1ª Progressão de aprendizagem de Cálculo I

1ª Progressão de aprendizagem de Cálculo I

1) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).

a) Determine a equação da reta r.
[Res.]
A equação da reta deve ser do tipo:
y = ax + b

Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax + b
- 24 = a (-4) + b, o que chamaremos de equação 1.

Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax + b
0 = a (2) + b, o que chamaremos de equação 2.

Com a equação 1 e a equação 2 é possível montar um sistema e encontrar os valores de a e b.
0 = a (2) + b (Equação 2)

- 24 = a (-4) + b (Equação 1)

Calculando (Equação 2) - (Equação 1):

24 = 6a + 0

24 = 6a

a = 24/6

a = 4

Susbstituindo a = 4 na Equação 2:

0 = a (2) + b (Equação 2)

0 = 4 . 2 + b

b = -8

Assim, a equação da reta é:

y = ax + b

y = 4x - 8

b) Determine a equação dessa parábola.
[Res.]
A equação da parábola deve ser do tipo:
y = ax² + bx + c
É imporante ressaltar aqui que os valores de a e b da questão anterior (relacionados à reta) não estão relacionados a questão presente (equação da parábola).

Substituindo os valores do ponto A(-4, -24):
y = ax² + bx + c
-24 = a(-4)² + b(-4) + c
-24 = 16a - 4b + c, o que chamaremos de equação 1.

Substituindo os valores do ponto B(2, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(2)² + b(2) + c
0 = 4a + 2b + c, o que chamaremos de equação 2.

Analisando-se o gráfico, é possível perceber que a parábola passa pelo ponto (0, 0), o que permite obter uma terceira equação.

Substituindo os valores do ponto B(0, 0):
y = ax² + bx + c
0 = a(0)² + b(0) + c

0 = c, o que chamaremos de equação 3.

Como encontrou-se que o valor de c = 0, pode-se substituí-lo nas equações 1 e 2.
-24 = 16a - 4b + c (Equação 1)
-24 = 16a - 4b + 0
-24 = 16a - 4b (Equação 1')

0 = 4a + 2b + c (Equação 2)
0 = 4a + 2b + 0

0 = 4a + 2b (Equação 2')

Agora pode-se fazer um sistema de equações para encontrar os valores de a e b, a partir das equações 1' e 2'.

(Equação 1') + 2 . (Equação 2')
-24 + 2 . 0 = 16a + 2 . 4a - 4b + 2 . 2b
-24 + 0 = 16a + 8a - 4b + 4b
-24 = 24a + 0b
-24 = 24 a
a = -1

Substituindo a = -1 na equação 1', pode-se encontrar o valor de b.
-24 = 16a - 4b
-24 = 16(-1) - 4b
-24 = -16 - 4b
-8 = -4b
b = -8 / -4
b = 2

Com os valores de a = -1, b = 2 e c = 0, pode-se montar a equação da parábola.
y = ax² + bx + c
y = (-1)x² + 2x + 0
y = -x² + 2x

Logo, a equação da parábola é:
y = -x² + 2x

2) Nos gráficos de 1 a 6, determine o lim_x →a f(x) caso o limite exista.

[Res.]
Para existir o limite no ponto, ele deve existir tanto pela esquerda quanto pela direita, e os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Por isso, vamos observar os limites pela esquerda e pela direita de cada gráfico e ver se eles são iguais, para ver se existe e qual é o limite em cada figura.

Gráfico 1)
lim_x →a- f(x) = b
lim_x →a+ f(x) = b
Como lim_x →a- f(x) = lim_x →a+ f(x) = b, logo:
lim_x →a f(x) = b

Gráfico 2)
lim_x →a- f(x) = b
lim_x →a+ f(x) = b
Como lim_x →a- f(x) = lim_x →a+ f(x) = b, logo:
lim_x →a f(x) = b

Gráfico 3)
lim_x →a- f(x) = b
lim_x →a+ f(x) = b
Como lim_x →a- f(x) = lim_x →a+ f(x) = b, logo:
lim_x →a f(x) = b

Gráfico 4)
lim_x →a- f(x) = b
lim_x →a+ f(x) = c
Como lim_x →a- f(x) ≠ lim_x →a+ f(x) = b, logo:
lim_x →a f(x) = não existe

Gráfico 5)
lim_x →a- f(x) = ∞
lim_x →a+ f(x) = b
Como lim_x →a- f(x) ≠ lim_x →a+ f(x) = b, logo:
lim_x →a f(x) = não existe

Gráfico 6)
lim_x →a- f(x) = b
lim_x →a+ f(x) = b
Como lim_x →a- f(x) = lim_x →a+ f(x) = b, logo:
lim_x →a f(x) = b

3) Calcule cada um dos limites abaixo:
a) lim_h →0 ((5h + 4)^1/2 - 2) / h
[Res.]
lim_h →0 ((5h + 4)^1/2 - 2) / h
Como a equação está dividida por h, não é possível calcular o limite do jeito que ela está, pois não é possível dividir por 0 (quando h tende a 0).
Assim, é preciso modificar a equação, para encontrar o limite.
Comecemos a modificar então, de modo a tentar encontrar uma equação em que seja possível verificar o limite.
lim_h →0 ((5h + 4)^1/2 - 2) / h
lim_h →0 ((5h + 4)^1/2 - 2) / h . 1 / 1
lim_h →0 ((5h + 4)^1/2 - 2) / h . (5h + 4)^1/2 + 2) / (5h + 4)^1/2 + 2)
lim_h →0 (((5h + 4)^1/2)² - (2)²) / h . 1 / (5h + 4)^1/2 + 2)
lim_h →0 (5h + 4 - 4) / (h . (5h + 4)^1/2 + 2)
lim_h →0 (5h + 0) / (h . (5h + 4)^1/2 + 2)
lim_h →0 5h / (h . (5h + 4)^1/2 + 2)
lim_h →0 5 / ((5h + 4)^1/2 + 2)

Nessa nova forma da função, vamos tentar encontrar o limite:
lim_h →0 ((5h + 4)^1/2 - 2) / h = lim_h →0 5 / ((5h + 4)^1/2 + 2)
lim_h →0 5 / ((5h + 4)^1/2 + 2) = 5 / ((5 . 0 + 4)^1/2 + 2)
= 5 / ((0 + 4)^1/2 + 2)
= 5 / (4^1/2 + 2)
= 5 / (2 + 2)
= 5 / 4

Assim, obtém-se a resposta da questão:
lim_h →0 ((5h + 4)^1/2 - 2) / h = 5 / 4

b) lim_x →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)
[Res.]
Se tentarmos resolver diretamente o limite, obteremos para a parte do denominador o seguinte valor:
(x² - 5x + 4) = (4² - 5.4 + 4) = 16 - 20 + 4 = 0
Como não é possível dividir por 0, logo não se pode calcular o limite da função diretamente. Primeiro é preciso modifícá-la de modo a poder calcular o limite.

lim_x →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4)

Analisando separadamente o numerador e o denominador, podemos verificar que:
(x² - 16) = (x + 4) . (x - 4)
(x² - 5x + 4) = (x - 1) (x - 4)

Assim, lim_x →4 (x² - 16) / (x² - 5x + 4) = lim_x →4 ((x + 4) . (x - 4)) / ((x - 1) (x - 4))
Simplificando a equação, obtém-se:
lim_x →4 (x + 4) / (x - 1)

Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando x tende a 4.
(x - 1) = 4 - 1 = 3

Como a divisão por 3 é possível, agora pode-se encontrar o valor do limite da função, pois não há mais nenhuma restrição ao cálculo do limite. Caso houvesse mais alguma restrição, seria necessário continuar a modificar a função até que o limite pudesse ser calculado.
lim_x →4 (x + 4) / (x - 1) = (4 + 4) / (4 - 1) = 8 / 3


c) lim_x →0 (3x³ - 18x² + x - 1)
[Res.]
Como o denominador da função é igual a 1, não há restrições de divisão na função que impeçam o cálculo do limite. Como não se observa mais nenhum tipo de restrição, parece possível o cálculo direto do limite.

Calculando o limite da função quando x tende a 0.
lim_x →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = 3(0)³ - 18(0)² + (0) - 1 = 0 - 0 + 0 - 1 = -1

Logo,
lim_x →0 (3x³ - 18x² + x - 1) = -1


d) lim_x →0 x.cos(1/x)
[Res.]
Vamos analisar o que acontece com a função quando x tende a 0.
x.cos(1/x) = (0).cos(1/0)
Como não é possível dividir por 0, não é possível calcular o limite do jeito que a função está.
Assim, será necessário modificar a função, até que seja possível calcular o limite.

Como é a parte relacionada ao cosseno que está impossibilitando o cálculo do limite, uma forma de tentar encontrar o limite poderia passar pela substituição do cosseno por algo equivalente.
Vamos relembrar a seguinte expressão e ver se é possível a partir dela encontrar alguma relação com cos(1/x):
sen²(x) + cos²(x) = 1

Essa equação pode ser obtida a partir do Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c², onde a é hipotenusa e b e c são catetos de um triângulo ABC com ângulo reto em A.
Assim:
sen (B) = b/a
cos (B) = c/a
Demonstrando:
sen²(B) + cos²(B) = (b/a)² + (c/a)²
sen²(B) + cos²(B) = b²/a² + c²/a²
sen²(B) + cos²(B) = (b² + c²) / a²
sen²(B) + cos²(B) = a² / a²
sen²(B) + cos²(B) = 1

Referência: http://stoa.usp.br/semirames/weblog/92100.html

A partir da relação trigonométrica demonstrada acima, vamos tentar simplificar a equação para possibilitar a resolução do limite.

Como sen²(x) + cos²(x) = 1:
cos²(x) = 1 - sen²(x)
cos(x) = (1 - sen²(x))^1/2

Como x é apenas o ângulo, pode-se reescrever a relação obtida da seguinte forma:
cos(1/x) = (1 - sen²(1/x))^1/2

Retomando o limite e fazendo a substituição pela relação encontrada:
lim_x →0 x.cos(1/x)
lim_x →0 x.(1 - sen²(1/x))^1/2

Agora ao analisar a equação modificada é possível perceber, que apesar de toda a modificação, ainda não foi possível calcular o limite, pois a equação modificada também apresenta a divisão por 0, que não é possível de ser executada.

Será então necessário resolver o problema com outra técnica.

Vamos tentar agora solucionar o limite pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche ou Teorema do Aperto. A ideia é simples e bem útil.

Para a aplicação do Teorema do Confronto, devemos analisar a função em que se deseja aplicar o limite.
Como se deseja encontrar o limite de lim_x →0 x.cos(1/x), a função em questão é:
f(x) = x.cos(1/x)

Vamos dividir a função em duas partes e analisar a parte relacionada com o cosseno.
Sabe-se que a função cosseno varia de -1 a 1, passando pelo 0 (conforme as relação trigonométricas do círculo trigonométrico). Assim, -1 ≤ cos(x) ≤ 1. Como x pode ser qualquer ângulo, a relação abaixo também será válida:
-1 ≤ cos(1/x) ≤ 1

Se multiplicarmos os 3 membros da inequação por x iremos obter:
-1 . x ≤ x . cos(1/x) ≤ 1 . x
-x ≤ x . cos(1/x) ≤ x

Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto, "prensando" as partes da inequação.
lim_x →0 -x ≤ lim_x →0 x . cos(1/x) ≤ lim_x →0 x
Como lim_x →0 -x = 0 e lim_x →0 x = 0, podemos "espremer" o limite lim_x →0 x . cos(1/x) entre os dois limites conhecidos. Assim, obtém-se:
0 ≤ lim_x →0 x . cos(1/x) ≤ 0

Como lim_x →0 x . cos(1/x) está entre 0 e 0, ele só pode ser igual ao próprio 0.

Assim, através do Teorema do Confronto, foi possível encontrar a resposta da questão:
lim_x →0 x . cos(1/x) = 0.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

5ª Lista de Cálculo I - Aplicações das Funções

5ª Lista de Cálculo I - Aplicações das Funções

1) Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a t anos será V(t) = 6561 . (1/3)^t. Determine a depreciação total sofrida até daqui a 3 anos.
[Res.]
Para calcular a depreciação, primeiro é preciso saber o valor atual do equipamento. Para isso, faremos t = 0.
V(0) = 6561 . (1/3)⁰
V(0) = 6561 . 1
V(0) = 6561 (unidades monetárias)

Agora, é preciso calcular o valor do equipamento após 3 anos de depreciação. Para isso, faremos t = 3.
V(0) = 6561 . (1/3)³
V(0) = 6561 . (1/27)
V(0) = 6561 / 27
V(0) = 243 (unidades monetárias)

Observa-se que o valor do bem caiu muito com 3 anos de depreciação. Para calcular o valor total da depreciação, basta subtrair do valor inicial do bem o valor após o período de depreciação.

Depreciação em 3 anos = Valor inicial - Valor depreciado
Depreciação em 3 anos = 6561 - 243
Depreciação em 3 anos = 6318 (unidades monetárias)

2) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro.
[Res.]
Para respondermos a pergunta, precisamos saber que o Lucro = Receita - Custo. Assim:
Lucro = 115q - (90q + 760)
Lucro = 25q - 760

Para o lucro ser positivo, teremos:
25q - 760 > 0
25q > 760
q > 760 / 25
q > 30,4 unidades

Como não é possível produzir um produto parcialmente, o lucro será obtido a partir da venda de 31 unidades do produto.

3) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00?
[Res.]
Primeiro devemos organizar a função Custo.
Custo = 15 . q + 600, onde q é a quantidade produzida.

Agora é preciso obter a função Receita.
Receita = 85 . q, onde q é a quantidade vendida.

Assim, é possível calcular o lucro da seguinte forma:
Lucro = Receita - Custo
Lucro = 85.q - (15.q + 600)
Lucro = 85.q - 15.q - 600
Lucro = 70.q - 600

Para que o lucro obtido seja maior que R$ 800,00:
Lucro > 800
70.q - 600 > 800
70 . q > 1400
q > 1400 / 70
q > 20

Assim, deverão ser vendidas mais de 21 unidades para ser obtido um lucro superior a R$ 800,00.

4) Um motorista de táxi cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine:
a) O preço da corrida em função da distância.
[Res.]
Preço = Custo variável + Custo fixo
Preço = 1,20 . q + 3,70, onde q é a quantidade de quilômetros percorridos.

b) O preço de uma corrida de 8 km.
[Res.]
Para encontrar o preço de uma corrida de 8km, basta utillizar a função preço para q = 8km.
Preço = 1,20 . q + 3,70
Preço = 1,20 . 8 + 3,70
Preço = 9,60 + 3,70
Preço = 13,30 reais

c) A distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida.
[Res.]
Como a corrida custou R$ 18,70, entraremos com o valor do preço para achar a quantidade de quilômetros percorridos, na equação do preço da corrida.
Preço = 1,20 . q + 3,70
18,70 = 1,20 . q + 3,70
18,70 - 3,70 = 1,20 . q
15,00 = 1,20 . q
q = 15,00 / 1,20
q = 12,5 quilômetros

Assim, em uma corrida com preço de R$ 18,70, foram percorridos 12,5 quilômetros.

5) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30.

Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano B menos vantajoso do que o plano A.
[Res.]
Para resolver, vamos organizar a função custo para cada plano.

Custo do Plano A:
Custo Plano A = valor fixo A + Valor variável A
Custo Plano A = 50,00 + 0,25 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.

Custo do Plano B:
Custo Plano B = valor fixo B + Valor variável B
Custo Plano B = 39,00 + 0,30 . q, onde q é quantidade de minutos em ligações locais.

Na minha opinião, a pergunta está bem esquisita. Poderia ter sido melhor elaborada. Mas dá para entender o que se pede, que parece ser analisar até quando um plano é mais vantajoso que o outro. Então, passemos à análise do plano A em comparação com o plano B.

Vamos analisar o que acontece quando ocorrer a seguinte situação:

Custo do Plano A = Custo do Plano B

50,00 + 0,25 . q = 39,00 + 0,30 . q

11,00 = 0,05 . q

q = 11,00 / 0,05

q = 220 minutos

Ou seja, quando são utilizados 220 minutos de ligações locais, o valor da conta no tanto no Plano A quanto no Plano B é o mesmo.

Então, temos um marco, que é a utilização de 220 minutos de ligações locais.

Agora, vamos analisar o que acontece quando se utiliza menos que 220 minutos de ligações locais para cada plano.

Para q < 220, vamos colocar 200 minutos por exemplo. (Podemos fazer isso porque se trata de uma reta crescente a função custo, tanto do Plano A quanto do Plano B).

Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . q

Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . 200

Custo do Plano A = 50,00 + 50,00

Custo do Plano A = 100,00 reais

Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . q

Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . 200
Custo do Plano B = 39,00 + 60
Custo do Plano B = 99,00 reais

Assim, para utilização de menos de 220 minutos de ligações locais, o Plano B é o mais barato.

Agora, vamos analisar o que acontece quando a utilização é maior que 220 minutos para ligações locais.
Para q > 220, vamos colocar 230 minutos por exemplo.
Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . q

Custo do Plano A = 50,00 + 0,25 . 230

Custo do Plano A = 50,00 + 57,50

Custo do Plano A = 107,50 reais

Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . q

Custo do Plano B = 39,00 + 0,30 . 230
Custo do Plano B = 39,00 + 69
Custo do Plano B = 108,00 reais

Assim, para utilização de mais de 220 minutos de ligações locais, o Plano A é o mais barato.

Agora, vamos analisar o que a questão pede novamente: a questão pede o número de minutos que torna o Plano B menos vantajoso. Ou seja, a questão quer saber quando o Plano A se torna mais vantajoso. Como analisamos anteriormente, o plano A é o mais vantajoso quando o número de minutos de ligações locais é superior a 220.

Resumindo:

Utilização abaixo de 200 minutos de ligações locais: plano B é o mais vantajoso.

Utilização igual a 200 minutos de ligações locais: qualquer dos planos tem o mesmo valor.

Utilização acima de 200 minutos de ligações locais: plano A é o mais vantajoso.

6) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por DVD, para não haver prejuízo?
[Res.]
Vamos começar organizando as funções Receita e Custo.
Receita = Quantidade . Preço
Receita = 20.000 . Preço, onde Preço é o preço de venda de cada DVD.

Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q, onde q é a quantidade de DVDs fabricada.

Considerando que q = 20.000 cópias do DVD, o Custo Total será:
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . q
Custo Total = 120.000,00 + 18,00 . 20.000
Custo Total = 120.000,00 + 360.000,00
Custo Total = 480.000,00 reais

Para não haver prejuízo, o lucro precisa ser maior ou igual a zero.
Lucro = Receita - Custo Total
Lucro = 20.000 . Preço - 480.000,00

Como Lucro ≥ 0:
20.000 . Preço - 480.000,00 ≥ 0
20.000 . Preço ≥ 480.000,00
Preço ≥ 480.000,00 / 20.000
Preço ≥ 24,00 reais

Assim, para um preço de R$ 24,00 ou acima, não haverá prejuízo se todas as 20.000 cópias do filme em DVD forem vendidas.

7) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:
C(x):
* 5 + x (12-x), se 0 ≤ x ≤ 10
* -(3/2)x + 40, se 10 < x ≤ 20

Se em um dia foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo da produção das 24 unidades.
[Res.]
Falta um dado necessário para responder a questão, que é saber se a função custo é calculada diariamente. Não está claro no texto, mas vamos considerar que o custo é calculado diariamente para responder a questão.

Custo diário de produção = Custo Fixo + Custo Variável
Considerando x a quantidade produzida:
se 0 ≤ x ≤ 10, Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
se 10 < x ≤ 20, Custo diário de produção = -(3/2)x + 40

Como no primeiro dia foram produzidas 9 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = 5 + x (12-x)
Custo diário de produção = 5 + 9 (12-9)
Custo diário de produção = 5 + 9 (3)
Custo diário de produção = 5 + 27
Custo diário de produção = 32 reais

Como no segundo dia foram produzidas 15 unidades, o Custo diário de produção será:
Custo diário de produção = -(3/2)x + 40
Custo diário de produção = -(3/2).15 + 40
Custo diário de produção = -45/2 + 40
Custo diário de produção = (-45 + 80) / 2
Custo diário de produção = 35 / 2

Custo diário de produção = 17,50 reais

Assim, pode-se obter o custo total da produção dos dois dias somando-se o custo do primeiro dia com o custo do segundo dia.

Custo Total = Custo do primeiro dia + Custo do segundo dia

Custo Total = 32 + 17,50

Custo Total = 49,50 reais

Assim, nos dias dias o custo total foi de R$ 49,50.

8) Sobre os preços dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de:
* Até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria de R$ 18,00;
* Mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por R$ 15,00.
Nessas condições, determine a expressão que permite calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que compra x ingressos, com x > 20.
[Res.]
Como o número de ingressos é superior a 20, pode-se calcular o gasto com ingressos da seguinte forma:
Gastos com ingressos = 20 . 18,00 + 15,00 . (x - 20), considerando x o número de ingressos, com x > 20 ingressos.
Gastos com ingressos = 360,00 + 15,00x - 300,00
Gastos com ingressos = 60,00 + 15,00x

9) Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é I = m / a², na qual m é a massa da pessoa, em quilogramas, e a é a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2kg obteve I = 20.
Determine a altura dessa mulher.
[Res.]
Como sabe-se a massa e o valor de I (índice de massa corpórea - IMC), pode-se encontrar o valor de a (altura) da seguinte forma:
I = m / a²
20 = 51,2 / a²
a² = 51,2 / 20
a² = 2,56
a = (2,56)^1/2
a = 1,60 metros

Assim, a altura da mulher é 1,60 metros.

10) Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10m. Considere que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma válvula que verte petróleo para o tanque, à taxa de 4m³ por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que fornece a altura (H), em metros, do petróleo no tanque, t horas após a abertura da válvula?
[Res.]
Primeiramente, vamos calcular o volume do tanque. Como trata-se de um cubo, o cálculo do volume é igual ao valor da aresta elevado ao cubo. Assim:
Volume do tanque = volume do cubo
Volume do tanque = (10m)³
Volume do tanque = 10m . 10m . 10m
Volume do tanque = 100m² . 10m
Volume do tanque = 1000 m³

A questão informa que o volume inicial do tanque é 0m³, pois ele está vazio.

O tanque é preenchido a uma taxa de 4m³ por hora, até ficar cheio. Pode-se acompanhar o aumento do nível do tanque da seguinte forma:
Primeiro, vamos considerar que a área da base do cubo é fixa.
Base do cubo = (10m)²
Base do cubo = 100m²

Para encontrarmos o nível do tanque em função do tempo, poderemos relacionar a vazão de preenchimento com a área da base da seguinte forma.
Nível do tanque = Vazão / área da base do tanque
Nível do tanque = (4m³/h) / 100m²
Nível do tanque = (4m³/h) . (1/100m²)
Nível do tanque = 4m³/100m²h
Nível do tanque = 4m/100h
Nível do tanque = 0,04m/h

Assim, podemos encontrar o nível do tanque em função do tempo em horas:
Nível do tanque em função do tempo = 0,04m/h . tempo em horas

Também pode-se escrever das seguintes formas:
Nível em metros = 0,04 . t
Nível em metros = (4/100) . t
Nível em metros = (1/25) . t
Nível em metros = t / 25

Respondendo a questão, a altura H será:
H = t/25 metros, onde t é o tempo de abertura da válvula em horas.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas

4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas

1) Determine f ^-1(x) em cada caso:

a) f(x) = 3x + 5
[Res.]
Para encontrar a função inversa:
x = 3y + 5
Daí: y = (x - 5) / 3
Simples assim. Onde era f(x) coloca-se x e onde era x coloca-se y, que é o f(x).

b) f(x) = 1/ (3x - 2)
[Res.]
x = 1 / (3y - 2)
3y - 2 = 1 / x
3y = (1/x) + 2
3y = (1 + 2x) / x
y = (1 + 2x) / 3x
f ^-1(x) = (1 + 2x) / 3x

c) f(x) = (3x + 2) / (2x - 5)
[Res.]
x = (3y + 2) / (2y - 5)
2yx - 5x = 3y + 2
2yx - 3y = 2 + 5x
y (2x - 3) = 2 + 5x
y = (2 + 5x) / (2x-3)
f ^-1(x) = (2 + 5x) / (2x-3)

d) f(x) = 2 - 3x²
[Res.]
x = 2 - 3y²
3y² = 2 - x
y² = (2 - x) / 3
y = ((2 - x) / 3)^(1/2)
f ^-1(x) = ((2 - x) / 3)^(1/2)

e) f(x) = 5x² + 2
[Res.]
x = 5y² + 2
5y² = x - 2
y² = (x-2) / 5
y = ((x-2) / 5)^(1/2)

f ^-1(x) = ((x-2) / 5)^(1/2)

f) f(x) = (4 - x²)^(1/2), 0 ≤ x ≤ 2
[Res.]
x = (4-y²)^(1/2)
x² = 4 - y²
y² = 4 - x²
y = (4 - x²)^(1/2)

f ^-1(x) = (4 - x²)^(1/2)

g) f(x) = x^(1/3) + 1
[Res.]
x = y^(1/3) + 1
y^(1/3) = x - 1
y = (x - 1)³

f ^-1(x) = (x - 1)³

h) f(x) = (x³ + 1)^5
[Res.]
x = (y³+1)^5
x^(1/5) = y³ + 1
y³ = x^(1/5) - 1
y = (x^(1/5) - 1)^(1/3)

f ^-1(x) = (x^(1/5) - 1)^(1/3)

i) f(x) = (2x + 3) / (x - 5)
[Res.]
x = (2y + 3) / (y - 5)
xy - 5x = 2y + 3
y (x - 2) = 3 + 5x
y = (3 + 5x) / (x - 2)

f ^-1(x) = (3 + 5x) / (x - 2)


2) Sejam as funções f(x) = 2x - 1 e g(x) = kx + t funções de IR em IR. Determine os valores de k e t para que g(x) = f ^-1(x).
[Res.]
Encontrando a inversa de f(x):
x = 2y - 1
2y = x + 1
y = (x + 1) / 2

Assim, f ^-1(x) = (x + 1) / 2
Logo,
(x + 1) / 2 = kx + t
(1/2) . x + 1/2 = kx + t
Assim, k = 1/2 e t = 1/2

3) Seja f: IR → IR uma função bijetora definida por f(x) = x³ + 1. Seja g: IR → IR uma função bijetora, definida por g(x) = (4x + 1) / 3. Determine o valor de f ^-1(9) + g(f(1/2)).
[Res.]
Revisando os conceitos:

Função:
Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.
Referência:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm

Calculando a função inversa de f(x):
x = y³ + 1
y³ = x - 1
y = (x - 1)^(1/3)

Assim:
f ^-1(x) = (x - 1)^(1/3)

Calculando f ^-1(9):
f ^-1(9) = (9 - 1)^(1/3) = 8^(1/3) = 2

Calculando g(f(1/2)):
g(x) = (4x + 1) / 3

f(1/2) = (1/2)³ + 1 = 1/8 + 1 = 9/8

g(f(1/2)) = (4 . (9/8) + 1) / 3 = (9/2 + 1) / 3 = 11/2 *1 / 3 = 11/6

Calculando f ^-1(9) + g(f(1/2)):
f ^-1(9) + g(f(1/2)) = 2 + 11/6 = (12 + 11) / 6 = 23/6


4) A função f, definida em IR - {2} por f(x) = (2 + x) / (2 - x) é inversível. O seu contradomínio é IR - {a}. Determine o valor de a.
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (2 + y) / (2 - y)
2x - xy = 2 + y
2x - 2 = y + xy
y (1 + x) = 2x -2
y = (2x - 2) / (1 + x)

Assim:
f ^-1(x) = (2x - 2) / (1 + x)
Logo, o valor de a = -1.


5) Seja f: IR → IR, definida por f(x) =

• 3x + 3, se x ≤ 0
• x² + 4x + 3, se x > 0

É correto afirmar que:

a) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (21). 

b) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (99).

c) ( ) f é sobrejetora mas não é injetora.

d) ( ) f é injetora mas não é sobrejetora.

e) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (3)

Gabarito: letra b, porém, conforme resolução abaixo, encontrei como resposta a letra c.


[Res.]

Vamos analisar letra a letra para responder a questão, já que as opções de resposta envolvem números.

Analisando a letra a:
Vamos calcular (f ° f)(-2/3):
Como -2/3 ≤ 0, usaremos f(x) = 3x + 3:
(f ° f)(x) = 3 . (3x + 3) + 3
(f ° f)(-2/3) = 3 . [3 . (-2/3) + 3] + 3
= 3 . [-2 + 3] + 3
= 3 . 1 + 3
= 3 + 3
= 6

Calculando f ^-1 (21):
Como 21 > 0, usaremos f(x) = x² + 4x + 3:
Encontrando f ^-1 (x):
y = x² + 4x + 3

Yvértice = - ∆ / 4a
Yvértice = - [16 - 4 . (1) . (3)] / [4 . (1)]
Yvértice = - [16 - 12] / 4
Yvértice = - 4 / 4
Yvértice = - 1

Como a concavidade é para cima, a imagem da função y = x² + 4x + 3 será de [-1, +∞[.

Trocando o x pelo y, obtemos:
y = x² + 4x + 3
x = y² + 4y + 3

Assim:
y² + 4y + 3 - x = 0

Utilizando Bháskara
y = [-4 ± √(16 - 4 . (1) . (3-x)] / [2 . (1)]
y = [-4 ± √(16 - 12 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √(4 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √4(1 + x)] / [2]
y = [-4 ± 2√(1 + x)] / [2]
y = [-2 ± √(1 + x)] / [1]
y = -2 ± √(1 + x)

Avaliando a Imagem de f(x), que é [-1, +∞[, vemos que:
y = -2 + √(1 + x) condiz com a imagem
y = -2 - √(1 + x) não condiz com a imagem

Portanto, o valor de y para o intervalo da função f(x) será:
y = -2 + √(1 + x)


Referência consultada: http://entendaexatas.blogspot.com/2013/09/funcao-quadratica-inversa.html

Assim:
f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x)
f ^-1 (21) = -2 + √(1 + 21)
f ^-1 (21) = -2 + √22

Assim, descartamos a resposta a, pois a afirmação (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (21) não é verdadeira.
(f ° f)(-2/3) = 6
f ^-1 (21) = -2 + √22
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (21)

Analisando a letra b:
Calculamos na letra a (f ° f)(-2/3):
(f ° f)(-2/3) = 6

Agora vamos calcular f ^-1 (99):
f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x)
f ^-1 (99) = -2 + √(1 + 99)
f ^-1 (99) = -2 + √100
f ^-1 (99) = -2 + 10
f ^-1 (99) = 8

Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (99) = 8:
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (99)

Analisando a letra c:
A letra c diz que f é sobrejetora mas não é injetora.

Sobrejetora
Sobrejetora é a função que para todo elemento no contradomínio há pelo menos um no domínio.
Como f(x) =

• 3x + 3, se x ≤ 0
• x² + 4x + 3, se x > 0

Para cada x existe pelo menos um valor de y. Logo, f(x) é sobrejetora.

Injetora
Injetora é a função em que existe uma única imagem distinta para cada valor do domínio.
Como f(x) pode ser uma parábola caso x > 0, ela não é injetora.

Assim, a resposta correta é a letra c.


Analisando a letra d:
A letra d diz que f é injetora mas não é sobrejetora.

Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é injetora, mas é sobrejetora.

Analisando a letra e:
A letra e diz que f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (3).

Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é bijetora, pois para ser bijetora ela precisaria ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

Além disso, como vimos anteriormente,  (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x). Assim:
f ^-1 (3) = -2 + √(1 + 3)
f ^-1 (3) = -2 + √4
f ^-1 (3) = -2 + 2
f ^-1 (3) = 0

Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (3) = 0:
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (3)



6) Dadas as funções bijetoras f(x) = 2x - 3 e g(x) = x³, determine (f ° g)^-1(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = 2 . (x³) - 3

Calculando f(g(x))^-1:
x = 2 y³ - 3
2y³ = x + 3
y³ = (x + 3) / 2
y = ((x + 3) / 2)^(1/3)

f(g(x))^-1 = ((x + 3) / 2)^(1/3)


7) Dadas as funções bijetoras f(x) = x - 1 e g(x) = 2x + 3, mostre que (f ° g)^-1(x) = (g^-1 ° f ^-1)(x).
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = y - 1
y = x + 1

f(x)^-1 = x + 1

Calculando a função inversa de g(x):
x = 2y + 3
2y = x -3
y = (x - 3) / 2

g(x)^-1 = (x - 3) / 2

Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2

Calculando a inversa de f(g(x)):
x = 2y + 2
2y = x - 2
y = (x - 2) / 2

f(g(x))^-1 = (x - 2) / 2

Calculando g(f(x)^-1)^-1:
g(f(x)^-1)^-1 = g(x+1)^-1 = ((x + 1) - 3) / 2 = (x -2) / 2

Assim:
f(g(x))^-1 = g(f(x)^-1)^-1 = (x -2) / 2


8) Seja f, de IR em IR, uma função definida por f(x) = mx + p. Se o gráfico de f ^-1(x) passa peloas pontos A(4,0) e B(0,3), determine a função f(x).
[Res.]
Encontrando a função inversa de f(x):
x = my + p
my = x - p
y = (x - p) / m

f(x)^-1 = (x - p) / m

Considerando o ponto A(4, 0):
0 = (4 - p) / m
4 - p = 0
p = 4

Considerando o ponto B(0, 3):
3 = (0 - p) / m
3 = -p / m
m = -p / 3

Como p = 4:
m = - 4 / 3

Assim:
f(x) = mx + p
f(x) = -(4/3) . x + 4


9) Qual a relação entre a e b para a função f(x) = (ax + 1) / (2x + b) coincida com sua inversa?
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (ay + 1) / (2y + b)
2xy + xb = ay + 1
2xy - ay = 1 - xb
y(2x - a) = 1 - xb
y = (1 - xb) / (2x - a)

f(x)^-1 = (1 - xb) / (2x - a)

Para f(x) = f(x)^-1:
(ax + 1) / (2x + b) = (1 - xb) / (2x - a)
(ax + 1) . (2x - a)  = (1 - xb) . (2x + b)
2ax² - a²x + 2x - a = 2x + b - 2bx² - b²x

Reorganizando:
2ax² - a²x + 2x - a = - 2bx² + 2x - b²x + b
2ax² + (2 - a²)x - a = - 2bx² + (2 - b²)x + b

Assim:
2ax² = -2bx²
Logo:
a = -b

10) Seja f a função definida por f(x) = (3x + 2) / (4x - 1), onde x ≠ 1/4. Determine os valores de a e b para que f ^-1(x) = (x+2) / (ax+b).
[Res.]
Calculando f ^-1(x):
x = (3y + 2) / (4y - 1)
4xy - x = 3y + 2
4xy - 3y = x + 2
y (4x - 3) = x + 2
y = (x + 2) / (4x - 3)

f ^-1(x) = (x + 2) / (4x - 3)

Para f ^-1(x) = (x+2) / (ax+b):
(x + 2) / (4x - 3) = (x+2) / (ax+b)

Logo:
a = 4 e b = -3


11) Considere a função f: [0, ∞[ → [12, ∞[, dada por f(x) = x² + 2kx + k² - 4, onde a constante real k faz com que a função f(x) admita inversa. Determine o valor de f ^-1(21).
[Res.]

Para f(x):
f(x) = x² + 2kx + k² - 4
f(x) = (x + k)² - 4

Como x ≥ 0 e y ≥ 12:
f(x) ≥ 12
Logo:
(x + k)² - 4 ≥ 12
(x + k)² ≥ 16

Assim: x + k ≥ 4 ou x + k ≤ - 4

Como x ≥ 0:

• 0 + k ≥ 4
• k ≥ 4
• 0 + k ≤ - 4
• k ≤ - 4

Calculando a função inversa de f(x):
x = y² +2ky + k² - 4
x = (y + k)² - 4
(y + k)² = x +4
y + k = (x + 4)^(1/2)
y = (x + 4)^(1/2) - k

Logo:
f ^-1(x) = (x + 4)^(1/2) - k

Calculando f ^-1(21):
f ^-1(21) = (21 + 4)^(1/2) - k = 25^(1/2) - k
f ^-1(21) = 5 - k

Para k ≤ - 4:
f ^-1(21) ≥ 5 - k
f ^-1(21) ≥ 5 - (-4)
f ^-1(21) ≥ 9

Para k ≤ 4:
f ^-1(21) ≤ 5 - k
f ^-1(21) ≤ 5 - (4)
f ^-1(21) ≤ 1

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 03/04/2019

Cálculo I - 03/04/2019 - (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h56min
Taxa de aproveitamento: 82,22%


Exercícios:

1) Calcule lim_x→2 (x² - 7x + 10) / (x² - 4).

[Res.]

Gráfico de f(x) = (x² - 7x + 10) / (x² - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→2 (x² - 7x + 10) / (x² - 4)
= lim_x→2 [(x - 2) . (x - 5)] / [(x + 2) . (x - 2)]
= lim_x→2 (x - 5) / (x + 2)
= (2 - 5) / (2 + 2)
= - 3 / 4



2) Calcule lim_x→0 x . cos(1/x).

[Res.]

Gráfico de f(x) = x . cos(1/x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

É fácil observar pelo gráfico da função que o limite tende a 0.



Calculando o limite:
lim_x→0 x . cos(1/x)
= lim_x→0 x . lim_x→0 cos(1/x)

Como:

• lim_x→0 x = 0
• -1 < lim_x→0 cos(1/x) < 1

O cálculo do limite pode ser feito pelo teorema do confronto. A multiplicação dos limites será:
lim_x→0 x . lim_x→0 cos(1/x)
= 0 . lim_x→0 cos(1/x)
= 0



Operações com infinito (lembrete):

• x + ∞ = ∞
• x + (-∞) = -∞
• x - ∞ = -∞
• x - (-∞) = ∞
• ∞ + ∞ = ∞
• -∞ + (-∞) = -∞
• ∞ . ∞ = ∞

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 02/04/2019

Cálculo 1 - 02/04/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 77,77%


Exercícios
1) lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (5 - √x) / (25 - x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
= lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)] . [(5 + √x) / (5 + √x)]
= lim_x→25 (25 - x) / [(25 - x) . (5 + √x)]
= lim_x→25 1 / (5 + √x)
= 1 / (5 + 5)
= 1 /10


2) lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = x² / (√(x² + 12) - √12), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
= lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)] . {[(√(x² + 12) + √12)] / [√(x² + 12) + √12)]}
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / [(x² + 12) - 12]
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / x²
= lim_x→0 √(x² + 12) + √12
= √(0² + 12) + √12
= √12 + √12
= 2 . √12



3) lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}

[Res.]

Gráfico de f(x) = [sen(5x) . cotg(8x)] / [x . cotg(10x)], obtido com o GeoGebra e o Krita.

Lembrando que :
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1.
lim_x→0 cos(x) = cos(0) = 1.


lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
= lim_y→0 {[sen(5y) . cos(8y)/sen(8y)] / [y . cos(10y)/sen(10y)]}
= lim_y→0 {sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . 1/y . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/5 . 1/y . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/(5y) . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) . (10y)/cos(10y)]} 
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [(10y) . sen(10y)/(10y) . 1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y) . [1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 5/4 . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {5 . 5/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {25/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 25/4 . lim_y→0 [sen(5y)/(5y)] . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 {1 / [sen(8y)/(8y)]} . lim_y→0 [sen(10y)/(10y)]
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 1 / lim_y→0 [sen(8y)/(8y)] . 1
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . 1 / 1 . 1
= 25/4 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)]
= 25/4 . lim_y→0 cos(8y) / lim_y→0 cos(10y)
= 25/4 . 1 / 1
= 25/4


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

1) Considere f(x) = 1 / (x - 1). Determine o valor de x, para o qual (f ° f)(x) = 1.
[Res.]
f(f(x)) = 1 / ((1 / (x - 1)) - 1) = 1 / ((1 - x + 1) / (x-1)) = 1 / ((2-x)/(x-1))
Como f(f(x)) = 1, logo:
1 / ((2-x)/(x-1)) = 1
1 = (2-x)/(x-1)
x - 1 = 2 - x
2x = 3
x = 3/2

2) Se f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x², determine o valor de f(g(-1)) - g(f(-1)).
[Res.]
f(g(-1)) = 3(2x²) + 1 = 6x² + 1 = 6(-1)² + 1 = 7
g(f(-1)) = 2(3x + 1)² = 2(3(-1) + 1)² = 2 (-3+1)² = 2 (-2)² = 2 . 4 = 8
Logo:
f(g(-1)) - g(f(-1)) = 7 - 8 = -1

3) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1. Determine as raízes da equação f(g(x)) = 0.
[Res.]
f(g(x)) = 2(x² - 1) + 1 = 2x² - 2 + 1 = 2x² - 1
Fazendo 2x² - 1 = 0, obtém-se:
x1 = (-0 + (0 +8)^(1/2)) / 4 = 2(2)^(1/2)/4 = (2)^(1/2)/2
x2 = (-0 - (0 +8)^(1/2)) / 4 = -2(2)^(1/2)/4 = -(2)^(1/2)/2


4) Determine as funções compostas (f ° g)(x), (g ° f)(x) com seus respectivos domínios onde:
a) f(x) = x² - 3x e g(x) = (x + 2)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = ((x + 2)^(1/2))² - 3((x + 2)^(1/2))
= x + 2 - 3((x + 2)^(1/2))
Domínio = [-2, ∞[

g(f(x)) = ((x² - 3x) + 2)^(1/2)
= (x² - 3x + 2)^(1/2)
= ((x-2)(x-1))^(1/2)
Domínio = ]-∞, 1] U [2, ∞[

b) f(x) = (x-2)^(1/2) e g(x) = (x + 5)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (((x + 5)^(1/2))-2)^(1/2)
Domínio = [-1, ∞[

g(f(x)) = (((x-2)^(1/2)) + 5)^(1/2)
Domínio = [2, ∞[

c) f(x) = (25-x²)^(1/2) e g(x) = (x - 3)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (25-((x - 3)^(1/2))²)^(1/2)
= (28 - x)^(1/2))²)^(1/2)
Domínio = [3, 28]

g(f(x)) = (((25-x²)^(1/2)) - 3)^(1/2)
Domínio = [-4, 4]

d) f(x) = x / (3x + 2) e g(x) = 2/x
[Res.]
f(g(x)) = (2/x) / (3(2/x) + 2)
= (2/x)/((6+2x)/x) = 2/x * x/(6+2x) = 1 / (3+x)
Domínio = IR - {0, -3}

g(f(x)) = 2/(x / (3x + 2))
= (6x + 4) / x
Domínio = IR - {0, -2/3}


5) Sabendo que f(x) = x+2 e f(g(x)) = 2x - 3, determine a função g(x).
[Res.]
f(x) = x + 2
Fazendo g(x) = y, f(g(x)) = y + 2
Como f(g(x)) = 2x -3, logo:
2x - 3 = y + 2
y = 2x - 5

Logo, g(x) = 2x - 5


6) Sendo g(x) = x - 7 e f(g(x)) = 3x - 1, determine a função f(x).
[Res.]
De f(g(x)) = 3x - 1:
x = (f(g(x)) + 1) / 3

g(x) = (f(g(x)) + 1)/3 - 7 = (f(g(x)) + 1 - 21) / 3
3*g(x) = f(g(x)) -20
f(g(x)) = 3g(x) + 20

Logo:
f(x) = 3x + 20

7) Determine uma forma funcional composta para y em cada caso:

a) y = (x² + 3x)^(1/3)
[Res.]
y = u^(1/3)
com u = x^2 + 3x

b) y = 1 / (x - 3)^4
[Res.]
y = 1 / u^4
com u = x - 3

c) y = (x^4 - 16)^(1/4)
[Res.]
y = u^(1/4)
com u = x^4 - 16

d) y = 4 + (x^2 + 1)^(1/2)
[Res.]
y = 4 + u^(1/2)
com u = x^2 + 1

e) y = (x^4 - 2.x^2 + 5)^5
[Res.]
y = u^5
com u = x^4 - 2.x^2 + 5

f) y = ((x + 4)^(1/2) - 2) / ((x + 4)^(1/2) + 2)
[Res.]
y = (u - 2) / (u + 2)
com u = v^(1/2)
com v = (x+4)

g) y = 1 / (x² + 3x - 5)^3
[Res.]
y = 1 / u^3
com u = x² + 3x - 5

h) y = x^(1/3) / (1 + x^(1/3))
[Res.]
y = u / (1 + u)
com u = x^(1/3)


8) Sejam f(x) = x² + 3x + 4 e g(x) = ax + b duas funções. Determine as constantes reais a e b para que (f ° g) (x) = (g ° f) (x) para todo x real.
[Res.]
(f ° g) (x) = (ax + b)² + 3(ax + b) + 4
(g ° f) (x) = a(x² + 3x + 4) + b

Fazendo (f ° g) (x) = (g ° f) (x):
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b

a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² + 3b + 4 = ax² + 4a + b

Comparando-se os termos, tem-se:
2abx = 0
a²x² = ax², logo a² = a, e, portanto, a = 1
b² + 3b + 4 = 4a + b

Com a = 1, tem-se:
b² + 3b + 4 = 4a + b
b² + 3b + 4 = 4 . 1 + b
b² + 2b = 0
b (b + 2) = 0
b = 0 ou b = -2

Testando a = 1 e b = 0:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + 0)² + 3(1 . x + 0) + 4 = 1(x² + 3x + 4) + 0
x² + 3x + 4 = x² + 3x + 4, o que é verdadeiro!

Testando a = 1 e b = -2:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + (-2))² + 3(1 . x + (-2)) + 4 = 1 . (x² + 3x + 4) + (-2)
(x -2)² + 3(x - 2) + 4 = x² + 3x + 2
x² - 4x + 4 + 3x - 6 + 4 = x² + 3x + 2
x² - x + 2 = x² + 3x + 2, o que não é verdadeiro!

Logo, a resposta é:
a = 1 e b = 0.

9) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x - 1, e g(x) = ax + b. Sabendo que f(g(x)) = -2x, determine a função g(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (g(x)) - 1

Como f(g(x)) = -2x:
(g(x)) - 1 = -2x
Assim:
g(x) = -2x + 1

10) Se f(x) = 2 / (2x + 5) determine o valor de x de modo que f(f(x)) = 2.
[Res.]
f(f(x)) = 2 / (2(2 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (4 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (((4 + 5 (2x +5))) / (2x+5))
= 2 / ((4 + 10x + 25) / (2x + 5))
= (4x + 10) / (10x + 29)

Como f(f(x)) = 2, logo:
(4x + 10) / (10x + 29) = 2
(4x + 10) = 2 . (10x + 29)
4x + 10 = 20x + 58
16x = -48
x = -48 / 16
x = -3


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 29/03/2019

Cálculo I - 29/03/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 19h00min
Término da aula: 20h10min
Taxa de aproveitamento: 77,77%


Exercícios de Limites Trigonométricos

Lembrando que
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1

1) Encontre o limite:

a) lim_x→0 [sen(3x)/8x]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/8x]
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3/8 . (8x)]}
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3x]}
= lim_x→0 [3/8 . sen(3x)/(3x)]
= lim_x→0 3/8 . lim_x→0 [sen(3x)/(3x)]
= 3/8 . 1
= 3/8


b) lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]
=  lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[3/2 . sen(2x)/3x]}
=  lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[sen(2x)/2x]}
=  lim_x→0 (3/2) . lim_x→0 [sen(3x)/3x] / lim_x→0 [sen(2x)/2x]
=  3/2 . 1 / 1
= 3/2


Limites infinitos

Ao investigarmos lim_x→a^- f(x) ou lim_x→a⁺ f(x), pode ser que o valor de f(x) ou aumente ou decresça sem limite à medida em que x se aproxima de a.


Exemplos: 
Seja f(x) = 1 / (x - 2). Estude lim_x→2 f(x).

Gráfico de f(x) = 1 / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Quando x tende a 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite. Denotamos este fato escrevendo:
lim_x→2⁺ [1/(x - 2)] = + ∞.

Por outro lado, quando x tende a 2 pela esquerda, f(x) decresce sem limite. Daí, escrevemos:
lim_x→2^- [1/(x - 2)] = - ∞.


Se os limites laterais são distintos, não existe limite no ponto: ∄ lim_x→2 f(x).


Definição:
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em x = a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = + ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes com x próximo de a, mas x ≠ a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = - ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente pequenos com x próximo de a, mas x ≠ a.


Exercícios:
* lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)

[Res.]

Gráfico de f(x) = 2x⁵ - 5x³ + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)
= lim_x→-∞ 2x⁵ - lim_x→-∞ 5x³ + lim_x→-∞ 1
= [lim_x→-∞ 2x]⁵ - [lim_x→-∞ 5x]³ + 1
= [2 . lim_x→-∞ x]⁵ - [5 . lim_x→-∞ x]³ + 1
= [2 . (-∞)]⁵ - [5 . (-∞)]³ + 1
= [-∞]⁵ - [-∞]³ + 1
Como o limite tendeu ao infinito (negativo), iremos considerar apenas o termo de maior expoente para encontrar o limite da função. Assim:
lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1) = -∞


* lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (3 - x) / (√(5 + 4 . x²)), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²) . √(5 + 4 . x²) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / (5 + 4 . x²)}
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4 . x²/x²)]}
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x(3/x - x/x) . x√(5/x² + 4 . x²/x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4 . 1)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [(5/x² + 4)]}
= {[(0 - 1) . √(0 + 4)] / [(0 + 4)]}
= {[(- 1) . √4] / [4]}
= {[-√4] / [4]}
= {[-2] / [4]}
= -2 / 4
= -1 / 2


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Me Salva! LIM09 - Limites no infinito e assíntotas horizontais

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CALC1S4 06 Limites Infinitos

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CALC1S4 05 Exemplos

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CALC1S4 04 Consequências

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