sexta-feira, 29 de março de 2019
CALC1S4 01 Limites Laterais
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quinta-feira, 28 de março de 2019
Production Caprine
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Ovinos
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 27 de março de 2019
2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções
2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções
Revisão breve:
Função:
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Revisão breve:
Função:
- Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
- Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
- Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.
Referência:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
- Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente, indicando pontos de máximo e de mínimo para as figuras a seguir:
a)
[Res.]
Função crescente: ]-∞,-4], [-1,3]
Função decrescente: [-4,-1], [3,∞[
Extremos locais
Pontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
Ponto de mínimo: y = -2 em x = -1
Extremos absolutosPontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
Ponto de mínimo: não tem
b)
[Res.]
Função crescente: ]-∞, -2], [1, ∞]
Função decrescente: [-2, 1]
Extremos locais
Pontos de máximo: y = 3 em x = -2
Ponto de mínimo: y = -2 em x = 1
Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
Ponto de mínimo: não tem
c)
[Res.]
Função crescente: [-1, -0], [1,∞[
Função decrescente: ]∞, -1], [0, 1]
Extremos locais
Pontos de máximo: y = 0 em x = 0
Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1
Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1 - Determine se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
a) f(x) = 5x³ + 2x
[Res.]
f(1) = 5+2 = 7
f(-1) = -5 -2 = -7
Como f(-1) é -f(1), a função é ímpar.
b) f(x) = |x| - 3
[Res.]
f(1) = 1 - 3 = -2
f(-1) = 1 - 3 = -2
Como f(1) = f(-1), logo a função é par.
c) f(x) = (8x³ - 3 x²)³
[Res.]
f(1) = (8 - 3)³ = 5³ = 125
f(-1) = (-8 - 3)³ = (-11)³ = -1331
Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
d) f(x) = (3x^4 + 2x² - 5)^(1/2)
[Res.]
f(1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
f(-1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
Como f(1) = f(-1), logo a função é par.
e) f(x) = 6x^5 - 4x³ + 2x
[Res.]
f(1) = 6 - 4 + 2 = 4
f(-1) = -6 + 4 - 2 = -4
Como f(1) = -f(-1), logo a função é ímpar.
f) f(x) = x (x+5)
[Res.]
f(1) = 1 (1+5) = 6
f(-1) = -1 (-1 + 5) = -4
Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar. - Seja f: A
B. Sabe-se que o conjunto A tem (2p - 2) elementos e o conjunto B tem (p+3) elementos. Sabendo-se que f é injetora, então podemos afirmar que:
a) 1 < p ≤ 5
b) 5 < p ≤ 7
c) 7 < p ≤ 8
d) 8 < p ≤ 10
e) p ≥ 10
[Res.]
Como uma função é Injetora quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio, logo:
2p - 2 ≤ p + 3
2p - 2 + 2 ≤ p + 3 + 2
2p ≤ p + 5
p ≤ 5
Como 2p - 2 ≤ 0:
0 ≤ 2p - 2
2 ≤ 2p
1 ≤ p
Assim:
1 ≤ p ≤ 5 - Os gráficos abaixo representam funções de IR em IR. Verifique se elas são ou não funções sobrejetoras, injetoras ou bijetoras. Justifique sua resposta.
a)
[Res.]
f(1) = 0
f(-1) = -2
Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
Como para cada y existe apenas um valor de x, a função é injetora.
Como todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função é sobrejetora.
Como a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.
b)
[Res.]
Como para cada x não existe apenas um valor de y, a função não é injetora.
Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora.
c)
[Res.]
Como para cada y não existe apenas um valor de x, a função não é injetora.
Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora. - Determine o conjunto B de modo que a sentença f(x) = x² defina uma função sobrejetora de A = [-3,4] em B. Nestas condições podemos dizer que f é bijetora?
[Res.]
Calculando
f(-3) = (-3)² = 9
f(-2) = (-2)² = 4
f(-1) = (-1)² = 1
f(0) = (0)² = 0
f(1) = (1)² = 1
f(2) = (2)² = 4
f(3) = (3)² = 9
f(4) = (4)² = 16
Logo, B = [0, 16].
Como cada elemento da imagem não está relacionado a um único elemento do domínio, a função não é injetora. Logo, ela não é bijetora. - Uma função f é dada por uma tabela de valores. Determine se f é injetora em cada caso.
a)
[Res.]
Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora.
b)
[Res.]
Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, a função é injetora. - Uma função f é dada por meio de descrição verbal. Determine se f é injetora.
a) f(t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada.
[Res.]
Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora (tomando-se apenas os eixos x e y como coordenadas parabólicas da bola).
b) f(t) é a sua altura com t anos de idade.
[Res.]
Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função é injetora.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - 27/03/2019
Cálculo I - 27/03/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: não registrei
Taxa de aproveitamento: ≤ 88,88%
Monitoria de cálculo (2019/1):
*Carol:
Segunda e Terça: 14h30min às 18h30min
Quarta: 13h às 17h
*Júlia:
Segunda: 13h às 18h
Terça: 13h às 17h
Quarta: 13h às 19h
Limites Laterais
Limite lateral pela direita:
limx→a+ f(x) = L
Podemos tornar f(x) tão próximo de L, de modo a obter o limite lateral pela direita.
Limite lateral pela esquerda:
limx→b- f(x) = L
Seja f(x) definida em um intervalo aberto ]a, b[, onde a < b.
Exercícios:
Se f(x) = √(x + 6) + x, calcule:
a) limx→-6- f(x)
[Res.]
limx→-6- f(x)
= limx→-6- [√(x + 6) + x] = ∄ nos reais, pois não há raiz quadrada negativa aceitável no conjunto dos números reais.
b) limx→-6+ f(x)
[Res.]
limx→-6+ f(x)
= limx→-6+ [√(x + 6) + x]
= 0 + (-6)
= -6
c) limx→-6 f(x)
[Res.]
Como só existe o limite de f(x) quando x tende a -6 pela direita, o limx→-6 f(x) não existe no conjunto dos números reais. Só existe o limite do ponto se existir o limite pela esquerda e pela direita e se eles forem iguais.
Assim:
limx→-6 f(x) ∄ no conjunto dos reais.
Teorema
limx→0 [sen(x)/x] = 1 (x em radianos)
A análise será feita pela análise de áreas de triângulos. Temos:
Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT
* Área 𝛥OAP
Área 𝛥OAP = 1/2 . 1 . sen(x) = sen(x) / 2
* Área do setor circular OAP
Área do setor circular OAP = l . R / 2
l = 𝜶 . R
l = x . 1
l = x
Logo:
Área do setor circular OAP = l . R / 2
= x . 1 / 2
= x / 2
* Área 𝛥OAT
Área 𝛥OAT = 1/2 . 1 . tg(x) = tg(x) / 2
Como Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT, logo:
sen(x) / 2 < x / 2 < tg(x) / 2
sen(x) < x < tg(x)
* Dividindo tudo por sen(x):
1 < x / sen(x) < tg(x) / sen(x)
1 < x / sen(x) < sen(x)/cos(x) . 1 / sen(x)
1 < x / sen(x) < 1/cos(x)
* Invertendo todos os membros:
cos(x) < sen(x)/x < 1
Aplicando o Teorema do Confronto, temos:
*limite quando x tende a 0 pela direita:
limx→0+ cos(x) < limx→0+ [sen(x)/x] < limx→0+ 1
= 1 < limx→0+ [sen(x)/x] < 1
Assim:
limx→0+ [sen(x)/x] = 1
*limite quando x tende a 0 pela esquerda:
limx→0- cos(x) < limx→0- [sen(x)/x] < limx→0- 1
= 1 < limx→0- [sen(x)/x] < 1
Assim:
limx→0- [sen(x)/x] = 1
Como os limites pela esquerda e pela direita existem e são iguais, existe o limite da função f(x) = sen(x)/x quando x tende a 0:
limx→0 [sen(x)/x] = 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: não registrei
Taxa de aproveitamento: ≤ 88,88%
Monitoria de cálculo (2019/1):
*Carol:
Segunda e Terça: 14h30min às 18h30min
Quarta: 13h às 17h
*Júlia:
Segunda: 13h às 18h
Terça: 13h às 17h
Quarta: 13h às 19h
Limites Laterais
Limite lateral pela direita:
limx→a+ f(x) = L
Podemos tornar f(x) tão próximo de L, de modo a obter o limite lateral pela direita.
 |
| Limite lateral de f(x) quando x tende a a pela direita, obtido com o Krita. |
Limite lateral pela esquerda:
limx→b- f(x) = L
Seja f(x) definida em um intervalo aberto ]a, b[, onde a < b.
 |
| Limite lateral de f(x) quando x tende a b pela esquerda, obtido com o Krita. |
Exercícios:
Se f(x) = √(x + 6) + x, calcule:
a) limx→-6- f(x)
[Res.]
limx→-6- f(x)
= limx→-6- [√(x + 6) + x] = ∄ nos reais, pois não há raiz quadrada negativa aceitável no conjunto dos números reais.
b) limx→-6+ f(x)
[Res.]
limx→-6+ f(x)
= limx→-6+ [√(x + 6) + x]
= 0 + (-6)
= -6
c) limx→-6 f(x)
[Res.]
Como só existe o limite de f(x) quando x tende a -6 pela direita, o limx→-6 f(x) não existe no conjunto dos números reais. Só existe o limite do ponto se existir o limite pela esquerda e pela direita e se eles forem iguais.
Assim:
limx→-6 f(x) ∄ no conjunto dos reais.
Teorema
limx→0 [sen(x)/x] = 1 (x em radianos)
 |
| Esquema para analisar o teorema de limx→0 [sen(x)/x] = 1, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT
* Área 𝛥OAP
Área 𝛥OAP = 1/2 . 1 . sen(x) = sen(x) / 2
* Área do setor circular OAP
Área do setor circular OAP = l . R / 2
l = 𝜶 . R
l = x . 1
l = x
Logo:
Área do setor circular OAP = l . R / 2
= x . 1 / 2
= x / 2
* Área 𝛥OAT
Área 𝛥OAT = 1/2 . 1 . tg(x) = tg(x) / 2
Como Área 𝛥OAP < Área do setor circular OAP < Área 𝛥OAT, logo:
sen(x) / 2 < x / 2 < tg(x) / 2
sen(x) < x < tg(x)
* Dividindo tudo por sen(x):
1 < x / sen(x) < tg(x) / sen(x)
1 < x / sen(x) < sen(x)/cos(x) . 1 / sen(x)
1 < x / sen(x) < 1/cos(x)
* Invertendo todos os membros:
cos(x) < sen(x)/x < 1
Aplicando o Teorema do Confronto, temos:
*limite quando x tende a 0 pela direita:
limx→0+ cos(x) < limx→0+ [sen(x)/x] < limx→0+ 1
= 1 < limx→0+ [sen(x)/x] < 1
Assim:
limx→0+ [sen(x)/x] = 1
*limite quando x tende a 0 pela esquerda:
limx→0- cos(x) < limx→0- [sen(x)/x] < limx→0- 1
= 1 < limx→0- [sen(x)/x] < 1
Assim:
limx→0- [sen(x)/x] = 1
Como os limites pela esquerda e pela direita existem e são iguais, existe o limite da função f(x) = sen(x)/x quando x tende a 0:
limx→0 [sen(x)/x] = 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 26 de março de 2019
Cálculo 1 - 1ª Lista
Cálculo 1 - 1ª Lista
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
- Dada a função f(x) = 7x - 3, obtenha:
a) f(2)
[Res.]
f(2) = 7 (2) - 3 = 14 - 3 = 11
b) f(6)
[Res.]
f(6) = 7 (6) - 3 = 42 - 3 = 39
c) f(0)
[Res.]
f(0) = 7 (0) - 3 = -3
d) f(-1)
[Res.]
f(-1) = 7 (-1) - 3 = -7 - 3 = -10
e) f (1/2)
[Res.]
f(1/2) = 7 (1/2) - 3 = 7/2 - 3 = 3,5 - 3 = 0,5
f) f (-1/3)
[Res.]
f (-1/3) = 7 (-1/3) - 3 = -7/3 - 3 = (-7 -9) / 3 = -16/3 - Dada a função f(x) = 2x - 3, obtenha:
a) f(3)
[Res.]
f(3) = 2 (3) - 3 = 6 - 3 = 3
b) f(-4)
[Res.]
f(-4) = 2 (-4) -3 = -8 -3 = -11
c) O valor de x tal que f(x) = 49
[Res.]
f(x) = 49
49 = 2x - 3
52 = 2x
x = 52/2 = 26
d) O valor de x tal que f(x) = -10
[Res.]
f(x) = -10
-10 = 2x - 3
-10 + 3 = 2x
-7 = 2x
x = -7/2 - Dada a função f(x) = x² - 4x +10, obtenha os valores de x cuja imagem seja 7.
[Res.]
f(x) = 7
7 = x² - 4x +10
x² - 4x + 3 =0
(x-3)(x-1) = 0
x = 1, 3 - Dada a função f(x) = mx + 3, determine m sabendo que f(1) = 6.
[Res.]
f(1) = 6
6 = m(1) + 3
6 - 3 = m = 3
Logo, f(x) = 3x + 3 - É dado o gráfico de uma função f:
a) Obtenha o valor de f(-1)
[Res.]
f(-1) = -2
b) Estime o valor de f(2)
[Res.]
f(2) = 3
c) f(x) = 2 para quais valores de x?
[Res.]
f(x) = 2 em x = -3, 1
d) Estime os valores de x para os quais f(x) = 0.
[Res.]
f(x) = 0 em x ≈ -2,5; 0,4 - São dados os gráficos de f e g.
a) Obtenha os valores de f(-4) e g(3).
[Res.]
f(-4) = -4
g(3) ≈ 3,4
b) f(x) = g(x) para quais valores de x?
[Res.]
f(x) = g(x) em (-2,1) e (2, 2)
c) Estime a solução da equação f(x) = -1.
[Res.]
x ≈ -3; 3,6 - Determine se a curva dada é o gráfico de uma função de x. Se for o caso, obtenha o domínio e a imagem da função.
a)
[Res.]
É função, pois para cada x existe apenas um valor de y.
Domínio: x pertence aos reais.
Imagem: y pertence aos reais tal que y ≥ -2
b)
[Res.]
Não é função, pois há mais de um valor de y para um único valor de x.
c)
[Res.]
Não é função, pois quando x é igual a -1 existem vários valores de y.
d)
[Res.]
É função, pois para cada valor de x existe um único valor de y.
Domínio: x pertence aos reais.
Imagem: y pertence aos reais tal que y > 0 ou y = -2.
e)
[Res.]
É função, pois para cada valor de x existe apenas um valor de y.
Domínio: x pertence ao conjunto dos números reais.
Imagem: y pertence aos reais tal que y > 0.
f)
[Res.]
Não é função, pois existe mais de um valor de y para vários valores de x. - Uma função f satisfaz a condição f(x+1) = f(x) + f(1) qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, determine o valor de f(3).
[Res.]
f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 2 . f(1)
Como f(2) = 1, logo 1 = 2 . f(1). Assim, f(1) = 1/2.
Calculando f(3):
f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) = 1 + 1/2 = 3/2. - Uma função f satisfaz a condição f(x+2) = 2 . f(x) + f(1) qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de f(1) e de f(5).
[Res.]
Como f(3) = 6:
f(3) = f(1+2) = 2 . f(1) + f(1) = 3 . f(1)
Logo:
6 = 3 . f(1)
f(1) = 2
Calculando f(5):
f(5) = f(3+2) = 2 . f(3) + f(1) = 2 . 6 + 2 = 12 + 2 = 14 - Obtenha o domínio das seguintes funções:
a) f(x) = x³ - 2x² + 2x + 3
[Res.]
x pertence aos reais.
b) g(x) = (x²+5) / (x+2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x é diferente de -2.
c) f(t) = (t+1) / (t² - t - 2)
[Res.]
t pertence aos reais tal que t é diferente de 2 e de -1.
d) g(t) = (2t-1) / (t² + 3t + 5)
[Res.]
t pertence aos reais.
e) f(x) = (3 - x)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≤ 3.
f) g(x) = (3x + 8)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≥ -8/3.
g) f(x) = (2x + 1) / (3x - 12)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≥ 4.
h) g(x) = (x-1) / (x+2)^(1/2)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x ≥ -2.
i) f(x) = (x+1) / (x³ - 4x)
[Res.]
x pertence aos reais tal que x é diferente de -2, 0 e 2.
j) g(x) = (4x-3)^(1/2) / (x² - 4)
[Res.]
x pertence aos reais tal que que x ≥ 3/4 e x é diferente de 2.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - 26/03/2019
Cálculo I - 26/03/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 77,77%
Teorema do Confronto
O teorema do confronto nos permite calcular uma variedade de limites.
Denominado teorema do confronto porque se refere a uma função f cujos valores são "imprensados" entre os valores de duas outras funções g(x) e h(x) que possuem o mesmo limite L em um ponto a.
Teorema:
Suponha que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a.
limx→a g(x) = limx→a h(x) = L
Então, limx→a f(x) = L.
É também denominado de "teorema do aperto" ou "teorema do sanduíche".
Exemplo de uso do Teorema do Sanduíche:
Determine limx→0 [x² . sen(1/x)].
Não pode-se usar a regra do produto, pois limx→0 sen(1/x) não existe.
Temos (do ciclo trigonométrico) que:
-1 ≤ sen (1/x) ≤ 1
*multiplicando a desigualdade por x², temos:
-x² ≤ x² . sen (1/x) ≤ x²
Fazendo:
g(x) = -x²
h(x) = x²
Logo:
g(x) ≤ x² . sen (1/x) ≤ h(x)
Do Teorema do Confronto, temos:
limx→0 g(x) ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ limx→0 h(x)
= limx→0 (-x²) ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ limx→0 (x²)
= [limx→0 (-x)]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [limx→0 x]²
= [-1 . limx→0 x]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [-1 . 0]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [0]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= 0 ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ 0
Assim, como o limite ficou "impressado" entre 0 e 0, ele só pode ser 0:
limx→0 [x². sen (1/x)] = 0
Exercícios:
1) Considere uma função f(x) cujas únicas características conhecidas sejam os fatos de que ela é maior que a função g(x) = 13x e menor que a função h(x) = x³ + 12, para 0 ≤ x ≤ 12. Qual é o limite da função f(x) quando x tende a 3?
[Res.]
Temos que:
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
13x ≤ f(x) ≤ x³ + 12
Pelo teorema do confronto:
limx→3 g(x) = limx→3 (13 . x) = 13 . 3 = 39
limx→3 h(x) = limx→3 (x³ + 12) = 3³ + 12 = 27 + 12 = 39
Assim:
limx→3 g(x) ≤ limx→3 f(x) ≤ limx→3 h(x)
39 ≤ limx→3 f(x) ≤ 39
Logo, como o limx→3 f(x) ficou espremido entre 39 e 39, ele só pode ser igual a 39:
limx→3 f(x)= 39
2) Considere a função f(x) = eg(x) em que g(x) =|2x - 12| / (x² - 36). Calcule o limite dessa função quando x tende a 6.
[Res.]
Se tentarmos encontrar diretamente o valor de x no ponto 6, não será possível encontrar um valor de x pertencente ao conjunto dos reais.
g(x) =|2x - 12| / (x² - 36)
g(6) =|2.6 - 12| / (6² - 36)
g(6) =|12 - 12| / (36 - 36)
g(6) =|0| / (0)
g(6) =0 / 0
f(x) = eg(x)
f(x) = e0/0
Porém, podemos tentar encontrar o limite quando x tende a 6 da função g(x) e ver se para ele existe um limite de f(x):
limx→6 g(x)
= limx→6 |2x - 12| / (x² - 36)
= limx→6 |2 .(x - 6)| / [(x - 6) . (x + 6)]
Como o numerador é um módulo, o resultado dele só pode ser positivo:
= limx→6 2 .(x - 6) / [(x - 6) . (x + 6)]
= limx→6 2 / (x + 6)
= 2 / (6 + 6)
= 2 /12
= 1/6
Assim, 1/6 é o limite de g(x) quando x tende a 6, mesmo não existindo o ponto 1/6 para a função g(x). E limx→a g(x) = 2 / (x+6) é o limite de g(x) para qualquer a ≠ - 6.
Agora, vamos calcular o limite de f(x) baseado no valor limite encontrado para g(x) quando x tende a 6:
limx→6 f(x)
= limx→6 e[2 / (x+6)]
= limx→6 e[2 / (6+6)]
= limx→6 e[1 / 6]
= e1/6
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 77,77%
Teorema do Confronto
O teorema do confronto nos permite calcular uma variedade de limites.
Denominado teorema do confronto porque se refere a uma função f cujos valores são "imprensados" entre os valores de duas outras funções g(x) e h(x) que possuem o mesmo limite L em um ponto a.
Teorema:
Suponha que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a.
limx→a g(x) = limx→a h(x) = L
Então, limx→a f(x) = L.
É também denominado de "teorema do aperto" ou "teorema do sanduíche".
 |
| Exemplificando o teorema do sanduíche, obtido com o Krita. |
Exemplo de uso do Teorema do Sanduíche:
Determine limx→0 [x² . sen(1/x)].
Não pode-se usar a regra do produto, pois limx→0 sen(1/x) não existe.
Temos (do ciclo trigonométrico) que:
-1 ≤ sen (1/x) ≤ 1
*multiplicando a desigualdade por x², temos:
-x² ≤ x² . sen (1/x) ≤ x²
Fazendo:
g(x) = -x²
h(x) = x²
Logo:
g(x) ≤ x² . sen (1/x) ≤ h(x)
Do Teorema do Confronto, temos:
limx→0 g(x) ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ limx→0 h(x)
= limx→0 (-x²) ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ limx→0 (x²)
= [limx→0 (-x)]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [limx→0 x]²
= [-1 . limx→0 x]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [-1 . 0]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= [0]² ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ [0]²
= 0 ≤ limx→0 [x². sen (1/x)] ≤ 0
Assim, como o limite ficou "impressado" entre 0 e 0, ele só pode ser 0:
limx→0 [x². sen (1/x)] = 0
Exercícios:
1) Considere uma função f(x) cujas únicas características conhecidas sejam os fatos de que ela é maior que a função g(x) = 13x e menor que a função h(x) = x³ + 12, para 0 ≤ x ≤ 12. Qual é o limite da função f(x) quando x tende a 3?
[Res.]
Temos que:
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
13x ≤ f(x) ≤ x³ + 12
Pelo teorema do confronto:
limx→3 g(x) = limx→3 (13 . x) = 13 . 3 = 39
limx→3 h(x) = limx→3 (x³ + 12) = 3³ + 12 = 27 + 12 = 39
Assim:
limx→3 g(x) ≤ limx→3 f(x) ≤ limx→3 h(x)
39 ≤ limx→3 f(x) ≤ 39
Logo, como o limx→3 f(x) ficou espremido entre 39 e 39, ele só pode ser igual a 39:
limx→3 f(x)= 39
2) Considere a função f(x) = eg(x) em que g(x) =|2x - 12| / (x² - 36). Calcule o limite dessa função quando x tende a 6.
[Res.]
Se tentarmos encontrar diretamente o valor de x no ponto 6, não será possível encontrar um valor de x pertencente ao conjunto dos reais.
g(x) =|2x - 12| / (x² - 36)
g(6) =|2.6 - 12| / (6² - 36)
g(6) =|12 - 12| / (36 - 36)
g(6) =|0| / (0)
g(6) =0 / 0
f(x) = eg(x)
f(x) = e0/0
Porém, podemos tentar encontrar o limite quando x tende a 6 da função g(x) e ver se para ele existe um limite de f(x):
limx→6 g(x)
= limx→6 |2x - 12| / (x² - 36)
= limx→6 |2 .(x - 6)| / [(x - 6) . (x + 6)]
Como o numerador é um módulo, o resultado dele só pode ser positivo:
= limx→6 2 .(x - 6) / [(x - 6) . (x + 6)]
= limx→6 2 / (x + 6)
= 2 / (6 + 6)
= 2 /12
= 1/6
Assim, 1/6 é o limite de g(x) quando x tende a 6, mesmo não existindo o ponto 1/6 para a função g(x). E limx→a g(x) = 2 / (x+6) é o limite de g(x) para qualquer a ≠ - 6.
Agora, vamos calcular o limite de f(x) baseado no valor limite encontrado para g(x) quando x tende a 6:
limx→6 f(x)
= limx→6 e[2 / (x+6)]
= limx→6 e[2 / (6+6)]
= limx→6 e[1 / 6]
= e1/6
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
segunda-feira, 25 de março de 2019
A China sacode o mundo - Editora Globo - James Kynge
A China sacode o mundo - Editora Globo - James Kynge - 335 p. - Leitura finalizada em 25 de Março de 2019.
Notas minhas:
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Notas minhas:
- Livro excelente. Autor escreve num estilo que dá ritmo à leitura. Tradução para o português apresentou número (valores monetários que não me pareceram corretos - talvez foi feita às pressas).
- Apresenta um histórico das relações da China com o mundo: em diversos períodos fechada, isolada, e em outros, aberta às demais nações e parceiros comerciais. Atualmente, a industrialização crescente, expansão comercial, enriquecimento de pessoas que sofreram com a revolução comunista em trabalhos rurais, são abordados em detalhes, a partir de visitas pessoais do autor a várias pessoas.
- Lenovo computadores é uma das empresas em destaque no cenário comercial, adquirindo a uma empresa da IBM. Liu Chuanzhi começou como agente de vendas da IBM na China. Montou a empresa Lenovo, com o nome inicial de "Lenda". Nas palavras do Liu: "O que fizemos foi deixar que a tartaruga subisse nas costas do coelho, e deixamos o coelho correr. A IBM é o coelho, e a Lenovo é a tartaruga nas costas do coelho. Vamos deixar que ele nos leve para a frente." As empresas chinesas enfrentam a dificuldade em consolidar marcas nos mercados internacionais. Assim, adquirindo a IBM, a Lenovo consegue usar uma marca já consolidada nos mercados e pode aproveitar essa vantagem para acessá-lo e mantê-lo.
- As dificuldades atuais da China se relacionam ao suprimento energético, como o fornecimento de petróleo, que é em grande parte importado, e aos danos ambientais causados devido ao crescimento desordenado de indústrias, exploração mineral e agricultura. Defensivos agrícolas usados em excesso poluindo o ambiente, poluição por mercúrio que se espalha mundo afora, contaminando até áreas dos USA, chuvas ácidas frequentes, escavações de mineradoras que não recuperam o terreno, lançamento de esgotos industriais e domésticos diretamente em corpos d'água. Assim, os danos ambientais e a dependência energética (e de alimentos, como a soja, também) se tornaram fatores de grande relevância na China atual.
- O preço muito barato da mão de obra chinesa, ausência de direitos trabalhistas, sistemas jurídicos e funcionários públicos corruptos, são também abordados tanto pelo ponto de vista interno da própria China, quanto a percepção (negativa e positiva) da situação pelo restante do mundo.
- A China apresenta peculiaridades relevantes que o autor (que vive há anos na China) conseguiu abordar de forma clara, com riqueza de detalhes culturais. Livro excelente.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 22 de março de 2019
Cálculo I - 22/03/2019
Cálculo I - 22/03/2019 (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45 às 20h15min
Início da aula: cheguei às 18h53min e a aula já havia iniciado
Término da aula: 20h00min
Taxa de aproveitamento: ≥ 74,44%
Resolução de exercícios da 1ª Lista de Cálculo I (disponível em: http://lucastrfreitas.blogspot.com/2019/03/calculo-1-1-lista.html).
Resolução de exercícios da 2ª Lista de Cálculo I (disponível em: http://lucastrfreitas.blogspot.com/2019/03/2-lista-de-calculo-i-propriedades-das.html?q=2%C2%AA+lista).
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45 às 20h15min
Início da aula: cheguei às 18h53min e a aula já havia iniciado
Término da aula: 20h00min
Taxa de aproveitamento: ≥ 74,44%
Resolução de exercícios da 1ª Lista de Cálculo I (disponível em: http://lucastrfreitas.blogspot.com/2019/03/calculo-1-1-lista.html).
Resolução de exercícios da 2ª Lista de Cálculo I (disponível em: http://lucastrfreitas.blogspot.com/2019/03/2-lista-de-calculo-i-propriedades-das.html?q=2%C2%AA+lista).
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 20 de março de 2019
Cálculo I - 20/03/2019
Cálculo I - 20/03/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 72,22%
Teorema 2
Se L, m, a e k são números reais e limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = M, então:
1) limx→a [f(x) ± g(x)] = limx→a f(x) ± limx→a g(x) = L ± M
2) limx→a [f(x) . g(x)] = limx→a f(x) . limx→a g(x) = L . M
3) limx→a [k . f(x)] = k . limx→a f(x) = k . L
4) limx→a [f(x) / g(x)] = limx→a f(x) / limx→a g(x) = L / M, sendo M ≠ 0.
5) Se r e s são inteiros e s ≠ 0., então: (revisar com a professora)
limx→a [f(x)]r/s = [limx→a f(x)]r/s, desde que Lr/s ∈ R.
Exemplo:
Calcule limx→2 √(4x² - 3)
[Res.]
limx→2 √(4x² - 3)
= limx→2 (4x² - 3)1/2
= [limx→2 (4x² - 3)]1/2
= [limx→2 4x² - limx→2 3]1/2
= [4 . limx→2 x² - limx→2 3]1/2
= [4 . (limx→2 x)² - limx→2 3]1/2
= [4 . (2)² - 3]1/2
= [4 . 4 - 3]1/2
= [16 - 3]1/2
= [13]1/2
= √13
Exercícios:
Suponha que limx→0 f(x) = 1 e limx→0 g(x) = -5.
Usando as propriedades dos limites, calcule:
limx→0 {[2 . f(x) - g(x)] / [f(x) + 7]2/3}
= [2 . limx→0 f(x) - limx→0 g(x)] / [limx→0 f(x) + limx→0 7]2/3
= [2 . 1 - (-5)] / [1 + 7]2/3
= [2 + 5] / [8]2/3
= [7] / [8]2/3
= 7 / ∛(8²)
= 7 / ∛64
= 7 / ∛(4³)
= 7 / 4
Calcule os seguintes limites:
a) limx→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
[Res.]
limx→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
= limx→0 x³ - limx→0 2x² + limx→0 4x + limx→0 8
= [limx→0 x]³ - [limx→0 2x]² + 4 . limx→0 x + 8
= [0]³ - [2 . limx→0 x]² + 4 . 0 + 8
= 0 - [2 . 0]² + 0 + 8
= 0 - [0]² + 0 + 8
= 0 - 0 + 0 + 8
= 8
b) limr→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
[Res.]
limr→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
= limr→6 8 . limr→6 (r - 5) . limr→6 (r - 7)
= limr→6 8 . (limr→6 r - limr→6 5) . (limr→6 r - limr→6 7)
= 8 . (6 - 5) . (6 - 7)
= 8 . (1) . (- 1)
= - 8
c) limy→-3 (5 - y)4/3
[Res.]
limy→-3 (5 - y)4/3
= [limy→-3 (5 - y)]4/3
= [limy→-3 5 - limy→-3 y]4/3
= [5 - (-3)]4/3
= [5 + 3]4/3
= [8]4/3
= ∛(84)
= 8 . ∛8
= 8 . ∛(2³)
= 8 . 2
= 16
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 72,22%
Teorema 2
Se L, m, a e k são números reais e limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = M, então:
1) limx→a [f(x) ± g(x)] = limx→a f(x) ± limx→a g(x) = L ± M
2) limx→a [f(x) . g(x)] = limx→a f(x) . limx→a g(x) = L . M
3) limx→a [k . f(x)] = k . limx→a f(x) = k . L
4) limx→a [f(x) / g(x)] = limx→a f(x) / limx→a g(x) = L / M, sendo M ≠ 0.
5) Se r e s são inteiros e s ≠ 0., então: (revisar com a professora)
limx→a [f(x)]r/s = [limx→a f(x)]r/s, desde que Lr/s ∈ R.
Exemplo:
Calcule limx→2 √(4x² - 3)
[Res.]
limx→2 √(4x² - 3)
= limx→2 (4x² - 3)1/2
= [limx→2 (4x² - 3)]1/2
= [limx→2 4x² - limx→2 3]1/2
= [4 . limx→2 x² - limx→2 3]1/2
= [4 . (limx→2 x)² - limx→2 3]1/2
= [4 . (2)² - 3]1/2
= [4 . 4 - 3]1/2
= [16 - 3]1/2
= [13]1/2
= √13
Exercícios:
Suponha que limx→0 f(x) = 1 e limx→0 g(x) = -5.
Usando as propriedades dos limites, calcule:
limx→0 {[2 . f(x) - g(x)] / [f(x) + 7]2/3}
= [2 . limx→0 f(x) - limx→0 g(x)] / [limx→0 f(x) + limx→0 7]2/3
= [2 . 1 - (-5)] / [1 + 7]2/3
= [2 + 5] / [8]2/3
= [7] / [8]2/3
= 7 / ∛(8²)
= 7 / ∛64
= 7 / ∛(4³)
= 7 / 4
Calcule os seguintes limites:
a) limx→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
[Res.]
limx→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
= limx→0 x³ - limx→0 2x² + limx→0 4x + limx→0 8
= [limx→0 x]³ - [limx→0 2x]² + 4 . limx→0 x + 8
= [0]³ - [2 . limx→0 x]² + 4 . 0 + 8
= 0 - [2 . 0]² + 0 + 8
= 0 - [0]² + 0 + 8
= 0 - 0 + 0 + 8
= 8
b) limr→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
[Res.]
limr→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
= limr→6 8 . limr→6 (r - 5) . limr→6 (r - 7)
= limr→6 8 . (limr→6 r - limr→6 5) . (limr→6 r - limr→6 7)
= 8 . (6 - 5) . (6 - 7)
= 8 . (1) . (- 1)
= - 8
c) limy→-3 (5 - y)4/3
[Res.]
limy→-3 (5 - y)4/3
= [limy→-3 (5 - y)]4/3
= [limy→-3 5 - limy→-3 y]4/3
= [5 - (-3)]4/3
= [5 + 3]4/3
= [8]4/3
= ∛(84)
= 8 . ∛8
= 8 . ∛(2³)
= 8 . 2
= 16
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 19 de março de 2019
Cálculo I - 19/03/2019
Cálculo I - 19/03/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h36min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 74,44%
Limite
No cálculo e suas aplicações interessa-nos em geral analisar valores de f(x) de uma função f para x que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.
Precisamos então que f esteja definida em algum intervalo que contenha a para podermos estudar seu comportamento.
Exemplo:
Considere a função f(x) = (x³ - 3x²) / (2x - 6)
O que acontece com f(x) quando x se aproxima de a=3?
* Observe que a=3 não está no domínio de f pois f(3) = 0/0, que é uma expressão indeterminada.
Vamos analisar o comportamento de f(x) para alguns valores próximos de 3 através de uma tabela.
Pela esquerda (3-):
Pela direita (3+):
Logo, à medida em que x se aproxima de a = 3, tanto por valores menores quanto por valores maiores, a função f(x) fica cada vez mais próxima de y = 9/2.
limx→3 f(x)
= limx→3 (x³ - 3x²) / (2x - 6)
= limx→3 [x²(x - 3)] / [2.(x - 3)]
= limx→3 [x²] / [2] = x² / 2 = 3² / 2 = 9 / 2
Exemplo:
Esboce o gráfico da função e determine o limite que se pede em cada caso:
a) f(x) = x + 2
limx→1 f(x)
[Res.]
limx→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3
b) g(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) = (x + 2) . (x - 1) / (x - 1) = (x + 2), com x ≠ 1
limx→1 g(x)
[Res.]
limx→1 [(x² + x - 2) / (x - 1)] = x + 2 = 1 + 2 = 3, mas g(1) não existe.
Propriedades dos limites e limites naturais
Teorema 1
Sejam a e c números reais, temos que:
a) limx→a c = x (I)
Neste caso, f(x) = c ∀ x ∈ R. Assim, para todos os valores de x próximos de a temos f(x) = c, ou seja, f(x) está próximo de c.
b) limx→a x = a (II)
Neste caso, à medida em que x se aproxima de a, temos que f(x) também se aproxima de a.
Exemplos:
a) limx→2 5 = 5
b) limx→√3 x = √3
c) limx→𝜋 -3√7 = -3√7
d) limx→-9 x = -9
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h36min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 74,44%
Limite
No cálculo e suas aplicações interessa-nos em geral analisar valores de f(x) de uma função f para x que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.
Precisamos então que f esteja definida em algum intervalo que contenha a para podermos estudar seu comportamento.
Exemplo:
Considere a função f(x) = (x³ - 3x²) / (2x - 6)
O que acontece com f(x) quando x se aproxima de a=3?
* Observe que a=3 não está no domínio de f pois f(3) = 0/0, que é uma expressão indeterminada.
Vamos analisar o comportamento de f(x) para alguns valores próximos de 3 através de uma tabela.
Pela esquerda (3-):
| x | f(x) |
|---|---|
| 2,9 | 4,205 |
| 2,99 | 4,497 |
| 2,99999 | 4,49997 |
| 3- | 9/2 |
Pela direita (3+):
| x | f(x) |
|---|---|
| 3,1 | 4,805 |
| 3,001 | 4,5030005 |
| 3,00001 | 4,50003 |
| 3+ | 9/2 |
Logo, à medida em que x se aproxima de a = 3, tanto por valores menores quanto por valores maiores, a função f(x) fica cada vez mais próxima de y = 9/2.
limx→3 f(x)
= limx→3 (x³ - 3x²) / (2x - 6)
= limx→3 [x²(x - 3)] / [2.(x - 3)]
= limx→3 [x²] / [2] = x² / 2 = 3² / 2 = 9 / 2
Exemplo:
Esboce o gráfico da função e determine o limite que se pede em cada caso:
a) f(x) = x + 2
limx→1 f(x)
[Res.]
limx→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3
 |
| Gráfico de f(x) = x+2 obtido com o GeoGebra. |
b) g(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) = (x + 2) . (x - 1) / (x - 1) = (x + 2), com x ≠ 1
limx→1 g(x)
[Res.]
limx→1 [(x² + x - 2) / (x - 1)] = x + 2 = 1 + 2 = 3, mas g(1) não existe.
 |
| Gráfico de f(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Propriedades dos limites e limites naturais
Teorema 1
Sejam a e c números reais, temos que:
a) limx→a c = x (I)
 |
| Gráfico de f(x) = c, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Neste caso, f(x) = c ∀ x ∈ R. Assim, para todos os valores de x próximos de a temos f(x) = c, ou seja, f(x) está próximo de c.
b) limx→a x = a (II)
 |
| Gráfico de f(x) = x, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Neste caso, à medida em que x se aproxima de a, temos que f(x) também se aproxima de a.
Exemplos:
a) limx→2 5 = 5
b) limx→√3 x = √3
c) limx→𝜋 -3√7 = -3√7
d) limx→-9 x = -9
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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