormal1 // vetorNormal2
                • vetorN1 . vetorN2 = 0
              • d(P,pi1)=d(pi1,pi2), P pertencente a pi2
      • [-] Exercícios
    • [-] Semana 11 - Avaliação
      • [-] Avaliação intermediária
    • [v] Semana 12 - Cônicas - Parte 1
      • [v] As seções cônicas
        • Parábola
        • Elipse
        • Hipérbole
        • Cônicas degeneradas
          • reta
            • contém a geratriz
          • ponto
            •  passa pelo vértice da superfície cônica
          • duas retas
            •  intercepta a superfície, passando pelo vértice da superfície cônica, e é paralelo ao eixo da superfície cônica
      • [v] Parábola
        • Elementos
          • Foco
          • reta diretriz da parábola
          • vértice da parábola
          • eixo
          • 2p: parâmetro da parábola
        • Equação da parábola
          • P pertencente à parábola
            • d(P,r)=d(P,F)
              • |y+p|/sqrt(0²+1²)=sqrt((x-0)²+(y-p)²)
              • (y+p)²=x² + (y-p)²
              • y²+2yp+p²=x²+y²-2yp+p²
                • x²=4py
                • Vértice (0,0)
            • y²=4px (parábola no outro eixo)
            • Vértice (0,0)
      • [v] Elipse
        • d(F1,F2)=2c
          • c>0
          • a>0
          • 2a>2c
        • F1 e F2 são os focos da elipse
          • a distância entre F1 e F2 é a distância focal
        • d(P,f1)+d(P,F2)=2a
        • A1A2: eixo maior
          • d(A1,A2)=2a
        • B1B2: eixo menor da elipse
          • d(A1,A2)=2a
        • A1,A2,B1,B2: vértices da elipse
        • a²=b²+c²
          • a>b
          • a>c
        • excentricidades:
          • 0<e<1
            • quanto mais próximo de 0, mais a elipse parece com uma circunferência
            • quanto mais próximo de 1, mais a elipse parece achatada
          • eixo maior
            • e=c/a
          • eixo menor
            • e=c/b
        • Equação reduzida da elipse
          • d(P,F1)+d(P,F2)=2a
            • |vetorPF1|+|vetorPF2|=2a
            • sqrt(((x-(-c))²+y²)+sqrt((x-c)²+y²)=2a
            • a²=b²+c²
            • b²=a²-c²
              • eixo maior da elipse no eixo X
                • x²/a²+y²/b²=1
              • eixo maior da elipse no eixo Y
                • x²/b²+y²/a²=1
        • Esboço do gráfico da elipse
          • y=b/a*sqrt(a²-x²), 0<=x<=a
        • Para todo P pertencente à elipse
          • x²/a²<=1
            • -a<=x<=a
          • y²/b²<=1
            • -b<=y<=b
        • em toda elipse a>b
      • [v] Hipérbole
        • d(F1,F2)=2c
          • 2c>0
          • 0<a<c
        •  P pertence à hipérbole
          • |d(P,F1)-d(P,F2)|=2a
        • Equação reduzida da hipérbole
          • c²=a²+b²
          • F1 e F2: focos da hipérbole
          • 2c = distância entre os focos
          • A1A2: eixo transverso
          • B1B2: eixo conjugado
          • O: centro
          • A1 e A2: vértices
          • F1 e F2: segmento focal
          • r e s: assíntotas
            • F1(-c,0)
            • F2(c,0)
            • |sqrt(x-(-c)²)+y²)-sqrt((x-c)²+y²|=2a
              • c²=a²+b²
                • focos da hipérbole pertencentes ao eixo X:
                  • x²/a² - y²/b²=1
                • focos da hipérbole pertencentes ao eixo Y:
                  • -x²/b² + y²/a²=1
        • Observações
          • x²/a² - y²/b²=1
            • y=b/a*sqrt(x²-a²)
              • x>=a
          • Para qualquer P(x,y) pertencente a hipérbole
            • x²/a²=1+y²/b²>=1
              • x>=a
              • x<=-a
          • Quando F1 e F2 pertencem ao eixo Ox
            • r: y=b/a*x
            • s: y = -b/a*x
              • x²/a²-y2/b²=1
          • Quando F1 e F2 pertencem ao eixo Oy
            • r: y=a/b*x
            • s: y = -a/b*x
              • -x²/b²+y2/a²=1
      • [v] Mudança de coordenadas
        • Translação
          • x=h+x'
            • x'=x-h
          • y=r+y'
            • y'=y-r
          • P (x,y) = P' (x-h, y-r)
        • Rotação
          • vetorF1=Versor_i.Cos_teta + Versor_j.Sen_teta
          • vetorF2= -Versor_i.Sen_teta + Versor_j.Cos_teta
          • P(x,y)
          • vetorOP = x'*vetorF1+y'*vetorF2
            • x'*(Versor_i.Cos_teta + Versor_j.Sen_teta)+y'*(-Versor_i.Sen_teta + Versor_j.Cos_teta)
            • (x'*CosTeta-y'*SenTeta)versor_i + (x'*SenTeta+y'*CosTeta)versor_j
              • x = x'*CosTeta-y'*SenTeta
              • y = x'*SenTeta+y'*CosTeta
      • [-] Exercícios
    • [v] Semana 13 - Cônicas - Parte 2
      • [v] Cônicas transladadas
        • Parábola
          •  (x-h)²=4p(y-k)
            • x²-2hx-4py+h²+4pk=0
            • G(x,y)=Ax²+Cx+Dy+E=0
            • Se o eixo de simetria da parábola for paralelo ao eixo OX
              • G(x,y)=By²+Cx+Dy+E=0
        • Elipse
          • (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
            • G(x,y)=Ax²+By²+Cx+Dy+E=0
        • Hipérbole
          • (x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1
            • G(x,y)=Ax²+By²+Cx+Dy+E=0
      • [v] Equações paramétricas das cônicas
        • Parábola
          • Eixo de simetria paralelo ao eixo Y
            • x²=4py
            • y=1/4p*x²
          • Equação paramétrica da parábole
            • x=t
            • y=1/4p*t²
        • Elipse
          • x²/a²+y²/b²=1
            • x'=x/a
            • y'=y/b
            • Equação de uma circunferência
              • (x')²+(y')²=1
            • x'=Cos_Teta
              • x/a=Cos_Teta
            • y'=Sen_Teta
              • y/b=Sen_Teta
            • Equação paramétrica da elipse
              • x=a*cos*t
              • t=b*sen*t
              • t pertencente ao intervalo de 0 a 2pi
        • Hipérbole
          • x²/a²-y²/b²=1
            • tg²t+1=sec²t
              • sec²t-tg²t=1
              • x/a=sec_t
              • y/b=tg_t
              • t pertencente ao intervalo entre 0 e 2pi
              • Equações paramétricas da hipérbole
                • x=a*sec_t
                • y=b*tg_t
                • t pertence ao intervalo entre -pi/2 e pi/2 (ramo direito da hipérbole) União com o intervalo entre pi/2 e 3*pi/2 (ramo esquerdo da hipérbole)
      • [-] Exercícios
    • [v] Semana 14 - Superfícies Quádricas
      • [v] Introdução ao estudo das quádricas
        • Superfície pertence ao R³:
          • G(x,y,z) = ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz+mx+ny+pz=0
            • a,b,c,d,e ou f deve ser diferente de 0
          • S intercessão pi é uma cônica
            • traço da superfície quádrica
          • Equações canônicas das quádricas
            • Ax²+By²+Cz²=D
              • Quádrica cêntrica
                • elipsóide
                • hiperbolóide
                • cone
            • Quádricas não cêntricas
              • Ax²+By²=Cz
              • Ax²+Bz²=Cy
              • Ay²+Bz²=Cx
              • Cilindro
              • Parabolóide
      • [v] Superfície esférica
        • [v] Superfície esférica
          • S é o conjunto de todos os pontos P pertencentes ao R³, tais que d(P,C)=r, que é o raio da esfera
            • d(P,C)=sqrt((x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²)=r
              • Equação reduzida da superfície S
                • S: (x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)² = r²
                  • Equação geral da superfície:
                    • x²+y²+z²+ax+by+cz+d=0
                      • (x+a/2)²+(y+b/2)²+(z+c/2)²=1/4*(a²+b²+c²-4d)
                        • se (a²+b²+c²-4d) > 0
                          • C = (-a/2,-b/2,-c/2)
                          • r = sqrt(a²+b²+c²-4d)/2
                        • se (a²+b²+c²-4d) = 0
                          • C = (-a/2,-b/2,-d/2)
                          • r=0 > Ponto!
                        •  se (a²+b²+c²-4d) < 0
                          • conjunto vazio!
        • [v] Plano tangente a uma superfície esférica
          • Intercessão entre S e pi é um ponto: ponto T
          • vetorCT é normal ao plano pi
          • d(C,T) = r
      • [v] Superfície cilíndrica
      • [v] Superfície cônica
        • Caso 1
          • x²/a²+y²/b²=z²
        • Caso 2 - Se o eixo for ao longo do eixo Y
          •  x²/a²+z²/c²=1
            • y=b
              • v=(0,0,0)
              •  x²/a²+z²/c²=y²
        • Caso 3 - Se a superfície elíptica estiver ao longo do eixo X
          •  y²/b²+z²/c²=1 
            • x=a
              • V=(0,0,0)
                •  y²/b²+z²/c²=x²
        • V=(h,k,l)
          • x'=x-h
          • y'=y-k
          • z'=z-l
            • Caso 1
              • (x-h)²/a²+(y-k)¹/b²=(z-l)²
            • Caso 2
              • (x-h)²/a²+(z-l)²/c²=(y-k)²
            • Caso 3
              • (y-k)²/b²+(z-l)²/c²=(x-h)²
      • [v] Superfícies de revolução
        • [v] Superfície de revolução
          • S: x²+z²=2y
            • eixo x:
              • y² + z²=2x
            • eixo y:
              • x²+z²=2y
            • eixo z:
              • x²+y²=2z
            •  z²=2y
              • x²+z²=2y
        • [v] Elipsóide
          • Elipse: y²/b²+z²/c²=1
            • Elipsóide:
              • y²/b²+(x²+z²)/c²=1
              • x²/c²+y²/b²+z²/c²=1
                • Forma canônica do elipsóide
                  • x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
                    • Soluções de S:
                      • pontos onde o elipsóide intercepta os eixos coordenados:
                        • (+-a,0,0), (0,+-b,0), (0,0,+-c)
          • Traços
            • xOy: z=0
              • x²/a²+y²/b²=1
            • xOz: y=0
              • x²/a²+z²/c²=1
            • yOz: x=0
              • y²/b²+z²/c²=1
            • Elipses, pontos e conjunto vazio:
              • x=k
              • y=k
              • z=k
            •  a=b=c:
              • x²/a²+y²/a²+z²/a²=1
                • Equação de uma esfera com centro na origem e raio igual a a:
                  • x²+y²+z²=a² 
            • C=(h,k,l)
              • Quando os eixos do elipsóide são parelelos aos eixos coordenados e ocorreu uma translação de eixos:
                • (x-h)²/a²+(y-k)²/b²+(z-l)²/c²=1
        • [v] Hiperbolóide de uma folha
          • hipérbole:
            • y²/b²-z²/c²=1
          • y= +-sqrt(x²+y²)
          • (x²+y²)/b²-z²/c²=1
            • x²/b²+y²/b²-z²/c²=1
          • Geral
            • Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OZ:
              • x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
            • Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OY:
              • x²/a²-y²/b²+z²/c²=1
            • Forma canônica do hiperbolóide ao longo do eixo OX:
              • -x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
          • Traços:
            • xOy: z=0
              • elipse: x²/a²+y²/b²=1
            • xOz: y=0
              • hipérbole: x²/a²-z²/c²=1
            • yOz: x=0
              • hipérbole: y²/b²-z²/c²=1
        • [v] Hiperbolóide de duas folhas
          • hipérbole:
            • y²/b²-z²/c²=1
          • x=+-sqrt(x²+z²)
          • Equação do hiperbolóide:
            • y²/b²-(x²+z²)/c²= 1
              • -x²/c²+y²/b²-z²/c²=1
          • Geral:
            • Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OY:
              • -x²/a²+y²/b²-z²/c²=1
            • Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OX:
              • x²/a²-y²/b²-z²/c²=1
            • Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo OZ:
              • -x²/a²-y²/b²+z²/c²=1
          • Traços:
            • C=(h,k,l)
              • -(x-h)²/a²+(y-k)²/b²+(z-l)²/c²=1
          • Resumindo
            • +-x²/a²+-y²/b²+-z²/c²=1
              • +++: elipsóide
              • hiperbolóide de uma folha:
                • +-+
                • ++-
                • -++
              • hiperbolóide de duas folhas:
                • +--
                • -+-
                • --+
        • [v] Parabolóide elíptico
          • Parábola: z=y²/b²
            • x=0
            • girar a parábola em torno do eixo OZ 
          • Parabolóide de revolução
            • y=+-sqrt(x²+y²)
              • z=(x²+y²)/b²
                • z=x²/b²+y²/b²
          • Geral:
            • Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OZ:
              • z=x²/a²+y²/b² 
            • Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OX:
              • x=y²/b²+z²/c² 
            • Forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo OY:
              • y=x²/a²+z²/c² 
          • Traços do parabolóide:
            • xOy: z=0
              • C=(0,0,0)
            • z=k>0:
              • elipse
            • z=k<0:
              • conjunto vazio
            • x=k ou y=k: eixos paralelos a Oz:
              • parábolas
        • [v] Parabolóide hiperbólico
          • Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz:
            • z=y²/b²-x²/a²
          • Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oy:
            • y=z²/c²-x²/a²
          • Forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Ox:
            • x=z²/c²-y²/b²
          • Traços do parabolóide:
            • x=k
              • Equação de parábola
                • z=y²/b²-k²/a²
            • y=k
              • Equação de parábola
                • z=k²/b²-x²/a²
            • z=k
              •  Hipérbole
                • k=y²/b²-x²/a²
            • k=0
              • y²/b²-x²/a²=0
                • (y/b-x/a)(y/b+x/a)=0
                  • Equações de duas retas que passam pela origem
            • k>0:
              • eixo real paralelo a Oy
            • k<0:
              • eixo real paralelo a Ox
        • [v] Cone circular
          • reta g:
            • z=my
            • x=0
              • está no plano yOz
          • rotação em torno do eixo Oz:
            • y=+-sqrt(x²+y²)
          • z=m(+-sqrt(x²+y²)
            • z²=m²x²+m²y²
              • m=1/a
            • Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Oz:
              • z²=x²/a²+y²/a²
            • Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Oy:
              • y²=x²/a²+z²/a²
            • Forma canônica do cone circular ao longo do eixo Ox:
              • x²=y²/a²+z²/a²
          • Observações:
            • intercessão entre o cone circular e os eixos coordenados é a origem
              • v=(0,0,0)
          • Traços
            • xOy:
              • z=0
                • x²/a²+y²/a²=0
                  • ponto que satisfaz: (0,0,0)
            • xOz:
              • y=0
                • z²=x²/a²
                  • x=+-az
            • yOz:
              • x=0
                • y=+-az
            • x=+-az  e y=+-az:
              • retas concorrentes que passam pela origem
                • z²=y²/a²
            • z=k
              • x²/a²+y²/a²=k²
                • k diferente de 0
                  • circunferência
                    • C(0,0)
                    • raio r  = ak
            • x=k
              • k²/a²+y²/a²=z²
                • hipérbole:
                  • z²-y²/a²=k²/a²
                    • k diferente de 0
            • y=k
              • x²/a²+k²/a²=z²
                • hipérbole:
                  • z²-x²/a²=k²/a²
                    • k diferente de 0
      • [] Exercícios
    • [] Semana 15 - Avaliação
      • [] Avaliação Intermediária
      • [] Trabalho de cônicas e quádricas


Lucas T R Freitas

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Que a estrada se abra à sua frente,
Que o vento sopre levemente em suas costas,
Que o sol brilhe morno e suave em sua face,
Que a chuva caia de mansinho em seus campos,
E, até que nos encontremos, de novo, que Deus lhe guarde nas palmas de suas mãos!


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