terça-feira, 18 de junho de 2019
Die göttliche Liturgie - Teil 1 (bis zur 2. Antiphon)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Katholische Kirchenmusik in Latein Gregorian mittelalterlichen Kirchen
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
FAUN - Federkleid (Offizielles Video)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Greatest Catholic Mass Hymns Of All Time (1)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I -18/06/2019
Cálculo I -18/06/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h37min
Término da aula: 20h49min
Taxa de aproveitamento: 80%
Observação: demora excessiva para exibir os resultados das provas, o que atrapalha os alunos a se organizarem para os estudos, visto que a matéria é cumulativa para a última prova. Sugestão: entregar os resultados das provas num prazo máximo de duas semanas a partir da avaliação. Também podem ser utilizados recursos multimídia para facilitar a compreensão da matéria pelos alunos.
Continuação:
Exemplo:
1) Determine a concavidade de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1
f '(x) = 6x² + 2x - 20
f ''(x) = 12x + 2
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x + 2 = 0
12x = -2
x = -2 / 12
x = -1 / 6
Tomando um número maior que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = 0 > -1/6:
f ''(0) = 2, que é positiva (+), indicando concavidade para cima.
Tomando um número menor que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = -1 < -1/6:
f ''(-1) = 12 . (-1) + 2 = -12 + 2 = -10, que é negativa (-), indicando concavidade para baixo.
Assim, existe um ponto de inflexão, pois a concavidade muda ao longo da função.
Ponto de inflexão
Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão da função f(x).
Condições:
Observe que se um ponto (c, f(c)) do gráfico de f(x) é um ponto de inflexão, então:
a) f(x) é contínua em c.
b) Existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em ]a, c[ e côncavo para baixo em ]c, b[ ou vice-versa.
Exemplo 1:
Os pontos P1, P2, P3 e P5 do gráfico abaixo são pontos de inflexão de f(x).
Exemplo 2:
Mostre que y = x⁴ não possui pontos de inflexão:
y' = 4x³
y'' = 12x²
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x² = 0
x = 0
Conferindo o gráfico de y = x⁴, mostrando que não há mudança de concavidade na função:
Exercício
Verifique se a função f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7 tem ponto de inflexão.
[Res.]
Assim, com o gráfico da função, já é possível visualizar que ela tem mudanças na concavidade. Portanto, existe o ponto de inflexão.
Agora, verificando os extremos da função, com a derivada primeira:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3 (x² - 2x - 3) = 3 . (x - 3) . (x + 1)
Igualando a derivada primeira a 0, encontram-se os pontos de extremos da função:
f '(x) = 3 . (x - 3) . (x + 1) = 0
x = -1, x = 3.
Agora, para analisar a concavidade, analisa-se o comportamento da derivada segunda:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3
f ''(x) = 6x - 6 = 6 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0, encontramos um ponto onde pode haver a inflexão da função:
f ''(x) = 6 (x - 1) = 0
x = 1
Agora, vamos analisar o valor ao redor de 1:
f ''(x) = 6 (x - 1)
Fazendo x = 0 < 1:
f ''(0) = 6 (0 - 1) = 6 . (-1) = -6. Logo, antes de x = 1, a derivada segunda é negativa, indicando que a concavidade da função é para baixo.
Fazendo x = 2 > 1:
f ''(2) = 6 (2 - 1) = 6 . (1) = +6. Logo, depois de x = 1, a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função é para cima.
Como já tínhamos visto o gráfico, podemos comprovar que a análise das concavidades pelo comportamento da derivada segunda da função se mostrou eficiente.
Exercício:
Determine os extremos de f(x) = -2x³ + 6x² - 3.
[Res.]
Encontrando a derivada primeira:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f '(x) = -6x (x - 2)
Igualando a derivada primeira a 0 encontra-se os extremos da função:
f '(x) = -6x (x - 2) = 0
Logo, x = 0, x = 2.
Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f ''(x) = -12x + 12
f ''(x) = -12 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0 encontra-se o(s) possível(is) ponto(s) de inflexão:
f ''(x) = -12 (x - 1) = 0
Logo, x = 1.
Verificando o comportamento da derivada segunda ao redor de x = 1:
f ''(x) = -12x + 12
Para x = 2 > 1:
f ''(2) = -12 . (2) + 12 = -24 + 12 = -12. Logo, o sinal negativo indica que a concavidade da função é para baixo antes de x = 1.
Para x = 0 < 1:
f ''(0) = -12 . (0) + 12 = 0 + 12 = +12. Logo, o sinal positivo indica que a concavidade da função é para cima depois de x = 1.
Como ocorre a inversão da concavidade ao longo da função, existe um ponto de inflexão na função.
O gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3 pode ser visualizado abaixo. Note que a concavidade muda exatamente em x = 1, que é o ponto de inflexão da função, encontrado igualando-se a derivada segunda da função a 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h37min
Término da aula: 20h49min
Taxa de aproveitamento: 80%
Observação: demora excessiva para exibir os resultados das provas, o que atrapalha os alunos a se organizarem para os estudos, visto que a matéria é cumulativa para a última prova. Sugestão: entregar os resultados das provas num prazo máximo de duas semanas a partir da avaliação. Também podem ser utilizados recursos multimídia para facilitar a compreensão da matéria pelos alunos.
Continuação:
Exemplo:
1) Determine a concavidade de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1
f '(x) = 6x² + 2x - 20
f ''(x) = 12x + 2
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x + 2 = 0
12x = -2
x = -2 / 12
x = -1 / 6
Tomando um número maior que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = 0 > -1/6:
f ''(0) = 2, que é positiva (+), indicando concavidade para cima.
Tomando um número menor que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = -1 < -1/6:
f ''(-1) = 12 . (-1) + 2 = -12 + 2 = -10, que é negativa (-), indicando concavidade para baixo.
Assim, existe um ponto de inflexão, pois a concavidade muda ao longo da função.
Ponto de inflexão
Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão da função f(x).
Condições:
Observe que se um ponto (c, f(c)) do gráfico de f(x) é um ponto de inflexão, então:
a) f(x) é contínua em c.
b) Existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em ]a, c[ e côncavo para baixo em ]c, b[ ou vice-versa.
Exemplo 1:
Os pontos P1, P2, P3 e P5 do gráfico abaixo são pontos de inflexão de f(x).
 |
| Exemplo de função com concavidades para cima e para baixo, obtido com o Krita. |
Exemplo 2:
Mostre que y = x⁴ não possui pontos de inflexão:
y' = 4x³
y'' = 12x²
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x² = 0
x = 0
 |
| Análise da concavidade da função, obtido com o Krita. |
Conferindo o gráfico de y = x⁴, mostrando que não há mudança de concavidade na função:
 |
| Gráfico de y = x⁴, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Exercício
Verifique se a função f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7 tem ponto de inflexão.
[Res.]
 | ||
| Gráfico de f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Agora, verificando os extremos da função, com a derivada primeira:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3 (x² - 2x - 3) = 3 . (x - 3) . (x + 1)
Igualando a derivada primeira a 0, encontram-se os pontos de extremos da função:
f '(x) = 3 . (x - 3) . (x + 1) = 0
x = -1, x = 3.
Agora, para analisar a concavidade, analisa-se o comportamento da derivada segunda:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3
f ''(x) = 6x - 6 = 6 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0, encontramos um ponto onde pode haver a inflexão da função:
f ''(x) = 6 (x - 1) = 0
x = 1
Agora, vamos analisar o valor ao redor de 1:
f ''(x) = 6 (x - 1)
Fazendo x = 0 < 1:
f ''(0) = 6 (0 - 1) = 6 . (-1) = -6. Logo, antes de x = 1, a derivada segunda é negativa, indicando que a concavidade da função é para baixo.
Fazendo x = 2 > 1:
f ''(2) = 6 (2 - 1) = 6 . (1) = +6. Logo, depois de x = 1, a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função é para cima.
Como já tínhamos visto o gráfico, podemos comprovar que a análise das concavidades pelo comportamento da derivada segunda da função se mostrou eficiente.
Exercício:
Determine os extremos de f(x) = -2x³ + 6x² - 3.
[Res.]
Encontrando a derivada primeira:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f '(x) = -6x (x - 2)
Igualando a derivada primeira a 0 encontra-se os extremos da função:
f '(x) = -6x (x - 2) = 0
Logo, x = 0, x = 2.
Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f ''(x) = -12x + 12
f ''(x) = -12 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0 encontra-se o(s) possível(is) ponto(s) de inflexão:
f ''(x) = -12 (x - 1) = 0
Logo, x = 1.
Verificando o comportamento da derivada segunda ao redor de x = 1:
f ''(x) = -12x + 12
Para x = 2 > 1:
f ''(2) = -12 . (2) + 12 = -24 + 12 = -12. Logo, o sinal negativo indica que a concavidade da função é para baixo antes de x = 1.
Para x = 0 < 1:
f ''(0) = -12 . (0) + 12 = 0 + 12 = +12. Logo, o sinal positivo indica que a concavidade da função é para cima depois de x = 1.
Como ocorre a inversão da concavidade ao longo da função, existe um ponto de inflexão na função.
O gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3 pode ser visualizado abaixo. Note que a concavidade muda exatamente em x = 1, que é o ponto de inflexão da função, encontrado igualando-se a derivada segunda da função a 0.
 |
| Gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3, obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 14 de junho de 2019
Cálculo I - 14/06/2019
Cálculo I - 14/06/2019 - (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h52min
Término da aula: aproximadamente 20h15min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 92,22%
Observações: a aula pode ser melhorada com a utilização de recursos multimídia e com uso aperfeiçoado do tempo em sala de aula (sugestões: exercícios programados valendo nota, "pré-prova", trabalhos explicando aplicações matemáticas práticas para os temas em discussão).
A forma de um gráfico
Função Crescente / Função Decrescente (Verificada com a Derivada primeira)
Concavidade (Verificada com a Derivada segunda)
Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento
O gráfico abaixo indica que, se o coeficiente angular da tangente é positivo em um intervalo I (aberto), então f é crescente. Da mesma forma, se o coeficiente angular for negativo, então f é decrescente.
Teorema
Se f é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável em ]a, b[:
a) se f '(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é crescente
b) se f '(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é decrescente
Exemplo:
Seja f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
a) Determine os extremos locais de f
b) Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.
c) Esboce o gráfico.
[Res.]
a) f(x) = 2x³ + x² -20x + 1
Derivada Primeira
f '(x) = 6x² + 2x - 20
(x+2) . (6x -10) = 0
Soluções:
x = 2
x = 5/3
f(2) = 29
f(5/3) ≅ - 20,3
b) Intervalos crescentes e decrescentes:
Observações:
f(-2) é ponto de máximo
f(5/3) é ponto de mínimo
c) Gŕafico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1:
Concavidade e o teste da derivada segunda
- Ambas as funções abaixo tratam de funções crescentes no intervalo ]a, b[. Porém, elas inclinam-se em direções diferentes. Como distinguir?
1º caso: a curva fica acima das tangentes e a inclinação das tangentes é crescente.
2º caso: a curva fica abaixo das tangentes e a inclinação é decrescente.
Definição:
O gráfico de uma função derivável y = f(x) é:
a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y' é crescente em I.
b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y' é decrescente em I.
Teste da derivada segunda:
a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.
b) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h52min
Término da aula: aproximadamente 20h15min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 92,22%
Observações: a aula pode ser melhorada com a utilização de recursos multimídia e com uso aperfeiçoado do tempo em sala de aula (sugestões: exercícios programados valendo nota, "pré-prova", trabalhos explicando aplicações matemáticas práticas para os temas em discussão).
A forma de um gráfico
Função Crescente / Função Decrescente (Verificada com a Derivada primeira)
Concavidade (Verificada com a Derivada segunda)
Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento
O gráfico abaixo indica que, se o coeficiente angular da tangente é positivo em um intervalo I (aberto), então f é crescente. Da mesma forma, se o coeficiente angular for negativo, então f é decrescente.
 |
| Relação entre derivada e crescimento e decrescimento da função, obtido com o Krita. |
Teorema
Se f é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável em ]a, b[:
a) se f '(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é crescente
b) se f '(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é decrescente
Exemplo:
Seja f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
a) Determine os extremos locais de f
b) Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.
c) Esboce o gráfico.
[Res.]
a) f(x) = 2x³ + x² -20x + 1
Derivada Primeira
f '(x) = 6x² + 2x - 20
(x+2) . (6x -10) = 0
Soluções:
x = 2
x = 5/3
f(2) = 29
f(5/3) ≅ - 20,3
b) Intervalos crescentes e decrescentes:
| Intervalo | ]-∞, 2[ | ]-2, 5/3[ | ]5/3, ∞[ |
|---|---|---|---|
| x | -3 | 0 | 2 |
| f '(x) | 28 | -20 | 8 |
| sinal f '(x) | + | - | + |
| conclusão | ↑ | ↓ | ↑ |
Observações:
f(-2) é ponto de máximo
f(5/3) é ponto de mínimo
c) Gŕafico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1:
 |
| Gráfico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Concavidade e o teste da derivada segunda
- Ambas as funções abaixo tratam de funções crescentes no intervalo ]a, b[. Porém, elas inclinam-se em direções diferentes. Como distinguir?
 |
| Exemplos de função crescente e decrescente, e tangentes delas, obtidas com o Krita. |
1º caso: a curva fica acima das tangentes e a inclinação das tangentes é crescente.
2º caso: a curva fica abaixo das tangentes e a inclinação é decrescente.
Definição:
O gráfico de uma função derivável y = f(x) é:
a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y' é crescente em I.
b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y' é decrescente em I.
Teste da derivada segunda:
a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.
b) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 12 de junho de 2019
Cálculo I - 12/06/2019
Cálculo I - 12/06/2019 - (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h42min
Taxa de aproveitamento: 68,88%
Continuação
Exercícios:
f(x) = -2x³ - 6x² + 5
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local de f)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local de f)
Gráfico
Teorema do Valor Médio
Seja f uma função e sejam A(a, f(a)) e B(b, f(b)) pontos do gráfico de f.
A figura sugere que entre A e B deve haver algum ponto C(c, f(c)) sobre o gráfico de f, onde a reta tangente à curva seja paralela à secante AB. Logo, os coeficientes angulares das duas retas são iguais.
Como o coeficiente angular da reta tangente em c é f '(c), temos:
f '(c) = [f(b) - f(a)] / [b - a]
Exemplo:
Sabe-se que, aplicando o teorema do valor médio com a=2 e b=7 à função cujo gráfico é dado abaixo, chega-se a c=4. Qual a equação da reta tangente em 4?
[Res.]
A equação da reta tangente é:
y - y0 = mt . (x - x0)
x0 = 4
y0 = f(4) = 8
mt = mAB = (9 - 5) / (7 - 2) = 4/5
y - 8 = 4/5 . (x - 4)
y = 4/5 . x - 16/5 + 8
y = 4/5 . x + (-16 + 40)/5
y = 4/5 . x + 24/5
Exemplo:
Uma estrada retilínea de 80km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A até B de automóvel em exatamente duas horas, sem que o velocímetro registre 40km/h ao menos uma vez.
[Res.]
A velocidade média durante o percurso de A até B é:
Vm = [S(2) - S(0)] / (2 - 0)
= (80 - 0) / 2
= 40 km/h
Logo, em pelo menos um instante entre 0 e 2 temos que a velocidade instantânea é 40km/h. Em algum instante o velocímetro registrou 40km/h.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h42min
Taxa de aproveitamento: 68,88%
Continuação
Exercícios:
f(x) = -2x³ - 6x² + 5
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local de f)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local de f)
Gráfico
 |
| Gráfico de f(x) = -2x³ - 6x² + 5, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Teorema do Valor Médio
Seja f uma função e sejam A(a, f(a)) e B(b, f(b)) pontos do gráfico de f.
 |
| Gráfico de uma função f, para exemplificar o Teorema do Valor Médio, obtido com o Krita. |
A figura sugere que entre A e B deve haver algum ponto C(c, f(c)) sobre o gráfico de f, onde a reta tangente à curva seja paralela à secante AB. Logo, os coeficientes angulares das duas retas são iguais.
Como o coeficiente angular da reta tangente em c é f '(c), temos:
f '(c) = [f(b) - f(a)] / [b - a]
Exemplo:
Sabe-se que, aplicando o teorema do valor médio com a=2 e b=7 à função cujo gráfico é dado abaixo, chega-se a c=4. Qual a equação da reta tangente em 4?
 |
| Gráfico para exemplo do teorema do valor médio, obtido com o Krita. |
[Res.]
A equação da reta tangente é:
y - y0 = mt . (x - x0)
x0 = 4
y0 = f(4) = 8
mt = mAB = (9 - 5) / (7 - 2) = 4/5
y - 8 = 4/5 . (x - 4)
y = 4/5 . x - 16/5 + 8
y = 4/5 . x + (-16 + 40)/5
y = 4/5 . x + 24/5
Exemplo:
Uma estrada retilínea de 80km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A até B de automóvel em exatamente duas horas, sem que o velocímetro registre 40km/h ao menos uma vez.
 |
| Esquema do trajeto entre as cidades A e B, obtido com o Krita. |
[Res.]
A velocidade média durante o percurso de A até B é:
Vm = [S(2) - S(0)] / (2 - 0)
= (80 - 0) / 2
= 40 km/h
Logo, em pelo menos um instante entre 0 e 2 temos que a velocidade instantânea é 40km/h. Em algum instante o velocímetro registrou 40km/h.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 11 de junho de 2019
Cálculo I - 11/06/2019
Cálculo I - 11/06/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h55min
Taxa de aproveitamento: 82,22%
Observação (pontos a melhorar na aula): professora checa onde parou a matéria com os alunos. Poderia haver um registro de aula para agilizar o início das aulas (sugestão). Muitos erros no quadro. Muita conversa em sala. Poderia haver mais uso de recursos multimídia para melhor compreensão da matéria.
Continuação da matéria
Extremos de função
Exemplo:
Determine os extremos locais e absolutos da função f cujo gráfico está esboçado abaixo.
* Mínimos locais: f(b), f(d)
* Máximos locais: f(c), f(e)
Existe:
(I) Um máximo local de f se existe um intervalo ]a, b[ contendo c tal que f(x) ≤ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.
(II) Um mínimo local de f se existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.
Cada máximo ou mínimo local é denominado extremo local de f.
Definição:
Uma função f possui um máximo ou mínimo local em uma extremidade c do seu domínio se a desigualdade apropriada for válida para qualquer x em um intervalo que contenha c.
Definição:
Um número c do domínio de uma função é um número crítico de f se f '(c) = 0 ou f '(c) não existe.
Podemos dizer então que valores extremos de uma função ocorrem só nos seus números críticos ou nas extremidades de um intervalo fechado.
Diretrizes para determinar extremos
Seja f(x) uma função contínua definida em um intervalo fechado [a, b].
Para determinar os extremos de f em [a, b] siga os seguintes passos:
1) Determinar todos os números críticos de f em ]a, b[.
2) Calcule f(c) para cada número crítico obtido em 1.
3) Calcule os valores de f nas extremidades de [a, b].
4) Os valores máximo e mínimo de f em [a, b] são o maior e o menor valores da função calculados em 2 e 3.
Exemplo:
Encontre os valores máximo e mínimo de f(x) = -2x³ - 6x² + 5 no intervalo [-3, 1] e esboce o gráfico.
[Res.]
1) Números críticos:
f '(x) = -6x² - 12x = -6x . (x + 2)
f '(x) = 0
-6x . (x + 2) = 0
Números críticos
* x = 0
* x = 2
2) Calcular o valor de f:
f(0) = 5
f(-2) = -2 . (-2)³ - 6 . (-2)² + 5 = 16 - 24 + 5 = -3
3) Valores de f nas extremidades do intervalo:
f(-3) = -2 . (-3)³ - 6 . (-3)² + 5 = 5
f(1) = -2 . (1)³ - 6 . (1)² + 5 = -3
4) Comparando valores:
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h41min
Término da aula: 21h55min
Taxa de aproveitamento: 82,22%
Observação (pontos a melhorar na aula): professora checa onde parou a matéria com os alunos. Poderia haver um registro de aula para agilizar o início das aulas (sugestão). Muitos erros no quadro. Muita conversa em sala. Poderia haver mais uso de recursos multimídia para melhor compreensão da matéria.
Continuação da matéria
Extremos de função
Exemplo:
Determine os extremos locais e absolutos da função f cujo gráfico está esboçado abaixo.
 |
| Exemplo de função com máximos e mínimos, obtido com o Krita. |
* Mínimos locais: f(b), f(d)
* Máximos locais: f(c), f(e)
Existe:
(I) Um máximo local de f se existe um intervalo ]a, b[ contendo c tal que f(x) ≤ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.
(II) Um mínimo local de f se existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) ∀ x ∈ ]a, b[.
Cada máximo ou mínimo local é denominado extremo local de f.
Definição:
Uma função f possui um máximo ou mínimo local em uma extremidade c do seu domínio se a desigualdade apropriada for válida para qualquer x em um intervalo que contenha c.
Definição:
Um número c do domínio de uma função é um número crítico de f se f '(c) = 0 ou f '(c) não existe.
Podemos dizer então que valores extremos de uma função ocorrem só nos seus números críticos ou nas extremidades de um intervalo fechado.
Diretrizes para determinar extremos
Seja f(x) uma função contínua definida em um intervalo fechado [a, b].
Para determinar os extremos de f em [a, b] siga os seguintes passos:
1) Determinar todos os números críticos de f em ]a, b[.
2) Calcule f(c) para cada número crítico obtido em 1.
3) Calcule os valores de f nas extremidades de [a, b].
4) Os valores máximo e mínimo de f em [a, b] são o maior e o menor valores da função calculados em 2 e 3.
Exemplo:
Encontre os valores máximo e mínimo de f(x) = -2x³ - 6x² + 5 no intervalo [-3, 1] e esboce o gráfico.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = -2x³ - 6x² + 5, obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
1) Números críticos:
f '(x) = -6x² - 12x = -6x . (x + 2)
f '(x) = 0
-6x . (x + 2) = 0
Números críticos
* x = 0
* x = 2
2) Calcular o valor de f:
f(0) = 5
f(-2) = -2 . (-2)³ - 6 . (-2)² + 5 = 16 - 24 + 5 = -3
3) Valores de f nas extremidades do intervalo:
f(-3) = -2 . (-3)³ - 6 . (-3)² + 5 = 5
f(1) = -2 . (1)³ - 6 . (1)² + 5 = -3
4) Comparando valores:
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
segunda-feira, 10 de junho de 2019
Chega de óculos - Médico chinês cria exercicios para uma visão saudável
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
✅ МАНГАЛ ИЗ АВТОМОБИЛЬНОГО ДИСКА | Churrasqueira com roda de carro !!!
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 7 de junho de 2019
Cálculo I - 07/06/2019
Cálculo I - 07/06/2019 (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h51min
Término da aula: 20h06min
Taxa de aproveitamento: 83,33%
Diferenças indeterminadas
Se limx→a f(x) = ∞ e limx→a g(x) = ∞, então o limite limx→a [f(x) - g(x)] é denominado de forma indeterminada do tipo: (∞ - ∞).
Podemos aplicar a regra de L'Hôpital para resolver tal limite convertendo a diferença em um quociente de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞.
Exemplo:
1) Calcule o limite limx→0 [1/(ex - 1) - (1/x)].
[Res.]
limx→0 [1/(ex - 1) - (1/x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
Aplicando o Teorema de L'Hôpital:
= limx→0 {[x - (ex - 1)]/[x . (ex - 1)]}
= limx→0 {[x - ex + 1]/[x . (ex - 1)]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= limx→0 {[1 - ex + 0]/[1 . (ex - 1) + x . (ex . 1 - 0)]}
= limx→0 {[1 - ex]/[ex - 1 + x . ex]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= limx→0 {[0 - ex . 1]/[ex . 1 - 0 + 1 . ex + x . ex . 1]}
= limx→0 {[- ex]/[ex + ex + x . ex]}
= limx→0 {[- ex]/[2 . ex + x . ex]}
= [- 1]/[2 . 1 + 0 . 1]
= [- 1]/[2 + 0]
= - 1/2
2) Calcule o limite limx→𝜋/2- [sec(x) - tg(x)].
[Res.]
limx→𝜋/2- [sec(x) - tg(x)]
Lembrando:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x)/cos(x)
Assim:
limx→𝜋/2- [sec(x) - tg(x)]
= limx→𝜋/2- [1/cos(x) - sen(x)/cos(x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= limx→𝜋/2- {[1 - sen(x)]/cos(x)} ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= limx→𝜋/2- {[0 - cos(x)]/[-sen(x)]}
= [0 - 0]/[-1]
= 0 / (-1)
= 0
Extremos de função:
- Objetivo principal de localizar e identificar valores extremos de uma função contínua a partir de sua derivada.
- Os valores máximos e mínimos de uma função são pontos fundamentais para resolução dos problemas de otimização, nos quais encontramos a melhor maneira (maneira ótima) de fazer algo em determinada situação.
Definição:
Seja f uma função definida em um conjunto S de números reais e seja c ∈ S.
I) f(c) é um valor máximo de f em S se f(x) ≤ f(c)
II) f(c) é um valor mínimo de f em S se f(x) ≥ f(c)
- Máximo absoluto
- Mínimo absoluto
Exemplo:
Seja f(x) = 1/2 . x² - 2x. Determine os extremos de f no seguinte intervalo: [0, 5].
Como o intervalo vai de 0 a 5, o menor valor ocorre quanto existe a transição da derivada de negativo para positivo, no ponto 2. Derivada negativa significa que a função está decrescente. Derivada positiva significa que a função está crescente. Logo, na transição, ela não cresce nem decresce.
Assim, o ponto de mínimo, que também é o mínimo absoluto da função, ocorre em x = 2, no ponto (2, -2).
f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(2) = 1/2 . 2² - 2.2
f(2) = 1/2 . 4 - 4
f(2) = 4/2 - 4
f(2) = 2 - 4
f(2) = - 2
O ponto de máximo no intervalo ocorre quando x = 5, no ponto (5, 5/2).
f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(5) = 1/2 . 5² - 2.5
f(5) = 1/2 . 25 - 10
f(5) = 25/2 - 10
f(5) = 5/2
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h51min
Término da aula: 20h06min
Taxa de aproveitamento: 83,33%
Diferenças indeterminadas
Se limx→a f(x) = ∞ e limx→a g(x) = ∞, então o limite limx→a [f(x) - g(x)] é denominado de forma indeterminada do tipo: (∞ - ∞).
Podemos aplicar a regra de L'Hôpital para resolver tal limite convertendo a diferença em um quociente de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞.
Exemplo:
1) Calcule o limite limx→0 [1/(ex - 1) - (1/x)].
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = 1/(ex - 1) - 1/x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
limx→0 [1/(ex - 1) - (1/x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
Aplicando o Teorema de L'Hôpital:
= limx→0 {[x - (ex - 1)]/[x . (ex - 1)]}
= limx→0 {[x - ex + 1]/[x . (ex - 1)]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= limx→0 {[1 - ex + 0]/[1 . (ex - 1) + x . (ex . 1 - 0)]}
= limx→0 {[1 - ex]/[ex - 1 + x . ex]} ∴ forma indeterminada 0/0.
= limx→0 {[0 - ex . 1]/[ex . 1 - 0 + 1 . ex + x . ex . 1]}
= limx→0 {[- ex]/[ex + ex + x . ex]}
= limx→0 {[- ex]/[2 . ex + x . ex]}
= [- 1]/[2 . 1 + 0 . 1]
= [- 1]/[2 + 0]
= - 1/2
2) Calcule o limite limx→𝜋/2- [sec(x) - tg(x)].
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = sec(x) - tg(x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
limx→𝜋/2- [sec(x) - tg(x)]
Lembrando:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x)/cos(x)
Assim:
limx→𝜋/2- [sec(x) - tg(x)]
= limx→𝜋/2- [1/cos(x) - sen(x)/cos(x)] ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= limx→𝜋/2- {[1 - sen(x)]/cos(x)} ∴ forma indeterminada ∞ - ∞.
= limx→𝜋/2- {[0 - cos(x)]/[-sen(x)]}
= [0 - 0]/[-1]
= 0 / (-1)
= 0
Extremos de função:
- Objetivo principal de localizar e identificar valores extremos de uma função contínua a partir de sua derivada.
- Os valores máximos e mínimos de uma função são pontos fundamentais para resolução dos problemas de otimização, nos quais encontramos a melhor maneira (maneira ótima) de fazer algo em determinada situação.
Definição:
Seja f uma função definida em um conjunto S de números reais e seja c ∈ S.
I) f(c) é um valor máximo de f em S se f(x) ≤ f(c)
II) f(c) é um valor mínimo de f em S se f(x) ≥ f(c)
- Máximo absoluto
- Mínimo absoluto
Exemplo:
Seja f(x) = 1/2 . x² - 2x. Determine os extremos de f no seguinte intervalo: [0, 5].
 |
| Gráfico de f(x) = 1/2 . x² - 2x, obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
| x | ... | 2 | ... |
|---|---|---|---|
| f '(x) | - | 0 | + |
| f(x) | ↘ | -2 | ↗ |
Como o intervalo vai de 0 a 5, o menor valor ocorre quanto existe a transição da derivada de negativo para positivo, no ponto 2. Derivada negativa significa que a função está decrescente. Derivada positiva significa que a função está crescente. Logo, na transição, ela não cresce nem decresce.
Assim, o ponto de mínimo, que também é o mínimo absoluto da função, ocorre em x = 2, no ponto (2, -2).
f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(2) = 1/2 . 2² - 2.2
f(2) = 1/2 . 4 - 4
f(2) = 4/2 - 4
f(2) = 2 - 4
f(2) = - 2
O ponto de máximo no intervalo ocorre quando x = 5, no ponto (5, 5/2).
f(x) = 1/2 . x² - 2x
f(5) = 1/2 . 5² - 2.5
f(5) = 1/2 . 25 - 10
f(5) = 25/2 - 10
f(5) = 5/2
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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