Cálculo I - otim 4

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Cálculo I - otim 3

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Cálculo I - otim 1

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Cálculo I - 9 lhospital exemplos revisar

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Cálculo I - 2 teorema valor extremo certo revisar

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Cálculo I - 3 extremo local

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Cálculo I - 1 extremo absoluto revisar

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3ª Progressão de Aprendizagem de Cálculo 1 - 17/05/2019

3ª Progressão de Aprendizagem de Cálculo 1 - 17/05/2019

Questão 1 (resolvida)
Determine uma equação para a tangente à curva da função y = 4 - x² no ponto P(-1,3) e, em seguida, esboce a curva e a tangente em um único gráfico.

[Res.]
Encontrando a tangente. Primeiro vamos encontrar a inclinação da reta.
Como y = 4 - x², a inclinação será:
y' = -2 . x

Sabendo que a reta passa pelo ponto P(-1,3), vamos encontrar a inclinação da curva no ponto x = -1:
y' = -2 . x
y' = -2 . (-1)
y' = 2

Sabendo que a equação da reta é do tipo y = ax + b, e sabendo que a = 2:
y = ax + b
y = 2x + b

Substituindo os valores de P(-1,3) na equação da reta:
y = 2x + b
3 = 2(-1) + b
3 = -2 + b
5 = b

Assim, a equação da reta fica:
y = 2x + 5

Esboço do gráfico:

Gráfico das funções obtido com o auxílio do GeoGebra

Questão 2
Derive as seguintes funções:

Lembrete para resolver as questões:

• Seno
• sen x = cos (π/2 - x) = 1 / csc x
• Cosseno
• cos x = sen (π/2 - x) = 1 / sec x
• Tangente
• tan x = sen x / cos x = cot (π/2 - x) = 1 / cot x
• Cossecante
• csc x = sec (π/2 - x) = 1 / sen x
• Secante
• sec x = csc (π/2 - x) = 1 / cos x
• Cotangente
• cot x = cos x / sen x = tan (π/2 - x) = 1 / tan x

Resumindo:

• Sen x = 1 / csc x
• Cos x = 1 / sec x
• Tan x = sen x / cos x = 1 / cot x
• Csc x = 1 / sen x
• Sec x = 1 / cos x
• Cot x = cos x / sen x = 1 / tan x

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica


a) y = ln [sec (x) + tan (x)]

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = ln u ⇒ y' = 1/u . u'
y = sec u ⇒ y' = u' . sec(u) . tg (u)
y = tg u ⇒ y' = u' . sec²(u)

Derivando:
y = ln [sec (x) + tan (x)]
y' = 1 / [sec (x) + tan (x)] . [1/x . tg(x) + 1 . sec²(x)]
y' = 1 / [sec (x) + tan (x)] . [1/x . tg(x) + sec²(x)]


b) y = cot (x) / [1 + csc (x)]

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = cot u ⇒ y' = -u' . cosec² u
y = csc u ⇒ y' = -u' . cosec u . cotg u
y = u / v ⇒ y' = (u' . v - v' . u) / v²

Derivando:
y = cot (x) / [1 + csc (x)]

y' = {[-1 . cosec² (x)] . [1 + cosec (x)] - [0 + (-1) . cosec (x) . cotg (x)] . [cotg (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {[-1 . cosec² (x)] . [1 + cosec (x)] + [cosec (x) . cotg² (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {- cosec² (x) . [1 + cosec (x)] + [cosec (x) . cotg² (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {- cosec² (x) - cosec³ (x)] + [cosec (x) . cotg² (x)]} / [1 + cosec (x)]²
y' = {- cosec² (x) - cosec³ (x)] + [1/sen (x) . cos² (x)/sen² (x)]} / [1 + cosec (x)]² 
y' = {- cosec² (x) - cosec³ (x)] + [cos² (x)/sen³ (x)]} / [1 + cosec (x)]²


c) y = 8^x + log₂ x

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = u^v ⇒ y' = v . u^v-1 . u' + u^v . ln (u) . v'

y = log_a u ⇒ y' = u' / u . log_a e

Derivando
y = 8^x + log₂ x

y' = x . 8^8-1 . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/x . log₂ e

Como log₂ e = ln e / ln 2 = 1 / ln 2, temos:
y' = x . 8^8-1 . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/x . (1 / ln 2)
y' = x . 8^8-1 . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = x . 8⁷ . 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = 0 + 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = 8^x . ln (8) . 1 + 1/(x . ln 2)
y' = 8^x . ln (8) + 1/(x . ln 2)

d) y³ + y = x

[Res.]

Resolver por derivação implicita

y³ + y = x

3y² . dy/dx + 1 . dy/dx = 1
dy/dx (3y² + 1) = 1
dy/dx = 1 / (3y² + 1)


e) y = ∛arcsen (x)

[Res.]

Seguindo as regras de derivação:
y = ln u ⇒ y' = 1/u . u'
y = arcsen u ⇒ y' = u' / √(1 - u²)


Ajustando a equação:
y = ∛arcsen (x)
y = [arcsen (x)]^1/3
ln y = ln [arcsen (x)]^1/3
ln y = 1/3 . ln [arcsen (x)]


Derivando:
1/y . dy/dx = 1/3 . 1/[arcsen (x)] . 1 / √(1 - x²)
dy/dx = ∛arcsen (x) . 1/3 . 1/[arcsen (x)] . 1 / √(1 - x²)
dy/dx = ∛arcsen (x) . 1/{3 . [arcsen (x)] . √(1 - x²)}


Questão 3 (resolvida)
Seja y = x . e^-2x. Verifique que d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0.

[Res.]
Calculando dy/dx:
y = x . e^-2x
ln y = ln (x . e^-2x)
ln y = ln x + ln e^-2x
ln y = ln x + (-2x) . ln e
ln y = ln x - 2x . 1
ln y = ln x - 2x

d/dx ln y = d/dx (ln x - 2x)

1/y . dy/dx = d/dx ln x - d/dx 2x
1/y . dy/dx = 1/x - 2
dy/dx = y . (1/x - 2)
dy/dx = x . e^-2x . (1/x - 2)
dy/dx = e^-2x - 2x . e^-2x


Calculando d²y/dx²:

dy/dx = e^-2x - 2x . e^-2x
d²y/dx² = dy/dx (e^-2x - 2x . e^-2x)
d²y/dx² = dy/dx e^-2x - dy/dx (2x . e^-2x)

d²y/dx² = e^-2x . (-2) - [2. e^-2x + e^-2x . (-2) . 2x]

d²y/dx² = -2 . e^-2x - 2. e^-2x + 4x . e^-2x
d²y/dx² = -4 . e^-2x + 4x . e^-2x


Verificando que d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0.

d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0

-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . (e^-2x - 2x . e^-2x) + 4 . (x . e^-2x) = 0

-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x + 4x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 8x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 8x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 4 e^-2x = 0

-4 . e^-2x + 4 e^-2x = 0

0 = 0

Porém, a professora solicitou a resolução pela regra do produto:
y = u . v ⇒ y' = u' . v + v' . u

Também será necessário utilizar a seguinte regra para resolver pela regra do produto:
y = e^u ⇒ y' = e^u . u'

Derivando
Para encontrar dy/dx
y = x . e^-2x
y' = 1 . e^-2x + e^-2x . (-2) . x
y' = e^-2x - 2 . x . e^-2x
y' = e^-2x - 2x . e^-2x

Para encontrar d²y/dx²
y' = e^-2x . (-2) - 2 . [1 . e^-2x + e^-2x  . (-2) . x]
y'' = -2 . e^-2x - 2 . e^-2x + 4 . x . e^-2x
y'' = -4 . e^-2x + 4x . e^-2x


Conferindo a equação
d²y/dx² + 4 dy/dx + 4 y = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . (e^-2x - 2x . e^-2x) + 4 . (x . e^-2x) = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0
0 + 4x . e^-2x + 0 - 8x . e^-2x + 4 . x . e^-2x = 0
8x . e^-2x - 8x . e^-2x = 0
8x . e^-2x - 8x . e^-2x = 0
0 - 0 = 0
0 = 0

Questão 4 (resolvida)
Se f(x) = x^1/2 . (x² + x - 2), determine:

a) f '(x)

[Res.]
f(x) = x^1/2 . (x² + x - 2)
y = x^1/2 . (x² + x - 2)

Aplicando ln aos termos:
ln y = ln [x^1/2 . (x² + x - 2)]
ln y = ln x^1/2 + ln (x² + x - 2)
ln y = 1/2 . ln x + ln (x² + x - 2)

Derivando:
d/dx ln y = d/dx 1/2 . ln x + d/dx ln (x² + x - 2)
1/y dy/dx = 1/2 . 1/x + 1 / (x² + x - 2) . (2x + 1)
1/y dy/dx = 1/(2x) + 1 / (x² + x - 2) . (2x + 1)
1/y dy/dx = 1/(2x) + 1 / [(x - 1) (x + 2)] . (2x + 1)
1/y dy/dx =  [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / [(2x) . (x - 1) . (x + 2)]

dy/dx = x^1/2 . (x² + x - 2) . [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / [(2x) . (x - 1) . (x + 2)]
dy/dx = x^1/2 . [(x - 1) . (x + 2)] . [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / [(2x) . (x - 1) . (x + 2)]
dy/dx = x^1/2 . [(x - 1) (x + 2) + 2x ] / (2x)
dy/dx = x^1/2 . (x² + x - 2 + 2x ) / (2x)
dy/dx = x^1/2 . (x² + 3x - 2) / (2x)


b) Os pontos em que a tangente de f é horizontal.

[Res.]
Para a tangente de f ser horizontal, a inclinação deve ser igual a 0.
Assim:
x^1/2 . (x² + 3x - 2) / (2x) = 0
x^1/2 .[(x - 1) (x + 2) + 2x ] / (2x) = 0

x = 0

ou

(x - 1) (x + 2) + 2x = 0
x² + 3x - 2 = 0
x = [-3 ± √(9 - 4.1.(-2))] / (2 . 1)
x = [-3 ± √(9 + 8)] / 2
x = (-3 ± √17) / 2

S = [0, (-3 + √17) / 2, (-3 - √17) / 2]


Questão 5 (resolvida)
Em que ponto sobre a curva y = e^x temos a tangente paralela à reta y = 2x?

[Res.]

Derivando y = e^x:
y' = e^x
ln y = ln e^x
ln y = x . ln e
d/dx ln y = d/dx (x . ln e)
1/y . dy/dx = ln e
dy/dx = y . ln e
dy/dx = e^x . ln e = e^x


Para as retas serem paralelas, a inclinação das retas deve ser a mesma. Assim, basta igualar a derivada de y = e^x com a derivada de y = 2x.
Como visto anteriormente:
Para y = e^x, y' = e^x

Agora, para y = 2x, y' = 2.

Basta, então, igualar e^x a 2.
e^x = 2.
ln e^x = ln 2
x . ln e = ln 2
x . 1 = ln 2
x = ln 2

Como ln 2 = 0,6931471..., x = 0,6931471...


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Cálculo 1 - 17/05/2019

Cálculo 1 - 17/05/2019

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: cheguei às 19h00min com a aula já iniciada
Encerramento da aula: 20h16min
Taxa de aproveitamento: 76 min / 90 min = 84,4%

Sugestão minha para melhoria das aulas: utilizar monitores da disciplina para preparar o ambiente de aula (slides, cópias para alunos, etc.). Ou estagiários de nível médio.

Diferenciação logaritmica

Usamos este método para simplificar o cálculo de derivadas "complicadas".
Dada uma função y = f(x), para calcular sua derivada procede-se da seguinte maneira:
1- Tome o logaritmo natural em ambos os lados da equação y = f(x) e use as leis do logaritmo para simplificar a expressão resultante.
2 - Diferencie implicitamente essa expressão em relação a x.
3 - Resolva a equação resultante para y'.


Exemplo:


1) Determine dy/dx para y = x^x, com x > 0.

y = x^x ∴ ln y = ln x^x ∴ ln y = x . ln x

Logo,
d/dx (ln y) = d/dx (x . ln x)
1/y . dy/dx = ln x + x . 1/x

dy/dx = y (ln x + 1)

dy/dx = x² (ln x + 1)


2) Diferencie y = (5x - 4)³ / √(2x + 1)

ln y = ln [(5x-4)³ / √(2x + 1)]
ln y = ln (5x-4)³ - ln √(2x + 1)
ln y = 3 . ln (5x-4) - 1/2 . ln (2x + 1)
d/dx ln y = d/dx 3 . ln (5x-4) - d/dx 1/2 . ln (2x + 1)
1/y . dy/dx = 3 . 1/(5x - 4) . 5 - 1/2 . 1/(2x + 1) . 2
1/y . dy/dx = 15 /(5x - 4) - (2x + 1)
dy/dx = y . [15 /(5x - 4) - (2x + 1)]
dy/dx = [(5x - 4)³ / √(2x + 1)] . [15 /(5x - 4) - (2x + 1)]




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Cálculo 1 - 15/05/2019

Cálculo 1 - 15/05/2019]

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: cheguei às 20h46min com a aula já iniciada
Encerramento da aula: 21h58min
Taxa de aproveitamento: 72 min / 90 min = 80%

Exercícios

y = 8^(cos(2x))
y' = 8^(cos(2x)) . ln 8 . (-sen(2x)) . 2

y = 12^(sen(6x))

y' = 12^(sen(6x)) . ln 12 . (cos(6x)) . 6

A derivada de y = ln (x)

y = ln(x) → e^y = x

d/dx ln(x) = 1/x


Exercícios

1) Determine dy/dx

Sabendo que:
d/dx e^y = d/dx x

a) y = ln (2x+2)

y' = 1 / (2x + 2) . 2 = 2 / (2x + 2) = 1 / (x+1)


b) y = ln (x²+1)

y' = 1 / (x² + 1) . 2x = 2x / (x² + 1)


c) y = (ln x)^1/2

y' = 1/2 (ln x)^-1/2 . 1/x = 1 / [2x . (ln x)^1/2]


d) y = ln [(x² + 2)/x³] = ln (x² + 2) - ln (x³)

y' = 1 / (x² + 2) . 2x - 1/x³ . 3x² = 1 / (x² + 2) . 2x - 3/x


e) y = ln (sen x)

y' = 1 / sen x . cos x = cot x


A derivada de y = log_a x

log_a x = ln (x) / ln (a)

dy/dx = d/dx [ln (x) / ln (a)] = 1 / ln (a) . d/dx ln (x) = 1 / (x . ln a)

d/dx log_a x = 1 / (x . ln a)


Exercícios

1) y = log₂ (3x + 1)

y' = 1 / [(3x + 1) . ln 2] . 3 = 3 / [(3x + 1) . ln 2]


2) y = log₃ (1 + x . ln 3)

y' = 1 / [(1+ x . ln 3) . ln 3] . ln 3 = 1 / [1 + x . ln 3]


3) y = log₂ (1/x)

y' = 1 / (1/x . ln 2) . (-1/x²) = -1 / (x . ln 2)


Observação pessoal: perda de muito tempo com "chamada" de alunos na aula.


Lista de exercícios na ESO

Se y = x . e^-2x, verifique que d²y/dx + 4 dy/dx + 4 y = 0

dy/dx = y' = 1 . e^-2x + e^-2x . (-2) . x = e^-2x - 2x . e^-2x

d²y/dx = e^-2x . (-2) - 2 . e^-2x - e^-2x . (-2) . (2x)
d²y/dx = -2 . e^-2x - 2 . e^-2x + 4x . e^-2x = -4 . e^-2x + 4x . e^-2x

Assim:

d²y/dx + 4 dy/dx + 4 y = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 (e^-2x - 2x . e^-2x) + 4 (x . e^-2x) = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 e^-2x - 8x . e^-2x + 4 x . e^-2x = 0
-4 . e^-2x + 4x . e^-2x + 4 x . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 8x . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 8x . e^-2x - 8x . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
-4 . e^-2x + 4 e^-2x  = 0
0 = 0

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Cálculo 1 - 14/05/2019

Cálculo 1 - 14/05/2019

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h46min
Encerramento da aula: 21h47min
Taxa de aproveitamento: 61 min / 90 min = 67,7%

Funções logarítmicas

log_a x = y → a^y = x

A função logarítmica de base a, y log_a x, é a função inversa da função exponencial de base a:
log_a x = y ↔ a^y = x

Gráfico de y = e^x obtido com auxílio do GeoGebra

Gráfico de y = log_a x, com a = 1,9, obtido pelo GeoGebra

Propriedades do logarítmo

1) log_a (a^x) = x

2) log_a (x . y) = log_a x + log_a y

3) log_a (x/y) = log_a x - log_a y

4) log_a (x^r) = r . log_a x ∀ r ∈ R

5) log_a x = log_b x / log_b a


O logaritmo natural

Logaritmos de base e

ln x = log_e x

Derivada e^x

d/dx (e^x) = e^x

Prova

lim_h→0 (e^x+h - e^x) / h
lim_h→0 (e^x . e^h - e^x) / h
lim_h→0 e^x(e^h - 1) / h
e^x . lim_h→0 (e^h - 1) / h
e^x . f ' (0)

lim_h→0 e^x . 1 = e^x

d/dx e^x = e^x

Exemplo:
Determine y' em cada caso:

1) y = e^x - x

y' = e^x - 1


2) y = e^3x

y' = e^3x . 3


3) y = e^-x

y' = e^-x . (-1)


4) y = e^{sen x}

y' = e^{sen x} . cos x


5) y = e√x

y' = e√x . 1/2 . x^-1/2 = e√x . 1 / (2√x)


6) y = e^x . cos x

y' = e^x . cos x + (-sen x) . e^x
y' = e^x . (cos x - sen x)

Derivada y = a^x

Seja f(x) = a^x, temos:

d/dx a^x = a^x . ln a


Calcule a derivada de

1) y = 2^x

y' = 2^x . ln 2 . 1


2) y = 5^{(x² - x + 1)}

y' = 5^{(x² - x + 1)} . ln 5 . (2x - 1)


3) y = 8^{cos (2x)}

y' = 8^{cos (2x)} . ln 8 . [-sen (2x)] . 2


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