Cálculo 1 - 17/05/2019

Cálculo 1 - 17/05/2019

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: cheguei às 19h00min com a aula já iniciada
Encerramento da aula: 20h16min
Taxa de aproveitamento: 76 min / 90 min = 84,4%

Sugestão minha para melhoria das aulas: utilizar monitores da disciplina para preparar o ambiente de aula (slides, cópias para alunos, etc.). Ou estagiários de nível médio.

Diferenciação logaritmica

Usamos este método para simplificar o cálculo de derivadas "complicadas".
Dada uma função y = f(x), para calcular sua derivada procede-se da seguinte maneira:
1- Tome o logaritmo natural em ambos os lados da equação y = f(x) e use as leis do logaritmo para simplificar a expressão resultante.
2 - Diferencie implicitamente essa expressão em relação a x.
3 - Resolva a equação resultante para y'.


Exemplo:


1) Determine dy/dx para y = x^x, com x > 0.

y = x^x ∴ ln y = ln x^x ∴ ln y = x . ln x

Logo,
d/dx (ln y) = d/dx (x . ln x)
1/y . dy/dx = ln x + x . 1/x

dy/dx = y (ln x + 1)

dy/dx = x² (ln x + 1)


2) Diferencie y = (5x - 4)³ / √(2x + 1)

ln y = ln [(5x-4)³ / √(2x + 1)]
ln y = ln (5x-4)³ - ln √(2x + 1)
ln y = 3 . ln (5x-4) - 1/2 . ln (2x + 1)
d/dx ln y = d/dx 3 . ln (5x-4) - d/dx 1/2 . ln (2x + 1)
1/y . dy/dx = 3 . 1/(5x - 4) . 5 - 1/2 . 1/(2x + 1) . 2
1/y . dy/dx = 15 /(5x - 4) - (2x + 1)
dy/dx = y . [15 /(5x - 4) - (2x + 1)]
dy/dx = [(5x - 4)³ / √(2x + 1)] . [15 /(5x - 4) - (2x + 1)]




Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 15/05/2019

Cálculo 1 - 15/05/2019]

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: cheguei às 20h46min com a aula já iniciada
Encerramento da aula: 21h58min
Taxa de aproveitamento: 72 min / 90 min = 80%

Exercícios

y = 8^(cos(2x))
y' = 8^(cos(2x)) . ln 8 . (-sen(2x)) . 2

y = 12^(sen(6x))

y' = 12^(sen(6x)) . ln 12 . (cos(6x)) . 6

A derivada de y = ln (x)

y = ln(x) → e^y = x

d/dx ln(x) = 1/x


Exercícios

1) Determine dy/dx

Sabendo que:
d/dx e^y = d/dx x

a) y = ln (2x+2)

y' = 1 / (2x + 2) . 2 = 2 / (2x + 2) = 1 / (x+1)


b) y = ln (x²+1)

y' = 1 / (x² + 1) . 2x = 2x / (x² + 1)


c) y = (ln x)^1/2

y' = 1/2 (ln x)^-1/2 . 1/x = 1 / [2x . (ln x)^1/2]


d) y = ln [(x² + 2)/x³] = ln (x² + 2) - ln (x³)

y' = 1 / (x² + 2) . 2x - 1/x³ . 3x² = 1 / (x² + 2) . 2x - 3/x


e) y = ln (sen x)

y' = 1 / sen x . cos x = cot x


A derivada de y = log_a x

log_a x = ln (x) / ln (a)

dy/dx = d/dx [ln (x) / ln (a)] = 1 / ln (a) . d/dx ln (x) = 1 / (x . ln a)

d/dx log_a x = 1 / (x . ln a)


Exercícios

1) y = log₂ (3x + 1)

y' = 1 / [(3x + 1) . ln 2] . 3 = 3 / [(3x + 1) . ln 2]


2) y = log₃ (1 + x . ln 3)

y' = 1 / [(1+ x . ln 3) . ln 3] . ln 3 = 1 / [1 + x . ln 3]


3) y = log₂ (1/x)

y' = 1 / (1/x . ln 2) . (-1/x²) = -1 / (x . ln 2)


Observação pessoal: perda de muito tempo com "chamada" de alunos na aula.


Lista de exercícios na ESO

Se y = x . e^-2x, verifique que d²y/dx + 4 dy/dx + 4 y = 0

dy/dx = y' = 1 . e^-2x + e^-2x . (-2) . x = e^-2x - 2x . e^-2x

d²y/dx = e^-2x . (-2) - 2 . e^-2x - e^-2x . (-2) . (2x)
d²y/dx = -2 . e^-2x - 2 . e^-2x + 4x . e^-2x = -4 . e^-2x + 4x . e^-2x

Assim:

d²y/dx + 4 dy/dx + 4 y = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 (e^-2x - 2x . e^-2x) + 4 (x . e^-2x) = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x + 4 x . e^-2x = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 x . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 8x . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 8x . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
0 = 0

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 14/05/2019

Cálculo 1 - 14/05/2019

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h46min
Encerramento da aula: 21h47min
Taxa de aproveitamento: 61 min / 90 min = 67,7%

Funções logarítmicas

log_a x = y → a^y = x

A função logarítmica de base a, y log_a x, é a função inversa da função exponencial de base a:
log_a x = y ↔ a^y = x

Gráfico de y = e^x obtido com auxílio do GeoGebra

Gráfico de y = log_a x, com a = 1,9, obtido pelo GeoGebra

Propriedades do logarítmo

1) log_a (a^x) = x

2) log_a (x . y) = log_a x + log_a y

3) log_a (x/y) = log_a x - log_a y

4) log_a (x^r) = r . log_a x ∀ r ∈ R

5) log_a x = log_b x / log_b a


O logaritmo natural

Logaritmos de base e

ln x = log_e x

Derivada e^x

d/dx (e^x) = e^x

Prova

lim_h→0 (e^x+h - e^x) / h
lim_h→0 (e^x . e^h - e^x) / h
lim_h→0 e^x(e^h - 1) / h
e^x . lim_h→0 (e^h - 1) / h
e^x . f ' (0)

lim_h→0 e^x . 1 = e^x

d/dx e^x = e^x

Exemplo:
Determine y' em cada caso:

1) y = e^x - x

y' = e^x - 1


2) y = e^3x

y' = e^3x . 3


3) y = e^-x

y' = e^-x . (-1)


4) y = e^{sen x}

y' = e^{sen x} . cos x


5) y = e√x

y' = e√x . 1/2 . x^-1/2 = e√x . 1 / (2√x)


6) y = e^x . cos x

y' = e^x . cos x + (-sen x) . e^x
y' = e^x . (cos x - sen x)

Derivada y = a^x

Seja f(x) = a^x, temos:

d/dx a^x = a^x . ln a


Calcule a derivada de

1) y = 2^x

y' = 2^x . ln 2 . 1


2) y = 5^{(x² - x + 1)}

y' = 5^{(x² - x + 1)} . ln 5 . (2x - 1)


3) y = 8^{cos (2x)}

y' = 8^{cos (2x)} . ln 8 . [-sen (2x)] . 2


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 10/05/2019

Cálculo 1 - 10/05/2019

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h54min
Encerramento da aula: 20h01min
Taxa de aproveitamento: 67min / 90min = 74,44%

Observação pessoal: muito tempo parado durante a aula.


Derivação implícita

y = √(x³+1)
y = x . sen(x)

y é uma função explícita de x

Algumas funções são descritas implicitamente por uma relação entre x e y, tais como:

x² - y² = -1
x² + y² = 25
x³ - y³ - 9xy = 0

Dizemos que y é uma função implícita de x, ou que y = f(x) é definida implicitamente pela equação dada.


Exemplo:
A função f(x) = 3x² - 2 é definida implicitamente pela equação: 6x² - 2y = 4.

Substituindo y = f(x) na equação, temos uma identidade:
6x² - 2(3x² - 2) = 4
6x² - 6x² + 4 = 4
4 = 4


Exemplo:
Para a equação x² + y² = 25 temos que seu gráfico é a circunferência de centro na origem e raio 5.
Resolvendo essa equação em relação a y, temos:

y² = 25 - x²
y = ± √(25 - x²)


Logo, temos duas funções f e g definidas implicitamente por essa equação.
f(x) = √(25 - x²)

Gráfico de √(25 - x²) obtido com o GeoGebra

g(x) = - √(25 - x²)

Gráfico de -√(25 - x²) obtido com o GeoGebra

Os gráficos são partes da circunferência definida por elas.

Gráfico de √(25 - x²) e -√(25 - x²) obtido com o GeoGebra

Exercícios:

Exemplo:


Determine dy/dx se x² + y² = 25
d/dx (x² + y²) = d/dx (25)
2x + 2y . dy/dx = 0
2y dy/dx = -2x
dy/dx = -2x / 2y
dy/dx = -x/y


Exercícios
Encontre dy/dx

1) x³ + y³ = 8

3x² + 3y² dy/dx = 0
3y² dy/dx = -3x²
dy/dx = -x²/y²


2) 4x² - 9y² = 17

8x - 18y dy/dx = 0
-18y dy/dx = -8x
dy/dx = 4x/9y


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.